第1頁/共1頁2024北京初二（下）期末數學匯編平行四邊形（解答題）一、解答題1．（2024北京順義初二下期末）如圖，在四邊形中，，．求證：四邊形是平行四邊形．2．（2024北京門頭溝初二下期末）如圖，在中，點M，N分別在邊，上，且，，相交于點O．求證：．

3．（2024北京順義初二下期末）已知：△ABC，．求作：邊的中線作法：①以點為圓心，的長為半徑作弧；以點為圓心，的長為半徑作弧；兩弧相交于點（點在直線的上方）；②連接，，；③交于點．所以為邊的中線(1)使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：，，______（____________）（填推理的依據）．為中點（____________）（填推理的依據）．為邊的中線4．（2024北京石景山初二下期末）工藝美術中常需要設計幾何圖案．如圖，在的正方形網格中，已確定三個格點，，的位置，需要在圖中確定點，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形．為了精準刻畫點的位置，需建立平面直角坐標系．若點，．(1)請畫出平面直角坐標系；(2)在圖中描出點的位置，并寫出所有符合條件的點的坐標．5．（2024北京石景山初二下期末）已知：如圖，BD為的對角線，，為直線BD上兩點，且．求證：．6．（2024北京延慶初二下期末）在數學課上，老師布置以下思考題：已知：△ABC，點D為的中點．求作：線段，使．

小智結合所學知識思考后，作法如下：①分別以點A，C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點M，N；②作直線，直線交于點E；③連接．所以就是所求作的線段．(1)請你利用直尺和圓規，依據小智的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)請回答，小智尺規作圖得到的依據是________________________．7．（2024北京房山初二下期末）如圖，B，D是對角線EF上兩點，．求證：四邊形是平行四邊形．8．（2024北京豐臺初二下期末）如圖，在中，分別過點B，D作的垂線，垂足為E，F．求證：．9．（2024北京二中初二下期末）如圖，E、F是平行四邊形的對角線上的點，若，求證：．10．（2024北京海淀初二下期末）如圖1，和是的對角線，．點為射線上的一點，連接．(1)當點在線段的延長線上，且時，①依題意補全圖1；②求證：；(2)如圖2，當點在線段上，且時，用等式表示線段，和的數量關系，并證明．11．（2024北京海淀初二下期末）已知：如圖1，．求作：．作法：①作的平分線；②以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點，作射線；③以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點，連接；∴四邊形為所求．(1)使用直尺和圓規，依作法在圖2中補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面證明．∵，∴________，∵是的平分線，∴，∴________，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（___________）（填推理的依據）．12．（2024北京海淀初二下期末）如圖，在中，點為對角線上的兩個點，且，求證：．13．（2024北京朝陽初二下期末）數學課上老師提出一個命題：如果四邊形和都是平行四邊形，則四邊形也是平行四邊形．下面是某同學根據自己畫出的圖形給出的證明過程．證明：因為是平行四邊形，所以．又因為也是平行四邊形，所以．所以．即．所以四邊形是平行四邊形．討論后大家發現這個證明過程存在問題(1)請說明該同學證明中出現的問題；(2)給出正確的證明．14．（2024北京昌平初二下期末）如圖，平行四邊形中，點E，F分別在的延長線上，且，連接．求證：．15．（2024北京昌平初二下期末）數學課上，發現結論“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”后，張明同學又提出一個新的問題：過三角形一邊中點，且平行于另一邊的直線，是否會過第三邊的中點呢？為研究此問題，同學們進行了作圖，并將問題進行如下轉述．已知：在△ABC中，點D是中點，過點D作，交于點E．求證：．以下是兩位同學給出的輔助線做法，請你選擇其中一種做法，補全圖形，完成證明．張明同學：作輔助線：延長到點F，使得，連接．李宏同學：作輔助線：過點E作，交于點F．16．（2024北京東城初二下期末）如圖，平行四邊形的對角線，BD相交于點O，E、F分別是、的中點．求證：．

17．（2024北京大興初二下期末）如圖，在中，，垂足分別為E，F．求證：．18．（2024北京通州初二下期末）如圖，已知，相交于點O，延長到點E，使，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，交于點F，連接，判斷與的數量關系，并說明理由．19．（2024北京燕山初二下期末）如圖，在中，對角線相交于點O，E，F分別是中點．求證：四邊形是平行四邊形．

