第1頁/共1頁2022-2024北京重點校高一（下）期末數學匯編正弦定理與余弦定理的應用（人教B版）一、單選題1．（2024北京北師大附中高一下期末）在△中，則△的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形2．（2024北京懷柔高一下期末）已知在△中，，則判斷△的形狀（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．（2024北京順義高一下期末）一個人騎自行車由地出發向東騎行了到達地，然后由地向北偏西60°方向騎行了到達地，此時這個人由地到地位移的大小為，那么的值為（

）A．3 B．6 C．3或6 D．4．（2024北京海淀高一下期末）在△中，已知．則下列說法正確的是（

）A．當時，△是銳角三角形 B．當時，△是直角三角形C．當時，△是鈍角三角形 D．當時，△是等腰三角形5．（2024北京大興高一下期末）如圖，在測量河對岸的塔高AB時，測量者選取了與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點與，并測得，，在點處測得塔頂的仰角為，則塔高=（

）A． B．C． D．6．（2024北京房山高一下期末）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上由正東向正西方向行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上（即）．行駛300m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山頂D相對公路所在平面的高度（

）.A． B．100m C． D．7．（2023北京昌平高一下期末）如圖，測量河對岸的塔高此，選取與塔底在同一水平面內的兩個觀測點與垂直于平面.現測得，并在點測得塔頂的仰角為，則塔高（

）

A． B． C． D．8．（2023北京東城高一下期末）已知長方形墻把地面上兩點隔開，該墻與地面垂直，長10米，高3米．已測得米，米．現欲通過計算，能唯一求得兩點之間的距離，需要進一步測量的幾何量可以為（

）

A．點到的距離 B．長度和長度C．和 D．長度和9．（2022北京海淀高一下期末）△中，分別是所對的邊，若，則此三角形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形10．（2022北京順義高一下期末）年月日起，新版《北京市生活垃圾管理條例》實施，根據該條例：小區內需設置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發，向正東方向走了米，到達可回收垃圾桶，隨后向北偏西方向走了米，到達有害垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走（

）A．米 B．米 C．米 D．米11．（2022北京大興高一下期末）如圖，兩點在河的兩岸，在同側的河岸邊選取點，測得的距離，則兩點間的距離為（

）A． B． C． D．12．（2022北京平谷高一下期末）如圖，設，兩點在河的兩岸，在點所在的河岸邊選定一點，測出的距離為，，后，就可以計算出，兩點的距離為（

）（其中，，精確到）A． B． C． D．13．（2022北京第十二中學高一下期末）如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點，從點測得點的仰角，點的仰角，，從點測得．已知山高，則山高（單位：）為（）A． B． C． D．二、填空題14．（2024北京海淀高一下期末）一名學生想測算某風景區山頂上古塔的塔尖距離地面的高度，由于山崖下河流的阻礙，他只能在河岸邊制定如下測算方案：他在河岸邊設置了共線的三個觀測點A，B，C（如圖），相鄰兩觀測點之間的距離為200m，并用測角儀器測得各觀測點與塔尖的仰角分別為,,,根據以上數據，該學生得到塔尖距離地面的高度為m．15．（2023北京懷柔高一下期末）神舟十五號返回艙于北京時間2023年6月4日6時在東風著陸場成功著陸，著陸地點在航天搜救隊A組北偏東的方向60公里處，航天搜救隊B組位于A組東偏南的方向80公里處，則航天搜救隊B組距著陸點公里．16．（2023北京房山高一下期末）如圖所示，在傾斜角等于的山坡上有一根旗桿，當太陽的仰角是時，旗桿在山坡上的影子的長是30米，則旗桿的高等于米.

