專題10幾何綜合題(解答題25題壓軸題)

1.(2025?上海崇明?一模)已知RtA4BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CDLAB,垂足為D,點、F

是線段CO上一點(不與C、￡＞重合)，過點3作班上AF交AF的延長線于點E,AE與BC交于點H,連

接CE.

AHBH

⑴求證:

CH~EH

(2)當CE/AB時，求CE的長;

(3)當△CFH是等腰三角形時，求C"的長.

2.(2025?上海靜安?一模)如圖，在V4BC中，AB=AC=5,BC=8,。是BC中點，E在54延長線上,

F在AC邊上(P不與點AC重合)，ZEDF=NB.

(1)求證：ABDEsACFD；

(2)求證：ED平分ZBEF；

(3)設CF=x,M=y,求＞關于尤的函數解析式，并寫出定義域；

(4)連接AD、CE,如果四邊形AOCE有兩個內角互補，求CF的長.

3.(2025?上海青浦?一模)已知梯形ABCD中，AD//BC,3C=4AD,點E在邊A3上，AE=1,BE=2,

聯結DE.

⑴如圖1,聯結EC,求工E4D與，￡BC的面積之比；

(2)如圖2,如果NEDC=90。，ZDEC=ZDCB,求的正切值；

DE

(3)如圖3,聯結AC交DE于點F,如果ZM'DFDE，且:不衰懿凡求邊BC的長.

4.(2025?上海徐匯?一模)如圖，在VABC中，AB=AC=5BC=2,點。是邊AC的中點，點M,N

是射線33上的動點(點M在左邊)，以CM為一邊作/MOV=/ABC.

備用圖

⑴求8。的長;

(2)當點M是VABC的重心時，求OV:3N的值:

(3)如果是以MN為腰的等腰三角形，求3M的長.

4

5.(2025?上海黃浦?一模)已知平行四邊形ABCD中，AB=9,BC=5,sinB=-,尸是邊AB上一動點,

pp2

過點P作PE，尸C,交射線C。于點E,交AC于點H,尸是尸E上的點,=連接CF.

⑴求證：NBAC=NPCF；

⑵當,APCSEFC時，求線段3P的長;

(3)當學七=；時，求瞿的值.

、APHCJAC

6.(2025?上海松江?一模)在矩形ABC。中，AB=8,AD=10.點E、F分別在邊AB、8C上，AFLDE,

垂足為點

⑴求AGDE的值；

(2)當*'=2①7時，求AE的長；

(3)連接“，如果歸是等腰三角形，求NEDC的正切值.

7.(2025?上海閔行?一模)如圖1,在VA3C中，AB=BC,NABC>90。，點。在邊AC上，直線/經過點

D,與線段A3交于點E,且點A關于/的對稱點A在射線A3上.

(1)如圖2,當點A與點B重合時，求證：BC2=ADAC;

(2)當點A在線段A3的延長線上時，聯結AC,BC交AO于點

CF

i)當直線5C經過△ACD的重心時，求大的值；

AA

ii)如果_ANC是直角三角形且=求ZA的正切值.

8.(2025?上海普陀?一模)在八年級的時候，我們曾經一起研究過一種三角形：如果三角形的一個角的平

分線與一條邊上的中線互相垂直，那么這個三角形叫做“線垂”三角形，這個角叫做“分角”.它的一個重要性

質為：“分角”的兩邊成倍半關系.這個性質的逆命題也成立.

利用以上我們研究得到的結論，解決以下問題：

已知VABC是“線垂”三角形，AB<BC,/ABC是VABC的“分角”.

(1)如圖1,8。是VABC的角平分線，AE是VABC的中線，AE與3D相交于點E求BF：ED的值；

(2)在圖2中畫VA3c的一條分割線，使所分成的兩個三角形都成為“線垂”三角形，并指出各自的“分角”，

說明理由；

⑶在(2)的條件下，記分割得到的兩個三角形“分角”的平分線交于點。，點。與點A、B、C的距離分別

為。、b、c,求a、b、c滿足的等量關系.

