2024-2025學年高二下學期期中數學試卷(提高篇)

參考答案與試題解析

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.(5分)下列說法中不正確的是()

A.若隨機變量X?N(l,02),P(X<4)=0.79,則P(X<—2)=0.21

B.若隨機變量X?則期望E(X)=￥

a7

C.已知隨機變量X的分布列為P(X=i)=證而(i=l,2,3),則p(x=2)=g

D.從3名男生，2名女生中選取2人，則其中至少有一名女生的概率為看

【解題思路】根據正態分布的性質判斷A,根據二項分布的期望公式判斷B,根據分布列的性質求出a,即

可判斷C,根據古典概型的概率公式判斷D.

【解答過程】對于A：隨機變量X?N(l"2)且p(x<4)=0.79,

則P(X<-2)=P(X>4)=1—P(X<4)=0.21,故A正確；

對于B：隨機變量X?則期望E(X)=10xg=與,故B正確；

對于C：因為P(X=0==1,2,3),所以P(X=1)=],尸(X=2)=,p(x=3)=最,

所以]+2+工=1,解得a=g,所以P(X=2)=j故C錯誤；

對于D：從3名男生，2名女生中選取2人，則其中至少有一名女生的概率「=小詈=看，故D正確；

故選：C.

2.(5分)甲、乙等5人計劃去上海、蘇州及青島三個城市調查農民工薪資情況.每個人只能去一個城市,

并且每個城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數為()

A.150B.300C.450D.540

【解題思路】先分組再分配，結合排列組合即可求解.

【解答過程】把5人分組有兩類情況：1:1:3和2:2:1.

先把5人按1:1:3分組，有量種分組方法，

按2:2:1分組，有甯種分組方法，

cr22

因此不同分組方法數為禺+第r,

八2

再把三組人安排到三個城市，有A?種方法，

所以不同分配方法種數是（髭+甯）Ag=（10+15）X6=150.

故選：A.

3.（5分）已知直線丁=k%+b既是曲線丫=e'的切線，也是曲線丫=-e—久的切線，貝!J（）

A.k=e,b=0B.k=l,b=0

C.k=e,b=-1D.fc=l,b=-1

【解題思路】曲線y=e、上的切點為。i，d】），曲線y=-e-上的切點為（%2，-已一外），由題意可得

{e%i-——e~X2-Xoe~X2—b'求解即可.

【解答過程】設曲線y=e、上的切點為。1￡句），曲線y=—e-上的切點為（%2,—eT2）,

X1X2

e=e~=kX1-X2

%1(e=e=k

v(ex)z=ex,(—e-x)z=e-x,kxi+b=e=>teX1—%xeX1=-e~X2—xe~X2=b

X22

kx2+b=—e~

解得{b=0

fc=e'

故選：A.

4.（5分）我國古代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”.后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，現提

供5種顏色給圖中的5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同.記事件4“區域2

和區域4顏色不同”，事件8：“所有區域顏色均不相同”，貝〃（8|力）=（）

【解題思路】由已知，結合條件概率公式求解即可.

【解答過程】事件4“區域2和區域4顏色不同唧從5種顏色選出兩種放入區域2和區域4,

再從剩余的3種顏色選出一種放入區域5,剩余的區域1和區域3分別都有兩種選擇，

即有A2禺禺6=240種，

48事件有第=120種,

所以P(BM)=e^=舒氣，

故選：C.

5.(5分)已知/(%)=(2-%)8=的++。2%2+…+。8%8,則下列描述正確的是()

A.西+。2+…+。8=1

B./(—I)除以5所得的余數是1

8

C.|G1|+|a2|+-+|a8|=3

38—1

D.。2+。4+。6+。8=~2~

【解題思路】利用賦值法即可判斷ACD,根據二項式展開式的通項即可求解B.

828

【解答過程】/(x)=(2-x)=a0+arx+a2x+...+a8x,

.?.令％=1,可得/(l)=劭+的+劭+…+。8=1，再令工=0,可得a()=28,

+。2+…+。8=1—=1—2?=-255,故A錯誤.

由于|劭|+|。1|+Itt21+…+Itt8b即(2+%)8展開式各項系數和系數和，

故|劭|+|@i|+|徇1+…+1為1=3%A\a±\+|即1+■■■+\as\=38—28,故C錯誤.

844432

由題意，/(-I)=3=9=(10-1)=C2-1O-CJO?10+C?o?10-C?0-10+1,

顯然，除了最后一項外，其余各項均能被5整除，/(-I)除以5所得的余數是1,故B正確.

因—CLQ+CL-^+0,2+…+CLQ—1,/(—1)—CZg—+。2一?a?+=3?

