第1頁/共1頁2024北京初二（下）期末數(shù)學(xué)匯編平行四邊形章節(jié)綜合（解答題）1一、解答題1．（2024北京東城初二下期末）如圖，矩形中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，與、分別相交于點(diǎn)、，連接、．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長．2．（2024北京石景山初二下期末）已知：在正方形中，點(diǎn)E是延長線上一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F，連接，取的中點(diǎn)G，連接．(1)當(dāng)時(shí)，①補(bǔ)全圖1；②求證：；③用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2024北京順義初二下期末）如圖，在四邊形中，，．求證：四邊形是平行四邊形．4．（2024北京東城初二下期末）如圖，菱形的對(duì)角線，BD相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，與CE相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接DE，若，，求DE的長．5．（2024北京門頭溝初二下期末）如圖，在中，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且，，相交于點(diǎn)O．求證：．

6．（2024北京懷柔初二下期末）如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，平分，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．7．（2024北京懷柔初二下期末）如圖，在菱形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，E是的中點(diǎn)，連接．過點(diǎn)A作射線，使得，過點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F．(1)①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：；(2)連接，，用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．（2024北京平谷初二下期末）已知，矩形，，對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，，作，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)如圖1①依題意補(bǔ)全圖形，求證：；②連接，求證：．(2)當(dāng)在延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，并用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2024北京順義初二下期末）在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，連接，．(1)求證：；(2)在邊取點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．（2024北京平谷初二下期末）如圖，，延長到，使，連接，且．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接，與交于點(diǎn)．若，，求的長．11．（2024北京平谷初二下期末）如圖，在菱形中，交于點(diǎn)，取邊中點(diǎn)，連接并延長使，連接．

求證：．12．（2024北京平谷初二下期末）在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)“作以線段為對(duì)角線的正方形”．小麗的作法如下：①分別以點(diǎn)、為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于、兩點(diǎn)；②連接，與交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，與交于、兩點(diǎn)；④分別連接線段．所以四邊形就是所求作的正方形．根據(jù)小麗的作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形．（）（填推理的依據(jù)）∵，即，∴四邊形為矩形．（）（填推理的依據(jù)）∵，∴四邊形為正方形．（）（填推理的依據(jù)）13．（2024北京石景山初二下期末）如圖，在中，，D為中點(diǎn)，以為一組鄰邊作，與交于點(diǎn)O，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．14．（2024北京順義初二下期末）已知：，．求作：邊的中線作法：①以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作弧；以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作?。粌苫∠嘟挥邳c(diǎn)（點(diǎn)在直線的上方）；②連接，，；③交于點(diǎn)．所以為邊的中線(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：，，______（____________）（填推理的依據(jù)）．為中點(diǎn)（____________）（填推理的依據(jù)）．為邊的中線15．（2024北京石景山初二下期末）工藝美術(shù)中常需要設(shè)計(jì)幾何圖案．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，已確定三個(gè)格點(diǎn)，，的位置，需要在圖中確定點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．為了精準(zhǔn)刻畫點(diǎn)的位置，需建立平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)，．(1)請(qǐng)畫出平面直角坐標(biāo)系；(2)在圖中描出點(diǎn)的位置，并寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．16．（2024北京石景山初二下期末）已知：如圖，BD為的對(duì)角線，，為直線BD上兩點(diǎn)，且．求證：．17．（2024北京延慶初二下期末）如圖，點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，，連接AE，，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F．(1)依題意補(bǔ)全圖形，求的度數(shù)；(2)連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（2024北京順義初二下期末）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)，為中點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)延長到點(diǎn)，使得，連接．若，，求的長．19．（2024北京通州初二下期末）如圖，在正方形中，E是邊延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作且，連接交邊于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（2024北京東城初二下期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊AD上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，CF．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)的度數(shù)為__________；(3)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．（2024北京豐臺(tái)初二下期末）如圖，E是正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)連接，取中點(diǎn)P，連接并延長，交于點(diǎn)H，依題意補(bǔ)全圖形，直接寫出的大小，并證明．22．（2024北京延慶初二下期末）在數(shù)學(xué)課上，老師布置以下思考題：已知：△ABC，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．求作：線段，使．