9.(2025?上海虹口?一模)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZBCD=90°,CD=2,E是CD的中點，AC.

BE交于點、F,且NACD=2/EBC.

AD

不

BC

(1)求證：CE=CF-

⑵如果3c=2AD,求tanZABC的值；

Ar)

(3)如果NABE=NACB,求的值.

10.(2025?上海長寧?一模)己知在VABC中，AC=3C,點￡)、￡’、廠分別在邊A3、AC.3c上，且

ZADE=NBDF,連接￡F.

&x且

HFCBFC

圖1圖2

4

(1)如圖1,如果=DELEF,求NED尸的余切值：

(2)如圖2,連接CO交所于點G,如果AE能=2E等G，求E名C的值；

BF3GFFC

⑶如果AE=2,EC=1,ZCEF=ZAED,VADE與EFC相似，求AD的長.

11.(2025?上海奉賢?一模)如圖，矩形ABCD中，AB=2BC,點E在射線54上，點p在射線3c上，且

DFYDE,射線EF與對角線AC交于點G,與射線DC交于點

(1)當點E在線段54上時，求NDFM的正切值；

(2)當G是AC中點時，求得的值；

(3)當3c=3,且aDGM與ZXT相似時，直接寫出AE的長.

12.(2025?上海金山?一模)已知三角形ADE的頂點E在三角形A3C的內部，點。、點E在直線AC同側.

(1)如圖1,連接89、BE、CE,若VABC和VADE是等邊三角形時，點C、D、E三點共線，CE:DE=1:2,

求SADE：SABC的比值；

(2)如圖2,連接3D、BE、CE(點C、D、E三點不共線)，NBAC==相(0<”<90),若鉆=AC,

AD=AE,求NBEC-NDBE的值(用含〃的代數式表示)；

(3)若VABC是等腰三角形，AB=BC=5,AC=8,點E在高而上，點。在的延長線上，

連接AE并延長交邊3C于點P,連接。P,DA,當NDAE=ZABH,△ABD與V3D尸相似時，求E4的

長.

13.(2025?上海嘉定?一模)如圖1,在VABC中，AB=AC,過點C作CDLAB,垂足為點。，點。在

邊上(不與點A重合)，點E是邊AC上的點，且滿足CD=CE,設左=tanB.

備用圖

(2)如圖2,過點。作OHJLBC,垂足為點H,求證：DEf(CH-DH)；

(3)設點F是CO的中點，連接所并延長交邊2c于點G,當△C/G與△3CD相似時，求上的值.

14.(2025?上海楊浦?一模)已知VABC中，?B90?,點。在邊BC上，CD=3BD.

⑴如圖1,當凡8=6,sinC*時，求AD的長;

(2)點E是AC邊上一點，滿足N/4DB=NADE.

AD

①如圖2,當CD?=C￡C4時，求蕓的值;

BC

②當.CDE是等腰三角形時，求/C的余弦值.

15.(2025?上海寶山?一模)如圖，已知VA3c中，ZACB=9Q°,AC=3,3C=2,點E、尸分另I］在邊AC、

A3上(不與端點重合)，BEVCF,垂足為點。.

備用圖

(1)當CE=1時，求AF的長;

(2)當BE=CF時，求tan/CBE值；

(3)連接取，如果尸是直角三角形，求這時四邊形3CEF的面積.

16.(2025?浦東新區一模)在平行四邊形ABCQ中，對角線AC、8。交于點。，尸是線段OC上一個動點

(不與點。、點C重合)，過點P分別作AD、CD的平行線，交CD于點E,交BC、BD于點F、G,

聯結EG.

(1)如圖1,如果PC=2。尸，求證：EG//AC；

AD2OP

(2)如圖2,如果/ABC=90°,——=-,且△OGE與相似，并求——的值；

BC3PC

(3)如圖3,如果BA=3G=BC,且射線EG過點A.請補全圖形，并求NABC的度數.

