2025年春季高三年級(jí)五月模擬考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年5月9日下午15：00—17：00試卷滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，故，故選：B.2設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再應(yīng)用交集定義計(jì)算求解.【詳解】由，所以.又，所以.故選：D.3.已知函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則滿足條件且最小的的值為（）A.3 B. C.15 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平移得出偶函數(shù)計(jì)算求得，再計(jì)算得出最小值求參.【詳解】由題設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，得，要最小，取，得，故選：A.4.已知點(diǎn)，，向量，則向量在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，即可求出，，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕郑裕韵蛄吭诜较蛏系耐队跋蛄繛?故選：C.5.反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，則為使的概率控制在0.0455以下，至少要測(cè)量的次數(shù)為（）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則）A.200 B.400 C.800 D.1000【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性與各區(qū)間的概率求解即可.【詳解】由，而，則，所以.故選：C6.“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓位置關(guān)系，以及充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示：設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即，故“”“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的必要不充分條件.故選：B.7.已知邊長(zhǎng)為2的菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿對(duì)角線翻折，得到三棱錐.記線段的中點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.三棱錐體積的最大值為C.平面截三棱錐的截面圖形可能是正方形D.當(dāng)折成的二面角為時(shí)，三棱錐的外接球半徑為【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，求證平面即可判斷；對(duì)于B，找到最大體積時(shí)的位置即可由錐體體積公式計(jì)算求解；對(duì)于C，取中點(diǎn)，截面圖形即為矩形，由題設(shè)求出即可判斷；對(duì)于D，找到球心位置，根據(jù)勾股定理列方程組即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕剩郑矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕蔄正確；對(duì)于B，由A得平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?dāng)?shù)狡矫娴木嚯x最大時(shí)，即平面時(shí)三棱錐的高最大，由題意得，為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，所以三棱錐體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)分別為，所以，且，所以截面圖形為平行四邊形.由A可知，所以，故四邊形為矩形，由題意得，，所以，所以，即四邊形不可能為正方形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)二面角為時(shí)，由A可得，所以到平面距離為，在平面內(nèi)的投影在直線上，投影長(zhǎng)為，因?yàn)椋詾橥饨訄A圓心，所以三棱錐外接球的球心在過D且與平面垂直的直線上，如圖，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，，則，解得，故三棱錐外接球的半徑為，D正確.故選：C.8.已知定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)均存在，且記為，滿足，對(duì)恒成立，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性，由可判斷進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】，令，則，故在單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，A選項(xiàng)正確，另外，，由于與0的大小關(guān)系不確定，故C，D無法判斷.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，為拋物線焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的值可能是（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，利用拋物線定義求出的最小值即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，如圖，過點(diǎn)作于A，過點(diǎn)作于，連接，由拋物線的定義知，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)取等號(hào)，又，所以的最小值為7.故選：ABC10.已知單位圓的內(nèi)接正邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由題意可得，過作于點(diǎn)，求出進(jìn)行判斷，對(duì)于B，由選項(xiàng)A可得，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷，對(duì)于C，利用三角形面積公式可得，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷，對(duì)于D，將前面選項(xiàng)求出的，代入化簡(jiǎn)變形進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，單位圓的內(nèi)接正邊形的中心角為，如圖設(shè)，過作于點(diǎn)，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A的結(jié)論，，則，則，故B正確；對(duì)于C，，則，故，故C正確；對(duì)于D，由上分析，，則，故，故D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.0是函數(shù)的零點(diǎn)B.函數(shù)僅有一個(gè)極小值C.若，且，則D.若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，計(jì)算即可；對(duì)于B，討論函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)于C，對(duì)取對(duì)數(shù)，分析得知只需證明即可，構(gòu)造函數(shù)即可結(jié)合導(dǎo)數(shù)得證，對(duì)于D，將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)換為函數(shù)與圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，且，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；圖象如圖：所以，函數(shù)的極小值為和，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，所以，若，則，因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根函數(shù)與圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，且，由圖象易知，或，或，從而的取值集合為，D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.1與2025的等比中項(xiàng)為__________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)定義計(jì)算求參.【詳解】設(shè)1與2025的等比中項(xiàng)為為，所以，所以.故答案為：.13.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，若對(duì)的某個(gè)內(nèi)角，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由的奇偶性和單調(diào)性條件可知在上單調(diào)遞增，從而將整理為，求出的范圍，從而得到的范圍.