專題09幾何中的最值問題

I羈津概述

幾何壓軸題中的最值問題，是歷年各地中考中的高頻考點，其主要類型包括面積的最值問題、線段的最

值問題、角度的最值問題，由于面積的最值問題在上一個專題中已有涉及，所以本主題主要探究的是線段

的有關(guān)最值問題。

解決線段的最值問題，從方法上來說主要有幾何法和函數(shù)法兩大方法：

幾何法：總的思路是對線段的最值問題進行轉(zhuǎn)化，多數(shù)情況下當三點位于同一條直線上時，取得最值，理

論依據(jù)主要是兩點之間線段最短。再具體的考題中我們可以根據(jù)題目的圖形、條件或者問題的問法等，再

將最值問題進行細化，將問題抽象成我們常見的幾種模型，從而使問題得到解決。例如抽象為：將軍飲馬

模型、瓜豆原理、胡不歸模型、費馬點模型以及阿氏圓模型等。

函數(shù)法：可以利用坐標法，將所求的線段長度用坐標的方式表示出來，之后利用最值模型求解。

真題精析

（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1,AQB和是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,

點C在。1上，點。在線段30延長線上，連接A。，BC.線段與的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖2,將圖1中的△COD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)1（0。<&<90。）第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果

成立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由.

（3）如圖3,若AB=8,點C是線段A3外一動點，AC=343,連接BC,

①若將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連接AO,則A。的最大值_____；

②若以BC為斜邊作RtBCD,（B、C、D三點按順時針排列），Z.CDB=90°,連接AD,當NCBD=ZDAB=30°

時，直接寫出AD的值.

(1)由題意易得AO=JBO,OD=OC,ZAOD=ZBOC=90°,然后可證Z\AOg/\BOC,進而問題可求解；

(2)由題意易得40=30,OD=oc,然后可證△AOD絲NBOC,進而問題可求證;

(3)①根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可得AC+CD2AD,則當A、C、O三點共線時取最大,

進而問題可求解；②過點C作于點E,連接0E,過點8作防_L止于點尸，然后可得點C、。、

B、E四點共圓，則有NOEB=NDCB=60。，設3c=2x,BE=y,貝!]AE=8-y,CD=x,BD=瓜,進

而根據(jù)勾股定理可進行方程求解.

【答案與解析】

【答案】(1)AD=BC；(2)結(jié)論仍成立，理由見詳解；⑴①3/+屈，②AD=20叵.

2

【詳解】解：⑴AD=BC,理由如下：

■:.AOB和△COD是等腰直角三角形,ZAOB=NCOD=90°,

/.AO=BO,OD=oc,ZAOD=ZBOC=90°,

：.△AO￡>^ABOC(SAS),

/.AD=BC9

故答案為：AD=BC;

(2)結(jié)論仍成立，理由如下：

V.AOB和△COD是等腰直角三角形，ZAOB=Z.COD=90°,

AO=BO,OD=OC,

：.ZAOC+ZCOD=ZBOA+ZAOC,即ZAOD=ZBOC,

：.絲△BOC(SAS),

/.AD=BC；

(3)①如圖,

,D

c

由題意得：BC=CD,ZBCD=90°,

根據(jù)三角不等關(guān)系可知：AC+CD>AD,

???當4、C、O三點共線時取最大，

:.ZACB=ZBCD=90°f

*：AB=S9AC=3百,

JBC=y/AB2-AC2=yjs2-（3A/3）2=歷，

AD的最大值為+后;

②過點C作CEJ.AB于點E,連接。￡,過點5作叱，。石于點凡如圖所示:

:?ZAEB=/CDB=9伊,

，點。、D、B、￡四點共圓，

VZCBD=ZDAB=30°9

：.N5c0=60。,

:.ZDEB=ZBCD=60°,

:.ZADE=NDEB—NDAB=30。,ZEBF=90°-ZDEB=30°,

：-ZDAE=ZADE,

??AE-DE9

設BC=2x,BE=y,貝！jAE=8—y,CD=x,BD=石x,

EF=^BE=^y,DE=AE=8-y,

，在RtAAEC和RtABEC中，

由勾股定理得：4%2-y2=27-（8-y）2,整理得：4/=16y-37①；

在RtBFD中,由勾股定理得：+（產(chǎn)=3尤2,整理得：64-24y+3y2=3/②,

聯(lián)立①②得：12/-144y+367=0,

解得：h=6-叵，%=6+①（不符合題意，舍去），

：.AE=8-

過點后作上加_14）于點M,

AEM=-AE=l+^^,AM=U。，

2122

:.AM=6EM=百+巫,

:.AO=2AE=2用叵.

