數學建模——渡江模型學院：儀電學院姓名：*******學號：********2010.01.02題目：渡江模型“渡江”由于水情、水性的不可預測性，這種競賽更富有挑戰性和觀賞性。2002年5月1日，搶渡的起點設在武昌漢陽門碼頭，終點設在漢陽南岸咀，江面寬約1160米。據報載，當日的平均水溫16.8℃,江水的平均流速為1.89米/秒。參賽的國內外選手共186人（其中專業人員將近一半），僅34假設在競渡區域兩岸為平行直線,它們之間的垂直距離為1160米,從武昌漢陽門的正對岸到漢陽南岸咀的距離為1000米，見示意圖。請你們通過數學建模來分析上述情況,并回答以下問題:1.假定在競渡過程中游泳者的速度大小和方向不變，且競渡區域每點的流速均為1.89米/秒。試說明2002年第一名是沿著怎樣的路線前進的，求她游泳速度的大小和方向。如何根據游泳者自己的速度選擇游泳方向，試為一個速度能保持在1.5米/秒的人選擇游泳方向，并估計他的成績。2.在（1）的假設下，如果游泳者始終以和岸邊垂直的方向游,他(她)們能否到達終點？根據你們的數學模型說明為什么能游到終點的人數的百分比如此?。唤o出能夠成功到達終點的選手的條件。3.若流速沿離岸邊距離的分布為(設從武昌漢陽門垂直向上為y軸正向)：游泳者的速度大?。?.5米/秒）仍全程保持不變，試為他選擇游泳方向和路線，估計他的成績。4.若流速沿離岸邊距離為連續分布,例如由模型假設3可知，若選手可以到達終點，則模型應滿足的條件是：比賽結果成功人數很少的原因很大可能就是選擇角度不對，所以能夠成功到達終點的選手的條件即為模型的條件，即：3.問題三分析當水流速度分段分布時，研究游泳方向的問題由于水流速度永遠只沿平行河岸方向，因此豎直方向速度永遠等于，所以人在豎直方向保持勻速直線運動

根據以上圖示和模型可列出方程組：代入數據可得：從而可以得出：因為要用最少的時間到達終點，所以取T=5.8=784.5s，所以方向為與平行河岸方向夾角為，經歷總時間為784.5s4.問題四分析當水流速度呈線性變化時，研究游泳者的速度和方向①．當游泳者的游泳方向始終保持不變時:在水平方向，當，水流速度呈線性變化：在豎直方向，游泳者始終保持勻速：根據模型，則有：代入各數據可得：根據題設，取一合理范圍內的速度值，即當=1.5m/s時，代入模型可求得：即以上兩種情況可恰好到達終點。②．游泳者的游泳方向隨著水流速度的線性變化而變化時:假設人的游泳速度（如1.5m/s）始終沿垂直河岸方向時，可以求得到達對岸的時間約為733.3s，但在水平方向的位移為1459.2m>1000m，因此無法到達終點。將多出的459.2m平均分配到應水平游過的1000m中，即將原水平方向每一點的速度都變為原來的，可導出，當時：時的情況同理可以求出從而可以畫出y關于x的圖象即游泳的實際路線圖如右所示。對于游泳者來說，他的游泳速度方向相當于根據自己所在的y值而時刻改變，當y=0時方向垂直河岸，，當時，不斷減小，y=200時；；時的情況正好與時的情況相反。于是可畫出以上路線圖。由于最終可求得總共所用的時間約為T=810s，由于這個時間小于方向不變時所得時間907.7s，因此可以肯定這個模型較之前者為更優化方案。在實際情況中，由于每個人游泳的速度有不同，因此只需將個人的速度代入模型，并合理估計水流的速度分布情況，便可求得在各個時刻所應選擇的速度方向，并可由于預測出整個過程所經歷的時間。四．模型總結：以我們現在的知識無法從理論上證明這種方案的確是最省時的，因此這也是這個模型的不足。五．競渡策略眾所周知，長江的水性以水流快、水勢多變而聞名。因此，在比賽之前，就應對比賽中有可能發生的情況作好充分的預測和準備。在靜水中，一個人的平均游速大約為1.5m/s，而長江橫向水流的速度卻經常能夠達到2m/s甚至更高；相反，競渡江寬卻比起點到終點的水平距離長。因此，如果一個人始終沿著垂直河岸或斜向終點的方向游，一定會被沖到終點的下游，因而是無論如何也無法到達終點的。所以在水流速度較小時，應讓自己垂直河岸方向的游速盡可能的大；而水流速度越大，則游速與河岸上游的夾角越小，即游泳的速度應斜向長江上游。不要為了追求速度快就順著水流方向游，這樣的選擇只能適得其反。“橫渡不是體力活，而要動腦筋，并不是只有勇氣就可以。每次游海峽之前，我們都要對海峽有充分的了解，如潮汐、海流的時間、走向和海洋生物攻擊的種類、幾率等等。”2002年的成功人數表明，正是由于許多選手事先沒有充分的估計到這些因素，才導致最終的失敗。因此，在開始下水時，一定不能“隨大流”要對自己的選擇有足夠的信心，堅信自己是正確的。同時，應該把首要目標定為到達終點而不是游的多快，因為總會有人比你游的更快。這也就是2002年的比賽在所有186人中只有34人能最后到達終點的原因。相信自己，并在競渡的過程中跟據實際情況，不斷調整游泳的方向，最終的勝利一定是屬于你們的。六．模型應用及推廣：本模型形式較簡單，模型中的s、d為常數，可得以v0和θ分別為自變量和函數的關系，由此便可解決大量有關兩個矢量合成的問題。如：飛機投送救災物資、魚雷發射等等。下面以飛機投送物資問題為例。飛機在一