圖1圖2圖3

專題10幾何綜合題（解答題25題壓軸題）

1.（2025?上海崇明?一模）已知RtZVWC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CDLAB,垂足為D,

點廠是線段CO上一點（不與c、。重合），過點3作鹿交AF的延長線于點與2C交于點

（2）當CE〃相時，求CE的長；

（3）當△CFH是等腰三角形時，求CH的長.

【答案】（1）見解析

14

⑵CE=不

97

⑶5或疝

【分析】（1）根據題意NAEB=NACB,ZAHC=ZBHE,證明△ACHSABEH即可求證；

（2）根據題意可得△CHEs/iAHB,則有NCEH=N/?/,由CE〃AB,得到=如圖所示,

4

作垂足是G,由勾股定理、三角函數的計算得到AB=10,cos/ABC=m，在RtBHG中,

cosZABC=ff,則有±得至！JBH=與，再根據2=*，即可求解；

BHBH54ABBH

（3）根據等腰三角形的判定和性質分類討論:第一種情況：當ZCFH=ZCHF\H,可證平分NC4B,

根據角平分線的性質，銳角三角函數即的計算可解得龍；第二種情況：當NCHF=NHCF時,可得

tanZCHF=tanZCAB,則笑=會，即＜=：，即可求解；第三種情況：當NHCF=NHFC時,結

CHACCH6

合（2）的計算即可求解.

【詳解】（1）解：QBE1AF,

,\ZAEB=90°,

ZACB=90°,

:.ZAEB=ZACBf

NAHC=NBHE,

:.Z\ACHsABEH，

AHCHAHBH

——=——即nn——=——；

BHEHCHEH

AHRH

(2)解：——=——，/CHE=/AHB,

CHEH

,\ZCEH=ZABH,

CEiAB,

ACEH=AHAB,

:.ZABH=ZHAB,

:.AH=BH,

如圖所示，作垂足是G,

QHG.LAB,

BG=-AB,

2

在RtZXABC中，AC=6,BC=8,

4

二.AB=10,cosZABC=-,

:.BG=5,

在RtBHG中,cosZABC=——,

BH

.5_4

,BH-5?

.RH25

4

7

:.CH=BC—BH=—,

4

CEAB,

CE里,即至

ABBH10

?'-C￡=T

(3)解：若是等腰三角形，那么NCFH=NCHF或NFHC=NFCH或ZHCF=NHFC,

第一種情況：當NCF"=NCWF時,

ZCFH=ZAFD.

...ZCHF=ZAFDf

又ACHF+ACAH=ZAFD+AFAD=90°,

:.ACAH=AFAD,

ZACB=90°,即AC_L/CHG1AB,

:.CH=HG,

?；AH=AH,CH=GH,

???一ACH均AG"(HL),

AG=AC=6,

:.BG=AB-AG=4f

在RtZ\B/7G中，tanNA3c=-----

BG

3

.-.HG=4X-=3,BPCW=3

4

第二種情況：當/FHC=/FCH時

ZHCF=NCAB,

/CHF=/CAB,

/.tan/CHF=tanZCAB,

生二”即2s

CHACCH6

.@二l

第三種情況：當NHCF=NHFC時,

ZCFH=ZAFD,

.\ZHCF=ZAFD,

又N〃CF+ZABC=ZAFD+NT^Z)=90。,

.\ZABC=ZFAD

ZABC=ZCEA,

:.ZFAD=ZCEA,

:.CE//AB,

由(2)可知，在RtBHG中，cosZ.ABC=-----,

BH

.5_4

,,-5?

,樸巨

..D11—,

4

77

:.CH=BC-BH=-,§PCH=-；

44

綜上所述，CH=3或9;或=7.

24

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角

形的性質，銳角三角函數的計算，掌握相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的計算方法是解題的關

鍵.

2.(2025?上海靜安?一模)如圖，在VA3c中，AB=AC=5,BC=8,。是BC中點，E在54延長線

上，尸在AC邊上(歹不與點A、C重合)，ZEDF=ZB.

