高考數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{4\}\)2.函數\(y=\log_2(x-1)\)的定義域為（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)3.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)4.直線\(2x+y-1=0\)的斜率為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m=\)（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.函數\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x+4\)D.\(y=-3x-2\)8.若雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則其離心率\(e=\)（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{4}{5}\)9.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_2{0.3}\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(c\gta\gtb\)10.從\(3\)名男生和\(2\)名女生中任選\(2\)人參加演講比賽，所選\(2\)人都是男生的概率為（）A.\(\frac{3}{10}\)B.\(\frac{1}{10}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{2}{5}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^3\)2.下列關于直線與圓的位置關系說法正確的有（）A.直線\(x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交B.直線\(2x+y-1=0\)與圓\((x-1)^2+y^2=1\)相切C.直線\(x+y-4=0\)與圓\(x^2+y^2=9\)相離D.直線\(y=x\)與圓\(x^2+(y-1)^2=1\)相交3.一個正方體的棱長為\(2\)，則以下說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(24\)B.正方體的體積為\(8\)C.正方體的體對角線長為\(2\sqrt{3}\)D.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}\)4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數，下列不等式恒成立的有（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+\frac{1}{a}\geqslant2\)（\(a\gt0\)）C.\((a+b)^2\geqslant4ab\)D.\(a^2+b^2+c^2\geqslantab+bc+ca\)5.下列數列中，是等比數列的有（）A.\(1,2,4,8,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(2,2,2,2,\cdots\)D.\(1,0,1,0,\cdots\)6.對于函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，以下說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱C.在\([-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]\)上單調遞增D.圖象可由\(y=\sin2x\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位得到7.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)），以下說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)8.以下哪些是基本初等函數（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數9.已知\(a\)，\(b\)是兩個非零向量，下列命題正確的是（）A.若\(\verta+b\vert=\verta-b\vert\)，則\(a\perpb\)B.若\(a\cdotb=0\)，則\(a\perpb\)C.若\(a\parallelb\)，則存在實數\(\lambda\)，使得\(a=\lambdab\)D.若\(\verta\vert=\vertb\vert\)，則\(a=b\)10.從\(4\)個不同的小球中任取\(3\)個，放入\(3\)個不同的盒子中，每個盒子放\(1\)個球，不同的放法有（）A.\(A_{4}^3\)種B.\(C_{4}^3\timesA_{3}^3\)種C.\(4\times3\times2\)種D.\(C_{4}^3\)種三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=2^x\)是增函數。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.垂直于同一條直線的兩條直線平行。（）5.圓\(x^2+y^2=1\)的圓心為\((0,0)\)，半徑為\(1\)。（）6.等差數列的前\(n\)項和公式為\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）7.若\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），則當\(b=0\)時，\(z\)為實數。（）8.函數\(y=\tanx\)的定義域為\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）9.若\(A\)，\(B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）10.導數\(f^\prime(x_0)\)表示函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的切線斜率。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的最小值及取得最小值時\(x\)的值。答案：將函數化為頂點式\(y=(x-1)^2+2\)，因為\((x-1)^2\geqslant0\)，所以當\(x=1\)時，\(y\)有最小值\(2\)。2.已知\(\triangleABC\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，求\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}\)。把\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)代入得\(\sinB=\frac{1\times\sin60^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)。因為\(a\gtb\)，所以\(A\gtB\)，則\(B=30^{\circ}\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：已知直線斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\(k=2\)，\(x_1=1\)，\(y_1=2\)），可得直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)的單調性。答案：函數\(y=\frac{1}{x}\)的定義域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分別單調遞減。任取\(x_1\ltx_2\lt0\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，同理可證\((0,+\infty)\)上的單調性。2.已知直線與圓的位置關系有相交、相切、相離，如何通過幾何方法和代數方法判斷它們的位置關系？答案：幾何方法：比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相離。代數方法：聯立直線與圓的方程，消元后得一元二次方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.舉例說明如何運用等比數列的通項公式和前\(n\)項和公式解決實際問題。答案：例如，某企業的利潤逐年遞增，構成等比數列。已知首項\(a_1\)和公比\(q\)，用通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)可預測第\(n\)年利潤；用前\