參考答案1．見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據平行線的判定定理證明，，即可得出四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：，，，，，，四邊形是平行四邊形．2．證明見解析．【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定以及性質，由平行四邊形的性質可得出,．進一步得出，；．利用證明，由全等三角形的性質可得出．【詳解】證明：∵是平行四邊形，∴，．∵，∴．∴．∵，∴；．在和中，∴．∴．3．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查尺規作圖、平行四邊形的判定和性質：（1）根據所給作法作圖即可；（2）根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”“平行四邊形的對邊線互相平分”即可證明．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：補充完整的證明過程如下：證明：，，四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．為中點（平行四邊形的對邊線互相平分）．為邊的中線．4．(1)見解析；(2)或或．【分析】本題主要考查了坐標與圖形，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．（1）根據點，建立平面直角坐標系即可；（2）根據平行四邊形的判定描出點的位置，從而即可得出點的坐標．【詳解】（1）解：畫出平面直角坐標系如圖所示，（2）解：點的位置如圖所示，由圖可知，點的坐標為0,1或或．5．見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質應用以及全等三角形的判定及性質，準確證明三角形全等是解題的關鍵．通過平行四邊形的性質應用證的，即可得到結果；【詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，，，，∵，．6．(1)詳見解析(2)三角形的中位線平行于第三邊【分析】（1）根據小智的作法補全圖形補全圖形即可；（2）由垂直平分線的概念得到點E是的中點，然后證明出是的中位線，進而證明．【詳解】（1）如圖所示，

（2）由作圖可得，垂直平分∴點E是的中點∵點D為的中點∴是的中位線∴∴的依據是三角形的中位線平行于第三邊．7．證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，作出輔助線證出是解題的關鍵．連接交于點，根據平行四邊形的對角線互相平分可得，，然后求出，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】證明：連接，交于點O，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．8．見解析【分析】本題主要考查平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，掌握證三角形全等，是解題的關鍵．首先根據平行四邊形的性質得到，，求出，然后證明出，即可得到．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．9．證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，先根據平行四邊形的性質得，，可得，結合，進而證明，最后根據“全等三角形的對應邊相等”得出答案．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．∵，∴，∴．10．(1)①見解析；②見解析(2)，證明見解析．【分析】本題考查了平行四邊形的性質、三角形全等的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角的定義及性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）①根據題意補全圖形即可；②由等邊對等角得出，由平行四邊形的性質得出，推出，證明，即可得證；（2）延長至點，使得，連接，由全等三角形的性質可得，由三角形外角的定義及性質得出，從而推出，即可得證．【詳解】（1）解：①依題意補全圖形

②證明：∵，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴∴．∵，∴∵，∴．在和中，，∴∴．（2）解：線段，和的數量關系為．證明：延長至點，使得，連接．由（1）②可得∴．∵，∴．∵，∴．∴．．11．(1)見解析(2)；；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【分析】本題考查尺規作圖——作角平分線及平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題關鍵．（1）根據題意，補全圖形即可；（2）根據角平分線的定義及平行四邊形的判定定理即可得答案．【詳解】（1）解：補全圖形如圖所示：（2）∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．12．證明見解析．【分析】本題考查了平行線的性質、三角形全等的判定與性質，由平行線的性質得出，．證明得出，即可得證，熟練掌握平行線的性質以及三角形全等的判定與性質是解此題的關鍵．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．

∴．∵，∴.

在與中，，∴．

∴．13．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定：（1）題中并沒有指明三點共線，三點共線，則無法證明；（2）由平行四邊形對邊相等且平行得到，，進而得到，由此即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）解：∵題中并沒有指明三點共線，三點共線，∴由并不能得到；（2）證明：因為是平行四邊形，所以．又因為也是平行四邊形，所以．所以．所以四邊形是平行四邊形．14．見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．先證明四邊形是平行四邊形，從而得到，從而即可得出結論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵點E，F分別在邊上，，∴，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．15．見詳解【分析】本題主要考查了平時四邊形的判定以及性質，全等三角形的判定以及性質，平行線的性質．張明同學：延長到點F，使得，連接．先證明，利用全等三角形的性質可得出，，進一步證明四邊形是平時四邊形，由平行四邊形的性質可得出，等量代換可得出．李宏同學：過點E作，交于點F．先證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得出，進一步證明，再證明，由全等三角形的性質即可得出答案．【詳解】張明同學：證明：延長到點F，使得，連接．∵點D是中點，∴，在和中，∴，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平時四邊形，∴，∴．李宏同學：證明：過點E作，交于點F．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點D是中點，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．16．見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．根據平行四邊形的性質對角線互相平分得出，，利用中點的定義得出，從而利用平行四邊形的判定定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定是平行四邊形，從而得出．【詳解】證明：連接DE，，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形,∴,∵分別是的中點,，∴,∴是平行四邊形，∴.17．見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質，先根據平行四邊形的性質和垂直定義得到，，，進而證明，然后利用全等三角形的對應邊相等可得結論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，,∵，，∴，在和中，，∴，∴．18．(1)見解析(2)，見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，三角形中位線定理：（1）根據平行四邊形的性質可得，再由，可得，即可求證；（2）根據