2

總結(jié)與點撥

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)，

熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

例零2

（2022?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4紙，如圖①,

矩形ABCD為它的示意圖.他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中=他先將A4

紙沿過點A的直線折疊，使點8落在AD上，點8的對應點為點E,折痕為AF；再沿過點歹的直線折疊，

使點C落在所上，點C的對應點為點折痕為尸G；然后連結(jié)AG,沿AG所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)

點。與點尸重合，進而猜想AWG絲△AFG.

【問題解決】

(1)小亮對上面AWG/A4FG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形ABCD是矩形，

/BAD=NB=NC=ND=90。.

由折疊可知，ZBAF=-ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

2

ZEFA=ZBFA=45°.

---AF=血AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結(jié)論應用】

、.一FG

(2)NZMG的度數(shù)為_______度，下的值為；

⑶在圖①的條件下，點尸在線段"上，且初二M，點Q在線段AG上，連結(jié)/Q、PQ,如圖②，設AB=a,

則FQ+PQ的最小值為.(用含a的代數(shù)式表示)

郵讀

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AO=AF,ZAFG=ZD=90°,由也可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)可得ND4G=：ND4F=22.5。；證明AGC尸是等腰直角三角形，可求出Gb的長，從

而可得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可知點F與點。關(guān)于AG對稱，連接尸￡>,則尸。為PQ+F。的最小值，過點尸作

求出PR=AR=1”，求出。R,根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論.

4

［答案與解析］

【答案】(1)見解析

(2)22.5°,V2-1.

⑶旦

2

【詳解】（1）證明：四邊形ABC。是矩形，

:.ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°.

由折疊可知，NBAb=1/54。=45。，ZBFA=ZEFA.

2

:.ZEFA=ZBFA=45°.

:.AF=-J1AB=AD■

由折疊得，NCFG=NGFH=45。,

：.ZAFG=ZAFE+ZGFE=45°+45°=90°

:.NAFG=ZD=90°

XAD=AF,AG=AG

：.AAZX；絲ZSAFG

（2）由折疊得，ZBAF=ZEAF,

又NBA尸+NE4尸=90°

：.ZEAF=-ZBAE=-x90°=45°,

22

由AADG絲AAFG得，ZDAG=ZFAG=-NFAD=-x45°=22.5°,

22

ZAFG=ZADG=90°,

又NAFB=45°

:.NGFC=45°,

：.ZFGC=45°,

：.GC=FC.

設AB=x,貝！］BF=x,AF=6x=AD=BC,

：.FC=BC-BF=瓜-x=（母-T）x

：.GF=V2FC=（2-垃）x

噂二5

(3)如圖，連接ED,

DG=FG

.\AG是尸。的垂直平分線，即點尸與點。關(guān)于AG軸對稱，

連接PD交AG于點Q,則PQ+FQ的最小值為PD的長；

過點尸作用交AQ于點R,

VZDAF=NBAF=45°

：.ZAPR=45°.

:.AR=PR

2

又AR2+PR2=AP2=（1）2=y

，AR=PR=^a,

4

:.DR=AD-AR=-j2a-—a=-42a

44

在RfADPR中，DP2=AR2+PR2

:.DP=y]AR2+PR2='（%>+（李^=*a

.?.PQ+世的最小值為好“

2

,儂與翻

本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,

正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

例孽3

（2022?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在矩形A8CD中，AB=4,3c=6.點￡是線段上的動點（點

E不與點A,。重合），連接CE,過點E作班，CE,交于點F.

⑴求證：AEFs,DCE；

（2）如圖2,連接CF,過點8作8GLCF,垂足為G,連接AG.點M是線段BC的中點，連接GM.

