高考高數試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的導數是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線\(y=x^{2}\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.函數\(f(x)=x^{3}-3x\)的極大值點是（）A.-1B.1C.0D.25.\(\intx^{2}dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^{3}+C\)B.\(x^{3}+C\)C.\(\frac{1}{2}x^{2}+C\)D.\(2x+C\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{2}\)8.函數\(y=\log_{2}(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)9.等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則\(a_{5}\)的值為（）A.9B.10C.11D.1210.已知\(f(x)\)是奇函數，且\(f(1)=2\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.2B.-2C.0D.1多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^{3}\)2.以下哪些是導數的運算法則（）A.\((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)B.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)C.\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^{2}}(v\neq0)\)D.\((u^{n})^\prime=nu^{n-1}\)3.直線的方程形式有（）A.點斜式B.斜截式C.兩點式D.截距式4.下列屬于基本初等函數的有（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數5.已知直線\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)，\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)，若\(l_{1}\perpl_{2}\)，則（）A.\(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0\)B.\(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0\)C.當\(B_{1}B_{2}\neq0\)時，\(k_{1}k_{2}=-1\)D.當\(B_{1}B_{2}=0\)時，\(A_{1}A_{2}=0\)6.橢圓的幾何性質包括（）A.對稱性B.頂點C.離心率D.漸近線7.數列的表示方法有（）A.列表法B.圖象法C.通項公式法D.遞推公式法8.對于\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.周期是\(\pi\)B.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱C.圖象關于點\((-\frac{\pi}{6},0)\)對稱D.在\((0,\frac{\pi}{6})\)上單調遞增9.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)10.以下哪些是求極限的方法（）A.直接代入法B.化簡法C.等價無窮小替換法D.洛必達法則判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=x\)與\(y=\sqrt{x^{2}}\)是同一函數。（）2.若函數\(f(x)\)在\(x=a\)處可導，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續。（）3.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）4.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）5.函數\(y=\cos^{2}x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）6.等比數列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}=1\)，\(q=2\)，則\(S_{3}=7\)。（）7.函數\(y=e^{x}\)的導數是\(y^\prime=e^{x}\)。（）8.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）9.若\(f(x)\)是偶函數，則\(f^\prime(x)\)是奇函數。（）10.不等式\(x^{2}-2x+1\gt0\)的解集是\(x\neq1\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^{3}-2x^{2}+x\)的單調區間。答案：先求導\(y^\prime=3x^{2}-4x+1=(3x-1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt\frac{1}{3}\)或\(x\gt1\)，此為增區間；令\(y^\prime\lt0\)，得\(\frac{1}{3}\ltx\lt1\)，此為減區間。2.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，求\(\vec{a}+2\vec{b}\)。答案：先計算\(2\vec{b}=(-2,4)\)，再求\(\vec{a}+2\vec{b}=(2-2,3+4)=(0,7)\)。3.求橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點坐標。答案：由橢圓方程知\(a^{2}=16\)，\(b^{2}=9\)，則\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=7\)，\(c=\sqrt{7}\)。焦點在\(x\)軸上，所以焦點坐標為\((\pm\sqrt{7},0)\)。4.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，求\(a_{n}\)。答案：公差\(d=\frac{a_{5}-a_{3}}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_{1}=a_{3}-2d=5-4=1\)，則\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內的單調性與凹凸性。答案：定義域為\(x\neq0\)。對\(y=\frac{1}{x}=x^{-1}\)求導\(y^\prime=-x^{-2}\lt0\)，在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上單調遞減。再求二階導\(y^{\prime\prime}=2x^{-3}\)，在\((-\infty,0)\)上\(y^{\prime\prime}\lt0\)為凸函數，在\((0,+\infty)\)上\(y^{\prime\prime}\gt0\)為凹函數。2.探討直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程得方程組，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.說明如何用導數解決優化問題