天水一中2024-2025學年度第二學期高一級

第一次階段考試數學試題

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

1.如圖，在三角形048中，若向量3P=2PA,則向量°P=（）

A,--OA+-OBB,-OA--OBC.-OA+-OBD.-OA+-OB

33223333

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量減法的三角形法則化簡已知條件，移項整理即得所求

［詳解］BP=2PA=OP-OB=2（OA-OP）=>3OP=2OA+OB

^OP=-OA+-OB

33

故選：D

2.已知角6的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點尸（-3,-4）,則sin6+］

【答案】B

【解析】

【分析】根據任意角的三角函數的定義求出cos。，再化簡sin［，+］）可求得結果.

八-33

【詳解】由題意得cos*J（_3）2+（_41

5

所以sin[8+曰71）=cos?=

2

故選：B

3.已知向量。與匕的夾角為吃，卜|=&，a-L（a+b）,則問=（）

A.1B.72C.2D.75

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得出a{a+》）=O,利用平面向量數量積的運算性質和定義可求得W的值.

【詳解】因為向量。與b的夾角為T，|a|=J2，aL（a+b\

則a（a+》）=+,卜^cos苧=2+0=2-忖=0,解得忖=2.

故選：C.

einrv1

4.已知角a滿足------------=—,則tana的值為（）

cosa+2sina4

11

A.2B.-2C.-D.——

-22

【答案】c

【解析】

【分析】利用同角的三角函數關系式化弦為切，解正切方程即得.

.、-,sincrtan。11

【詳解】由-------------=----------=-,解得：tana=-.

costz+2sin?1+2tana42

故選：C.

5.已知VA3C的內角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,若A:3：C=l:1:4,則a:/?:c=（）

A.1:1:4B.1:1:2C.2:73:1D.l：l：g

【答案】D

【解析】

TTTT27r

【分析】根據已知得A=—,3=—,C=——，再由正弦邊角關系即可得比值.

663

TT7T/JT

【詳解】由4瓦。€（0,兀）,4:3:。=1:1:4,且A+3+C=TT,則A=—,8=—,C=—,

663

所以a:。：c=sinA:sinB:sinC=—:=1:1:6.

222

故選：D

6.在AABC中，a=15,b=10,A=60°,則cosB=

A2應R20r76NA/6

3333

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理即可得到sin8,進而得到結果.

ab1510.n73

【詳解】由正弦定理得sin^—sin^-G-sin^一-3，b<a：.B<A:.COSB=

V

考點：正弦定理解三角形

7.如右圖，有兩個具有共頂點且全等的正六邊形，若C,D,K共線，且Xe{C,￡>,E,EG,H,/,1,K},

則A&AX共有（）個不同的正值.

A8B.7C.6D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據正六邊形特征，結合數量積的幾何意義即可判斷.

如圖，過C,D,E,G,K作的垂線,

由正六邊形的性質可得：過。,J作直線A3的垂線，垂足為5,G,/作直線A3的垂線，垂足為知3,

其它垂足，如圖所示，

當Xe{C,￡>,及EG,H,/JK}時，

當A9AX20時，4乂在43上的投影向量可以是0,31，45,加12，加/3，血，

由數量積的幾何意義可得ABAE=O,ABAK=\AB\

ABAD^ABAJ^AB^,ABAC=網

AB-AG=AB-AI=^ABUAM3\,AB-AM=|AB|-|AM4|,

所以AB-AX共有5個不同的正值?

故選：B

8.已知函數/'(x)氣2,若存在實數XI、/、/且西＜%＜七,使得

-X+1,尤＜0

/(%1)=/(%2)=/(%；),則%/(玉)+為2/(9)+%/(馮)的取值范圍為()

B.(/fI2]C,「991D,「^2,9-一

【答案】D

【解析】

【分析】作出圖形，利用正弦型函數的對稱性得出々+退=2,可得出//(%)+工2/(々)+退/(%)

=-才-％+2,求出/的取值范圍，利用二次函數的基本性質可求得所求代數式的取值范圍.