①求AG+G0的最小值；

②當AG+GM取最小值時，求線段QE的長.

郵短

（1）證明出"CE=/AE7即可求解；

（2）①連接AM.先證明&W=CM=GM=；BC=3.確定出點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上.當

A,G,M三點共線時，AG+GM=AM.此時，AG+GM取最小值.在RfASM中利用勾股定理即可求

出AM,則問題得解.②先求出AF,求AF的第一種方法：過點M作MN〃互交FC于點N,即有

△CMNs?BF,—設AF=x,貝1］族=4—x,MN=-（4-x）.再根據(jù)AfiV〃四，

BFCB22

Y2

4"AG_±

得到△AFG-&VWG,得到釜=怒，則有1、一§，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：

MNGM-（4-x）

過點G作GH〃AB交5c于點H.即有則有娶=空=粵，根據(jù)川欣=5,可得

AMABMB

4MH17Q

=^-,進而求出G"=y,MH=5'由GH〃AB得△CHGS^CBF,即可求出AE求出AW

之后，由（1）的結(jié)論可得鬟=痣.設DE=y,則AE=6-y,即有一解得解方程即可求出OE.

DEDCy4

［答案與解析】

【答案】（1）見解析

⑵①5；②DE=3+E或DE=3-由

【詳解】（1）證明：如圖1,

圖1

V四邊形ABCD是矩形，

:.NA="=90°,

二ZCED+ZDCE=90°.

'：EFLCE,

ZCED+ZAEF=90°,

：.ZDCE=ZAEF,

：.AEFs二DCE；

(2)①解：如圖2-1,連接AM.

VBGLCF,

....3GC是直角二角形.

ABM=CM=GM=-BC=3.

2

...點G在以點”為圓心，3為半徑的圓上.

當A,G,M三點不共線時，由三角形兩邊之和大于箸三邊得：AG+GM>AM,

當4,G,M三點共線時，AG+GM=AM.

此時，AG+GM取最小值.在用中，AM=y/AB2+BM2=5.

:.AG+GM的最小值為5.

②（求4方的方法一）如圖22過點M作欣V〃AB交耳。于點M

圖2-2

/.ACMNs&cBF.

.MNCM_1

設AF=x,貝！)3/=4—x,

：.MN=^BF=^4-x).

VMN//AB,

：.AAFG^AM/VG,

.AFAG

**MV-GM*

由①知AG+GM的最小值為5、BPAM=5,

XVGM=3,

:.AG=2.

x_2

A=

l(4-r)3?解得x=l，即A尸=1.

（求A尸的方法二）

如圖2?3,過點G作GH〃AB交BC于點H.

.GMGHMH

**AM-AB-?

由①知AG+GM的最小值為5,BPAM=5,

XVGM=3,

?3GHMH

??一==?

543

129

:?GH=——，MH=~.

55

由G"〃AB得△CHG^ACBF,

解得尸B=3.

???AF=AB-FB=1.

AJ7Ap

由（1）的結(jié)論可得黑=W.

DEDC

^DE=y9則A￡=6—y,

?1=6-y

y4

解得y=3+有或3-6.

V0<3+A/5<6,0<3-75<6,

:.DE=3+百或DE=3-布.

，磔與照

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應用等知識，掌握

相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

精題

1.（2022.貴州遵義.統(tǒng)考二模）如圖1,四邊形ABC。為正方形，AB=5,尸為等腰直角三角形，E

在8A的延長線上，點尸在上，AE=AF,Z￡AF=90°.如圖2,將△A￡F繞點A順時針旋轉(zhuǎn)x度

（0<x<180）得到

(1)如圖2,連接Z）E,BF',判斷線段Z）E與線段3尸之間的關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖3,連接C廣，若AF=2,求CF的最小值和最大值;

(3)如圖4,直線。E與直線39交于點N,連接CN,若DN:BN=1:3,求CN的長.

【答案】⑴小'=3尸,且廠

(2)CP的最小值為5&-2,最大值為572+2.

