專題05銳角的三角比與解三角形（5大考點）

考點概覽

考點01三角比的概念及求值

考點02解直角三角形相關計算

考點03仰角俯角問題

考點04坡度坡比問題

考點05方位角問題

克"三宙比的挑念及求值

1.（2025?上海崇明?一模）在銳角VABC中，如果各邊長都縮小為原來的那么2的正弦值（）

A.擴大為原來的2倍B.縮小為原來的g

C.大小不變D.不能確定

2.（2025?上海楊浦?一模）在中，NC=90。，AB=4,AC=1,那么sinB的值是（）

A.-B.叵C.叵D.V15

4154

3

3.（2025?上海黃浦?一模）在RtZkABC中，已知NC=90。，cosA=—,那么sin3的值為（）

4

3434

A.—B.—C.—D.一

4355

4.（2025?上海金山?一模）已知中，ZC=90°,AC=3,AB=5,那么下列各式中，正確的是（）

333a

A.sinB=—B.cosB=—C.cotB=—D.tanB=-

5555

5.（2025?上海虹口?一模）在RtAABC中，已知/C=90,AB=5,BC=3,那么—3的正切值為（）

3344

A.—B.—C.—D.一

5453

3

6.（2025?上海普陀?一模）在RtZkABC中，ZACB=90°,如果sinB=M，那么cosA的值是（）

3344

A.—B.—C.—D.一

4553

2

7.（2025?上海靜安?一模）如果銳角A的余弦值為：，下列關于銳角A的取值范圍的說法中，正確的是（）

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

8.（2025?上海嘉定?一模）如圖，在直角梯形A5CD中，AD//BC,?D90?,如果對角線AC,AB,那

A.sinBB.cosBC.tanBD.cotB

9.（2025?上海松江?一模）在VABC中，ZC=90°,AB=3,AC=2,下列結論正確的是（

2222

A.tanA=—B.cotA=—C.sinA=—D.cosA=—

3333

10.（2025?上海閔行?一模）用含特殊銳角的三角比的式子表示：72=

11.（2025?上海寶山?一模）如圖,在區1/\至。中，NACB=9O。，如果O、E分別是邊AB,AC的中點，BC=4,

VADE的面積是5,那么NACD的正切值是

12.（2025?上海奉賢?一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD,CE分別是邊AC、AB上的中線，且

BDLCE,那么tan/ABC=.

13.（2025?上海嘉定?一模）在等腰VABC中，AB=AC,如果AB:3C=3:2,那么sin/朋C的值是.

14.（2025?上海長寧?一模）已知在VABC中，AB=AC=3,BC=2,那么/BAC的正弦值等于.

15.（2025?上海普陀?一模）如圖，VABC中，AB=AC,AB的中垂線。E分別與A3、BC交于點E、D.如

果8。=4,DC=5,那么的余弦值為

4

16.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在Rt^ABC中，NA2C=90,3。，AC于。，如果cotA，那么cos/CBD

的值是________

ADC

17.（2025?上海靜安?一模）如圖，已知ABC的三個頂點均在小正方形的方格頂點上，那么sinC的值是

18.（2025?上海楊浦?一模）已知矩形ABCD（AS）,點E是邊A。的中點，將，ABE沿8E翻折，點A

的對應點廠恰好落在對角線AC上，那么tanZFBC=.

:直分解直言三龜形相關計算

19.（2025?上海奉賢?一模）在平面直角坐標系的第一象限內有一點尸。尸=10,射線OP與1軸正半軸的夾

3

角為如果sina=§,那么點尸坐標為.

3

20.（2025?上海楊浦?一模）在RtZXABC中，ZACB=90°CD1AB,垂足為點。，BC=9,cosZACD=~,

f4

那么A5的長為—

2

21.（2025?上海閔行?一模）在中，ZC=90°,AB=10,cosA=-,那么直角邊AC長為.