小智結(jié)合所學(xué)知識(shí)思考后，作法如下：①分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N；②作直線，直線交于點(diǎn)E；③連接．所以就是所求作的線段．(1)請(qǐng)你利用直尺和圓規(guī)，依據(jù)小智的作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)請(qǐng)回答，小智尺規(guī)作圖得到的依據(jù)是________________________．23．（2024北京延慶初二下期末）如圖，在中，，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，點(diǎn)C分別作CE和AB的平行線，交于點(diǎn)D．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．24．（2024北京延慶初二下期末）如圖，在四邊形中，，,過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．求證：．25．（2024北京西城初二下期末）在正方形中，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，P為點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．(1)連接，作射線交射線于點(diǎn)F，依題意補(bǔ)全圖1．①若，求的大小（用含的式子表示）；②用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)已知，連接，若，M，N是正方形的對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，直接寫出的最小值．26．（2024北京西城初二下期末）如圖，在中，交于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F，且，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的面積．27．（2024北京房山初二下期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)B，C不重合），連接過點(diǎn)E作的垂線，交于點(diǎn)M，延長到點(diǎn)F，使，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（2024北京東城初二下期末）如圖，正方形中，點(diǎn)在延長線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，在射線上方作，且．連接．(1)補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)連接，若正方形邊長為5，直接寫出線段的長．29．（2024北京東城初二下期末）已知：如圖，在中，．求作：以為對(duì)角線的矩形．作法：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)M，N；分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線與交于點(diǎn)D；②以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫??；再以點(diǎn)C為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在的右側(cè)交于點(diǎn)E；③連接．四邊形為所求的矩形．(1)根據(jù)以上作法，使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成以下證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形()．(填推理的依據(jù))由作圖可知，平分，又∵，∴()．(填推理的依據(jù))∴．∴平行四邊形是矩形()．(填推理的依據(jù))30．（2024北京房山初二下期末）如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求矩形的面積．

參考答案1．(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知證明，得，結(jié)合，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即可證得結(jié)論；（2），，則，設(shè)，則，利用勾股定理求出即可解答．【詳解】（1）證明：矩形中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，四邊形為菱形；（2）四邊形是菱形，，四邊形是矩形，，，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，．2．(1)①見詳解；②見解析；③，見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)題意作出圖形即可；②由正方形的性質(zhì)得，，進(jìn)而又，得，從而，于是證明；③在上取一點(diǎn)，使得，連接，證是的中位線，得，再證明，利用勾股定理得，從而即可得解；（2）在延長線上取一點(diǎn)，使得，連接，由正方形的性質(zhì)得，，進(jìn)而證明，得，又證是的中位線，得再證，利用勾股定理得，從而即可得解．【詳解】（1）解：①如圖即為所求，②證明：四邊形是正方形，，，，，，即，，∴；③，理由如下：在上取一點(diǎn)，使得，連接，，；，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，由②得，，，，，，，，；（2），理由如下：在延長線上取一點(diǎn)，使得，連接．四邊形是正方形，，，，，，即，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的中位線的判定及性質(zhì)及垂線定義，熟練掌握三角形的中位線的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)平行線的判定定理證明，，即可得出四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：，，，，，，四邊形是平行四邊形．4．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而證明四邊形是矩形；（2）根據(jù)題意可得，，，勾股定理求得的長，進(jìn)而求得的長，在中，勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形；（2）解：如圖，四邊形是菱形，，∴，，，∴∴四邊形是矩形，，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．證明見解析．【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定以及性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可得出,．進(jìn)一步得出，；．利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出．【詳解】證明：∵是平行四邊形，∴，．∵，∴．∴．∵，∴；．在和中，∴．∴．6．(1)證明見解析；(2)6【分析】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得出，再根據(jù)等角對(duì)等邊得出，從而得出，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等得出四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)領(lǐng)邊相等的平行四邊形為菱形即可得證；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)勾股定理得出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．【詳解】（1）證明∵，∴．∵平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．（2）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∴．∵，∴．∵，∴．∵，為的中點(diǎn)∴．∴．7．(1)①見解析；②證明見解析；(2)，證明見解析．