(3)2710

【分析】（1）證明△DE'A三AF'AB可得。/，再由三角形內(nèi)角和定理可得DE'LBF';

（2）根據(jù)點與圓的位置可判斷出CP在最大值和最小值；

⑶根據(jù)勾股定理可得出DV=右，BN=3技2。=5五.由A2N,反C五點在同一個圓上可證明

△BND△8加，可求出。加=9,。0=±叵，4〃=3,再證明小立功欣AC4M,可求出兇0=典，從

3333

而可得出結(jié)論.

【詳解】（1）：四邊形是正方形，

AB=BC=CD=DA,NDAB=ZADC=ZABC=NC=90°,

???△鉆尸是等腰直角三角形，

AE'=AF',ZF'AE'=90°,

：.ZE'AD+ZF'AD=90°,

F'AD+ZF'AB=90°,

：.ZE'AD=ZF'AB,

在^〃商人和^BE'A中,

DA=BA,

</BAD=/FAB

fr

EA=FAA

：.△DEA=AFAB,

???DE=BF,ZADE=NABF；

延長3P交于〃，交DE于點G,如圖,

180,ZABH+ZAHB+ZHAB=180,

ZHGD=ZHAB=90°,

JDE1BF\

綜上，線段DE與線段W之間的關(guān)系為DE=5尸，且DE±BF

⑵根據(jù)題意知，尾尸點在以A為圓心，AE'為半徑的圓上運動，如圖,

當尸在AC上時，。尸’的值最小，在C4的延長線上時，C尸'的值最大,

?.?AB=BC=5,

???AC=VAB2+BC2=5叵

又AE'=AF，=2

CF'的最/J、值為AC-AF'=5&-2,最大值為4。+4尸'=5&+2.

⑶由⑴知，BN[DE

連接BD,如圖，

在MABCD中，CD=BC=5,

BD=>JCD2+BC2=五+52=572.

,/CN:BN=1:3,

：.BN=3CN,

在RtADBN中，BD2=DN2+BN2,

：AQDN2=BD2=50,

:.DN=亞（負值舍去）

BN=3A/5,

；ZDNB=90°,NDCB=90°,ZDAB=ZADC=ZABC=ZC=90°,

民C五點在同一個圓上，如圖，設A￡）與CN交于點M,

：.ZDCN=ZDBN,

又/DNB=ZADC=90",

：.△BNDACDM.

.CDDM_CM

.5_DMCM

，，3君-V5-5&，

.5皿5x5夜5A/10

..DM=-,CM=-----=------------,

33A/53

：.AM=AD-DM=5--=—,

33

連接AC,則ZADN=ZACN,ZDNC=ACAD,

：.△DNMACAM

.DMNM

'CM~AM

510

—x—

:.NM=DM-AM二33710

CMr

3

/.CN=CM+NM=-710+—=2A/10

33

2.(2022.陜西延安.統(tǒng)考二模)點￡為正方形ABC。的AB邊上的一個動點，AB=3,如圖1,將正方形ABC。

對折，使點A與點8重合，點C與點。重合，折痕為MN.

圖1圖2備用

思考探索

(D如圖2,將正方形A8CQ展平后沿過點C的直線CE折疊，使點8的對應點Q落在MN上，折痕為EC.

①點9在以點E為圓心，的長為半徑的圓上；

②B'M=；

拓展延伸

(2)當時，正方形ABC。沿過點E的直線/(不過點B)折疊后，點B的對應點3落在正方形A2C。

內(nèi)部或邊上，連接AB'.

①△ABB，面積的最大值為；

②點尸為AE的中點，點。在A3上，連接尸。，若/AQP=/AB'E、求3c+2產(chǎn)。的最小值.

【答案】⑴①幽②6-3出

2

(2)?3；②BC+2PQ的最小值為屈.

【分析】(1)①由折疊的性質(zhì)知，點夕在以點E為圓心,BE的長為半徑的圓上,②由折疊的性質(zhì)得出BE=BE,

13

BC=B'C,MA=MB=NC=ND=-AB=-,ZB=ZEB'C,進而求解；

22

(2)①面積的最大時，只要AB邊上的高最大即可，故當夕E_LAB時，△A88面積的最大，進而求

解;

②證明尸。是AAEB'的中位線，故E、B'、C三點共線時，8c+2P。取得最小值為CE,即可求解.