2

22.（2025?上海普陀?一模）已知VA5C中，ABAC=90°,AD是邊3C上的高，cotZ￡）AC=-.如果3。=4,

那么AD=.

23.（2025?上海黃浦?一模）如圖，已知點。是VABC的重心，BOVCO,tanZCBO=-,如果3。=8,那

4

么點A、。的距離為.

24.（2025?上海青浦?一模）在VABC中，NC=90°,點。、￡分別在邊AB、AC±,且垂直平分A3.聯

結BE,如果tanNA=],那么cos/C3E=.

25.（2025?上海虹口?一模）如圖，在RtZSABC中，ZABC=90°,AC=5,tanC=2,。是AC上的動點，

將△BCD沿3。翻折，如果點C落到△ABD內（不包括邊），那么CD的取值范圍是.

A

26.（2025?上海長寧?一模）如圖，在一副三角尺中，ZBAC=ZEDF=90°,4=30。，NE=45°,AB=EF,

分別過點A、點。畫4G、交邊BC、邊EP于點G、點4,如果AG分割VABC得到的兩個三角形與

A（Z

分割J）EF得到的兩個三角形分別相似，那么痣的值為.

DH

3

27.（2025?上海長寧?一模）如圖，已知在VABC中，高AD、8E相交于點P,tanC=-,BD=CE=6,

2

3

28.（2。25?上海寶山一模）如圖，在RAABS'ZACB=9。。河3卞AC=6"是斜邊AB上任意一點,

點、E、尸分別是.AC。、3CD的重心，那么四邊形CEDF的面積是

29.（2025?上海寶山?一模）如圖，已知VA3C,AB=AC=4,ZB=30°,。是邊BC的中點，線段AB繞

點。順時針旋轉得到對應線段A3,，線段AE與AC,BC分別交于點E1,如果，EFC是直角三角形，那么

AE的長是

A

30.（2025?上海徐匯?一模）如圖，lx//l2//l3,且乙和4之間的距離是14和4之間的距離是2,ABC的三個

頂點分別在4，，4上，AC與4交于點D,如果2C，AC,tan/A4C=；,那么3。的長是.

3

31.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,A2=5,sin2=g，點E,。分別在邊A3,

BF4

2c上，—如果NC4Z）=N3,那么BE的長是.

32.（2025?上海長寧?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,3C=6.點E在邊AD上，連接BE,,_ABE

沿著8E翻折，點A的對應點是點尸，連接ED.如果那么點尸到CD的距離為.

33.（2025?上海靜安?一模）如圖，在.ABC中，BO是“ABC的中線，BC=2BD,AC=65tanA=；,

那么AB的長為

,C

D

34.（2025?上海虹口?一模）過三角形的重心作一條直線與這個三角形兩邊相交，如果截得的三角形與原三

角形相似，那么我們把這條直線叫做這個三角形的“重似線”，這條直線與兩邊交點之間的線段叫做這個三

4

角形的“重似線段如圖，在VABC中，AB=10,tanB=~,tanC=2,點。、E分別在邊A3、AC上,

如果線段DE是VA3C的“重似線段”，那么DE=.

4

35.（2025?上海松江?一模）如圖，在VABC中，ZC=90°,tanB=-,E是邊A3上一點，將,3CE沿直線

CE翻折，點3的對應點為？，如果A?BC,那么黑的值為.

36.（2025?上海長寧?一模）如果一個銳角的正弦值等于黃金分割數，那么我們稱這個角叫做黃金角.如圖,

在中，ZABC=90°,NA是黃金角，點。在邊AC上，且嗎，連接瓦〉

（1）找出圖中相等的線段并說明理由;

（2）如果AB=6,求瓦）的長.

37.（2025?上海青浦?一模）如圖，在菱形A3CD中，AB=5tanZCBD=1.

（1）求對角線3。的長;

⑵求sinZABC的值.

38.（2025?上海金山?一模）如圖，在矩形A8CD中，AB=2,BC=4,對角線AC,8。相交于點。，點、E

在邊AD上，且/AEO=NAOE.

