2025年北京市第二次普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬試卷03（考試時(shí)間：90分鐘；滿(mǎn)分：100分）本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）兩部分．考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名填寫(xiě)在試題卷、答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“考生號(hào)、姓名”與考生本人考生號(hào)、姓名是否一致．2．第一部分每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．第二部分用黑色字跡簽字筆在答題卡上作答．在試題卷上作答，答案無(wú)效．3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回．第一部分（選擇題共60分）選擇題（本題共20小題，每小題3分，共60分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．已知集合，，那么（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用并集的定義可求得.【詳解】因?yàn)榧希?故選：D.2．已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C． D．10【答案】B【分析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故選：B.3．已知，是平面，，是直線，下列命題中不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】A【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故若，，則，故B正確；對(duì)于C：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，故若，，則，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)面面垂直的判斷定理可知，若，，則，故D正確；故選：A4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由不等式的性質(zhì)以及充分不必要條件即可求解.【詳解】因?yàn)椋浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選：A.5．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)的模的公式可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：B6．不等式的解集是（

）.A． B．C．，或 D．，或【答案】B【分析】先將不等式的右邊化為零，然后根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.【詳解】由題意，∴，即，解得：，∴該不等式的解集是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7．下列函數(shù)中，在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的偶性、增減性即可得解.【詳解】對(duì)于ACD，、、是非奇非偶函數(shù)，故排除ACD，對(duì)于B，是奇函數(shù)且是定義域上的增函數(shù)，故B對(duì)；故選：B.8．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后，利用復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)象限內(nèi)點(diǎn)的特征求解即可.【詳解】由題意得，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第三象限，故C正確.故選：C9．為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，故A不正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，故B不正確；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，故C正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，故D不正確；故選：C10．方程的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)真數(shù)大于零解得或，再將1轉(zhuǎn)化為，即可解得，都使得方程有意義，即可知正確選項(xiàng).【詳解】由題意，，解得或，由，得，則，解得，所以方程的解集為.故選：D.11．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可先得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知.故選：B12．生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．【答案】B【分析】本題首先用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．【詳解】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．13．如圖，在中，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AN的中點(diǎn)，設(shè)，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)樵谥校c(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AN的中點(diǎn)，，，所以.故選：A14．從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車(chē)從甲地到乙地，恰好沒(méi)有遇到紅燈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合對(duì)立事件概率，由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算．【詳解】由題意各路口沒(méi)有遇到紅燈的概率分別為，所以經(jīng)過(guò)三個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈的概率是．故選：A．15．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為【答案】A【分析】由基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.16．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式的性質(zhì)、指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】，故A正確.故選：A.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)求解.【詳解】在長(zhǎng)方體中，，故選：B18．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù) D．若，則為【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式及圖象可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕珹不正確；作出簡(jiǎn)圖，如下，由其簡(jiǎn)圖可知B正確；由圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，C不正確；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)無(wú)解.所以，D不正確.故選：B.19．平面向量，共線的充要條件是（

）A．，方向相同 B．，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．， D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，【答案】D【解析】根據(jù)，共線的定義得到向量，共線的充要條件【詳解】由，共線的定義，若，均為零向量，則顯然符合題意，且存在不全為零的實(shí)數(shù)，使得；若，則由兩向量共線知，存在，使得，即，符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)向量共線定義的理解，特別注意零向量與任意向量共線，屬于基礎(chǔ)題.20．某小區(qū)的公共交流充電樁每小時(shí)的充電量為，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示：時(shí)間段00：00—07：0007：00—10：0010：00—15：0015：00—18：0018：00—21：0021：00—23：0023：00—24：00收費(fèi)（元/）1.21.41.61.41.61.41.2小王的新能源汽車(chē)于17：30開(kāi)始在該小區(qū)的公共交流充電樁充電，當(dāng)天21：00還未充滿(mǎn)，21：30來(lái)查看，發(fā)現(xiàn)已充滿(mǎn)，則小王應(yīng)繳納的充電費(fèi)可能為（

