2025年5月上虞區高考及選考適應性考試數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再由交集和并集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，解得：，所以，對于A、B，，故A錯誤，B正確；對于C、D，，故CD錯誤；故選：B.2.已知復數純虛數虛數單位，則實數A1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】，再根據復數為純虛數得和，解之即得解.【詳解】為純虛數，，，，故選B．【點睛】本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3.已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】抓住關于直線對稱的點為即可求解.【詳解】因為關于直線對稱的點為，則的對稱點為，又在函數的圖象上，故，解得，故選：.4.某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體育、心理6堂課的課程表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同排法總數是（）A.192 B.144 C.124 D.216【答案】A【解析】【分析】先排數學課，再排體育課，最后排剩下的語文、政治、英語、心理4堂課，由分步乘法計數原理即可得出答案.【詳解】數學課排在上午有種，體育課排在下午有種，剩下的語文、政治、英語、心理4堂課有種，所以種.故選：A.5.盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為．2011年3月11日，日本東北部海域發生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）?（）（注：，）A.30 B.31 C.32 D.33【答案】C【解析】【分析】設里氏9.0級和8.0級地震的能量分別是和，根據條件算出的值，然后可得答案.【詳解】設里氏9.0級和8.0級地震的能量分別是和，由題意：，.于是，所以.故選：C.6.如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則求的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據正四棱錐的體積公式，列出方程，求得，再利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，設外接球的半徑為，則，

則正四棱錐的體積為，解得，所以球的表面積為．【點睛】本題主要考查了組合體的結構特征，以及錐體的體積、球的表面積的計算，其中解答中根據組合體的結構特征，結合錐體的體積公式和球的表面積公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力。7.已知點，分別為雙曲線的左右焦點，過雙曲線C上一點作的平分線交x軸于點B，記的面積分別為，內切圓半徑分別為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再由角平分線定理可求出，進而求出的各邊長，即可求出，再由等面積法求出，，即可求出.【詳解】由雙曲線可知：，所以，，令，則，解得：，不妨設，所以，因為為的角平分線，所以由角平分線定理可得：，所以，又因為，所以，，所以，所以，因為，所以的高為，所以，又因為，解得：，同理，所以.故選：D.8.已知函數，當且僅當有，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題意知，由此求出，即可求出，再由可得，再對進行求導，得到在的單調性和的函數值即可得出答案.【詳解】由題意可知，，解得，當時，則，又，所以，所以，驗證：，，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，，所以當且僅當時，，所以成立.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分．9.下列結論正確的是（）A.若隨機變量X的方差，則B若隨機變量Y服從兩點分布，且，則C.若隨機變量ξ服從正態分布，，則D.若隨機變量η服從二項分布，則【答案】BC【解析】【分析】由判斷；由兩點分布的定義判斷；由正態曲線的對稱性判斷；由二項分布的定義判斷【詳解】若，則，故錯誤；若隨機變量Y服從兩點分布，則，故,，故正確；若隨機變量ξ服從正態分布，，則，，故正確；若隨機變量η服從二項分布，則故錯誤.故選：.10.曲線，A，B是曲線C上任意兩點，則（）A.曲線C的圖象關于原點對稱 B.的最大值C.直線AB與曲線C沒有其它交點 D.曲線C所圍成的面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，作出曲線的圖象，再數形結合依次討論各選項求解即可．【詳解】對于曲線C，當，時，曲線C表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分；當，時，曲線C表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第四象限的部分；當，時，曲線C表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第二象限的部分；當，時，曲線C表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第三象限的部分；當時，曲線表示坐標原點；即其圖象如圖所示，