（1）求AE的長；

⑵求tanZAEO的值.

39.（2025?上海楊浦?一模）如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC,/BCD=90。,8c=8,AC=2A/10,

sinZDAC=^

⑴求BD的長；

⑵求NABD的正切值.

3

40.(2025?上海虹口?一模)如圖，在VABC中，AB=10,BC=5,sinB=y,點。、E在BC的延長線上,

連接AD、AE,且AD=AC.

⑴求tanZADC的值;

⑵如果NE=NB4C,求。E的長.

41.(2025?上海閔行?一模)如圖，已知直線y=2x-4與尤軸交于點A,與>軸交于點8,與雙曲線》在

X

第一象限分支交于點C,過點C作無軸的平行線，交y軸于點。，OB=2OD.

(1)求點A、B的坐標;

(2)求上的值；

(3)求sinZACO的值.

42.(2025?上海松江?一模)如圖，在VABC中，，3=60。，BC=6,8^=6^.

(1)求A3的長；

(2)在3C邊上取一點。，使CD=2,連接AD,求NC4D的正切值.

43.(2025?上海寶山?一模)一副三角尺由兩塊直角三角尺組成，其中一塊是含30。角的直角三角形，另一塊

是含45。角的直角三角形.用這兩塊三角尺可以拼成一個四邊形ABCD(如圖)，設=

(1)用含。的代數式直接表示：AD=_.

(2)求/BDC的正切值.

考克板仰角俯角冏泉

44.（2025?上海奉賢?一模）在測量過程中，常常會遇到仰角和俯角，圖中是俯角的角是（）

水平線

A.Z1B.Z2C.Z3D.Z4

45.（2025?上海青浦?一模）如圖，點P是航拍飛機在某一高度時的位置，3”是地平線，PH±BH,PC//BH,

A3是某大型建筑物的斜面.從點尸觀測點8的偏角是（）

A.ZHPBB.NCPBC.NAPBD.NPBA

46.（2025?上海楊浦?一模）小海在距離地面高60米的熱氣球中測得地面上的著落點尸的俯角為37。，那么

此時熱氣球離著落點尸的距離約是（）（參考數據：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75）

A.75米B.80米C.100米D.?米

47.（2025?上海普陀?一模）如圖，斜坡瓦）的長為7米，在斜坡3。的頂部。處有一棵高為3米的小樹（點

A、D、C在一直線上），ACLBC,在坡底B處測得樹的頂端A的仰角為30。，那么這個斜坡的坡度為

D

B

48.（2025?上海徐匯?一模）如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處測得一棟樓頂部C處的仰角是37，測

得這棟樓的底部8處的俯角是60。，熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是米

（精確到0.1米）.（參考數據：sin37?0.60,cos37?0.80,tan37<0.75,6al.7）

?考克加戒京版比冏泉

49.（2025?上海崇明?一模）如果斜坡的坡度i=l：6,那么斜坡的坡角等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

50.（2025?上海閔行?一模）如圖是一個學校司令臺的示意圖，司令臺離地面的高CD為2米，平臺BC的長

為1米，用7米長的地毯從點A到點C正好鋪滿整個臺階（含各級臺階的高），那么斜坡鉆的坡比是（）

A.z=l:1.5B.z=l:2C.z=l:3D.i=l:3.5

51.（2025?上海靜安?一模）已知一坡面的坡度i=l:g,那么這個坡角等于一0.

52.（2025?上海奉賢?一模）已知一個斜坡的坡角為坡度為1:2,那么cosa=.