所以。0+。2+。4+。6+。8=?廣,

所以。2+。4+。6+。8=?廣-2%故D錯誤.

故選：B.

6.(5分)已知函數/(%)=cos%+e久，且。=/(2)、b=c=/(ln2),則a、b、c的大小關系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】根據題意，求導得廣(%)，即可得到/(%)在(0,+8)上單調遞增，從而可比較函數值的大小關系.

【解答過程】由/(%)=cosx+e*可得4(%)=-sin%+ex,

當%>0時，「(第)=—sinx+ex>—sinx+1>0,

所以/(%)在(0,+8)上單調遞增，

又(-1112=上詈=處/<0,所以(<ln2,

即(<ln2<2,則f@</(ln2)<f(2),

所以b<c<a.

故選：D.

7.(5分)不透明口袋中有n個相同的黑色小球和紅色、白色、藍色的小球各1個，從中任取4個小球，f表

示當律=2時取出黑球的數目，〃表示當n=3時取出黑球的數目，則下列結論中成立的是()

A-E⑹(伙磔刀仔尸0⑺B.E(f)>EQD(9<D⑺

C-E⑹⑹>Dg)D.%)>伙〃)網口>。8)

【解題思路】當n=2時，J的可能取值為1,2,分別求出相應的概率，進而求出期望和方差；當幾=3時，〃

可取1,2,3,分別求出相應的概率，進而求出期望和方差，再比較即可得解得.

【解答過程】當兀=2時，。的可能取值為1,2,

Pg=l)-C4-pP(f=2)_C4-p

7QQQ74QA

因此E(f)=ixg+2X]m，%)=^xm+元X1元；

當n=3時，〃的可能取值為I,2,3,

PO7=1)=甯=",P(”=2)=管=|,05=3)=^=",

1al1312

因止匕E(〃)=lXg+2Xg+3Xg=2,D(??)=lx-+Ox-+lx-=-,

所以E(f)<ES),D(f)<0(77).

故選：A.

8.(5分)設函數〃>)=[ax—On+l)eX](ax—Inx)(其中e為自然對數的底數)，若存在實數。使得/(久)

<0恒成立，則實數”的取值范圍是()

A.-1,+8)B.(—1,+8)C.(e?-1,+8)D.(-oo;——1)

【解題思路】由題意可得<0等價于[a—⑺+等)<0,

令g(x)=W，/i(x)=(??+1)亍，函數y=。(久))和函數y=h(x)的圖象，一個在直線y=a的上方，一個在直線

y=a的下方，等價于一個函數的最小值大于另一個函數的最大值，即可得出答案.

【解答過程】函數/(%)的定義域為(0,+oo),由/(%)V0得[a%—(m+l)ex](ax—Inx)<0,

所以[a-(TH+等)<0.令9(%)=等附%)=(m+1)亍，

由題意得，函數y=g(%)和函數y=九(久)的圖象，一個在直線y=a的上方，一個在直線y=a的下方，等價

于一個函數的最小值大于另一個函數的最大值，

由g(x)=等(x>o)得g'O)=

所以當xe(0,e)時，g<x)>0,g(x)單調遞增，當x€(e,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

所以g(x)max=9(e)=詈=|>g(x)無最小值，

由h(x)=(m+1)^(尤>0)得，"(X)=。"+"：2tAO'

若爪+1<0時，當x6(0,1)時，/iz(%)>0,九(乃單調遞增，當x6(1,+8)時，h'(x)<0,h(x)單調遞減，所

以八(久)有最大值，無最小值，不合題意，

若m+1>0時，當％6(1,+8)時，h.'(x)>0,h(x)單調遞增，當時刀6(0,1),h'(x)<0,/i(x)單調遞減，所

以八(%)min=八⑴=(巾+l)e,則由九⑴>g(e)即(m+l)e>|■且m+1>0,得m>?l.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)甲、乙、丙、丁、戊五名同學站成一排拍照留念，下列結論正確的是()

A.站成一排不同的站法共有120種

B.若甲和乙不相鄰，則不同的站法共有36種

C.若甲站在最中間，則不同的站法共有24種

D.若甲不站排頭，且乙不站排尾，則不同的站法共有78種

【解題思路】由排列組合及簡單計數問題，結合分步乘法計數原理及分類加法計數原理及不相鄰問題插空

法逐一判斷即可.