17．（2022北京順義高一下期末）一次數學實踐活動課的任務是測量操場上的國旗的高度，小明測量的數據如下：在水平地面上選取兩點，旗桿的底端為，在點處測得旗桿頂端的仰角為，兩點距離為，，.則小明測得旗桿的高度為（用表示）.18．（2022北京朝陽高一下期末）如圖，某濕地為拓展旅游業務，現準備在濕地內建造一個觀景臺D．已知濕地夾在公路之間（的長度均超過），且．在公路上分別設有游客接送點E，F，．若要求觀景臺D建在E，F兩點連線的右側，并在觀景臺D與接送點E，F之間建造兩條觀光線路與，，則觀光線路與之和最長為．19．（2022北京房山高一下期末）如圖，甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船海里的處，乙船以每小時海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時海里的速度由A處向南偏西方向行駛，則經過小時后，甲、乙兩船相距最近．三、解答題20．（2024北京通州高一下期末）在△中，角所對的邊為，△的面積為S，且．(1)求角；(2)若，試判斷△的形狀，并說明理由．21．（2024北京大興高一下期末）記△的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求；(2)若．（i）再從條件①，條件②，條件③中選擇一個條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．（ii）求△周長的取值范圍．22．（2023北京延慶高一下期末）已知△中，.(1)求；(2)求；(3)求的面積.23．（2023北京大興高一下期末）在△中，，是邊上的點，，．(1)求的大??；(2)求的值；(3)求的面積．24．（2023北京房山高一下期末）某城市計劃新修一座城市運動主題公園，該主題公園為平面五邊形（如圖所示），其中三角形區域為兒童活動場所，三角形區域為文藝活動場所，三角形區域為球類活動場所，為運動小道（不考慮寬度），，，.

(1)求的長度；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求的長度；(3)在（2）的條件下，應該如何設計，才能使兒童活動場所（即三角形）的面積最大？條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.25．（2023北京通州高一下期末）已知△中，．(1)求A的大??；(2)若D是邊AB的中點，且，求的取值范圍，26．（2022北京第十二中學高一下期末）已知△中，點在邊上，，，(1)若，求的值；(2)求的最小值.27．（2022北京西城高一下期末）在△中，，，從①；②；③這三個條件中任選一個作為題目的已知條件.(1)求的值；(2)求△的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

參考答案1．C【分析】根據給定條件，求出，再利用余弦定理推理判斷即得.【詳解】在△中，，則，由余弦定理得，即，而，于是，即，所以△是等邊三角形.故選：C2．C【分析】利用余弦定理可得答案.【詳解】由余弦定理得，所以，可得，所以△是直角三角形.故選：C.3．C【分析】根據給定條件，作出圖形，利用余弦定理列式求解即得.【詳解】在△中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或.故選：C

4．B【分析】根據邊長應用正弦定理計算分別判斷各個選項.【詳解】對于A:因為由正弦定理,當時，△是鈍角三角形,當時，△是鈍角三角形,A選項錯誤；對于B:因為,由,所以△是直角三角形,B選項正確；對于C:因為,由當時，,△是銳角三角形,C選項錯誤；對于D:因為,由,,,因為，所以△不是等腰三角形,D選項錯誤；故選：B.5．C【分析】先根據正弦定理求得，進而在中，利用求解．【詳解】在中，，，則，由正弦定理得，所以.在中，，所以.故選：C.6．C【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.【詳解】由題意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，從而.故選：C.7．C【分析】根據給定條件，利用正弦定理，結合等腰三角形的性質求解作答.【詳解】在中，，則，由正弦定理得：，于是，在中，，因此，所以塔高故選：C8．D【分析】由已知可知△中三邊是已知的，所以三個角可求解出來，連接，在或中求解，然后逐個分析判斷.【詳解】連接，在△中，，，，所以，所以，，對于A，若測量點到的距離，則在或中只有一條邊長度是已知，無法求解的長，所以A錯誤，對于B，若測量長度和長度，則在中有兩邊長度是已知，或中只有一條邊長度是已知，無法求解的長，所以B錯誤，對于C，若測量和，則在或中只有一條邊是已知，無法求解的長，所以C錯誤，對于D，若測量長度和，則在中，可求出，而，所以由余弦定理得，從而可求出，所以D正確，故選：D

9．D【分析】由正弦定理化邊為角，后由二倍角公式變形，再結合正弦函數性質可得．【詳解】因為，所以由正弦定理可得，即，是△的內角，所以或，所以或，即△是等腰三角形或直角三角形，故選：D．10．A【分析】由三角形中余弦定理即可求解.【詳解】如圖：在中，,由余弦定理得：.故選：A11．D【分析】根據正弦定理求解即可【詳解】因為，故，由正弦定理，，故m故選：D12．C【分析】由正弦定理求解即可【詳解】由題意可知，由正弦定理可知，即，解得，故選：C13．A【分析】計算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可計算出.【詳解】在中，，為直角，則，在中，，，則，由正弦定理，可得，在中，，，.故選：A.【點睛】本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.14．【分析】首先根據幾何關系表示邊長，再根據余弦定理求解.【詳解】由題意可知，，，，，設，則，，，根據，則，解得：所以塔尖距離底面的高度為米.故答案為：15．【分析】根據題意做出數學模型圖，根據余弦定理即可求解.【詳解】