）A．31.5元 B．37.5元 C．45.3元 D．51.1元【答案】B【分析】根據(jù)題意算出各時(shí)間段的充電費(fèi)用即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題知，小王在15：00—18：00時(shí)段充電0.5小時(shí)，費(fèi)用為元；在18：00—21：00時(shí)段充電3小時(shí)，費(fèi)用為元；記在21：00—23：00時(shí)段充電時(shí)間為x小時(shí)，費(fèi)用為元.綜上，小王應(yīng)繳納的充電費(fèi)，因?yàn)椋?故選：B第二部分（非選擇題共40分）二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分．請(qǐng)將答案填在題中橫線上．）21．函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得且，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.22．若，則的值為.【答案】/【分析】利用同角的平方關(guān)系求出，再利用三角函數(shù)的倍角公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t.故答案為：.23．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，向量滿(mǎn)足，且．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，．

【答案】0，或【分析】建立平面直角坐標(biāo)系得到、的坐標(biāo)可得；設(shè)，根據(jù)，且．建立關(guān)于的方程組求出可得的坐標(biāo)，再由的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以；設(shè)，則，且，所以且，由，解得，或，所以，或，所以，或.

故答案為：①0；②，或.24．動(dòng)力電池組對(duì)新能源汽車(chē)的性能表現(xiàn)以及安全性影響巨大，是新能源汽車(chē)非常核心的部件．如圖是刀片電池、三元鋰電池和磷酸鐵鋰電池部分指標(biāo)的雷達(dá)圖，則下列正確結(jié)論的序號(hào)是．①刀片電池的安全性更高，價(jià)格優(yōu)勢(shì)更突出；②三元鋰電池的缺點(diǎn)是循環(huán)壽命較短、價(jià)格偏高、安全性偏低；③對(duì)于這7項(xiàng)指標(biāo)，刀片電池的平均得分低于三元鋰電池；④磷酸鐵鋰電池能量密度低、低溫性能好.【答案】①②【分析】借助于雷達(dá)圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)①、②、③、④一一驗(yàn)證即可.【詳解】由雷達(dá)圖易知刀片電池的安全性更高，價(jià)格優(yōu)勢(shì)更突出，①正確；三元鋰電池的循環(huán)壽命較短、價(jià)格偏高、安全性偏低，②正確；對(duì)于這7項(xiàng)指標(biāo)，刀片電池的平均得分為，三元鋰電池的平均得分為，所以③錯(cuò)誤；磷酸鐵鋰電池能量密度低、低溫性能差，④錯(cuò)誤．故答案為：①②.三、解答題（本題共4小題，共28分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）25.（本小題滿(mǎn)分7分）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)最小值2，最大值【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而由周期公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期.（2）由，得，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.26.（本小題滿(mǎn)分7分）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)用定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減.【答案】(1)和；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）令，結(jié)合分段函數(shù)解析式分別計(jì)算可得；（2）利用定義法證明，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論的步驟完成即可.【詳解】（1）解：因?yàn)椋睿椿颍獾没颍缘牧泓c(diǎn)為和.（2）證明：設(shè)任意的，，且，則，因?yàn)椋裕裕矗栽趨^(qū)間上為減函數(shù)．27.（本小題滿(mǎn)分7分）已知直三棱柱滿(mǎn)足，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.(3)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，，只需證明即可，由中位線定理結(jié)合線面平行的判定定理即可得證.（2）只需證明，即可，由等腰直角三角形性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)以及判定定理即可得證.（3）利用轉(zhuǎn)換法，只需求點(diǎn)到平面的距離和三角形的面積，由（2）的結(jié)論、點(diǎn)為的中點(diǎn)以及解直角三角形知識(shí)即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，，四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又平面，且平面，平面.（2）直三棱柱滿(mǎn)足，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且面，面，所以，，又面，平面.（3）由圖可知，，，，又三棱柱為直三棱柱，且，.，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.由（2）可知平面.所以點(diǎn)到平面的距離為，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，.28.（本小題滿(mǎn)分7分）設(shè)集合為非空實(shí)數(shù)集，集合，稱(chēng)集合為集合的積集.(1)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出集合的積集；(2)若是由個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個(gè)數(shù)的最小值；(3)判斷是否存在個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)7(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用