故當XW[0,2]時，對稱軸為直線x=l,則4+%=2,

因為/（%）=/（%2）=/（%3），所以,%/（玉）+//（%2）+七/（七）=/（%）（玉+2），

又因為/（石）=_九1+1,

%/（石）+士/（X2）+七/（七）=/（%）（石+2）=（―玉+1）（玉+2）=F2—%+2

i+g

1ii（iY1

由/(毛)=一%+16(1,2]可得石G[-1,0),則-廣網+片相則04底+5卜屋

(1Y99

所以,

xlf(xl)+x2f(x2)+x3f(x3)=-\xl+-\+-e2,-

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于結合正弦型函數的對稱性以及函數解析式將所求代數式轉化為關

于某個量的函數，求出變量范圍后，轉化為值域問題求解.

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分）

9.關于平面向量d,Z?,c,下列說法不正確的是（）

A.\a-bj\aJrb^=cT-b1

B.[a+b^-c=a-c+b-c

C.若a，b=，且awO，則Z?=c

D.{a-b\-c=a{b-c\

【答案】CD

【解析】

【分析】由向量數量積的定義和運算律，對選項逐一進行判斷即可.

【詳解】對于A、B,根據向量的運算法則，及分配律，易知A、B正確；

對于C,當反向且都與&垂直時滿足題設，但Z，wc，故C錯誤；

對于D,是與Z共線的向量，是與。共線的向量，故D錯誤.

故選：CD.

10.已知。是實數，則函數/（x）=l+asinox的圖象可能是（）

【解析】

【分析】分a=0與awO討論，再結合正弦函數的周期，振幅逐項判斷即可；

【詳解】當a=O時，/(%)=1；

當awO時，周期為丁=聲，振幅為何，

對A,當a=0時，/(x)=l,故A正確；

對B,由7>2兀，可得時<1,所以|asin同<1,所以振幅小于2,故B錯誤；

對C,當時<1時，T>2n,故C正確；

對D,由T<2兀可得同〉1,所以|asinat|>l,所以振幅大于2,故D正確；

故選：ACD

11.“費馬點，，是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，

使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”.意大利數學家托里拆利給出了解答，當VA5C的三個內角

均小于120。時，使得==NCQ4=120°的點。即為費馬點；當VABC有一個內角大于或

等于120。時，最大內角的頂點為費馬點.下列說法正確的是()

A,正三角形的費馬點是正三角形的中心

ULLUULUUIU1

B.若P為VA5C的費馬點，且PA+PB+PC^O^則VA5C一定為正三角形

C.若VA5C三邊長分別為1,百,2,則該三角形的費馬點到各頂點距離之和為J7

7T

D.VA5C的內角A,B,。所對的邊分別為mb,c,/A=—,bc=2,若點尸為VA5C的費馬點，

2

則PAPB+PBPC+PCPAn—苴-

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】對A,根據正三角形中心的性質結合費馬點定義易判斷；對B,取的中點。，由

PA+P5+PC=0可得點尸是VABC的重心，再結合條件可得點尸是VABC的中心，得證；對C,利用

三角形旋轉，結合費馬點定義，構造正三角形轉化線段長求解；對D,由向量數量積定義，結合費馬點定

義和三角形等面積法列式求解.

【詳解】對于A,如圖。是正三角形ABC的中心，根據正三角形的性質易得

ZAOB=：ZAOC=ZBOC=120°，所以點。是正三角形ABC的費馬點，故A正確；

對于B,如圖，取A3的中點則PA+P5=2PD，因為PA+P5+PC=0,

UUUUUU

所以PC=—2PD，所以CRD三點共線，且點P是VA5C的重心，

又點尸是VA3C費馬點，則/4尸5=/4「。=/5尸。=120°，

則NAPD=尸￡>=60°，又AD=BD,易得FA=PB,同理可得PC=P5,

所以Q4=尸5=尸。所以點尸是VA3C的外心，所以點尸是VA3C的中心，

即7ABe是正三角形.故B正確；

c

對于C,如圖，在Rt^ABC中，AB=\,BC=g，AC=2,ZACB=30°>

點。是RtAABC的費馬點，將.COL繞點C順時針旋轉60°，得到△。￡￡），

易證—COE,ACD是正三角形，

則OC=OE,OA=DE,CD=AC,且點5O,E,D共線,

所以/BCD=90°，所以BD=4BC2+CD?=小的+2?=布,

又OA+OB+OC=DE+OE+OB=DB=^，

即該三角形的費馬點到各頂點距離之和為近.故C正確;