記著陸點為點C，如圖，公里，公里，，，，在中，由余弦定理得，解得公里.故答案為：.16．【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】如圖，，則，，米，由正弦定理，即，解得.

故答案為：17．/【分析】畫出圖形，根據正弦定理求得，再根據等腰直角三角形的性質求得即可【詳解】由題意如圖，因為，故，由正弦定理，故.又，故為等腰直角三角形，故，即旗桿的高度為故答案為：18．4【分析】利用余弦定理得到關于與的方程，借助基本不等式求的最大值.【詳解】在中，；在中，設，由余弦定理可得：，即：，即，因為，所以，，當且僅當時，取到最大值4，即與之和最長為4.故答案為：4.19．【分析】設經過小時后，甲船和乙船分別到達兩點，分別求出，再利用余弦定理結合二次函數的性質即可得解.【詳解】解：設經過小時后，甲船和乙船分別到達兩點，則，，所以，則當時，取得最小值，即取得最小值，此時甲、乙兩船相距最近，所以經過小時后，甲、乙兩船相距最近．故答案為：.20．(1)(2)等腰直角三角形，理由見解析【分析】（1）應用面積公式及余弦定理得出正切進而得出角；（2）先應用正弦定理及兩角和差的正弦公式化簡得出，結合判斷三角形形狀即可.【詳解】（1）在中，因為，則，整理得，且，所以.（2）由正弦定理得,,,,于是,又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.是等腰直角三角形.21．(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角化簡得，計算即得．（2）（i）選擇條件①利用正弦定理計算判斷三角形不唯一；，選擇條件②，利用余弦定理及三角形面積公式計算求解；選擇條件③，利用正弦定理計算判斷，再求出三角形面積；（ii）利用余弦定理及基本不等式計算即可.【詳解】（1）由可得,因為在△中，所以，即，因為B∈0,π，所以.（2）（i）若選條件①，結合（1）及，由正弦定理,可得，則滿足條件的三角形不存在，故不能選條件①，若選條件②：，結合（1）及，由余弦定理，可得，解得，易知，故此時滿足條件的三角形唯一.所以.若選條件③：，結合（1）及，因為,所以為銳角,由,可得，因為在△中所以.易知滿足條件的三角形唯一.由正弦定理,可得,所以.（ii）由余弦定理，可得，結合基本不等式，可得，解得：,當且僅當，原式取等.又在△中易得.所以△周長.△周長的取值范圍為.【點睛】方法點睛：在求解對邊對角模型問題中的周長或面積范圍時常見有2種方法：（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性質，進行適當放縮；（2）利用正弦定理邊化角，轉化為三角函數求值域問題.22．(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求解即可；（3）由三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可得：，即，所以.（2）因為，由余弦定理可得：，即，即，解得：，因為，所以.（3）△的面積.23．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理計算可得；（2）令，依題意可得，表示出，，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式展開，即可求出；（3）首先由利用二倍角公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入求出，最后由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，由余弦定理，又，所以.（2）如圖，令，因為，所以，所以，，，在中，由正弦定理得，即，所以，即，所以，解得，即.

（3）由，所以.24．(1)(2)(3)當時，兒童活動場所（即三角形）的面積最大【分析】（1）在中，利用余弦定理可直接求解；（2）若選①，在中，利用余弦定理構造方程求解；若選②，利用勾股定理直接求解；（3）在中，利用余弦定理，結合基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式即可求得結果.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，.（2）若選條件①，由（1）知：，在中，由余弦定理得：，解得：（舍）或，；若選條件②，，，，，.（3）在中，由余弦定理得：，（當且僅當時取等號），，（當且僅當時取等號），；即當時，兒童活動場所（即三角形）的面積最大.25．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到，即可求出；（2）設，利用正