【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；（1）①根據(jù)題意畫出圖形，即可求解；②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)角的和差即可得證；（2）延長到點(diǎn)M，使，連接，，根據(jù)中點(diǎn)的定義結(jié)合證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及角的和差利用證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）解：補(bǔ)圖如下：①②證明：∵四邊形為菱形，，∴，∵，∴，∴．（2）證明：延長到點(diǎn)M，使，連接，，∵E是中點(diǎn)，∴．在和中，∴．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．8．(1)①作圖見解析，證明見解析；②證明見解析(2)補(bǔ)全圖形見解析，，證明見解析【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定與性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．（1）①先根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，再根據(jù)垂直的定義、矩形的性質(zhì)可得、，然后根據(jù)同角的余角相等即可證明結(jié)論；②先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)結(jié)合等量代換可得，即，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)N，先證明四邊形為平行四邊形，然后證明可得，最后根據(jù)等量代換即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：①補(bǔ)全圖形如下：證明：∵，∴．∵矩形∴．∴；②如圖：連接，∵矩形∴，，∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵O為中點(diǎn)∴．（2）解：當(dāng)在延長線上時(shí)，根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如下：數(shù)量關(guān)系，證明如下：證明：如圖：過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)N，∵矩形，∴,又∵，∴四邊形為平行四邊形∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．9．(1)見解析(2)①見解析②，證明見解析【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理：（1）設(shè)相交于點(diǎn)H，根據(jù)證明，得由得，由三角形內(nèi)角和定理得，即；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②延長到點(diǎn)Q，使，連接，證明，根據(jù)證明，得，再證明，得是等腰直角三角形，得到，從而可得結(jié)論【詳解】（1）證明：設(shè)相交于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴，又∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：①如圖，即為所作：②,理由如下：延長到點(diǎn)Q，使，連接，如圖，由（1）得，，，∴，又，∴，∵，∴，∴，∴，又，，∴，∵∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，即，∴．10．(1)證明見解析(2)【分析】對(duì)于（1），先結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及已知條件說明四邊形是平行四邊形，再說明，可得結(jié)論；對(duì)于（2），先求出，再設(shè)，表示，然后根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴.∵，∴，∴四邊形是平行四邊形.∵，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）∵四邊形是菱形，∴.∵，∴.∵，∴.∵，設(shè)，則，在中，，解得（舍負(fù)），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法．11．證明見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，先證出四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出，，然后可證出四邊形是矩形，進(jìn)而即可得證，熟練掌握其性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】∵E為中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵為菱形，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．12．(1)見解析(2)見解析【分析】此題主要考查了基本作圖和證明四邊形是正方形，熟練掌握正方形的判定方法是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作圖步驟畫出圖形即可；（2）根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形進(jìn)行判定即可【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示；（2）證明：∵，∴四邊形為平行四邊形．（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵，即，∴四邊形為矩形．（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形）∵，∴四邊形為正方形．（對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形）．13．(1)見解析(2)【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、菱形的面積公式、含30度角的直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）由證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可證明四邊形是菱形；（2）根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，D為中點(diǎn)，∴∵∴∴∴四邊形是平行四邊形；∵∴四邊形是菱形；（2）∵，四邊形是菱形∴，∴，∴，∵，∴∵，解得∴∴14．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)所給作法作圖即可；（2）根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”“平行四邊形的對(duì)邊線互相平分”即可證明．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：補(bǔ)充完整的證明過程如下：證明：，，四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．為中點(diǎn)（平行四邊形的對(duì)邊線互相平分）．為邊的中線．15．(1)見解析；(2)或或．【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定描出點(diǎn)的位置，從而即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：畫出平面直角坐標(biāo)系如圖所示，（2）解：點(diǎn)的位置如圖所示，由圖可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,1或或．16．見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用以及全等三角形的判定及性質(zhì)，準(zhǔn)確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．通過平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用證的，即可得到結(jié)果；【詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，，，，∵，．17．