PAGE第一章習題解答1．利用玻爾——索末菲量子化條件，求（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場，玻爾磁子，試計算動能的量子化間隔，并與及的熱運動能量相比較。解：（1）方法一：玻爾——索末菲量子化條件為1、2、3···對于一維諧振子，，即這是一個橢圓方程，半長軸，半短軸。 橢圓面積由，得到能量量子化條件為1、2、3···方法二：因為一維諧振子的運動方程為，所以。利用量子化條件得（2）電子在垂直于磁場方向的平面里以某一確定線速度作半徑為的圓周運動，則廣義動量——角動量是守恒量，與此廣義動量相對應的廣義坐標是。則 又，所以。因此電子軌道的可能半徑為1、2、3···電子的動能動能的量子間隔為熱運動能量為2．應用玻爾——索末菲量子化條件，計算一個在鉛直方向作彈性往復運動的小求的允許能級。解：的積分區：最高點，。所以的變域：。所以 3．應用玻爾——索末菲量子化條件，求限制在箱內運動的粒子的能量。箱的尺度為、、。解：粒子在箱子內是自由的，動量是守恒量，在與箱碰撞時，動量反向，但數值不變，即彈性碰撞。選箱的三度為坐標軸，利用量子化條件4．由黑體輻射公式導出維恩位移律：能量密度極大值所對應的波長與溫度成反比，即（常數）。并近似計算的數值，準確到兩位有效數字。解：由能量密度的公式：則由解得：即令，則解得所以5．在附近，鈉的價電子能量約為，求其德布羅意波長。解：6．兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對。如果兩光子的能量相同，問要實現這種轉化，光子的波長最大是多少？解：兩個光子轉化為正負電子對，要求光子的最大波長，即要求產生的正負電子對靜止，由能量守恒得（是電子的靜止質量）第二章習題解答1．設一粒子的狀態用歸一化波函數描述，問在薄立方體內找到粒子的幾率。解：因為粒子出現在體積元中的幾率為，所以在內找到粒子的幾率為2．設粒子的狀態用歸一化波函數描述，問在球殼內找到粒子的幾率。解：因為粒子出現在點的領域內的幾率為所以在球殼內找到粒子的幾率為3對一維自由粒子（a）設波函數為，試用哈密頓算符對運算，驗證。說明動量本征態也是哈密頓量（能量）本征態，本征值為。（b）設粒子在初始（）時刻，，求。（c）設波函數為，可以看成無窮多個平面波的疊加，即無窮多個動量本征態的疊加。試問是否是能量本征態？（d）設粒子在時刻，求。解：（a）因為所以（b）因為是能量本征態，所以（c）由于是無窮多個動量本征態的疊加，所以它也是無窮多個能量本征態的疊加，因此它不是能量本征態。（d）因為，所以因此利用，得4假設一個粒子的初始狀態是兩個定態的線性迭加：（為使題目簡單化，假設常數和是實數。）那么任意時刻的波函數是什么？求出幾率密度并描述其運動形式。解：很顯然，幾率密度以正弦形式振動，角頻率是；這當然不是一個定態。但是注意它是（具有不同能量的）定態的線性迭加，并且這種迭加會產生運動。5在t=0時刻一粒子由下面的波函數描述式中A、a和b是常數。（1）歸一化（即求出以a和b表示的A）。（2）作為x的函數畫出的草圖。（3）在t=0時刻在哪里最有可能發現粒子？（4）在a的左邊發現粒子的幾率是多少?對b=a和b=2a兩種極限情況驗證你的結果。（5）x的期待值是多少?解：（1）（2）（3）在處最有可能發現粒子。（4）當時，；當時，。（5）6一個自由粒子的初始波函數為其中和是正的實常數。（1）歸一化。（2）求出。（3）以積分形式寫出。（4）討論極限情況（很大和很?。?。解：（1）歸一化（2）（3）（4）當很大時，是一個尖銳的峰值，比較寬泛，即位置精確而動量很不確定；當很小時，范圍較寬，是一個尖銳的峰值，即動量精確而位置很不確定。第三章習題解答1．一粒子在一維勢場中運動，求粒子的能級和對應的本征函數。解：由方程 在及區域，，粒子不可能到達。即在及區域，。在區域，。令，則方程變為此方程的通解為因為在處連續，即，所以。因為在處連續，即，所以（）。因此故與相應的波函數為由歸一化條件得所以3一個處在一維無限深勢阱中的粒子，其初始波函數是（1）畫出的圖形然后求出。（2）求出。（3）測量能量得到結果為的幾率是多少？（4）求出能量的期望值。