(1)求證：ABDEs^CFD；

⑵求證：ED平分ZBEF；

(3)設Cb=無，所=y,求>關于x的函數解析式，并寫出定義域；

(4)連接AZXCE,如果四邊形AZJCE有兩個內角互補，求CF的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

1632(16、

(3)j=x+---------0<x<—

x5v5)

⑷g或3

【分析】(1)根據等邊對等角可得N3=NC,根據三角形外角的性質可得NCD尸即，結合相似

三角形的判定即可求解；

(2)根據/XBDEsACFD，得到匹=些,即第=空，可證^BDE^/^DFE,得到ZBEA=Z.FED,

DFBDBEBD

即即平分ZBE尸，即可求解;

⑶根據相似三角形的判定和性質得到“CFOsDFE,則隹=百，即。尸2=EQC尸=孫，如圖所示，

EFDF

連接AD,過點尸作于點H,由勾股定理可得OC=4,AD.LBC,AD=3,根據三角函數的

34CH4FH34

計算得到tanC=—cosC=1，在Rt/\FHC中，CF=x，cosC==—,tanC=二—,可求出CH=—x,

4f5CF5cH45

FH=1x,貝1］。以=4-白，在RtADm中，由勾股定理可得。尸2=/7/2+。H2=/一,工+16,所以有

d-1x+16=x-y,由此即可求解；

(4)由(3)可知NADC=90。，分類討論：第一種情況，如果ZADC與NAEC互補，貝|NA￡C=90。，

432

在Rt3EC中，由三角函數的計算可得BE=8C.COSB=8XM=《，結合ABDESACFD,可求解；第二

種情況，如果—ADC與“CE互補，即NDCB=90。，則A￡>〃EC,由題意可得點A也是BE的中點，

即BE=2AB=10,結合△BDEsACFD,可求解；第三種情況，一定是鈍角，則

ZDAE+ZADC>180°(舍)；由此即可求解.

【詳解】(1)證明：?；AB=AC,

.-.ZB=ZC,

???ZEDC=NEDF+ZCDF,ZEDC=ZB+/BED,

又<ZEDF=ZB,

NCDF=ABED,

:.△BDEsACFD；

(2)解：???△BDEs/XCFD,

DEBE

“而一①’

是BC中點，

BD=CD,

DEBEDEDF

——=——，即nn一=——,

DFBDBEBD

.ZEDF^ZB,

ABDEs^DFE,

■■■ZBEA=ZFED,即ED平分ZBEF；

(3)解：???△BDEsACFD,ABDESADFE,

CFD^,DFE,

DF_CF?__

:...----,即DF2-EF,CF—xy,

如圖所示，連接AD,過點尸作FHL3C于點

：AB=AC,O是BC中點，BC=8,

.-.DC=4,ADIBC,

在RtjWC中，AC=5,

???AD=yjAC2-CD2=A/52-42=3，

tanC=—,cosC=—,

45

CH4FH3

在Rt△尸〃。中，CF=x,cosC=——=—,tanC=——=一,

CF5CH4

443343

:.CH=-CF=-x,FH=-CH=-x-x=-x

554455f

4

DH=4——x,

在中，DF2=FH2+DH2+(4—gxj=x2~x+16,

EF=y,DF2=EFCF，

1632

???y=x+-----

x

（4）解：由（3）可知NADC=90。，

第一種情況，如果—4）。與/AEC互補，則NAEC=90。,

在RtAAM中，cos人矍1

432

在Rt中，BE=BCcosB=Sx-=-f

???ABDEs^CFD,

BE_BD

''~DC~~CF'

32

???：_4,

4-CF

解得CF="

2

第二種情況，如果NADC與/DCE互補，即NDCE=90。，則AD〃￡C,

???點。是5C的中點，

???點A也是跖的中點，即5￡=2AB=1。，

???ABDE^ACFD,

BE_BD

''~DC~~CF'

104

???一__一，

4CF

Q

解得CF=g；

第三種情況，,?,S4E一定是鈍角，

,?.ZZME+ZADC>180°（舍）.