13

【詳解】(1)解：由折疊的性質(zhì)知，BE=B'E,BC=B'C,MA=MB=NC=ND=-AB=-,ZB=ZEB'C,

22

①由題意得，點8,在以點E為圓心，BE的長為半徑的圓上；

②MB』MN-NB，

=MN-^B'C2-CN2=3-^32-(|)2=6-；百；

故答案為：①BE；②I-；

2

(2)解：@'：AB=3AE=3,

：.AE=l,BE=2,

:點夕在以點E為圓心，BE的長為半徑的圓上，如圖1,

面積的最大時，只要A2邊上的高最大即可,

...當時，面積的最大，

△ABB'面積=工xABxB'E=-x3x2=3,

22

故答案為：3；

②：ZAQP=ZAB'E,

：.PQ//B'E,

是AE的中點，

二尸。是AAEB，的中位線,如圖2,

：.PQ=^B'E,

即B'C+2PQ=B'C+B'E,

:.E、B'、C三點共線時，8C+2PQ取得最小值為CE,

貝UCE=ylBC2+BE2="+2?=A/13，

即B'C+2PQ的最小值為g.

3.(2022?河南南陽?統(tǒng)考二模)如圖①②，ABC和_￡>￡戶均為直角三角形，ZABC=ZDEF=90°,

ZACB=ZEDF=30°,BC=EF=1,點C在邊EF的延長線上，/BEM=30。,射線EM與A。交于點M,

EC=m(%>1).

⑴如圖①，當點3落在射線成上時，與的延長線相交于點G,則不7=_____.

DM

⑵如圖②，把ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a度（0。<&<360。），鐺■的值是否保持不變？請僅就圖②給出

DM

你的證明.

（3）若加=2百，在ABC繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段的最大值和最小值.

【答案】（1）￡

（2）黑■=；保持不變，見解析

DM3

（3）線段的最大值為岳+|g,最小值為止-16

【分析】（1）在R3DEF中，根據(jù)NED尸=30。，EF=\,求出。E=6,在RtAABC中，根據(jù)NACB=30。,

BC=1,求出AB=迫，在R3GEB中，根據(jù)N3EG=30。，EB=m+l,求出8G=立機+立，算出AG,

333

證明。初/G3,得出需=北=9即可；

（2）過3點作BGLBE,交射線EM于點G,連接AG,根據(jù)襄=空，ZGBA=ZEBC,證明

BEBC

AGBAsAEBC,得出AG=^CE=且m，Z1=Z5,證明。￡7/AG,得AAMGsADME,進而得出

33

AMAG

=—即可;

DM~DE

(3)由題意得，點A在以C為圓心，以CA為半徑的圓上移動，當點。、A、C三點共線時，4。是最小

值，4。是最大值，然后求出OC、AC即可得出答案.

【詳解】⑴解：???在R3OE尸中，NEDF=30。,EF=1,

3

???在R3ABC中，ZACB=30。，BC=1,

***AB=BCxtan30°=1x，

33

EC=m,

EB=根+1,

???在RtAGEB中ZBEG=30°,

BG=EBxtan30°=(m+l)x^l=叵〃計走

''333

/.AG=BG-AB=^-m+—--=—m,

3333

ZABC+ZDEF=90°+90°=180°,

，DE//GB,

/.AMAG_m.

~DM~~DE~73

故答案為：y.

AM_m

(2)。河―3保持不變.理由如下：

過8點作BGJ.3E,交射線于點G,連接AG,

/Z4=30o,

世=昱，ZGBA-^-ZABE=90°,

BE3

?,在RtZXABC中，ZACB=3Q°,

.BAy/3

ZEBC+ZABE=90°f

.BGBA

?茄一茄NGBA=/EBC,

??AGBAsAEBC,

??AG=是CE=Bm,Z1=Z5,

33

/Z4=30°,

,?N3+N5=60。，

/Z2+Zl=60°,

,?N3=N2,

??DE//AG,

??LAMGsADME,

,AMAG

'~DM~~DE"

.*AG=—m,DE=?EF=6

3

\XM__3皿_m；

~DM~73

(3)由題意得，點A在以。為圓心，以。1為半徑的圓上移動，如圖所示:

G

???當點。、A、c三點共線時，是最小值，4。是最大值,

?在DEC中，DE=5/3,EC=tn=ly/i,

DC=y/DE2+EC2=J(9+(2揚2=y/15，

:在RSABC中，ZACB=30°,BC=1,

，線段AD的最大值為+,百，最小值為.