D

對于D,由費馬點定義可得/4/>5=/4^。=/3尸。=120°，

設叢=x,PB=y,PC=z,x,y,z>0,

,v「?汨1731s/31A/31

田^VABC~^VPAB十,VPA5十^VPAB，口J倚—XV-----1XZ-------1VZ--------X2，

2'222222

整理得孫+丁2+X2=，

所以PA.P5+PB.PC+PC.PA=D1—g）+yz[—g）+xz[—；）

1/\14G2百痂「碎、口

=一一（肛+yz+xz）=--X------=---------,故D錯味.

2V7233

故選：ABC.

【點睛】關鍵點點睛：解答本題首先要理解費馬點的含義，解答D選項的關鍵在于利用三角形等面積法求

中4A/3

出盯+yz+xz=§.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

7171?

[-X+-的單調遞增區間為

【答案】〔24-1,24+￡|（左eZ）

【解析】

【分析】利用正切型函數的單調性可求得函數了（尤）的單調遞增區間.

，兀兀|,由kn-—<—x+—<kn+—(kGZ),

【詳解】對于函數〃x）=tan]

)2242V7

31

可得2左一5<%<2左+]（kwZ）,

所以，函數外力的單調遞增區間為"攵—1>2k+g[(keZ).

故答案為：^2k--,2k+/]（kGZ）.

13.已知同=2,b=（2,2百）,〃?/?=4,則向量a在向量b上的投影向量坐標為____________

【答案】

【解析】

a-b7

求得忖=4,

【分析】根據題意,結合投影向量的計算公式即可得到向量。在向量b上的投影向

量，得到答案.

【詳解】由忖=2,》=（2,2G）,a-b=4,可得慟=4,

設向量。與人的夾角為。,

則向量a在向量b上的投影向量為卜卜"""="：?"=*(2,2我=(1當

故答案為:

14.在平行四邊形ABCD中，AB=i,AD=y[3,AC與BD交于點0,ZAOD=~,則該平行四邊形

ABCD的面積為

【答案】小

【解析】

【分析】利用余弦定理和三角形面積公式求解.

如圖，因為四邊形A3CD是平行四邊形，所以05=0。，設。4=a,05=0。=>

在△A0D中，AOD=,AD=^＞，根據余弦定理

27r

AD2=a1+b2-2abcos——=a2+b2+ab=3,

3

9TTjr

在VAOB中，ZAOB=n--=-,AB=1,根據余弦定理

33

AB2=a~+b2-2a/?cos—=a~+b~-ab=1,

3

兩式相減可得，ab=l.

故答案為：A

四、解答題(本題共5小題，共77分)

15.已知平面直角坐標系中，點。為原點，42,1),5(1,-1),C(3,/n).

(1)若05_LAC，求實數機的值；

(2)若A,B,C三點共線，求實數機的值.

【答案】(1)2(2)3

【解析】

【分析】(1)利用向量垂直列方程求出加；

(2)利用向量共線列方程求出加

【小問1詳解】

因為A(2,l),B(l,-1),C(3,相)，所以03=(1,=

因為05_LAC，所以1x1+(-1)x(m—1)=°，解得：m=2.

【小問2詳解】

因為A(2,l),B(l,-1),C(3,m),所以AB=(—1,—2),AC=(1,加—1).

因為A,B,C三點共線，所以〃—z1=2,解得:m=3.

