第1頁(yè)/共1頁(yè)2022-2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編三角函數(shù)的應(yīng)用一、單選題1．（2022北京石景山高一下期末）石景山游樂(lè)園“夢(mèng)想之星”摩天輪采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡(jiǎn)約.“夢(mèng)想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為分鐘，配有個(gè)球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過(guò)即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過(guò)程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023北京第九中學(xué)高一下期末）一半徑為的水輪，水輪圓心距離水面2，已知水輪每分鐘按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈，當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，即從圖中點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.將點(diǎn)距離水面的高度(單位：)表示為時(shí)間(單位：)的函數(shù)，則此函數(shù)表達(dá)式為A． B．C． D．3．（2023北京海淀高一下期末）海洋中的波動(dòng)是海水的重要運(yùn)動(dòng)形式之一．在外力的作用下，海水質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)其平衡位置做周期性或準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)，由于流體的連續(xù)性，必然帶動(dòng)其鄰近質(zhì)點(diǎn)，從而導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學(xué)導(dǎo)論》馮士筰李風(fēng)岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學(xué)小組的同學(xué)為了研究海水質(zhì)點(diǎn)在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)數(shù)據(jù)采集和分析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)海水質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間段相對(duì)于海平面的位移（米）與時(shí)間（秒）的關(guān)系近似滿(mǎn)足，其中常數(shù)．經(jīng)測(cè)定，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)波峰，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第三次到達(dá)波峰．在時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于海平面的位移不低于0.5米的總時(shí)長(zhǎng)為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒4．（2023北京平谷高一下期末）如圖，單位圓上角的始邊為軸正半軸，終邊射線(xiàn)交單位圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，將點(diǎn)到射線(xiàn)的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

5．（2023北京東城高一下期末）如圖，質(zhì)點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，的角速度大小為，起點(diǎn)為射線(xiàn)與的交點(diǎn)．則當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．（2024北京昌平高一下期末）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：）的部分記錄表.時(shí)間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來(lái)描述.試估計(jì)13：00的水深值為（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67二、填空題7．（2023北京第九中學(xué)高一下期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(如圖).假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)有一半徑為2米的筒車(chē)，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，筒車(chē)上一盛水簡(jiǎn)M距離水面的高度H(單位：米)與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t(單位：秒)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，且時(shí)，盛水筒M與水面距離為2.25米，當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)100秒后，盛水筒M與水面距離為米.8．（2022北京第十二中學(xué)高一下期末）一半徑為4m的水車(chē)，水車(chē)圓心距離水面2m，已知水車(chē)每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)（按逆時(shí)針?lè)较颍?圈，當(dāng)水車(chē)上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，即從圖中點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)離水面的高度是m.9．（2023北京石景山高一下期末）水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類(lèi)的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類(lèi)利用自然和改造自然的象征.如圖，一個(gè)半徑為米的水車(chē)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)水輪上一點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)秒后，水車(chē)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn).給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)距水面的最大距離為米；③當(dāng)秒時(shí)，；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.10．（2024北京東城高一下期末）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間t（單位：h）的變化近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：，，a，b為正實(shí)數(shù)，若，，則該實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差為；若該實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差為10，則的最大值為．三、解答題11．（2024北京北師大附中高一下期末）某玩具廠(chǎng)為測(cè)試一款可升降玩具炮臺(tái)的性能，建立了如下的數(shù)學(xué)模型：①如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，炮口A的坐標(biāo)為，炮臺(tái)從炮口向右上方發(fā)射玩具彈，發(fā)射仰角為，初速度；②設(shè)玩具彈在運(yùn)行過(guò)程中t（單位：s）時(shí)刻的橫縱坐標(biāo)分別為（單位：m），且滿(mǎn)足；③玩具彈最終落在點(diǎn).根據(jù)上述模型，解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)時(shí).（i）若時(shí)，玩具彈剛好落在點(diǎn)，求及此次的發(fā)射仰角θ的值；（ii）求的最大值及此時(shí)的發(fā)射仰角θ；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.12．（2022北京海淀高一下期末）正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的信號(hào)，復(fù)雜的信號(hào)，例如電信號(hào)，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號(hào)的疊加．