【解答過程】對于A,甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，不同的站隊方式共有Ag=120種，A正確；

對于B,甲和乙不相鄰的站隊方式有A達％=72種，B不正確；

對于C,甲在最中間的不同的站隊方式有A》=24種，C正確；

對于D,若甲站排尾，則乙與其余三人可任意排，此時的排法數為A才種；

若甲不站排尾，則先從中間3個位置中選一個給甲，再從除排尾的剩余的3個位置中選一個給乙，其余的

三個人任意排，則此時的排法數為禺段A郛中，

所以不同的站法有A今+CK必,=78種.

故選：ACD.

10.(6分)甲、乙兩人進行趣味籃球對抗賽，約定比賽規則如下：每局比賽獲勝的一方積1分，負者積0

分，無平局，積分首先達到3分的一方獲得最終勝利，比賽結束.若甲每局比賽獲勝的概率為|,且每局比

賽相互獨立，X表示比賽結束時兩人的積分之和，則()

A.X服從二項分布

B.P(X=3)=：

C.比賽結束時，甲、乙的積分之比為3:1的概率為卷

D.隨機變量X的數學期望為嘿

【解題思路】利用二項分布的特征判斷A；計算概率判斷BC；求出分布列及期望判斷D.

【解答過程】對于A,X的可能取值為3,4,5,而二項分布的隨機變量取值是從0開始的連續自然數，

因此X不服從二項分布，A錯誤；

對于B,X=3表示比賽結束時，賽了3局，要么是甲勝3局，要么是乙勝3局，

73-131

因此P(X=3)=(|)+(1)B正確；

對于C,比賽結束時，甲、乙的積分之比為3:1,則甲乙共賽4局，第4局甲勝，前3局甲輸1局，

概率為髭(|)2'江|=捺，C正確；

對于D,P(X=3)=iP(X=4)=C|(|)2xix|+Ci(1)2x|xi=^

P(X=5)=C1(|)2X(|)2=^,E(X)=3X《+4X甥+5X^=^,D正確.

故選：BCD.

11.(6分)已知函數/(%)=a%3_6Q%2+1(Qw0)有且僅有三個不同的零點分別為％則()

A.a的范圍是(一8,*)B.a的范圍是(±,+8)

C.=一1D.+%2+%3=6

【解題思路】求出((%),分a<0、a>0討論，利用導數求出極值可判斷AB；利用/(%)=a(x-x1)(x-x2)

32

(%—x3)=ccx-6ax+1可判斷CD.

【解答過程】/'(久)=3ax2-12ax=3ax(x-4)(aW0),

令尸(久)=。,解得%=°或％=4,

當a<0時，

當xE(4,+8)時,廣(%)<0,/(%)單調遞減，

當％6(-8,0)時,廣(%)<0,/(%)單調遞減，

當xe(0,4)時，f(x)>0,f(x)單調遞增，

所以f(0)極小值=1>0，f(4)極大值=64a—96a+1=1-32a>0,

此時函數/(x)只有一個零點，不符合題意；

當a>0時，

當％6(4,+8)時，f(%)>0,/(x)單調遞增，

當X6(-8,0)時，f'(x)>0,f(x)單調遞增,

當％6(0,4)時，［(x)<0,f(x)單調遞減，f(0)極大值=1>。，

要使/CO有三個不同的零點，則

1

/(4)極小值=64。-96。+1=1—32。<0,解得a>豆，故A錯誤，B正確；

因為函數/(%)=ax3-6ax2+l(aH0)有且僅有三個不同的零點分別為％1加,%3，

則/(%)=1)(%-%2)(%-%3)

3

=ax—a(x1+%2+%3)久2+a(%i%3++%2%3)%—

=ax3—6ax2+1

艮|3有一a%l%2%3=1，+%2+%3=6,%i%3+%1%2+X2X3=。，

故C錯誤，D正確.

故選：BD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

320

12.(5分)已知a=1+C%2+嗡22+^02+…+C^2,則a被10除所得的余數為1.

【解題思路】首先利用二項式定理化簡a,再將a寫成。=32。=91。=(10-1)1。，再利用二項式定理的展開

式，即可求解.

2202020

【解答過程】a=C%2°+%2+C|02+%23+...+C^2=(1+2)=3,

10101098

a=320=9=(10-1)=10-Ci0xIO+C？ox10-...-C?0x10+1,

987

=10(10-Ci0x10+島x10-...-C?0)+1

所以a被10除所得的余數為1.

故答案為：1.

13.(5分)為了組建一支志愿者隊伍，欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊的

隊長，設事件力為“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B為“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，則

P(*B)=—五一

【解題思路】利用條件概率公式即可求解.

【解答過程】P(B)=l-f=||,P(AB)=譬詈=,=*

所以PQ4|8)=瑞：4饋

35

故答案為：1^.