4.(2022?浙江金華?校聯(lián)考模擬預測)如圖，四邊形ABC。是菱形，其中NABC=60。，點E在對角線AC

上，點尸在射線CB上運動，連接EF,作/FEG=60。，交直線。C于點G.

(1)在線段8c上取一點T,使CE=CT,求證：FT=CG；

(2)圖中AB=7,AE=\.

①點B在線段BC上，求EFG周長的最大值和最小值；

②記點尸關(guān)于直線AB的軸對稱點為點N.若點N不能落在/EDC的內(nèi)部(不含邊界),求CF的取值范

圍.

【答案】(1)見解析

(2)最大值為3屈，最小值為9石；2<CF<14

【分析】(1)證明△￡1/金AEGC(AA5)即可；

(2)①先證明點/在線段8。上時，AFEG是等邊三角形，確定AFEG周長最小和周長最大時點尸的位置,

從而可求出產(chǎn)E的長，進一步可解決問題；

②找出點N落在。。上的位置，求出CF的長，當N落在OE上，求出B的長，從而確定。尸的范圍.

(1),?,四邊形地8是菱形，

AB//CD,

???ZABC=60°,

AZBCG=ZABC=60°,

??.△ABC是等邊三角形，

Z.ZACB=ZABC=60°,

CE=CT,

???△GET是等邊三角形，

???CE=ET,ZETC=ZTEC=60°,

???ZFTE=180°-/ETC=180°-60°=120°,/GCE=ZGCT+ZTCE=60°+60°,

:.ZFTE=ZGCE9

?：ZFEG=60°,ZTEC=60°,

.??FEG=ZTEC,即ZFET+ZTEG=ZGEC+ZTEG.

：.ZFET=ZGEC,

在^￡江和4GE1。中，

ZFET=ZGEC

<ET=CE,

/FTE=ZGCE

：./\FET^AGEC.

：.FT=CG；

(2)如圖1,當點尸與點5重合時,

D

E

同（1）可得，F(xiàn)E=GF,

?：NFEG=6(f,

，AFEG是等邊三角形,

同理可得，當點尸在BC邊上時，AFEG均是等邊三角形,

當E尸_L3E時，F(xiàn)E最短，如圖,

?/AB=AC=l,AE=l,

：.CE=AC-AE=1-1=6,

又NAC尸=60°

.??ZCEF=30°,

CF=-CE=-x6=3,

22

EF=^ICE2-CF2=卜-寸=3M

，等邊三角形EEG的周長最小值為：3FE=9E

當點尸與點8重合時，如圖3,

D

E

過點E作9/13。交8(7于點〃，則C/7=3,E77=3百，

BH=BC-CH=l-3=4,

在RtABHE中,BE=dBH2+EH。=游+(3后=而＞6,

,此時，△bEG的周長最大，最大值為38￡=3，而；

...△EEG的周長的最小值為9#,最大值為3月；

②如圖4,當N在CQ上時，

作CMLA3于M,點、尸關(guān)于AB的對稱點N在。C上,

OF=ON=CM,CM=—BC=—

22

.?.。尸=電

2

,

在Rtb80/'中，ZOBF=ZABC=60°f

773

?,?5/=必「3=7,

sin60乖）

???C廣=14,

如圖5,當N在。￡上時,

???N與9關(guān)于A3對稱，

???/ABN=/ABC=6。。,

VZBAC=60°,

???ZABN=ZBAC=60°f

：.BN//AEf

,AEAP

??嬴一而，’

'：AD//BC,

??.△ADEs/\CME,4APDs/\BPM,

.AD_AE_1APAD

?"MC~MC~6'PB~MB'

.7_1

??荻

：.MC=42,

：.MB=MC-BC=42-7=35,

.APy1

??訪一行—W'

.J__J_

??嬴/，

：?BN=5,

:?BF=BN=5,

：.CFf=2

/.2<CF<14.