53.（2025?上海青浦?一模）如圖，梯形A8CD是某水庫大壩的橫截面.已知壩高A￡=8m,如果將坡度為1：血

的斜坡改為坡度為1:2的斜坡AP,那么大壩底部應加寬m.（結果保留根號）

54.（2025?上海金山?一模）如圖，一座大樓前的殘疾人通道是斜坡，用A3表示，沿著通道走3.2米可進入

樓廳，樓廳比樓外的地面高04米，那么殘疾人通道的坡度為.（結果保留根號的形式）

考點方方佟宙冏泉

55.（2025?上海楊浦?一模）如圖，小島A在港口P的西南方向，一艘船從港口尸沿正南方向航行12海里后

到達8處，在B處測得小島A在它的南偏西60。方向，那么小島A離港口尸有海里.（結果保留根號）

56.（2025?上海徐匯?一模）如圖，貨船A在燈塔P的北偏西60。方向，客船8在燈塔P的東北方向，客船B在

貨船A的正東方向，如果貨船A與客船B相距50千米，那么客船8與燈塔P的距離約是千米（結

57.（2025?上海長寧?一模）如圖，點A位于點C的北偏西60。方向，點8位于點C的東北方向，線段AB為

一條東西向的公路的一部分，如果點C到公路的距離是1006米，那么公路A3的長為.

B

北4

專題05銳角的三角比與解三角形（5大考點）

■考點概覽

考點01三角比的概念及求值

考點02解直角三角形相關計算

考點03仰角俯角問題

考點04坡度坡比問題

考點05方位角問題

F考克夕三言比的就念及於怯

1.（2025?上海崇明?一模）在銳角VABC中，如果各邊長都縮小為原來的那么NA的正弦值（）

A.擴大為原來的2倍B.縮小為原來的g

C.大小不變D.不能確定

【答案】C

【知識點】正弦的概念辨析

【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

根據銳角三角函數的定義，即可得到答案.

【詳解】解：在銳角中，每個邊都縮小為原來的;，那么每個角的大小都不變，

???NA的正弦值不變，

故選：C.

2.（2025?上海楊浦?一模）在RtZkABC中，ZC=90°,AB=4,AC=1,那么sinB的值是（）

A.-B.巫C.巫D.V15

4154

【答案】A

【知識點】求角的正弦值

【分析】本題考查了求角的正弦值，熟練掌握正弦的定義是解題的關鍵.

由正弦的定義即可直接得出答案.

【詳解】解：如圖,

sin底小」,

AB4

故選：A.

3

3.（2025?上海黃浦?一模）在RtZXABC中，已知NC=90。，cosA=—,那么sinB的值為（）

4

3434

A.-B.-C.一D.-

4355

【答案】A

【知識點】解直角三角形的相關計算

【分析】此題考查了解直角三角形，關鍵是熟練銳角三角函數的定義.畫出圖形，表示出COS■花丁再根

據sin8的定義求解即可

【詳解】解：如圖所示，cosA=—=-,

AB4

4.（2025?上海金山?一模）已知Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,那么下列各式中，正確的是()

33

A.sinB=-B.cosB=—C.cotB=—D.tanB=^

555

【答案】A

【知識點】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值

【分析】本題考查求銳角三角函數值，根據銳角三角函數的定義，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：???NC=90。，AC=3,AB=5,

；?BC=d"W=4'

??.sin八些二，8s於生」，的人變，，tan八生3

AB5AB5AC3BC4

故選A.

5.（2025?上海虹口?一模）在RtZkABC中，已知NC=90,AB=5,BC=3,那么N3的正切值為（）

3344

A.-B.—C.—D.—

5453

【答案】D

【知識點】用勾股定理解三角形、求角的正切值

【分析】本題考查銳角三角函數定義，勾股定理，利用勾股定理求得AC的長度，然后求得的正切值即可.

【詳解】解：???在RtAABC中，已知NC=90。，AB=5,BC=3,

???AC=V52-32=4>

5AC4

tan/B=---

BC3

故選：D.

3

6.（2025?上海普陀?一模）在RtA4BC中，ZACB=90°,如果sin3=g,那么cosA的值是（）

3344

A.-B.-C.D.-

4553

【答案】B

【知識點】求角的余弦值

【分析】本題考查互余兩角三角函數的關系，根據互余兩角三角函數的關系進行解答即可.