解：（1）（2）因為所以（3）測量能量得到結果為的幾率是（4）求出能量的期望值6．在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：。證明粒子的定態波函數具有確定的宇稱。解：一維勢場中運動的粒子滿足的薛定格方程為因為是空間反演不變的，所以即即與是屬于同一本征值的本征態。由于它們描寫的是同一個狀態，因此之間只能相差一個常數。兩個方程可相互進行空間反演而得對方，所以所以可見，，即當時，，具有偶宇稱；當時，，具有奇宇稱。所以，當勢場滿足時，粒子的定態波函數具有確定的宇稱。5設粒子處于半壁無限高的勢場中求粒子能量本征值，以及至少存在一條束縛能級的條件。解：勢函數把空間分成三個區域，滿足的薛定諤方程分別為顯然，。方程簡化為令，，則方程進一步簡化為方程的通解為所以下面由波函數的標準條件定解。由于波函數有限，所以，有在處，由波函數的連續性可得取，則在處，由單值性和連續性、可得得把、代入，得此即能量本征值滿足的超越方程。該方程只能數值求解或用作圖法求解。下面討論束縛態存在的條件。令，，則它們的交點就是束縛態能級滿足的解。由圖知，至少存在一個束縛態的條件為6．分子間的范德瓦耳斯力所產生的勢能可以近似表示為求束縛態的能級所滿足的方程。解：勢能曲線如圖示，分成四個區域求解。定態薛定格方程為對各區域的具體形式為Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：對于區域Ⅰ，，粒子不可能到達此區域，故。且（1）（2）（3）對于束縛態，有，令，，，則 （4）（5）（6）各方程的解分別為利用波函數的有限性：因為有限，所以，因此。利用波函數及其一階導數的連續：因為，所以，因此；因為，所以（7）因為，所以（8）因為，所以（9）因為，所以（10）由（7）、（8）得(11)由（9）、（10）得（12）令，則（11）式變為（13）聯立（12）、（13）得，要此方程組有非零解，必須解方程把代入即得此即為所要求的束縛態能級所滿足的方程。附：從方程（10）之后也可以直接用行列式求解。第四章習題解答1．求證：解：上式左邊的分量為同理所以2．設算符、皆與它們的對易子對易。證明：，。解：利用數學歸納法證明。當時，，顯然成立。設時，成立，則所以同理可證3．一維諧振子處在基態，求（1）勢能的平均值；（2）動能的平均值；（3）動量的幾率分布函數。解：（1）（或利用）所以（2）或。（3）所以，動量幾率分布函數為4．氫原子處在基態。求（1）的平均值；（2）勢能的平均值；（3）最可幾半徑；（4）動能的平均值；（5）動量的幾率分布函數。解：（1）的平均值為其中利用了。（2）勢能的平均值為（3）電子出現在球殼內出現的幾率為令，則。當時，為幾率最小位置。因為所以，是最可幾半徑。（3）因為，所以動能的平均值為其中利用了。（5）因為，所以其中利用了。動量幾率分布函數5．一剛性轉子轉動慣量為，它的能量的經典表示式是，為角動量，求與此對應的量子體系在下列情況下的定態能量及波函數：（1）轉子繞一固定軸轉動；（2）轉子繞一固定點轉動。解：（1）設該固定軸沿Z軸方向，則有哈米頓算符因為無關，所以這是一個定態問題。其本征方程為令，則方程變為取其解為（可正可負可為零）。由于波函數是單值得，應有，所以有，所以，，，……因此轉子的定態能量為（，，，……）可見能量只能取一系列分立值，構成分立譜。其定態波函數為為歸一化常數，它可由歸一化條件求得：所以轉子的歸一化波函數為綜上所述，除外，能級是二重簡并的。（2）取固定點為坐標原點，則轉子的哈米頓算符為因為無關，所以這是一個定態問題。其本征方程為式中，設為的本征函數，為其本征值。令，則方程變為此即為角動量的本征方程，其本征值為其波函數為球諧函數所以轉子的定態能量為可見，能量是分立的，且是重簡并的。6設粒子處于一維無限深方勢阱中證明處于能量本征態的粒子討論時的情況，并與經典力學計算結果比較。解：因為，所以經典物理中，中粒子處于范圍內的概率為，則時，量子與經典結果一致。7．設時，粒子的狀態為求此時粒子的平均動量和平均動能。解：波函數變形為可見，動量的可能值為、、、、，動能的可能值為、、、、，對應的幾率應為、、、、。歸一化常數可由歸一化條件求得所以，動量的平均值為動能的平均值為8.設粒子處于一維無限深勢阱中設粒子處于基態（），。