5.（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）問題情境:

在數(shù)學課上，老師給出了這樣一道題：如圖1,在aABC中，AB=AC=6,/BAC=30。，求BC的長.

探究發(fā)現(xiàn):

⑴如圖2,勤奮小組經(jīng)過思考后發(fā)現(xiàn)：把AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADE,連接8。，BE,利用

直角三角形的性質(zhì)可求8C的長，其解法如下：

過點B作BHLDE交DE的延長線于點H,則BC=DE=DH-HE.

AABC繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADE,AB=AC=6,ZBAC=30°,二....

請你根據(jù)勤奮小組的思路，完成求解過程.

拓展延伸：

(2)如圖3,縝密小組的同學在勤奮小組的啟發(fā)下，把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。后得到AAOE,連接

BD,CE交于點R交AB于點G,請你判斷四邊形AOFC的形狀并證明；

(3)奇異小組的同學把圖3中的△8G尸繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接AF,發(fā)現(xiàn)的長度不

斷變化，直接寫出A尸的最大值和最小值.

【答案】(1)過程見解析；BC=3娓-3垃;(2)四邊形AOFC是菱形；證明見解析；(3)AF的最大值

是6石，最小值是12-66.

【分析】(1)過點2作交DE的延長線于點先證明△AE2是等邊三角形，再證明是等

腰直角三角形，并且求得30。，根據(jù)直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理

即可求出E"的長和的長，進而求出OE的長，再由。E=BC求得BC的長；

(2)四邊形ADPC是菱形，先求出NACP=NAE/=30。，NADF=NABF=30。,ZCAD^ZCAE+ZDAE

=150°,則/C77n=360°—NACF—NAOF—/C4￡>=150°,可證明bC〃AQ,FD//AC,則四邊形A￡>PC是平

行四邊形，而AD=AC,即可證明四邊形AD/C是菱形；

(3)作PK_LAB于點K,連接AP,先證明NKR1=45°,則AK=FK,由/FBK=30°得3F=2PK,

根據(jù)勾股定理求得BK=石相，然后再由尸K+百相=6,求出尸K的長，即可求出的長，再根據(jù)兩點

之間線段最短求出AF的最大值和最小值即可.

【詳解】解：（1）如圖2,過點8作交OE的延長線于點"，則BC=DE=DH-HE.

:△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△AOE,AB=AC=6,ZBAC=30°,

：.ZCAE=ZBAD=90°,ZDAE=ZBAC=30°,

AD=ABfAE=AC,DE=BC,

：.ZBAE=ZCAE-ZBAC=60°,AD=AB=AE=6,

???硬是等邊三角形.

；?BE=AB=6,ZAEB=ZABE=60°f

180。一/朋C

ZC=ZABC==75。，

2

“180。一/ZME

NAED二=Z/ADE=----------------=75°,

2

???ZHBE=180o-60°-75o=45°,

:?HE=HB,ZH=90°,

ZABD=ZADB=45°,

：.ZBDH=ZADE-ZADB=30°f

,?*BD=y/AD2+AB2=762+62=6&，

**-HE=HB=g80=30，DH=4BD2-BH2=J(6"(3衣2=3a,

：.BC=DE=DH-HE=3而-3正，即BC的長為3布-30.

(2)四邊形AO尸C是菱形.

證明：:△A5c繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。得到△ADE,AB=AC=6,NA4C=30。(如圖3),

ZCAE=ZBAD=120°,NDAE=N8AC=30。，

AD^AB,AE=AC,DE=BC,

：.AE=AC=AB=AD.

180°-ZCAE

???ZACF=AEF==30°,

2

]80o_25AD

ZADF=ZABF30°,

2

,/ZCAD=ZCAE+ZDAE=150°,

ZCFD=360°-ZACF-ZADF-ZCAD=150°,

AZACF+ZCAD=180°,ZACE+ZCFD=180°,

：.FC//AD.FD//AC,

???四邊形ADFC是平行四邊形，

9：AD=AC,

???四邊形AQb。是菱形.

