線性代數(shù)矩陣試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，且\(|A|=2\)，則\(|2A|\)等于（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.若\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，則（）A.\(|A|=0\)B.\(r(A)<n\)C.\(A\)與\(E\)等價(jià)D.\(A\)有零特征值3.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階矩陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=O\)D.\(|A|+|B|=0\)4.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)與它的行向量組的秩（）A.相等B.行向量組秩大C.不確定D.矩陣秩大5.設(shè)\(A\)是\(n\)階對(duì)稱矩陣，\(B\)是\(n\)階反對(duì)稱矩陣，則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（）A.\(AB-BA\)B.\(AB+BA\)C.\(AB\)D.\(BA\)6.若矩陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.\(0\)或\(1\)B.\(-1\)或\(1\)C.\(0\)或\(-1\)D.\(2\)或\(-1\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|\neq0\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)的秩\(r(A^)=（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(n-1\)D.\(n\)8.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為（）A.\(\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(|A|=|B|\)B.\(A=B\)C.\(A\)與\(B\)有不同的特征值D.\(r(A)\neqr(B)\)10.若\(n\)階方陣\(A\)可對(duì)角化，則\(A\)有（）A.\(n\)個(gè)不同的特征向量B.\(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量C.\(n\)個(gè)相同的特征值D.\(n\)個(gè)正交的特征向量二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階矩陣，則下列等式成立的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(|AB|=|A||B|\)E.\(A+B=B+A\)2.下列關(guān)于矩陣的秩的說(shuō)法正確的有（）A.\(r(A)\leq\min\{m,n\}\)，\(A\)是\(m\timesn\)矩陣B.若\(A\)有一個(gè)\(r\)階子式不為\(0\)，所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為\(0\)，則\(r(A)=r\)C.初等變換不改變矩陣的秩D.\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)E.\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(A\)可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積B.若\(A\)與單位矩陣\(E\)等價(jià)，則\(A\)可逆C.若\(|A|\neq0\)，則\(A\)可逆D.若\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性無(wú)關(guān)E.若\(A\)可逆，則\(A\)的列向量組線性無(wú)關(guān)4.下列矩陣中是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)5.已知\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.齊次線性方程組\((A-\lambdaE)X=0\)有非零解D.\(|\lambdaE-A|=0\)E.\(\lambda\)滿足\(A\)的特征方程6.設(shè)\(A\)為\(n\)階矩陣，且\(A\)的秩\(r(A)=r<n\)，則（）A.\(A\)的行向量組線性相關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的\(n\)個(gè)行向量中必有\(zhòng)(r\)個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)D.\(A\)的\(n\)個(gè)列向量中必有\(zhòng)(r\)個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)E.齊次線性方程組\(AX=0\)的基礎(chǔ)解系含\(n-r\)個(gè)解向量7.下列關(guān)于矩陣的運(yùn)算正確的有（）A.\(A(B+C)=AB+AC\)B.\((AB)C=A(BC)\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(AB=BA\)（一般情況下不成立）E.\(A^mA^n=A^{m+n}\)（\(m\)，\(n\)為正整數(shù)）8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)可對(duì)角化的充分必要條件有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值B.\(A\)的每一個(gè)\(k_i\)重特征值\(\lambda_i\)對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有\(zhòng)(k_i\)個(gè)C.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量D.\(A\)的特征多項(xiàng)式無(wú)重根E.存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP\)為對(duì)角矩陣9.已知矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(|A|=|B|\)D.\(r(A)=r(B)\)E.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對(duì)角線元素之和）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)B.\(A\)可以對(duì)角化C.\(r(A)+r(A-E)=n\)D.若\(r(A)=k\)，則\(A\)的相似對(duì)角形矩陣主對(duì)角線上有\(zhòng)(k\)個(gè)\(1\)和\(n-k\)個(gè)\(0\)E.\(A\)的行向量組線性無(wú)關(guān)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階矩陣，則\((AB)^2=A^2B^2\)。（）2.矩陣\(A\)的秩等于它的非零行的行數(shù)。（）3.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（）4.可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆。（）5.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征向量。（）6.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（）7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)滿足\(A^2+A+E=0\)，則\(A\)可逆。（）8.矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關(guān)性。（）9.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的特征值全為\(0\)，則\(A=O\)。（）10.兩個(gè)\(n\)階可逆矩陣之和一定可逆。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)；或\(A\)可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積；或\(r(A)=n\)；或\(A\)的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)；或齊次線性方程組\(AX=0\)只有零解。2.說(shuō)明矩陣的秩的定義。答案：設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，若\(A\)中存在一個(gè)\(r\)階子式不為\(0\)，而所有\(zhòng)(r+1\)階子式（如果存在的話）全為\(0\)，則稱\(r\)為矩陣\(A\)的秩，記作\(r(A)\)。3.已知\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，如何求對(duì)應(yīng)的特征向量？答案：先寫出齊次線性方程組\((A-\lambdaE)X=0\)，然后對(duì)系數(shù)矩陣\(A-\lambdaE\)進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形，根據(jù)行最簡(jiǎn)形寫出方程組的通解，通解中非零的解向量就是對(duì)應(yīng)于特征值\(\lambda\)的特征向量。4.簡(jiǎn)述相似矩陣的性質(zhì)。答案：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、特征值、秩、行列式、跡；若\(A\)與\(B\)相似，\(A\)可逆則\(B\)也可逆且\(A^{-1}\)與\(B^{-1}\)相似；若\(A\)與\(B\)相似，\(f(x)\)為多項(xiàng)式，則\(f(A)\)與\(f(B)\)相似。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的初等變換在求矩陣的逆、秩以及解線性方程組中的應(yīng)用。答案：求逆：對(duì)\((A|E)\)作初等行變換，當(dāng)\(A\)化為\(E\)時(shí)，右邊即為\(A^{-1}\)。求秩：通過(guò)初等行變換將矩陣化為行階梯形，非零行的行數(shù)就是秩。解線性方程組：對(duì)增廣矩陣\((A|B)\)作初等行變換化為行最簡(jiǎn)形，據(jù)此確定方程組的解。2.探討正交矩陣的性質(zhì)及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：性質(zhì)：正交矩陣\(A\)滿足\(A^TA=AA^T=E\)，\(|A|=\pm1\)，其列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。應(yīng)用：在物理學(xué)中用于坐標(biāo)變換，在圖像處理中用于圖像旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換，保持向量長(zhǎng)度和夾角不變。3.分析矩陣可對(duì)角化的判定方法及可對(duì)角化的意義。答案：判定方法：有\(zhòng)(n\)個(gè)不同特征值；每個(gè)\(k_i\)重特征值對(duì)應(yīng)\(k_i\)個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量；有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量。意義：可簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算，如計(jì)算矩陣的高次冪等；方便研究矩陣的性質(zhì)，在實(shí)際問(wèn)題如動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析中應(yīng)用廣泛。4.說(shuō)明伴隨矩陣的定義及主要性質(zhì)。答案：定義：設(shè)\(A=(a_{ij})\)為\(n\)階方陣，元素\(a_{ij}\)的代數(shù)余子式\(A_{ij}\)構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置就是\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)。性質(zhì)