【詳解】解：,??在RtZkABC中，ZACB=9Q°,ZA+ZB=90°,

.-.cosA=sinB=-

5

故選：B.

2

7.（2025?上海靜安?一模）如果銳角A的余弦值為下列關于銳角A的取值范圍的說法中，正確的是（）

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】C

【知識點】特殊三角形的三角函數

【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，熟知銳角三角函數的余弦函數值隨角增大而減小是解答此題的關

鍵.先求出cos30。，cos45。及cos60。的近似值，然后得出結論即可.

【詳解】解：cos30°=—?0.9,cos45°=—?0.7,cos60。=工=0.5,

222

又「cos4=340.67,余弦函數隨角增大而減小，且工〈冬〈立，

3232

450<ZA<60°.

故選：C.

CD

8.（2025?上海嘉定?一模）如圖，在直角梯形A5CD中，AD//BC,1D90?,如果對角線ACLAB,那么不

的值是（）

A.sinBB.cosBC.tanBD.cotB

【答案】B

【知識點】兩直線平行同旁內角互補、求證同角三角函數關系式

【分析】本題考查了三角函數的比值關系，平行線的性質，熟悉掌握角三角函數的比值關系是解題的關鍵.

利用角的等量代換和三角函數的比值關系求解即可.

【詳解】解：???？090?,

CD

cosZACD=,

AC

-AD//BC,

???ZDCB=180°-ZD=180°-90°=90°,

-AC±AB,

.-.ZC4B=90°=ZDCB,

.-.ZACD+ZACB=90o,ZB+ZACB=90°,

；.ZB=ZACD,

CD

cosZACD=-----=cosB,

AC

故選：B.

9.（2025?上海松江?一模）在VA5C中，ZC=90°,AB=3,AC=2,下列結論正確的是（）

2222

A.tanA=一B.cotA=—C.sinA=—D.cosA=—

3333

【答案】D

【知識點】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值

【分析】本題考查銳角三角函數定義，根據銳角三角函數的定義即可求得答案.

【詳解】解：已知NC=90。，AB=3,AC=2,

???BC=^AB--AC2=#)-

???A、tanA=—=^,故選項錯誤;

AC2

B、cotA=—=^,故選項錯誤;

BC5

C、sinA=—=^,故選項錯誤；

AB3

sr2

A、cosA=——=—,故選項正確；

AB3

故選：D.

10.（2025?上海閔行?一模）用含特殊銳角的三角比的式子表示：也=.

【答案】2sin45°

【知識點】特殊三角形的三角函數

【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，根據45。的正弦值等于也求解即可.

2

【詳解】解:???sin45°=也，

2

.,■V2=2sin45°,

故答案為：2sin45°.

11.（2025?上海寶山?一模）如圖，在RtZVIBC中，NACS=90。，如果￡）、E分別是邊A3,AC的中點，BC=4,

VADE的面積是5,那么NACZ）的正切值是.

2

【答案】）/0.4

【知識點】求角的正切值、與三角形中位線有關的求解問題

【分析】本題考查了三角形中位線的性質與判定，求正切；根據三角形中位線定理得出OE的長，再結合VADE

的面積得出AE的長，進而得出AC的長，最后將NACD轉化為ZA即可解決問題.

【詳解】解：D、E分別是邊AB,AC的中點，

.?.DE是VABC的中位線，

DE//BC,DE^-BC.

2

又'ZACB=90°,BC=4,

:.ZAED=90°,DE=2,

.〔DE垂直平分AC,

/.DA=DC,

:.ZACD=ZA.

一ADE的面積是5,

:.-AE-2=5

2f

則AE=5,

.\AC=2AE=10.

在RtZkABC中，

BC42

tanAA=-----=——=—,

AC105

2

.?.tan/ACD=tanA=一：.