(3)解：如圖3,作尸A3于點K,連接A?

???四邊形A0尸。是菱形，

:,CF=DF,

VZBCF=ZEZ)F=75o-30o=45o,BC=DE,

???△BCFmAEDF(SAS),

:?BF=EF,

'：AB=AE=6,AF=AF,

：./\BAF^/\EAF(SSS),

???ZBAE=120°-30°=90°,

：.ZBAF=ZEAF=45°,

ZAKF=ZBKF=90°,

：.ZKAF=ZKFA=45°,

：.AK=FKf

'：ZFBK=30°,

：.BF=2FK,

*.*BK=^BF2-FK2=d(2FK)2一FK?=6FK,

???AK+5K=A8=6,

FK+6FK=6,

FK=36—3,

8/=2（3石-3）=66-6,

VAB-BF<AF<AB+BF,A3-3F=6-（6/一6）=12-6由，AB+BF=6+（6A/3-6）=6V3,

n-6y/3<AF<6y/3,

當點尸在線段AB的延長線上，如圖4,則A尸=42+8/=6石，此時AF的值最大，等于66；

當點尸在線段上，如圖5,貝U4尸=48-8/=12-6月，此時""的值最小，等于12-6右.

綜上所述，AF的最大值是66,AF的最小值是12-6—.

6.(2022.貴州遵義.統(tǒng)考一模)如圖1,將等腰直角二角形AEF繞著正方形ABC。的頂點A順時針旋轉(zhuǎn),

己知正方形的邊長為如，AE^AB.

圖1圖2圖3圖4

(1)如圖2,連接。E,BF,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與。E的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是

(2)如圖3,連接CE在旋轉(zhuǎn)過程中，求CE的最大值和最小值；

(3)如圖4,延長B尸交。E于點G,連接CG,若DG:GB=1:3,求GC的長.

【答案】(1)BF=DE,BF1DE；

(2)CF的最大值為&U+好，最小值為

22

8.710+^/170

6

【分析】(1)延長8尸交A。于點“，交。E于點G,由四邊形ABC。是正方形得A8=AZ),ZBAD=9Q°,

TfffAF=AE,ZEAF=90°,所以/BAF=/ZHE=90°-NZMR即可證明△&UWZVME,得BF=DE,

ZABF=ZADE,則ZADE+ZGHD=ZABF+ZAHB=9Q0,即可證明BFLDE-,

(2)連接4C,因為正方形的邊長為若，根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)“兩點之間線段

AC-AF<CF<AC+AF,可知當CQAC-AF時，CP的值最小，當CQAC+A/時，C尸的值最大，求出

CF的最大值和最小值即可；

(3)連接①)，作￡>/_LCG于點/,則由正方形ABC。的邊長為石，DG-.CB=1：3

AB=CB=CD,根據(jù)勾股定理求得8G,取8。的中點。，連接。G、OC,以點。為圓心、以0G長為半徑

作圓，則點2、C、。、G都在。。上，可得ZCGD=ZCBD=45°,ZGCD=ZGB，可求得GI=DI=DG-smZCGD,

再根據(jù)tanZGCD=tanZGB￡?求出CI的長，即可求出CG的長.

【詳解】(1)如圖2,延長2尸交AD于點交DE于點G,

?.?四邊形A8C。是正方形，

：.AB=AD,NBA￡>=90。，

：.AF=AE,ZEAF=90°,

：.ZBAF^ZDAE=900-ZDAF,

：./\BAF^/\DAE(SAS),

：.BF=DE,ZABF=ZADE,

,/NAHB=/GHD,

：.ZADE+ZGHD=AABF+ZAHB=9Q°,

：.ZDGH=90°,

：.BFLDE,

故答案為：BF=DE,BFLDE.

匚AE=-AB

(2)如圖3,連接AC,?.?正方形的邊長為‘5,2

:.AB=BC=亞，,AF=AE=K