2025年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-幾何模型之旋轉(zhuǎn)模型1．一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖①所示的位置擺放（點，，在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：(1)將正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖②），還能得到嗎？若能，請給出證明，請說明理由；(2)把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖③），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時，；(3)如圖④，把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，請直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系．2．問題背景：已知的頂點在的邊上（不與，重合）．交所在直線于點，交所在直線于點．記的面積為，的面積為．

（1）初步嘗試：如圖①，當(dāng)是等邊三角形，，，且，時，則；類比探究：在（1）的條件下，先將點沿平移，使，再將繞點旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，求的值；（2）延伸拓展：當(dāng)為等腰三角形時，設(shè)．（Ⅰ）如圖③，當(dāng)點在線段上運動時，設(shè)，，則的表達(dá)式為（結(jié)果用，和的三角函數(shù)表示）．（Ⅱ）如圖④，當(dāng)點在的延長線上運動時，設(shè)，，求的表達(dá)式，寫出解答過程．3．（1）如圖1，在中，，，，點D、E分別在邊CA，CB上，且，，連接AE，BD，F(xiàn)為AE的中點，連接CF交BD于點G，則線段CG所在直線與線段BD所在直線的位置關(guān)系是什么？請說明理由.（2）將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.（3）將繞點C逆時針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，D，E三點在同一條直線上時，求CF的長.4．已知：如圖①，在矩形中，，，，垂足是E．點F是點E關(guān)于的對稱點，連接．

(1)求和的長；(2)若將沿著射線方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點B沿方向所經(jīng)過的線段長度）．當(dāng)點F分別平移到線段上時，求出相應(yīng)的m的值．(3)如圖②，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點P，與直線交于點Q．當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出的長．5．綜合與實踐圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，在研究三角形的旋轉(zhuǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)下列問題：如圖1，在中，，，D，E分別為，邊上一點，連接，且，將繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．(1)觀察猜想若，將繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系為；(2)類比探究若，將繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，，相交于點O，猜想，滿足的位置關(guān)系，并說明理由；(3)拓展應(yīng)用如圖4，在（2）的條件下，連結(jié)，分別取，，的中點M，P，N，連結(jié)，，，若，，請直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中面積的最大值．6．在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型∶它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．如圖①，在中，，點D，E分別在邊上，，連接，M是的中點，連接．

(1)觀察猜想請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)類比探究將圖①中繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)解決問題若，將圖①中的繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，請直接寫出的最大值與最小值．7．【特例感知】（1）如圖，已知和是等邊三角形，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系是______；【類比遷移】（2）如圖，和是等腰直角三角形，，寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展運用】（3）如圖，若，點是線段外一動點，，連接．若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，求出的最大值．8．綜合與實踐在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)探索活動．其中老師給同學(xué)們提供的學(xué)具有：等腰直角三角尺、若干四邊形紙片．(1)【操作判斷】將四邊形紙片與等腰直角三角尺按如圖放置，三角尺的邊，分別與四邊形的邊，交于，兩點，經(jīng)測量得，．小明將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，此時點與點重合，點的對應(yīng)點為，通過推理小明得出了．根據(jù)以上信息，請?zhí)羁眨孩伲虎诰€段，，之間的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)【遷移探究】小明將四邊形紙片換成了圖中的形狀，若，，，，分別在，上，且，線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立，寫出證明過程；若不成立，請舉反例說明；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，已知，，，小明以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針轉(zhuǎn)動等腰直角三角尺，其中射線，分別交射線于點，，當(dāng)點恰好為線段的三等分點時，請直接寫出的長．9．如圖，在平而直角坐標(biāo)系，點A、B的坐標(biāo)分別為，，且，將點B向右平移24個單位長度得到C．