5

2

故答案為：—.

12.（2025?上海奉賢?一模）等腰三角形ABC中，A5=AC,5。、CE分別是邊AC、AB上的中線，且BD工CE,

那么tanNABC=.

【答案】3

【知識點】重心的有關性質、三線合一、斜邊的中線等于斜邊的一半、求角的正切值

【分析】設50與CE交于。，連接A。并延長交3C于點由題意得，點Q為VA5C的重心，則H為3c中

點，AQ=2QH,則△。跳/為等腰直角三角形，設QH=根，則3"=九AQ=2相，即可求解.

【詳解】解：設與CE交于。，連接A。并延長交3C于點H,

A

由題意得，點Q為VABC的重心,

H為BC中點,AQ=2QH

：AB=AC,

■.AHIBC,

-.-BD±CE,H為BC中點

：.QH=HB=HC=；BC,

■AHIBC,

??.△QB"為等腰直角三角形,

.,.設QH=m,則BH—m,AQ—2m,

,,八一AH3m-

?**tan/ABC=---=—=3,

BHm

故答案為：3.

【點睛】本題考查了求一個角的正切值，等腰三角形的性質，重心的性質，直角三角形的性質等知識，熟練掌握

知識點是解題的關鍵.

13.（2025?上海嘉定?一模）在等腰VABC中，AB=AC,如果A5:3C=3:2,那么sin/54c的值是.

【答案】逑

9

【知識點】用勾股定理解三角形、求角的正弦值

【分析】本題考查求角的正弦值，勾股定理.過點B作3DLAC,根據鉆:3C=3:2,不妨設AS=AC=3,

BC=2,設CD=x,勾股定理列出方程求出C。的長，進而求出3D的長，再根據正弦的定義即可求解.

【詳解】解：過點8作BDJ.AC,如圖，設CD=x,

AB-.BC=3.2,

.??不妨設AB=AC=3,BC=2,則：AD=3-x,

在RtZkADB中，BD2=AB2-AD2>

在RtACDB中，BD2=BC2-CD2,

■■AB2-AD2BC2-CD2，即：32-（3-x）2=22-x2,

2

解得：x=-,

：.CD=~,

3

BD=-CD2=,

3

4」

在RtzMDB中，.BD丁472,

sinABAC=——=——=-----

AB39

故答案為：逑.

9

14.（2025?上海長寧?一模）已知在VABC中，AB=AC=3,BC=2,那么/BAC的正弦值等于

4

9-

【知識點】三線合一、用勾股定理解三角形、求角的正弦值

【分析】本題主要考查了正弦的定義，等腰三角形的性質等知識，過點A作于點過點C作CKLAB

于點K.根據等腰三角形的性質和勾股定理得出A8,再根據等面積法求出CK,再根據三角形正弦的定義求解

即可.

【詳解】解：如圖，過點A作于點H,過點C作CKLAB于點K.

A

：.BH=CH=L

??AH=YIAB2-BH2=V32-l2=2V2，

-CK1AB

：,-BCAH=-ABCK

22f

BCAH士2-2及_4也

1…=1。=亍

22

4也

□Z_W|

'sinZBAC=-

AC3-9

故答案為:還.

9

15.（2025?上海普陀?一模）如圖，VABC中，AB=AC,A3的中垂線。E分別與A5、BC交于點E、D.如果

BD=4,DC=5,那么ZB的余弦值為

3

【答案】-/0.75

4

【知識點】線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質和判定、相似三角形的判定與性質綜合、求角的余弦值

【分析】連接AD,先利用等腰三角形的性質可得=NC,再利用線段垂直平分線的性質可得

BE《BA,DA=DB=4,從而可得NB=/BAD，然后利用等量代換可得：ZBAD=ZC,從而可證

2

△BAD^ABCA,最后利用相似三角形的性質求出54的長，從而求出BE的長，再在火/.BED中，利用銳角三

角函數的定義進行計算即可解答.