(1)(2)，詳見解析【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，（1）首先根據(jù)題意做出圖形，然后得到，設(shè)，，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為得到，進(jìn)而求解即可；（2）作，交于點(diǎn)H，得到是等腰直角三角形，表示出，然后證明出，得到是等腰直角三角形，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）如圖，解：∵正方形，∴，．∵，∴．∴設(shè)，．∵四邊形的內(nèi)角和為，∴．∴．∴．∴；（2）數(shù)量關(guān)系是．如圖，作，交于點(diǎn)H．∴．∵，又∵，∴，∴是等腰直角三角形．∴．∵，設(shè)，．∴，∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∵正方形，∴．在和中，∴．∴，．∴是等腰直角三角形．∴．∵，∴．18．(1)見解析(2)6【分析】本題考查菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理：（1）先證，推出，可得四邊形是平行四邊形，結(jié)合，可得四邊形是菱形；（2）先用勾股定理解求出，進(jìn)而求出，再證四邊形是平行四邊形，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）證明：，，，又為中點(diǎn)，，，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；．（2）解：，為中點(diǎn)，，，，，，菱形中，，，又，，，四邊形是平行四邊形，．19．(1)見解析(2)，見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形，可得，，則，由，可得，進(jìn)而可證；（2）如圖1，作的延長線于，證明，則，，證明，則，進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：∵正方形，，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）解：，證明如下；∵正方形，∴，，，如圖，作的延長線于，∵，，，∴，∴，，∵，，，∴，∴，∴．20．(1)見解析(2)(3)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全即可；（2）由，得，再根據(jù)等邊對(duì)等角即可得解；（3）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，先證，得，再證明（），得，，從而，利用勾股定理即可．【詳解】（1）解：如圖所示，（2）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，理由如下：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴（）∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(1)見詳解(2)，證明見詳解【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及容易證明，，，從而證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及中點(diǎn)P，證明，結(jié)合線段的和差關(guān)系得出，再證明，根據(jù)角的等量代換，即可作答．本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，．；（2）解：，證明如下：∵四邊形是正方形，，，∴∵點(diǎn)P是中點(diǎn)∴如圖：射線交于一點(diǎn)W，

∵∴∴∵∴∴即∵∴∴∵∴22．(1)詳見解析(2)三角形的中位線平行于第三邊【分析】（1）根據(jù)小智的作法補(bǔ)全圖形補(bǔ)全圖形即可；（2）由垂直平分線的概念得到點(diǎn)E是的中點(diǎn)，然后證明出是的中位線，進(jìn)而證明．【詳解】（1）如圖所示，

（2）由作圖可得，垂直平分∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)∴是的中位線∴∴的依據(jù)是三角形的中位線平行于第三邊．23．(1)見解析(2)【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)求出，然后利用勾股定理計(jì)算出即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴，∴是菱形；（2）∵四邊形為菱形，，∴，∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．證明見解析【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)，即可得，從而得出四邊形是矩形，即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴．25．(1)補(bǔ)全圖形見解析，①；②，證明見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得出，由正方形的性質(zhì)可得出，，由三角形內(nèi)角和定理即可得出②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，則，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，由①可知，，，即可求出，進(jìn)一步可得出，由勾股定理可得出，由線段的和差關(guān)系可得出，變形即可得證．（2）由對(duì)稱得，，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得點(diǎn)E為的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作，且，則四邊形為平行四邊形，那么的最小值就等于，當(dāng)點(diǎn)G，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，由題意得，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)Q，作交延長線于點(diǎn)H，則四邊形為矩形，有，，求得，對(duì)應(yīng)有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：①∵點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱∴垂直平分，，且，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴②過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，如下圖：則∵，∴，∵，由①可知，，，∴∴，∴在中，，∴，即．（2）由對(duì)稱性得，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，則,∴E為的中點(diǎn)，∵，∴，過點(diǎn)A作，且，則四邊形為平行四邊形，∴，，∴的最小值就等于，∴當(dāng)點(diǎn)G，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，∵，∴，過點(diǎn)G作交于點(diǎn)Q，作交延長線于點(diǎn)H，則四邊形為矩形，∴，，∵，，∴，∵，∴，，∴，則的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉正方形和等腰三角形的性質(zhì)，作出輔助線和利用動(dòng)態(tài)的思想找到對(duì)應(yīng)的最小值．26．(1)見解析(2)【分析】（1）先利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出，根據(jù)菱形的判定即可證明．（2）由菱形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理得出，利用平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)菱形的性質(zhì)求菱形的面積即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴∵，∴．∴四邊形是菱形．（2）∵四邊形是菱形，∴．∴在中，，，，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握菱形的判定定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了垂直的定義、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等