5R

綜上所述，當四邊形2CE有兩個內角互補時，C尸的長為彳或9.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，函數解析式的計算,

解直角三角形的計算，掌握相似三角形的判定和性質，解直角三角形的計算是解題的關鍵.

3.（2025?上海青浦?一模）已知梯形A3CZ）中，AD//BC,BC=4AD,點E在邊AB上，AE=1,BE=2,

聯結DE.

AD

B

圖1

(1)如圖1，聯結EC,求,與SBC的面積之比;

(2)如圖2,如果NEDC=90。，ZDEC=ZDCB,求—3的正切值;

DE

(3)如圖3,聯結AC交小于點人如果.=小小，且就35,求邊2c的長.

【答案】⑴：

O

⑵6

(3)BC=2V6

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構

造相似三角形.

40AF

(1)延長DE,交的延長線于點F,可證得AADEs^FBE，從而把=生1」

BFBE2'SBEF\BE)4

S1

進而得出產=w,進一步得出結果；

DEBC乙

(2)延長DE,交CB的延長線于點F,設CD=3a作EG，CF于G,可證得EF=2DE,^CDE^FDC,

從而CD2=DEDF,進而得出學=石，從而得出ZDCB=60°,4=30。，從而得出CF=6a,DF=3鳥,

進而得出跖=2a,EF=2^3a,EG；EF=ga,FG=^EF=^x2^3a=3a,3G=。，進一步得出結果；

222

(3)設A￡>=a,AT=b,以。為圓心，AD長為半徑畫弧，交54的延長線于點H,作于T,

從而DH=A￡)=a,AH=2AT=2TH=2b,ZH=ZH4D=ZB,可證得/,從而/"C=/AED,

從而得出一小凹從而得出筆=翳嘿，根據8S—根據隼畤，從而得出

ATDHEHa答,進一步得出結果?

寶,從而會

ADABBC

【詳解】(1)解:如圖1,延長DE,交CB的延長線于點尸,

ADBC,

■■■△ADEsAFBE,

,AD=A￡=j_SADEJAE?；1

,

'~BF~1^E~2SBEF~yBEJ

BC=4AD,

:.BC=2BF,

q1

.J.EBF_1

「心一5，

.^.EAD_j_

一S.EBC卞

(2)解：如圖2,延長。石，交CB的延長線于點方，作EGLCF于G,

圖2

Z.F+ZECF=ZDCE+ZECF,

:.ZDCE=ZF,

ZCDE=ZCDF,

，△CDESNDC,

.CDDF

'~DE~~CD"

:.CD2=DEDF,

由(1)知，AADEsAFBE,

.DEAE_1BF_1

'''EF~1E~29拓一萬，

:.EF=2DE,

;.DF=3DE,

:.CD2=3DE2,

,?黑地,

DE

ZEDC=90°,

ZC￡D=60°,

：.ZDCB=6009Nb=30。，

在RtZ^CD9中，設CD=3a,則b=6a,DF=3島,

二.BF=2a,EF=26a,

在RtAEFG中，

EG=—EF=6a,FG=EF=x2y/3a=3a,

222

BG=FG—BF=3a-=a,

FGr-

/.tanB==AP；

BG

(3)解：如圖3,以。為圓心，AD長為半徑畫弧，交54的延長線于點作于T,

圖3

設AD=a,AT=b,

DH=AD=a,

.\AH=2AT=2TH=2b,ZH=ZHAD,

ADBC,

:.ZB=HAD,/DAC=ZACB,

,\ZH=ZB,

Dd=DF?DE,ZADF=ZADE,

AADF^AEDA,

:.ZDAC=ZAED,

.\ZAED=ZACB,

/.一HEDjBCA,

.DE_DH_EH

"AC-AB-BC?

cosADAH=cosB,

,DEAT

-AC-AD'

,AT_DH_EH

-AB-AB-BC'

.b_a_b+l

??一=-二,

a34a

BC=4a=2y/6.

