線性代數(shù)試題及答案下載

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(\vertkA\vert\)=（）A.\(k\vertA\vert\)B.\(k^n\vertA\vert\)C.\(\vertk\vert\vertA\vert\)D.\(\vertk\vert^n\vertA\vert\)3.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=3\)，則\(A\)中（）A.所有3階子式都不為0B.至少有一個3階子式不為0C.所有4階子式都不為0D.至少有一個4階子式不為04.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是三維向量，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2\)5.齊次線性方程組\(Ax=0\)（\(A\)為\(m\timesn\)矩陣）有非零解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=m\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltm\)D.\(r(A)\ltn\)6.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，則\((A^)^{-1}\)=（）A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^\)D.\(\vertA\vertA^\)7.若\(A\)是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.\(\vertA\vert^2=1\)B.\(A^{-1}=A^T\)C.\(A\)的行向量組是正交單位向量組D.\(A\)的列向量組是正交單位向量組8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(\lambda\)滿足（）A.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.\(\vert\lambdaA-E\vert=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.\(\vertA+\lambdaE\vert=0\)9.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)的矩陣是（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\4&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)10.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則下列說法錯誤的是（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(r(A)=r(B)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當\(AB=BA\)時）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可逆的有（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(r(A)=n\)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\lts\)D.向量組中任意一個向量都可由其余向量線性表示4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=b\)為非齊次線性方程組，則（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解C.若\(r(A)=n\)，則方程組有唯一解D.若\(r(A)\ltn\)，則方程組有無窮多解5.下列關(guān)于正交矩陣性質(zhì)正確的是（）A.若\(A\)是正交矩陣，則\(A^TA=AA^T=E\)B.正交矩陣的行列式為\(1\)或\(-1\)C.若\(A,B\)是正交矩陣，則\(AB\)也是正交矩陣D.正交矩陣的列向量組是標準正交向量組6.設(shè)\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.對于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量C.\(\lambda\)滿足特征方程\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)為對稱矩陣）正定的充分必要條件是（）A.\(A\)的特征值全大于\(0\)B.\(A\)合同于單位矩陣\(E\)C.存在可逆矩陣\(C\)，使得\(A=C^TC\)D.\(A\)的順序主子式全大于\(0\)8.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.\(A\)與\(B\)有相同的行列式C.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對角線元素之和）D.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式9.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(r(A)+r(A-E)=n\)C.\(A\)可相似對角化D.\(A\)的列向量組線性相關(guān)10.以下關(guān)于矩陣的秩正確的有（）A.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)B.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(B\)可逆，則\(r(AB)=r(A)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數(shù)）。（）2.若矩陣\(A\)的行向量組線性無關(guān)，則\(A\)的列向量組也線性無關(guān)。（）3.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系是唯一的。（）4.若\(A\)為正交矩陣，則\(A\)的轉(zhuǎn)置\(A^T\)也是正交矩陣。（）5.相似矩陣一定有相同的特征向量。（）6.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)是正定二次型。（）7.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的秩小于\(n\)。（）8.矩陣\(A\)的特征值\(\lambda\)一定是實數(shù)。（）9.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1\)一定能由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示。（）10.對于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可通過初等行變換化為單位矩陣\(E\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的定義及判定方法。答案：定義：對于\(n\)階方陣\(A\)，若存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，則稱\(A\)可逆，\(B\)為\(A\)的逆矩陣。判定方法：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)的列（行）向量組線性無關(guān)等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念。答案：向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則線性相關(guān)；若僅當\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時上式成立，則線性無關(guān)。3.簡述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：步驟：先求特征多項式\(f(\lambda)=\vert\lambdaE-A\vert\)，令\(f(\lambda)=0\)求出特征值\(\lambda_i\)；再對每個\(\lambda_i\)，解齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)x=0\)，其非零解即為對應(yīng)\(\lambda_i\)的特征向量。4.解釋二次型正定的概念及判定方法。答案：二次型\(f(x)=x^TAx\)，對任意非零向量\(x\)，都有\(zhòng)(f(x)>0\)，則稱\(f\)正定。判定方法：\(A\)的特征值全大于\(0\)；\(A\)的順序主子式全大于\(0\)；\(A\)合同于單位矩陣\(E\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)，以及基礎(chǔ)解系在其中的作用。答案：對于非齊次線性方程組\(Ax=b\)，其解由特解和對應(yīng)的齊次線性方程組\(Ax=0\)的通解組成。基礎(chǔ)解系是\(Ax=0\)解空間的極大線性無關(guān)組，通過基礎(chǔ)解系可表示出\(Ax=0\)的所有解，進而得到\(Ax=b\)的通解。2.探討相似矩陣在理論和實際應(yīng)用中的意義。答案：理論上，相似矩陣有相同的特征值、行列式、秩等性質(zhì)，有助于簡化矩陣運算和研究矩陣性質(zhì)。實際中，如在物理、工程領(lǐng)域，相似變換可將復雜矩陣化為簡單形式，便于分析系統(tǒng)的特征，如振動頻率、穩(wěn)定性等。3.論述正交矩陣的性質(zhì)及其在幾何和其他領(lǐng)域的應(yīng)用。答案：正交矩陣性質(zhì)有\(zhòng)(A^TA=AA^T=E\)，\(\vertA\vert=\pm1\)等。在幾何中，正交變換保持向量長度和夾角不變，如旋轉(zhuǎn)、反射。在其他領(lǐng)域，如數(shù)據(jù)處理中用于數(shù)據(jù)的正交化，可消除數(shù)據(jù)相關(guān)性，提高計算效率和穩(wěn)定性。4.談?wù)劸仃嚨闹仍谘芯烤€性代數(shù)問題中的重要性。答案：矩陣的秩能反映矩陣的“有效信息”數(shù)量。判斷線性方程組解的情況，\(r(A)=r(A|b)\)時有解，\(r(A)\ltr(A|b)\)時無解。還能判斷向量組線性相關(guān)性，秩小于向量個數(shù)時