(1)求A,B兩點的坐標(biāo)：(2)點P，Q分別為線段，兩個動點，P自B點向C點以2個單位長度/秒向右運動，同時點Q自A點向O點以4個單位長度/秒向左運動，設(shè)運動的時間為t，連接，當(dāng)恰好平分四邊形的面積時，求t的值：(3)點D是直線上一點，連接，作，邊與的延長線相交于點E，平分平分，當(dāng)點Q運動時，的度數(shù)是否變化?請說明理由．10．如圖，在中，，，，點為邊的中點，點為上一點，，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，以和為邊作正方形．(1)________．(2)當(dāng)正方形面積最小時，求的值．(3)當(dāng)點落在內(nèi)部時，求的取值范圍．(4)連接，當(dāng)與的某一邊垂直時，直接寫出的值．11．已知，在中，，，E是邊上一點．(1)如圖1，點D是邊上一點，連接，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接．若，，求的面積；(2)如圖2，連接，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，取的中點N，連接．證明：；(3)如圖3，已知，連接，P為上一點，在的上方以為邊作等邊，剛好點Q是點P關(guān)于直線的對稱點，連接，當(dāng)取最小值的條件下，點G是直線上一點，連接，將沿所在直線翻折得到（與在同一平面內(nèi)），連接，當(dāng)取最大值時，請直接寫出的值．12．在中，，是上一點．(1)如圖1，是中點，，，，求線段的長度；(2)如圖2，，點在線段上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點，當(dāng)時，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在上，點在上，，連接，若，直接寫出的最小值．13．在和中，，，，若，．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，連接，求；(2)如圖2．將圖1中繞著點旋轉(zhuǎn)，使點在的內(nèi)部，連接，．線段，相交于點，且，此時_______；(3)如圖3，在繞著點旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點落在線段上時，過點作交直線于點，直接寫出的面積．14．在中，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，若，，，求線段的長度．(2)如圖2，點為線段的中點，連接，若，猜想，，的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，當(dāng)時，過點作射線的垂線，垂足為點．點為直線上的一個動點，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，取的中點為點，連接，當(dāng)線段取得最小值時，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，過點作線段的垂線，垂足為點，連接，直接寫出的值．15．旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決實際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究：和均為等腰直角三角形，，點為中點，將繞點旋轉(zhuǎn)，連接、．觀察猜想：（1）如圖1，在旋轉(zhuǎn)過程中，與的位置關(guān)系為______；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當(dāng)點、在內(nèi)且、、三點共線時，試探究線段、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解決問題：（3）若中，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)且、、三點共線時，直接寫出的長．參考答案1．(1)能得到，證明見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）由可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）證明，即可得解．【詳解】（1）解：能得到．證明：∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：當(dāng)時，．理由：∵，∴，∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在和中，，∴，∴；（3）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）；類比探究：；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ），過程見解析【分析】（1）如圖，過點作于點，過點作于點，首先證明，都是等邊三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)和三角形面積公式可得，，即可求出；類比探究：如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，證明，可得，即，推出，然后由，，即可求出的值；（2）（Ⅰ）如圖，如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，證明，推出，，，即可求出的值；（Ⅱ）結(jié)論不變，解答方法類似．【詳解】解：（1）如圖，過點作于點，過點作于點，∵是等邊三角形，，，∴，，∴，∵，∴，，∴，都是等邊三角形，∵，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，故答案為：；

類比探究：如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，∵，，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為；

（2）（Ⅰ）如圖，如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，∵是等腰三角形，，，，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為，故答案為：；

（Ⅱ）如圖，過點作于點，過點作于點，設(shè)，，∵是等腰三角形，，，，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為．

【點睛】本題考查幾何變換綜合題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．3．（1）．理由見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）或．【分析】（1）延長到點，使得，連接，先證明（），然后證明，再根據(jù)余角的性質(zhì)，即可得到結(jié)論成立；（2）延長到點，使得，連接，證明方法與（1）相同，先證明（），然后證明，再根據(jù)余角的性質(zhì)，即可得到結(jié)論成立；（3）由題意可知，當(dāng)點、、三點在同一條直線上時，可分為兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點在線段上時；②當(dāng)點在線段的延長線上時；分別求出的長度，即可得到答案．【詳解】解：（1）延長到點，使得，連接，如圖1，，，，，，，，，點是的中點，，，，（），，，，；，，；，，，．故答案為：．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立；理由如下：延長到點，使得，連接，如圖2,點為的中點，，，（）；，，；，；，，，，；，，，．（3）由題意可知，當(dāng)點、、三點在同一條直線上時，可分為兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點在線段上時，延長到點，使得，連接，如圖，由（）可知，，，在中，，，；在中，，，；在中，，，；；②當(dāng)點在線段的延長線上時，延長到點，使得，連接，如圖4，由①可知，，，，，．綜上所述，的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，運用分類討論的思想進(jìn)行分析．4．(1)，(2)當(dāng)點落在上時，，當(dāng)點落在上時，(3)的長度分別為2或或或．【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫出圖形，如圖所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰有4種情形，分別畫出圖形，對于各種情形分別進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，在中，，，由勾股定理得：，，，∵點F是點E關(guān)于的對稱點，，，，，在中，，，由勾股定理得：．（2）解：設(shè)平移中的三角形為，如圖所示：

由對稱點性質(zhì)可知，．，由平移性質(zhì)可知，，，．①當(dāng)點落在上時，，，，，即；②當(dāng)點落在上時，，，，，，又易知，為等腰三角形，，，即；（3）解：存在．理由如下：在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰依次有以下4種情形：①如圖所示，點Q落在延長線上，且，則，