【詳解】解：連接也，

-AB=ACf

???DE是A3的垂直平分線，

:.BE=-BA,DA=DB=4

2f

:.ZB=ZBAD,

，/BAD=NC,

NB=NB,

??ABAD^ABCA,

.BABD

一法一廟’

.?.研=5050=（4+5）x4=36,

??.BA=6或BA=-6（舍去），

:.BE=-BA=3,

2

一工八BE3

在RtBED中，cosB=----=—,

BD4

3

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，根

據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

4

16.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在Rt^ABC中，/A8C=90,8。_LAC于。，如果cotA=],那么cos/CBD

的值是.

ADC

4

【答案】j/0.8

【知識點】用勾股定理解三角形、求角的余弦值

【分析】此題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數定義是解題的關鍵.根據直角三角形的性質求出

ZA=/CBD,貝i」cosNCBD=cosA,再根據銳角三角函數定義求解即可.

【詳解】解：???/A5C=90,5O，AC,

ZA+ZABD=ZCBD+ZABD=90°,

ZA=NCBD,

44

vcotA=—,

3

設A3=4x,BC=3x,

?,AC=dAB2+BC2=5%，

cosZCBD=cosA==—

AC5

、，4

故答案為：—

17.（2025?上海靜安?一模）如圖，已知,ABC的三個頂點均在小正方形的方格頂點上，那么sin。的值是一

【答案】嚕

【知識點】求角的正弦值、勾股定理與網格問題

【分析】本題考查了三角形函數、勾股定理.首先根據網格求出三角形的三邊，在三角形中過點A作

利用三角形的面積公式求出的長度，再根據正弦的定義求出結果.

【詳解】解：如下圖所示，過點A作ADLBC,

在，ABC中AB=3，AC=JC+32=廂，BC=^2+42=5-

S?=-BCAD=-AD,

ABrC22

當以AB為，ABC的底邊時，對應的高為3,

S?—x3x3—,

ABC22

：.-AD=-

22f

9

解得：AD=-f

9

「.sini二599M.

ACM5A/W50

故答案為：嚕

18.（2025?上海楊浦?一模）已知矩形ABC。（AD>AB）,點E是邊A。的中點，將一ABE沿BE翻折，點A的

對應點廠恰好落在對角線AC上，那么tanNEBC=.

【答案】

44

【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題、求角的正切值

【分析】延長昉交C。于點G,連接EG,由矩形的性質可得AB=CD,AB//CD,NBAE=/BCD=ND=90°,

由兩直線平行內錯角相等可得/區4P=NGCR,由折疊的性質可得AE=FE,AB=FB,ZBAE=ZBFE=90°,

由等邊對等角可得N&1F=NAEB,利用鄰補角互補可得/EFG=180。-/3EE=90。，由對頂角相等可得

NAFB=NCFG,進而可得NGCF=NCFG,由等角對等邊可得FG=CG,由點E是AD邊的中點可得

AE=DE,進而可得。E=FE,利用HL可證得Rt,EFG=RtEDG,于是可得_FG=DG,進而可得。G=CG,

則CG=LCD=LA3,FG=-AB,即AB=2尸G,BF=2FG,BG=3FG=3CG,利用勾股定理可得

222

_________

BC=\IBG2-CG2=2辰G，然后根據tanNFBC="即可得出答案?