設時刻阱寬突然變為，粒子的波函數來不及變化，即試問：對于加寬了的無限深勢阱是否還是能量本征態？求測得粒子處于能量本征態的概率。解：對于加寬了的無限深勢阱，粒子能量本征值和本征態分別是顯然，不再是能量本征態。由于阱寬突然變寬，粒子的波函數來不及變化，所以能量仍保持為?？砂凑归_所以測得粒子處于能量本征態的概率為。9．一維運動粒子的狀態是其中，求：（1）粒子動量的幾率分布函數；（2）粒子的平均動量。解：（1）先求歸一化常數，由所以波函數為動量的幾率振幅為動量幾率分布函數為（2）粒子的平均動量為10．在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態由波函數描寫，為歸一化常數，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：一維無限深勢阱中粒子的能量的本征函數和本征值分別為能量的幾率分布函數為，且把歸一化所以所以第五章習題解答1利用氫原子能級公式，討論下列體系的能譜：（a）電子偶素（positronium，指束縛體系）；（b）原子（muonicatom），指平常原子中有一個電子被一個粒子代替；（c）子偶素（muonium，指束縛體系）。解：氫原子能級公式（a）電子偶素，能級。（b）原子，能級。（c）子偶素，能級。2對于氫原子基態，求電子處于經典禁區（）（即區域）的概率。解：氫原子基態波函數電子處于經典禁區（）的概率3一質量為的粒子在下面的勢場中運動求粒子的基態能量和歸一化波函數。解：中心力場中，徑向方程為基態，則令，則時因為，所以，有因為，所以波函數歸一化4一質量為的粒子在一圓圈（周長為）上運動。如果還存在函數勢，，請寫出系統的所有能級和相應的歸一化波函數。解：薛定諤方程為式中，轉動慣量，為圓半徑。令，則因為，則時，有利用連續性條件得歸一化，得5在直角坐標系中求解二維各向同性諧振子的能級和簡并度，與三維各向同性諧振子比較。解：哈密度算符、、相互對易，而且都是守恒量。所以的本征函數和本征值分別為給定后，有下列種組合方式所以能級的簡并度為。的本征態的宇稱為。三維各向同性諧振子，的本征函數和本征值分別為給定后，有下列組合方式所以，能級簡并度為二維各向同性諧振子與三維各向同性諧振子的能級分布均勻，能級間隔都是。第六章習題解答1．求在動量表象中角動量的矩陣元和的矩陣元。解：分別在坐標表象與動量表象下計算在動量表象中的矩陣元，應該得到同樣的結果。首先在坐標表象中計算。這時，有在動量表象中的矩陣元為其次，在動量表象中計算。這時，有在動量表象中的矩陣元為2．求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標與動量的矩陣元。解：基矢：；能量：；對角元：（因為）當時，上面的推導用到了3．求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數。解：定態薛定諤方程為即兩邊乘以，得令，，則跟課本式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數為式中為歸一化因子，即4．求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。解：5．設已知在的共同表象中，算符和的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化的本征函數。最后將矩陣和對角化。解：的久期方程為得所以，的本征值為。的本征方程其中為的本征函數在共同表象中的矩陣。當時，有所以由歸一化條件取，則當時，有所以由歸一化條件取，則當時，有所以由歸一化條件取，則由以上結果可知，從和的共同表象變到表象的變換矩陣為矩陣在自身表象中的矩陣為對角化矩陣，對角元素為它的本征值，則同理可得，的本征值為，歸一化的本征函數分別為的對角化矩陣為6設矩陣和滿足，，。（a）證明；（b）在表象中求出的矩陣表示（設本征態無簡并）。解：（a）由和，得（b）設的本征值方程為，所以又，所以，因此的矩陣表示為設的矩陣表示為由，得由，得由，得所以若取，則第七章習題解答1.如果是的本征態，對應的本征值為，那么，波函數和也都是的本征函數，對應的本征值分別為和。