4.（2025?上海徐匯?一模）如圖，在VABC中，AB=ACf,3c=2,點。是邊AC的中點，點

N是射線89上的動點（點M在左邊），以CM為一邊作/MQV=/ABC.

備用圖

⑴求的長；

（2）當點M是VABC的重心時，求CN:BN的值：

（3）如果AWCN是以MN為腰的等腰三角形，求8M的長.

【答案】（1）巫

2

⑵好

4

⑶為生好或竺1

1313

【分析】（1）過點A、。作的垂線，垂足分別為E、F,通過解直角三角形求出CP、BF,利用

勾股定理求出。歹，即可解答；

（2）連接40并延長交于點我，根據題意得到AM是的垂直平分線，證明&NCD^一N6C,列

出比例式即可解答；

（3）若△MCN是以MN為腰的等腰三角形，分以下兩種情況：①當MN=NC時，證明DMC^DCB,

求出DM,即可解答；②當MV=MC時，證明BCDsBNC,求得BN=與叵,NC=口叵，過M作

1313

MHLNC,垂足為求出=±姮，即可解答.

【詳解】（1）解：如圖，過點A、。作3c的垂線，垂足分別為E、F,

A

點D是邊AC的中點,

:.CD=-AC=—,

22

在Rt_CFD中，cosZACB=—,CD=—,

52

:.CF=cosZACBlCD=-,

2

13

:.BF=BC-CF=2——=—,

22

、22

DF=ylCD'-CF2=1I=1-

2J2

在RtABPF中，BD=yjBF2+DF2=

（2）解：如圖，連接40并延長交于點//,

點M是VABC的重心,

點M是VABC的三條中線的交點,

是VABC的中線，

AB=AC,

,AW是2C的垂直平分線,

:.BM=CM，

/.Z1=Z4,

AB=AC,ZMCN=AABC,

:.ZACB=ZABC=/MCN,

/.Z1+Z2=Z2+Z3,

,\Z1=Z3,

N3=N4,

Q?N?N,

:…NC"NBC,

V5

.CNCD三卮

,BAF-V

:.CN:BN=—;

（3）解：若是以MN為腰的等腰三角形，分以下兩種情況:

①當MN=N。時，如圖：

N1+N2=N2+N3,

"1=/3,

MN=NC,

ZNMC=ZNCM=N2+N3,

ZWC=Z1+Z4,

/.Z2=Z4,

ZMDC=ZCDB,

:._DMCS_DCB,

DMDC

DCBD

DM

22

:.BM=BD-DM上辿G

22613

②當MN=M。時，如圖:

A

:.ZMCN=AMNC,

:.ZACB=ZMNC,

/CBD=ZNBC,

...BCD^,BNC,

BCBDCD

BNBCCN

即22二2，

BN2NC

.m=巫，心亞

1313

過M作MHLNC,垂足為H,

MC=MN,

,-.NH=-NC=^-

213

cosN=cos/MCN=cosZACB=,

5MN

13

8V13571335/13

:.BM=BN-MN=

131313

綜上，BM為她1或士叵

1313

【點睛】本題考查三角形的綜合運用，主要考查勾股定理、重心的性質、解直角三角形、垂直平分線的

判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判定與性質是解答本題

的關鍵.

4

5.（2025?上海黃浦?一模）已知平行四邊形ABCD中，AB=9,BC=5,sinB=~,尸是邊A3上一動

FP2

點，過點尸作尸交射線C。于點E,交AC于點尸是PE上的點，—連接CF.

⑴求證：NBAC=NPCF；

⑵當APCsEFC時，求線段3P的長；

⑶當1Ag=：時，求槳的值.