14.(5分)設函數〃>)在R上存在導數廣(久)，對于VxeR,有/(一久)+/(%)=尤2,且在(0,+8)上，恒有「(久)

—比<0.若有/(2—M)—/(et)>2—2eJ則實數t的取值范圍為［0,+8).

【解題思路】令g(x)=/(x)-#,判斷g(x)的奇偶性、單調性，再由/(et)N2—2/得g(2—et)2g

(e)利用g(x)的奇偶性、單調性求解即可.

【解答過程】令9(尤)=f(x)-52,XER,則g(x)+g(-x)=f(x)+=0,所以g(x)為奇函數，

又因為xe(0,+8)時，g'(x)=/,(x)-x<0,所以g(x)在(0,+8)上單調遞減，

故g(x)在R上單調遞減，

/(2_et)_/(et)=g(2-ety)+1(2—ec)2(e^_|(et)2-g(2—et)_g(et)+2-2ef>2-2et,

所以g(2—et)Ng(e>故2-eYel解得tNO,

即實數t的取值范圍為［0,+oo),

故答案為：［0,+8).

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)若(1—2%)7=劭++???+求：

(1)。］+0.2+…+07；

(2)|劭|+同+???+\a7\.

【解題思路】(1)利用賦值法求出結果；

(2)去絕對值，再令第=-1即可.

727

【解答過程】(1)(1-2%)=劭+a1x+a2x+...+a7x,

令第=0,解得劭=1；

令汽=1,整理得。0++…+@7=-1，

故Q1+做+。3+…+。7=-2;

(2)令X=-1.可—+。2—。3+。4—。5+。6—。7=3，=2187,

(l-2x)7的展開式通項為幾+1=Q.(-2x)k=Q-(-2)kxfe,則耿=G-(-2)k,

其中0WkW7且keN,

當k為偶數時，ak>0；當k為奇數時，ak<0.

所以|的|+|a1l+,,,+\a7\=a0-a[+a2-a?+04—05+a^-a-j=2187.

16.(15分)某芯片制造企業采用流水線的方式生產芯片.原有生產線生產某型號的芯片需要經過三道工

序，這三道工序互不影響.已知三道工序產生不合格產品的概率分別為春、士、士，三道工序均合格的產品

成為正品，否則成為次品.

(1)求該企業原有生產線的次品率；

(2)為了提高產量，該企業又引進一條新生產線加工同一型號的芯片，兩條生產線生產出的芯片隨機混放在

一起.已知新生產線的次品率為強，且新生產線的產量是原生產線產量的兩倍.從混放的芯片中任取一個,

計算它是次品的概率.

【解題思路】(1)根據題意，利用獨立事件的概率乘法，求得企業原有生產線的正品率Pi=冬，進而求得

該企業原有生產線的次品率；

(2)記“任取一個芯片來自原生產線”為事件4“任取一個芯片來自新生產線”為事件況記“任取一個芯片

是次品”為事件B,分別求得P(4),P(X),P(B\A),結合P(B)=P(a)P(BM)+P(Z)P(B|4),即可

求解.

【解答過程】⑴解：該企業原有生產線的正品率為Pi=(l-5)x(1—+)x(1—表)=系

所以該企業原有生產線的次品率為

p=1-P1=1-(1-4)X(1-表)X(1一』=1/X號X葛=言

(2)解：記“任取一個芯片來自原生產線”為事件4“任取一個芯片來自新生產線”為事件

記“任取一個芯片是次品”為事件B,

則P⑷P3)號,且P(BM)=。，P(B⑷=擊，

__1oo17

所以P(B)=P(4)P(BM)+P(Z)P(B|&)=iX-+-x-=—.

即從混放的芯片中任取一個，它是次品的概率為2.

17.(15分)如圖，從左到右有5個空格.

(1)若向這5個格子填入0,1,2,3,4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0,則一共有多

少不同的填法？(用數字作答)

(2)若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂

法？(用數字作答)

(3)若把這5個格子看成5個企業，現安排3名校長與5個企業洽談，若每名校長與2家企業領導洽談，每

家企業至少接待1名校長，則不同的安排方法共有多少種(用數字作答).

【解題思路】(1)先將0排好，再排其他數字即可；

(2)先涂第一個格子，再涂第二個格子，依次進行，求出每步的方法種數，即可得解；

(3)法一：從5家企業中選一家，再從3位校長中選2位，再從剩下4家企業中選2家安排另外一位校長，

進而可得出答案.

法二：先將五家企業分為3份，再將這3份分給3位校長即可.