（南京大學2002年）證明：因為所以同理2設兩個粒子做一維諧振動，考慮它們之間的相互作用，體系的哈密頓量為（忽略，為正常數）求體系能量本征值。解：令利用，，得且所以因此令，，則這樣，體系就變成了兩個相互獨立的諧振子，所以，能量本征值為7-3某體系的能量算符為 其中，。試求體系的能量本征值。解：令b=ua+va+?解：令bH且則bb=于是H=53a+a+23a于是HH比較得u=ku=2/所以H能量本征值E7-4一個量子系統，其哈密頓算符可寫為 其中為實數，、為數，算符及滿足。試求系統的能量本征值。提示：因為為厄米算符，所以。6在粒子數表象中哈密頓。（1）把化成標準諧振子哈密頓，求能量本征值。（2）把看成微擾，求能量本征值至二級近似。解：（1）哈密頓變形為令，，則且能量本征值為（2）令，其中，，則所以，能量一級修正為能量二級修正為所以能量本征值為7在表象（為基矢）中，的子空間的維數為3。求在此三維空間中的矩陣表示。再利用矩陣方法求出的本征值和本征態。解：在表象中，的矩陣元為在的子空間中當時，，有由此得設的本征方程為所以有解的條件解得，，所以，。當時，有得，，所以利用歸一化條件，得所以同理8．設體系處于態，求的觀察值。解：設的本征方程為把用、、做展開：在表象下，的矩陣表示為又因為在表象下，的矩陣表示為所以有解的條件解得，，所以，。當時，有得，，所以利用歸一化條件，得，所以同理所以于是因此，在態下，的觀察值和對應的概率及平均值分別為01/41/21/4第八章習題解答1求互相垂直的均勻電場和磁場中的帶電粒子的能量本征值。解：設電場沿方向，磁場沿方向，則選Landau規范，，且，滿足粒子的哈密頓量為選取為守恒量完全集，可選取能量本征函數為其中、為本征值，可取任意實數。能量本征值方程為所以變形為式中。該式與一維諧振子能量本征值方程相似，所以能量本征值為是以為變量的一維諧振子能量本征值函數，即式中。2設電子囚禁在二維各向同性諧振子場中，。如再受到沿軸方向的均勻磁場的作用，取矢勢，（a）求電子的能級和本征函數。（b）分別討論和兩種極限情況以及能級簡并度的變化。解：（a）因為，所以因此，哈密頓量為式中，。為了方便，以下把電子沿軸方向的自由運動分離出去，集中討論電子在平面內的運動，這樣極坐標系下因為，所以選（）作為守恒量完全集，利用二維各向同性諧振子的結論，得能量本征值和本征函數分別為（b）若，則系統變為二維各向同性諧振子，哈密頓量變為能量本征值和本征函數分別為能級的簡并度為。若，則系統變為均勻磁場中的電子，哈密頓量變為能量即朗道能級。能量本征函數和本征值分別為式中。下面考察能級簡并度。因為，所以，對給定，當時，所有態能量都相同，因此簡并度為無窮大。3電子被限制在x-y平面內運動，在Z方向有一均勻磁場B，此外沒有其它勢?；卮鹣铝袉栴}：（1）定義規范不變的動量，求對易式；（2）利用上述對易關系式和一維諧振子問題的類比求電子的能量本征值。解：（1）處于磁場中電子的哈密頓為其中所以因為，，所以（2）一維諧振子的哈密頓量為令則其能量本征值為該題中，令則式中，。它與一維諧振子哈密頓量極其相似，所以能量本征值為第九章習題解答1．設一維諧振子的哈密頓算符為，再加上微擾，系統的哈密頓算符為試用微擾法求能量近似值。解：所以實際上所以展開式的前三項正是微擾法的結果。2．在表象中，若哈密頓算符的矩陣形式為其中，、為小的實數，且。求能量至二級修正，并與精確解作比較。解：因為所以下面求能量的精確解。能量的本征方程為久期方程所以3．設哈密頓算符的矩陣形式為求其精確的本征值；若，求其本征值至二級近似。解：先求精確解：久期方程再求近似解：顯然，它是精確解的近似。4一維無限深勢阱（）中的粒子，受到微擾作用求基態能量的一級修正。解：一維無限深勢阱能量的本征解為能量一級修正對基態，有8平面中的轉子的哈密頓量為，為轉動慣量。（a）求轉子的能級和能量本征函數；（b）設轉子具有電偶極矩，受到弱電場（平面內）的作用，，利用一級微擾論計算轉子能級和波函數；（c）如外加電場極強，轉子將不能自由轉動，只能局限在一個很窄的角度（）附近小振動，。求振動能級和本征函數。解：（a）平面的轉子的能量本征值方程其本征函數為相應能量本征值除外，其它能級二重簡并。（b）微擾哈密頓矩陣元為