、/\PHCJAC

【答案】（1）見解析

理

（3）|或：

4

【分析】（1）過點。作CGLAB,垂足為點G,由sin3=g求出CG=4,由勾股定理的出3G=3,AG=6,

/n…CG2.FP2

所以tanZBAC=—二一，由NCP尸=90。，一二一，

AG3PC3

2

得到tan/PCT=tan/B4C=§,進而可得出結論；

（2）根據平行線的性質以及角的和差關系證出NPCA=/FCD,由APCjEFC,得到ZAPC=ZEFC,

Q

ZBPC=/PFC,所以tan/B尸C=tanNP尸C,求出PG=—,進而可求出B尸的長；

3

SA1FH1

（3）過點H作〃垂足為點M,根據/"=可,得到弁7=彳，證明出,可得

'△PHCJPH3

空=縹=々，由蓼=2可得段=!，然后分兩種情況討論：①當點P在線段PH的延長線上

GCCJPCP尸。3PC2

時；②當點尸在線段尸〃上時；即可解答.

【詳解】（1）解：過點C作CGJLAB,垂足為點G,

BC=5,/BGC=90。，

BC5

.*.CG=4,

:.BG=ylBC2-CG2=3,

AB=9,

.\AG=AB-BG=6,

ZAGC=9Q°,

tanZBAC=—=-

AG3

FP2

ZCPF=90°,——=-,

PC3

2

tan/PCF=tanABAC--,

3

ABAC=ZPCF<90°f

:"BAC=/PCF；

(2)解：過點C作CGLAB,垂足為點G,

四邊形ABC。是平行四邊形,

/.AB//CD,

:.ZBAC=ZACD,

/PCF=/BAC,

:.ZPCF=ZACDf

:.ZPCA=ZFCD,

一APCs」EFC,

/.ZAPC=ZEFCfNBPC=/PFC,

/.tan/BPC=tanZ.PFC,

.CG3

??—―，

PG2

?"I，

17

:.BP=BG+PG=——

3

(3)解：過點"作垂足為點

NFPC=90。，

:.ZMPH-hZCPG=180O-ZFPC=90°f

又NCPG+NPCG=90。，

:.ZMPH=ZPCG,

又/HMP=/CGP=90。,

:._MPHS_GCP,

.MPMHPH

'^GC~~GP~~CP9

qi

q3'

uPHCJ

.FH\

,?麗—記

①當點F在線段PH的延長線上時,

設必/=4,

3

：.GP=1a,MP=2,AM=-a,

2

38

—Q+2+3=9,a=一,

27

ZAMH=ZAGC=90°,

:.^AMH^_AGC,

AHMH_2

~AC~~CG~1

②當點P在線段PH上時，可得尸H=PC,

設MH=b,

3

:.GP=b,MP=4,AM=-b,

2

34

:.b+-b+4+3=9b=-

2f59

ZAMH=ZAGC=90°f

AMHs.AGC,

.AHMH1

'^C~~CG~5J

綜上所述M的值為4或。.

AC75

【點睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、平行線

的性質，掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

6.(2025?上海松江?一模)在矩形A3CD中，AB=8,AD=10.點E、下分別在邊A3、上，AFLDE,

垂足為點

勒圖箸用圖I番用圖2

⑴求的值；

(2)當方產=2包7時，求AE的長；

(3)連接C”,如果aCT汨是等腰三角形，求NEDC的正切值.

4

【答案】⑴2

(2)5

48

(3)§或y或2

AFAB4

【分析】（1）先由矩形的性質證明b649止，即可得==

DEAD5

BFAB44

（2）延長。￡、CB交于M,設AE=x,由△筋尸石得—=—=_,則3歹=一工，證明

AEAD55

_AEHs_MFH得里=任=2,進而得M/=2x,BM=-x,再由AD〃W得絲=也，進而可

HFMF5BEBM

得關于X的一元二次方程，解方程即可；

（3）分三種情況：①當。0=。"=8時；②當CD=CH時；③當。"=時；根據三種情況分別畫

圖求解即可.