，，，，，．在中，由勾股定理得：．；②如圖所示，點Q落在上，且，則，

，，，則此時點落在邊上．，，，．在中，由勾股定理得：，即：，解得：，；③如圖所示，點Q落在上，且，則．

，，．，．，，，，．在中，由勾股定理得：，；④如圖所示，點Q落在上，且，則．

，，，，，．綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q，使為等腰三角形；的長度分別為2或或或．【點睛】本題是四邊形綜合題目，主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點；第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論．5．(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“”可證，即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和“”可證，可得，由外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）先證明是等腰直角三角形，可得，則當(dāng)點A，點D，點B三點共線時，有最大值，即可求面積最大值．【詳解】（1）解：如圖1，，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)得:,,在和中，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖，設(shè)與的交點為點P，繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，，，，在和中，，，，是的外角，也是的外角，，，；（3）解：M，P，N分別是，，的中點，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，∴當(dāng)點A，點D，點B三點共線時，有最大值，即面積有最大值，的最大值為，面積的最大值為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形的外角性質(zhì)，掌握“手拉手”型的旋轉(zhuǎn)模型、線段和最值問題的解法，靈活運性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．6．(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，證明見解析(3)的最大值為3，最小值為1【分析】（1）證明，得到，由，推出，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論；（2）延長至點F，使，連接，證明，為的中位線，即可證明結(jié)論；（3）利用（1）（2）的結(jié)論可知，當(dāng)取最大值或最小值時，也取相應(yīng)的最大值或最小值，當(dāng)B，C，D三點共線時，可取最大值或最小值，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】（1）解：∵∴∴∵M(jìn)是的中點∴∴又∵∴∵∴∴；（2）證明：（1）中的結(jié)論仍然成立，證明過程如下如圖①，延長至點F，使，連接，∵∴∴∴∵M(jìn)是的中點，∴為的中位線，∴又∵∴∵，∴，∴；（3）解：的最大值為3，最小值為1如圖②和圖③，利用（1）（2）的結(jié)論可知，當(dāng)取最大值或最小值時，也取相應(yīng)的最大值或最小值，當(dāng)B，C，D三點共線時，可取最大值或最小值，的最大值為，的最大值為3；的最小值為，的最小值為1【點睛】本題是三角形綜合題，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）通過證明，可得結(jié)論；（3）通過證明，可得，則點的運動路線是以為圓心，為半徑的圓，即可求解．【詳解】解：（1）線段與的數(shù)量關(guān)系是：．理由：∵和是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）．理由：∵和是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，∴；（3）如圖，過點作，且，連接，，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴點的運動路線是以為圓心，為半徑的圓，∴當(dāng)在的延長線上時，的值最大，最大值為：，∴的最大值為．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題．8．(1)①；②(2)仍然成立，證明見解析(3)或【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，由等腰直角三角形的性質(zhì)，繼而得到，即可得解；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線段的和差求解即可；（2）將繞點旋轉(zhuǎn)順時針得，與重合，根據(jù)題意證明出，得到，進(jìn)而求解即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況討論：和，首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：①∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：；②繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，，，∴，即，，三點共線，∵，，∴，在和中，，∵，∴，∴，故答案為：；（2）仍然成立．證明：∵，∴如圖所示，將繞點旋轉(zhuǎn)順時針得，與重合，∴，，，，又∵，∴，即，，三點共線，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；（3）解：如圖所示，當(dāng)時，∵，，∴，，∴，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∴，由（1）得，∴，∴，∴設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴；如圖所示，當(dāng)時，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，則，由（1）得，∴，∴設(shè)，則，∴在中，，∴，解得：，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題是旋轉(zhuǎn)變換綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．(1)，(2)(3)或，理由見解析【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出a、b的值即可得到答案；（2）根據(jù)平分四邊形的面積，即可得到根據(jù)梯形面積公式即可得到，然后列式求解即可得到答案；（3）分三種情況：當(dāng)D在線段的延長線上時；當(dāng)D在線段的延長線上時；當(dāng)D在線段上時；利用角平分線的定義求解即可.【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，解得：∴，；（2）解：∵點B向右平移24個單位長度得到C，∴，設(shè)，，，，∵平分四邊形的面積，∴∴∴∴解得；（3）解：當(dāng)點Q運動時，的度數(shù)有變化，理由如下：如圖，當(dāng)D在線段的延長線上時，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴；