【詳解】依題意，是奇函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，由，得，，設(shè)，由于，所以，所以，即，則的取值范圍是，的取值范圍是，由不等關(guān)系：恒成立，的取值范圍是.故答案為：.14.在方格表的16個(gè)小方格中選取8個(gè)，使得每行每列都恰有兩個(gè)小方格被選中，則不同的選取方法數(shù)為__________.（請(qǐng)用數(shù)字作答）【答案】90【解析】【分析】根據(jù)第二行選取方格與第一行的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，然后分別計(jì)算每類情況的方法數(shù)，最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理將所有情況的方法數(shù)相加.【詳解】第一行選2個(gè)方格有種方法，這2個(gè)方格確定后：（1）若第二行選的方格均與第一行同列，則后兩行選的方格只能與前兩行不同列，有1種方法；（2）若第二行選的方格均與第一行不同列，則前兩行選取的4個(gè)方格中每列1個(gè)，第三行選的方格有種方法，選定后第4行隨之確定；（3）若第二行選的方格恰有1個(gè)與第一行同列，第二行選取方法有種，此時(shí)，前兩行選的4個(gè)方格中有2個(gè)在同一列（該列后兩行不選），有1列前兩行都未選（該列后兩行必選），另兩列前兩行各選一個(gè)（后兩行也要各選一個(gè)，2種方法）.綜上，共種方法.故答案為：90.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)?出文宇說明?證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.【小問1詳解】由題意知的定義域?yàn)椋深}設(shè)知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，即，所以；【小問2詳解】由于的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)單調(diào)減，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.16.2025年4月25日，中國人形機(jī)器人生態(tài)大會(huì)在上海汽車會(huì)展中心舉辦.其中，人形機(jī)器人拳王爭(zhēng)霸賽讓人大開眼界：在4米乘以4米的拳臺(tái)上，可以看到各家公司在多模態(tài)融合算法、運(yùn)動(dòng)控制、視覺、感知等技術(shù)上的突破.比賽前，某科技公司機(jī)器人甲隊(duì)和乙隊(duì)進(jìn)行練習(xí)賽，兩隊(duì)均由兩臺(tái)機(jī)器人組成.比賽要求每輪兩局，每局比賽兩隊(duì)都需派不同機(jī)器人參賽，每局比賽獲勝得1分，否則得0分（每局比賽都分勝負(fù)，沒有平局）.設(shè)每輪比賽中各局結(jié)果互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.已知甲隊(duì)機(jī)器人，機(jī)器人每局比賽獲勝的概率分別為.（1）設(shè)前兩輪比賽中甲隊(duì)得3分為事件，前兩輪比賽中機(jī)器人得2分為事件，求；（2）機(jī)器人續(xù)航時(shí)間有限，規(guī)定本次比賽最多進(jìn)行6輪，規(guī)定當(dāng)一隊(duì)得分比另一隊(duì)得分多2分時(shí)比賽結(jié)束.設(shè)比賽結(jié)束時(shí)共進(jìn)行了輪，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）.（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件互斥事件的概率公式可得、，然后利用條件概率公式求解即可；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式和期望公式可得；【小問1詳解】設(shè)前兩輪比賽中得分為事件得分為事件，由題意各輪比賽，各局比賽結(jié)果互不影響，與互斥，，.【小問2詳解】由題意，，設(shè)第輪兩隊(duì)比分為為事件各局比賽互不影響，，由題意，時(shí)，時(shí)，事件“”，各輪比賽互不影響，，所以的分布列為：123456.17.如圖所示，四棱錐的底面四邊形為直角梯形，，平面與平面的交線平面.（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）先確定平面交線，因不平行，延長(zhǎng)相交得點(diǎn)，是兩平面公共點(diǎn)，又也是公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)確定交線（即，即）.由PB垂直平面內(nèi)兩相交線，得垂直平面，進(jìn)而得PB垂直MB，用勾股定理求.（2）以為原點(diǎn)建系，根據(jù)已知邊長(zhǎng)確定各點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)表示出點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)法向量與平面內(nèi)向量垂直，列出方程組求平面和平面的法向量.因?yàn)閮善矫娲怪保运鼈兊姆ㄏ蛄看怪保ㄏ蛄繑?shù)量積為，列方程求解，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)，直線不平行，延長(zhǎng)必相交，記交點(diǎn)為，則，，從而平面平面，即點(diǎn)為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，又點(diǎn)也為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3，知直線即為直線，且點(diǎn)即為點(diǎn)，由題設(shè)，，所以平面，所以，且易知，所以.【小問2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，方向?方向?方向分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，則.則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)和分別為平面和平面的法向量.，即，令，得，，即，令，得：，平面平面，所以，又，設(shè)平面PCD的法向量為，則,即，令，則，所以直線與平面所成角的正弦值.18.已知橢圓的焦距為2，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的大小是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由.（3）在（2）的條件下，試求三角形的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）的大小為定值（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可求出的值，進(jìn)而得到兩焦點(diǎn)坐標(biāo).再利用橢圓的定義求出的值，最后根據(jù)求出的值，從而得到橢圓方程.（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論.當(dāng)斜率不存在時(shí)，求出直線的方程，進(jìn)而求出，的坐標(biāo)，判斷的大小；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，的表達(dá)式，再通過向量的數(shù)量積判斷與是否垂直，從而確定的大小.（3）同樣分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論.當(dāng)斜率不存在時(shí)，直接求出，進(jìn)而求出面積；當(dāng)斜率存在時(shí)，先求出的表達(dá)式，再根據(jù)三角形面積公式求出的表達(dá)式，最后結(jié)合基本不等式求出的取值范圍.【小問1詳解】已知橢圓的，則，兩焦點(diǎn)為，.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓定義可得即，即.又因?yàn)椋鶕?jù)，可得，所以.所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：直線的方程為，由對(duì)稱性，不妨令直線的方程為.聯(lián)立，將代入得：即，此時(shí)OM與ON垂直，易知.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：設(shè)直線的方程為，，.由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，兩邊平方得.聯(lián)立，消去得.則，即.由韋達(dá)定理可得，.所以將代入上式得：所以，即.綜上，的大小為定值，該定值為.【小問3詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：，則.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)：將代入上式得：所以三角形的面積.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.則，，，，，即.綜上，.19.設(shè)