由圖可知，對于A，因為，所以，即點與點均符合曲線C的方程，所以曲線C關于原點對稱，A正確；對于B，曲線上兩點之間最大距離，如圖中，故B正確；對于C，直線AB取除了有，與曲線C有其它交點，故C錯誤；曲線圍成的圖形的面積為4個半圓與1個正方形的面積之和，其面積為，故D正確；故選：ABD．11.已知數列中，數列中，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則數列為等比數列C.若，則數列為常數列 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據組合數的性質判斷A，由，結合，即可判斷B，求出、、，即可判斷C，根據組合數的性質判斷D.【詳解】對于A：當，則，又，所以，故A正確；對于B：當，則，又，所以，則，不為常數，所以數列不是等比數列，故B錯誤；對于C：當，則，則，，，所以數列不是常數列，故C錯誤；對于D：首先證明，考慮多項式中的系數，一方面：代數式中，的系數為；另一方面：代數式中，的系數為；因為，所以；所以.當時，，故D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左頂點為，則該橢圓的離心率為________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可求出，從而求出離心率.【詳解】因為橢圓的左頂點為，所以，則，所以該橢圓的離心率.故答案為：13.已知定義在R上的函數滿足且，則________．【答案】【解析】【分析】令，可得，由累加法求出，即可求出.【詳解】令，所以，所以，即，，……，所以，以上式子相加可得：，所以，所以.故答案為：.14.已知平行四邊形ABCD滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據四邊形為平行四邊形結合余弦定理計算，再應用同角三角函數關系求解.【詳解】因為平行四邊形ABCD滿足，又因為，所以，所以，所以，則．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知正三棱柱的所有棱長均為2，D為AB中點，E為棱上的動點．（1）求證：面面；（2）若直線CE與面所成角的余弦值為，試求AE的長．【答案】（1）見解析（2）AE的長為.【解析】【分析】（1）先證得，，由線面垂直的判定定理可得面，，再由面面垂直的判定定理可得平面面.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設設，分別求出直線CE的方向向量與面的法向量，再由線面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】因為三棱柱為正三棱柱，所以，因為D為AB中點，所以，又因為平面，平面，所以，，平面面，所以面，面，所以平面面【小問2詳解】過點作，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，設面的法向量為，，則，所以，令，則，所以，因為直線CE與面所成角的余弦值為，所以直線CE與面所成角的正弦值為，設為，即，即，解得：或（舍去），所以，AE的長為.16.已知函數，．（1）若在處的切線方程為，求實數m的值；（2）討論的單調性.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意和切線方程列方程求解實數的值．（2）首先求出，分類討論利用導數的符號求出函數的單調區間；【小問1詳解】由，．依題意，，解得.【小問2詳解】的定義域為，，當時，恒有，故的單調遞減區間為，②當時，令，得，由，得；由，得，故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.綜上所述，當時，的單調遞減區間為；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為.17.在三角形ABC中，內角A，B，C對應邊分別為a，b，c，的面積為S且．（1）求角B的大小；（2）設點M是三角形內一點，且，，過點M作直線l分別交BA，BC（或延長線）于點P，Q，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理結合三角形的面積公式代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，分別在與中結合正弦定理表示出，然后代入計算，結合正弦函數的值域，即可得到結果.【小問1詳解】由余弦定理可得，則，又，由可得，即，且，所以.【小問2詳解】設，則，則，在中，由正弦定理可得，則，則，由可得，且，，在中，由正弦定理可得，則，所以，則，且，所以當時，即，取得最大值.18.已知拋物線的焦點到準線的距離是．（1）求拋物線方程；（2）設點是該拋物線上一定點，過點A作互相垂直的直線分別交拋物線C于點B，C，連接BC．（ⅰ）求證：直線BC恒過一定點；（ⅱ）過點A，B，C分別作切線，三條切線兩兩相交于P，Q，R，若的面積為，求直線BC的方程．【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）由已知焦點到準線的距離是，可得，即可求解；（2）由已知可得，（ⅰ）設直線BC的方程為，，，聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理結合已知，即可求解；（ⅱ）對兩邊求導，根據導數的幾何意義分別求得三條切線方程，聯立方程可得P，Q，R三點的坐標，然后根據面積公式即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點為，準線為，因為焦點到準線的距離是，所以，所以拋物線方程為；【小問2詳解】因為點在拋物線上，所以，所以，（ⅰ）設直線BC的方程為，，，聯立得，則，，，，因為，所以，所以，又，，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線BC恒過定點；（ⅱ）對兩邊求導的，所以，在點處的切線的斜率，所以切線方程為，即，在點處的切線的斜率，所以切線方程為，所以，又，所以，在點處的切線方程為，設，聯立，得，則，聯立，得，則，聯立，得，則，所以，點到直線的距離為，所以，又，解得，所以直線BC的方程的方程為.19.已知數列滿足：①，②，則稱數列有性質Ω，數列稱為“Ω數列”，記．（1）若，寫出的所有可能值（直接給出答案即可）；（2）當，時，設；數列為等差數列．請判斷p是q的什么條件？并說明理由；（3）若Ω數列符合且，記集合．在中任取兩個不同元素x，y，求：x且的概率最大值．【答案】（1）（2）充分不必要條件（3）【解析】【分析】（1）根據數列的定義，相鄰項差值不超過1，通過遞推確定的可能取值；（2）分析等差數列的公差與條件的關系，判斷條件的充分性與必要性；（3）第（2）問：構造滿足條件的數列，分析集合的結構，利用組合數計算概率的最大值.【小問1詳解】因為數列滿足：①，②，故由，得的可能取值為，若，則可為；若，則可為；若，則可為；綜合所述，的可能取值為.【小問2詳解】p是q的充分不必要條件，即條件p能夠推出條件q，但條件q推不出條件p，下面證明：先證明條件q推不出條件p，因為為等差數列，且為數列，因為