【解答過程】(1)分2步：①第三個格子不能填0,則0有4種選法；

②將其余的4個數字全排列安排在其他四個格子中有A》種情況，

則一共有4A才=96種不同的填法；

(2)根據題意，第一個格子有3種顏色可選，即有3種情況，

第二個格子與第一個格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，

同理可得：第三、四、五個格子都有2種情況，

則五個格子共有3x2x2x2x2=48種不同的涂法；

(3)法一：根據題意，有一家企業與2位校長談，其余4家企業只與1位校長談，

第1步：從5家企業中選一家瑪，

第2步：從3位校長中選2位第，

第3步：從剩下4家企業中選2家安排另外一位校長鬣，

第4步：在第2步選中的兩位校長，每位還要安排一家企業A*

因此有最鬣鬣A芻=180種.

法二：五家企業記為4,B,C,D,E,把這五家企業分為3份，

如(4B),(CD),(￡?),

含有E的這一份要從B,C,。取一家組成2家，如取/得(舊4),

前面分三份會出現(4E),因此有登Cxg,

然后再分給3位校長Ag,

「212-i

因此總排法有甯-C|x|xAi=180#.

18.(17分)某加盟連鎖店總部對旗下600個加盟店中每個店的日銷售額(單位：百元)進行了調查，如

圖是隨機抽取的50個加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖.若將日銷售額在[16,18)的加盟店評定為“四星

級”加盟店，日銷售額在[18,20]的加盟店評定為“五星級”加盟店.

(1)根據上述調查結果，估計這50個加盟店日銷售額的平均數和中位數(同一組中的數據用該組區間的中點

值為代表，結果精確到0.1);

(2)若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額X?N(〃,6.25),其中〃近似為(1)中的樣本平均數，根

據X的分布估計這600個加盟店中“五星級”加盟店的個數(結果精確到整數)；(參考數據：若X?N

貝[jP?—awXW〃+<7)=0.6827,P(/2—2cr<X</J.+2a)~0.9545,3<r<X<^+3<r)

?0.9973.)

(3)該加盟連鎖店總部決定對樣本中“四星級”及“五星級”加盟店進一步調研，現從這些加盟店中隨機抽取3

個，設y為抽取的“五星級”加盟店的個數，求丫的概率分布列與數學期望.

【解題思路】(1)由平均數和中位數的計算公式計算即可得出答案；

(2)由(1)知〃=13,(T=2.5,由正態分布的性質求出P(X>18)的概率，即可求出這600個加盟店中“五

星級”加盟店的個數；

(3)求出y的所有可能取值和每個變量對應的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的數學

期望.

【解答過程】(1)由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為[6,8],(8,10],(10,12],(12,14].(14,16],

(16,18],(18,20]

的頻率分別為0.08,0.10,0.20,0.24,0.20,0.12,0.06,

.??估計這50個加盟店日銷售額的平均數為：

7X0.08+9X0.10+11X0.20+13X0.24+15X0.20+17X0.12+19x0.06=12.96?13.0(百元).

■,-0.08+0.10+0.20<0.5,0.08+0.10+0.20+0.24>0.5,

.??中位數在(12,14]內，設中位數為x百元，

則0.08+0.10+0.20+0.12(久一12)=0.5,解得x=13.

.??估計中位數為13百元.

(2)由(1)知〃=13,

,.”2=6.25,cr=2.5,

1—09545

；.P(X>18)=P(X>〃+2a)?；?0.023,

.??估計這600個加盟店中“五星級”加盟店的個數為600X0.023?14.

(3)由(1)得樣本中“四星級”加盟店有50x0.12=6(個)，“五星級”加盟店有50x0.06=3(個)，

的所有可能取值為0,1,2,3,

Q一總20_5P/V八一姻4515

p(y=°)=磊=豆=五，p(y=D=&=麗=28,

r、C6C3183八C11

pD(ryv=2)=7f=^=五，「(丫=3)=磊=麗

.?.y的概率分布列為

Y0123

51531

P

21281484

S1431

???E")=OX五+1X西+2X五+3X正=1.

19.(17分)已知函數/(%)+(q-i)%-]n%,aER.

⑴討論/(%)的單調性;

(2)當a>0時，證明：/(%)>2-￡；

_2

(3)若函數/0)=a*2f一/(幻有兩個極值點X],比2(%1<X2<3))求FQ1)-5(尤2)的取值范圍.

【解題思路】(1)求出函數f(x)的導數，再按aW0,a>0分類討論導函數值大于0、小于0的解集.

(2)由(1)的信息，求出/(X)的最小值，再證明〃X)minN2弓，構造函數并利用導數證明不等式.

(3)求出函數尸(X)的導數，由極值點的意義求得％1+X2