正弦信號(hào)的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來(lái)描述：，其中表示正弦信號(hào)的瞬時(shí)大小電壓V（單位：V）是關(guān)于時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，而表示正弦信號(hào)的幅度，是正弦信號(hào)的頻率，相應(yīng)的為正弦信號(hào)的周期，為正弦信號(hào)的初相．由于正弦信號(hào)是一種最簡(jiǎn)單的信號(hào)，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號(hào)作為信號(hào)源（輸入信號(hào)）去研究整個(gè)電路的工作機(jī)理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個(gè)運(yùn)算放大器，電路中有四個(gè)電阻，電阻值分別為，，，（單位：Ω）．和是兩個(gè)輸入信號(hào)，表示的是輸出信號(hào)，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關(guān)系為：．例如當(dāng)，輸入信號(hào)，時(shí)，輸出信號(hào)：．(1)若，輸入信號(hào)，，則的最大值為_(kāi)__________；(2)已知，，，輸入信號(hào)，．若（其中），則___________；(3)已知，，，且，．若的最大值為，則滿(mǎn)足條件的一組電阻值，分別是_____________．

參考答案1．C【分析】角速度為，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為，進(jìn)而甲乙在摩天輪上游玩的過(guò)程中他們所在的高度之和，再利用三角函數(shù)值域的研究方法求解即可【詳解】因?yàn)榻撬俣葹椋杂慰蛷碾x地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為，由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過(guò)程中他們所在的高度之和，因?yàn)椋裕裕裕裕此麄兯诘母叨戎偷淖畲笾导s為，故選：C2．A【分析】由圖可知將水輪放入平面直角坐標(biāo)系中,由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】由圖,,則,所以,由水輪每分鐘按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)3圈,可得,則,設(shè),由題代入可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的解析式,考查三角函數(shù)的定義的應(yīng)用.3．C【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出解析式，再由得出總時(shí)長(zhǎng).【詳解】解：因?yàn)槊霑r(shí)該質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)波峰，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第三次到達(dá)波峰．所以，即，當(dāng)時(shí)，，，即，因?yàn)椋?則，由得出或，.即，或，因?yàn)椋?因此該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于海平面的位移不低于0.5米的總時(shí)長(zhǎng)為.故選：C4．B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義、三角形的面積結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可判定.【詳解】由三角函數(shù)定義及的面積可得：，由正弦函數(shù)的圖象可知B項(xiàng)正確.而對(duì)于A、C項(xiàng)，顯然可排除；對(duì)于D項(xiàng)，顯然當(dāng)時(shí)，M與O重合，此時(shí)，可排除.故選：B.5．B【分析】依題意可根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，再由整體代換法即可求出單調(diào)增區(qū)間的表達(dá)式.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，因?yàn)樵趩挝粓A上的角速度大小為，起點(diǎn)為射線(xiàn)與的交點(diǎn)，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)，由，得，又因?yàn)椋裕栽摵瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，.故選：B6．C【分析】觀察表中數(shù)據(jù)求出周期和最大最小值，然后可得，將表中最大值點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得，然后可得所求.【詳解】記時(shí)間為，水深值為，設(shè)時(shí)間與水深值的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)可知，，所以，，所以，又時(shí)，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大約為.故選：C7．0.25【解析】根據(jù)時(shí)，盛水筒到水面的距離，由函數(shù)關(guān)系式，求出，再將代入函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橥曹?chē)上一盛水簡(jiǎn)M距離水面的高度H(單位：米)與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間t(單位：秒)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，且時(shí)，盛水筒M與水面距離為2.25米，所以，則，又，所以，則，因此當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)100秒后，盛水筒M與水面距離為米.故答案為：8．4【分析】根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?4，圓心到水面的距離為2，所以到x軸的距離為2，所以x軸與所成角為，由題知水車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為因?yàn)樗?chē)的半徑為4，設(shè)P點(diǎn)到水面的距離為y，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型有：當(dāng)t=10秒時(shí)，y=4，所以點(diǎn)離水面的高度是4m.故答案為：4.9．①③【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)的高度為，根據(jù)題意求出，得，由可得，①正確；由，得②錯(cuò)誤；根據(jù)秒時(shí)，，為正三角形，可得③正確.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)秒后，點(diǎn)的高度為，則，解得，，因?yàn)樗喢糠昼娹D(zhuǎn)動(dòng)1圈，所以，所以，由，得，因?yàn)椋裕?對(duì)于①，由，得，得，，得，，又因?yàn)椋裕栽谵D(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒.故①正確；對(duì)于②，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)秒時(shí)，，又，所以為正三角形，所以米，故③正確.故答案為：①③.10．4【分析】整理可得，分析可知最大溫差為.若，，直接代入即可；若該實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差為10，可得，利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋业淖钚≌芷冢凑脼橐粋€(gè)滿(mǎn)周期，可知的最大值為，最小值為，可得最大溫差為，若，，則最大溫差；若該實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差為10，即，可得，又因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故答案為：4；.11．(1)（i），；（ii）(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）（i）根據(jù)，求得，進(jìn)而求得；（ii）根據(jù)題意，得，進(jìn)而求得，即可求解；（2）根據(jù)，整理得，再由輔助角公式化簡(jiǎn)得，即可求解.【詳解】（1）（i）當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)椋源舜蔚陌l(fā)射仰角為，；（ii）當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，因?yàn)椋裕詴r(shí)，取得最大值.（2）當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)椋裕?/p>