nC

【詳解】解：如圖，延長即交C。于點G,連接EG,

四邊形ABC。是矩形,

:.AB=CD,AB//CD,NBAE=/BCD=ND=90°,

:.ZBAF=ZGCF,

將，ABE沿班翻折，點A落到點尸處,

:.AE=FE,AB=FB,ZBAE=ZBFE=90°f

,\ZBAF=ZAFB,

ZBFE+ZEFG=180°,

/.ZEFG=180。—ZBFE=90°,

又，ZAFB=ZCFG,

:"GCF=/CFG,

:.FG=CG,

N￡FG=90。，

.\ZEFG=ZD=90°,

點E是AQ邊的中點，

AE=DE,

:.DE=FE,

又，EG=EG,

/.RtEFG2RtEDG(HL),

:.FG=DG,

:.DG=CG,

:.CG=-CD=-AB

22f

:.FG=-AB

2f

.\AB=2FGf

:.BF=2FG,

/.BG=3FG=3CG,

BC=A/BG2-CG2=^(3CG)2-CG2=2卮G,

:.tanNFBC=^=4='=立,

BC2V2CG2V24

故答案為：孝

【點睛】本題主要考查了求角的正切值，矩形的性質，兩直線平行內錯角相等，折疊的性質，等邊對等角，利用

鄰補角互補求角度，對頂角相等，等角對等邊，線段中點的有關計算，全等三角形的判定與性質，線段的和與差,

勾股定理等知識點，熟練掌握折疊的性質及勾股定理是解題的關鍵.

T點w解直宙三宙形相關計算

19.（2025?上海奉賢?一模）在平面直角坐標系的第一象限內有一點尸，。尸=10,射線。尸與x軸正半軸的夾角為。，

3_

如果sina=g,那么點尸坐標為.

【答案】（8,6）

【知識點】用勾股定理解三角形、已知正弦值求邊長

【分析】過點P作PMLx軸于點利用三角函數的定義，勾股定理，點的坐標的意義解答.

本題考查了正弦函數的應用，勾股定理，坐標的確定，熟練掌握正弦函數，勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點P作尸軸于點

.PM3

???sma=-----=—,OP=10,

OP5

3

.-.PM=10x-=6,

5

?1?OM=4OP--PM2=V102-62=,100-36=病=8，

???點尸（8,6）.

故答案為：（8,6）.

3

20.（2025?上海楊浦?一模）在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為點￡）,BC=9,cosZACD=-,

4

那么AB的長為

【答案】12

【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、余弦的概念辨析、己知余弦求邊長

【分析】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，余弦的定義，已知余弦求邊長等知識點，熟練掌握余弦的

定義是解題的關鍵.

由NACB=90。可得NACD+/BCD=90。，由CD，AB可得NCD3=90。，由直角三角形的兩個銳角互余可得

3BC3

NBCD+NB=90。,進而可得NB=NACD,貝（jcos=cos/ACD=—，gpcosZB=—=一，由此即可求出A5

4AB4

的長.

.?.ZACD+ZBCD=90。,

CDA.AB,

：.ZCDB=90°f

:.ZBCD+/B=90。,

.\ZB=ZACD,

3

cosZB=cosZACD=一,

44

:.AB=-BC=-x9=12

33f

故答案為：12.

2

21.（2025?上海閔行?一模）在中，ZC=90°,AB=10,cosA=-,那么直角邊AC長為

【答案】4

【知識點】已知余弦求邊長

【分析】本題考查解直角三角形.先根據余弦定義求得AC即可.

【詳解】解：如圖，

CB

2AC

?.?在RtZXABC中，ZC=90°,AB=10,cosA=-=—,

5AB

22

.-.AC=-AB=-xlO=4,

55

故答案為：4.

2

22.（2025?上海普陀?一模）已知VABC中，ZBAC=90°,AD是邊上的高，cot/D4C=].如果班＞=4,

那么AD=.

【答案】6

【知識點】解直角三角形的相關計算

【分析】本題考查了余切的定義，根據已知可得/8=90。-/9鉆=/%。，進而根據余切的定義，得出

7?力9

cot3=—即可求解.

AD3

【詳解】解：如圖所示,

VA6C中，ZBAC=90°,AD是邊上的高,

=90°-ZDAB=ZDAC

2

vcotZDAC=—

3

???89=4,

???AD=6,

故答案為：6.

3

23.（2025?上海黃浦?一模）如圖，已知點。是VA6C的重心，BO±CO,tanZCBO=-,如果50=8,那么點