同理求得當(dāng)D在線段的延長線上時，；

當(dāng)點D在線段上時，

∵平分，平分，∴，，設(shè)∵∴，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根和絕對的非負(fù)性，梯形面積公式，角平分線的定義，利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.10．(1)(2)2(3)(4)或【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，畫出對應(yīng)圖形，運用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解答的關(guān)鍵．（1）先利用勾股定理求得，再利用正弦定義求解即可；（2）過D作于H，則，利用銳角三角函數(shù)求得的值；根據(jù)正方形的面積公式和垂線段最短得到當(dāng)時，最小，此時，正方形的面積最小，點E與H重合，進(jìn)而可求解；（3）分當(dāng)點F在邊上時和當(dāng)F在邊上時，畫出圖形，利用全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)求解即可；（4）分當(dāng)對角線，，時，畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義分類討論求解即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴，∴，故答案為：；（2）解：過D作于H，則，∵，，∴，∵四邊形是正方形，∴正方形面積，當(dāng)時，最小，此時，正方形的面積最小，點E與H重合，∴，即當(dāng)正方形面積最小時，的值為2；（3）解：當(dāng)點F在邊上時，如圖，則，即，由（2）知；當(dāng)F在邊上時，如圖，過D作于H，則，，∴，∴，∴，∵，∴，即，由得，故當(dāng)點落在內(nèi)部時，的取值范圍為；（4）解：當(dāng)對角線于H時，如圖，則E、G在上，∴，，此時；當(dāng)對角線時，如圖，設(shè)與交于M，則，，∴過E作于N，則四邊形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，由得；當(dāng)對角線時，∵正方形的對角線，互相垂直且平分，為上一點，∴點E與C重合，點G與點A重合，∴，但，點為邊的中點，∴，∴不符合題意，故舍去，綜上，滿足條件的x值為或．11．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明，可得，由三角形的面積公式可求解；（2）作輔助線如解析圖，證明，可得，進(jìn)一步可得，證明，可得，從而可得結(jié)論；（3）作輔助線如解析圖，可得當(dāng)點，P，N三點共線時，有最小值，由折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而得點K在以C為圓心，為半徑的圓上運動，可得當(dāng)點K落在的延長線上時，有最大值，然后由直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：如圖1，過點F作直線于H，

∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，∴，∵，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴的面積；（2）證明∶如圖2，過點M作，交直線于點G，過點E作，交于Q，

∵，∴，∵點N是的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，作點C關(guān)于的對稱點，連接，

∵點Q是點P關(guān)于直線的對稱點，∴平分垂直平分，∵是等邊三角形，∴，∴，∵點C與點關(guān)于對稱，∴，∴，∴為等邊三角形，∵，∴當(dāng)點，P，N三點共線時，有最小值，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點K在以C為圓心，為半徑的圓上運動，∴當(dāng)點K落在的延長線上時，有最大值，∵為等邊三角形，，∴垂直平分，∵，∴，∵，，∴，，

∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，確定點P的位置是解題的關(guān)鍵．12．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）過點E作交于點G，由題意得到，利用勾股定理得到，根據(jù)是中點，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的長；（2）延長，在延長線上截取，取的中點Q，連接，證明，得到，設(shè)，則，根據(jù)點C，Q分別為的中點推出，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出結(jié)論；（3）連接，取的中點P，連接，將繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點P作，交于點S，交于點T；根據(jù)是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，則，由題意證明，得到，進(jìn)而得到，是等腰直角三角形，推出，，此時當(dāng)點N與點T重合時，有，有最小值，則有最小值，最后根據(jù)，利用銳角三角函數(shù)求解出的長即可得出的長，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過點E作交于點G，

，，，即，，，即，，，是中點，，，，是等腰三角形，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，延長，在延長線上截取，取的中點Q，連接，

線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，設(shè)，則，點C，Q分別為的中點，，，，是等腰三角形，，，，即；（3）解：如圖，連接，取的中點P，連接，將繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點P作，交于點S，交于點T；

是等腰直角三角形，點P是的中點，，，，，，，則，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，如圖，此時當(dāng)點N與點T重合時，有，有最小值，則有最小值，

，在中，，，，都是直角三角形，，，設(shè)，則，，，，，，，即，解得：，，．【點睛】本題考查了三角形綜合問題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三角形，正確構(gòu)造輔助線，證明三角形全等和構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)(3)的面積為或【分析】（1）過點B作，交的延長線于點F，求出,，即可求出的值；（2）過點D作于點H，過點A作于點G，連結(jié)，先證明，得到，進(jìn)一步推得，然后證明，得到，可知點D在上，由此即可得到答案；（3）當(dāng)點E在左上方時，過點C作于點M，過點E作于點N，延長交于點T，設(shè)交于點，利用和逐步求出，，，求得，的值，最后再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）如圖1，過點B作，交的延長線于點F，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，；（2）如圖2，過點D作于點H，過點A作于點G，連結(jié)，，，，，，，，，，，，，，，又，，，點D在上，，，故答案為：．（3）當(dāng)點E在右下方時（如圖3），過點C作于點M，過點E作于點N，延長交于點T，設(shè)交于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得；當(dāng)點E在右下方時（如圖4），同理可求得，，，，；綜上所述，的面積為或．

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義等知識，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．14．(1)(2)(3)【分析】（1）過點作于，解求得和，解求得和，進(jìn)一步得出結(jié)果；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接、，可推出是直角三角形，進(jìn)而得出，結(jié)合推出，