【詳解】（1）解：在矩形A3C￡＞中，ZB=ZADC=ZBAD=90°,

AF±DE,

「.△ABF^/\DAE,

又???AB=8,AD=10,

.AFABAr

**DE-AD-5；

(2)解：延長。石、CB交于M,

ABFsDAE,

.BFAB4

'AE~AD~5f

4

則BF=-x,

ZMEB=ZAEH,ZMBE=ZAHE=90°,

.;AEHsMFH,

EHAEc

----=-----=2,

HFMF

MF=2x,BM=—x,

AD//BM,

AE_AD上曹

,奇面T即8r個，

3x2+25x-200=0,

40

解得x—59x———(舍)，

:.AE=5；

(3)解：①當CD=O"=8時，如圖,

AD=10,

BFv

.AH=6,

/￡DC+/I=/I+/2=90。,

.NEDC=N2,

/.tan^EDC=tan/2=—=-=-

AH63

②當CD=CH時，

過點。作OVLDH,垂足為點G,交AD于N（如圖），則HG=DG,

AFLDE,

:.AF〃NC,

,\AN=ND=5AN=FC=BF=5f

75

貝|JAE=

4

tanZEDC=tanZAED=-^^=-

A￡255;

4

③當D"=C"時，

過點H作HP_LCD（如圖），則CP=DP,

:.AH=HF,

DF,貝!IAD=￡＞尸=10,CD=8,

CF=6,BF=4,AE=5,

tan/EDC=tan/AED==——=2.

AE5

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，一元二次方程的應用，銳角三角函數與解

直角三角形、數形結合與分類討論數學思想的運用等知識與方法.

7.（2025?上海閔行?一模）如圖1,在VABC中，AB=BC,/ABC>90。，點。在邊AC上，直線/經

過點。，與線段A8交于點E,且點A關于/的對稱點A在射線A3上.

（1）如圖2,當點A與點3重合時，求證：BC2=ADAC；

（2）當點A在線段A3的延長線上時，聯結A'C,BC交AO于點F.

CF

i）當直線5c經過△ACD的重心時，求大的值；

AA

ii）如果，A”是直角三角形且=求的正切值.

【答案】（1）見解析

（2）i）三=：；ii）-A的正切值為"或立.

AA'237

AR\C

【分析】（1）證明△ABCS2XAD3,得出嘿=2三，則可得出結論；

ADAB

（2）i）延長CF至G,使GF=CF,連接AG,證明DFC^A,FG（SAS）,得出NA'G3=/DCF,證

出BG=AB,則可得出答案；

ii）分三種情況，由直角三角形的性質及勾股定理可得出答案.

【詳解】（1）證明：由題意知&￡>=皮），

■■.ZA=ZABD=ZACB,

ZA=ZA,

AABCS/\ADB,

ABAC

"AD-AB'

AB2=AD-AC,

：AB=BC,

■.BC2=ADAC;

（2）解：i）延長CF至G,使GF=CF,連接A'G,

???直線3c經過^ACD的重心，

■.DF=A'F,

■.■ZDFC=ZA'FG,CF=GF,

DFC沼A,FG（SAS）,

；.ZA'GB=NDCF,

：AB=BC,

：.ZA=ZACB,

：.ZAGB=ZACB=ZAAC=ZBAG,

.-.BG=A'B,

.-.AA!=CG=2CF,

CF_1

"AA7-2；

ii）當NA'CF=90。時顯然不成立.

當NA'FC=90。時，

???ZA'BF=ZA+ZACB=2ZA,

：.ZABF+ZBNF=9Q°,

；.3ZAA'r>=90。，

.-.ZA4,D=ZA=30°,

.百

,,tanNA——；

3

當NC4N=90。時，連接30,

,:/DAB=/DCB,

：.D,B,A,C四點共圓，

ZDBC=ZCA'F=90°,

設A'3=2x,DE=y,

AB=4x,

AE=A'E=3x,

：.BE=A!E-A!B=x,

???DB=^BE2+DE2=M+J,

-ZA