16.某同學用“五點法”畫函數/(%)=45：111(5+9)+?。＞0,|。|＜3在某一個周期內的圖象時，列表

并填入了部分數據，如下表：

兀3兀

a)x+(p0兀2兀

2~2

715兀

Xmn

~3~6P

Asis(s+0)+左161-41

(1)求出實數機，n,p的值；

(2)求出函數“力的解析式；

(3)將y=/(x)圖象向左平移山＞0)個單位，得到y=g(x)的圖象.若丁=8(尤)為偶函數，求f的

最小值.

.3、兀7n13n

【答案】(1)m=一,n=—,p

1212~12

n

(2)/(x)=5sin|2x~—|+1

6

【解析】

【分析】(1)根據表格列方程，解方程得到，"，n,p.

Asin0+左=1

fA=5

(2)根據表格得到《4.兀,「，解方程得到＜,然后結合(1)中結論即可得到了(%)的解析

Asin—+左=6k=l

2

式;

(3)根據圖象的平移變換得到g(x),根據g(x)為偶函數得到g(O)為最值，然后解方程求/即可.

【小問1詳解】

(0=2

com+°=0兀

兀兀

—CD+(p--

32

in——bt、i兀7口13n

由題意得con+0=兀，解得《12，所以根=—，n=—,p=----

121212

5兀3兀7兀

——①+0=——n-——

6212

cop+(p=2兀13兀

p=——

12

【小問2詳解】

Asin0+左=1

A=5,所以/(x)=5sin12x—￡j+l.

由題意得《Asin.左=6,解得

k=l

2

【小問3詳解】

n

由題意得g(x)=5sin|2x+2t--+1,

6

因為g(%)為偶函數，所以g(0)=5sin[2…￡)+l=6或g(0)=—4,即sin12/一看卜±1,

即2/—三=三+左n,左eZ,解得。=三+生/eZ,

6232

兀

因為，＞0,所以當k=0時，，最小，最小為一.

3

17.如圖，為了測量兩山頂”,N間的距離，RG,M,N四點在同一鉛錘平面內，飛機沿水平方向在RG

兩點進行測量，途中在點P測得NGPM=75。,NGPN=30。，在點G測得/PGM=45。,NMGN=75。，

測得PG=#km.

（1）求點P和點〃之間的距離;

（2）求兩山頂M,N間的距離.

【答案】（1）2km

⑵^/10km

【解析】

【分析】（1）根據題中在P,G兩點觀測到的俯角，得出相關角，利用正弦定理，可得長度;

（2）觀察角的特點以及三角形中求出角和邊長，正余弦定理靈活應用，./NG中，得PN=3也，

工PNM中,余弦定理得

小問1詳解】

依題意可知PG=而on，ZGPM=75，/PGM=45ZPMG=60

PG_PM

在，加G中，根據正弦定理,

sinZPMG~sinZPGM

所以需H居‘貝"2km?

【小問2詳解】

由題設知，在aPNG中NPNG=30,NPGN=120,

V6PN「

由正弦定理可得:——=-------，PN=3由,

sin30sin120

叢PNM中，ZMPN=ZGPM-ZGPN=45°，

由余弦定理得：MN2=PM2+PN2-2PM-PNcosZMPN

=22+(372)2-2x2x372x^=10，

所以兩山頂點M,N之間距離為JIUkm.

18.在VABC中，內角A,3,C所對的邊分別為a,b,c.>(Z?-a)(sinB+sinA)=(Z?-c)sinC,

(1)求A的值；

⑵若a=2,bc=4,求VABC的周長；

(3)設內角A的平分線交3c于點。，AD=6求VA5C面積的最小值.

JT

【答案】(1)A=—；

3

(2)6;

(3)技

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；

(2)由(1)的信息，配方求出〃+c即可得解；

(3)利用三角形面積公式，結合基本不等式求出最小值.

【小問1詳解】

在7ABe中，由出一?)(sinB+sinA)=(Z?—c)sinC及正弦定理得(b-a)(b+a)=(b—c)c,

即廿+c2—a2=Ac，由余弦定理得cosA==上,而0<4<兀，

2bc2

TT

所以A=一.

3

【小問2詳解】

由(1)知，a2-b2+c2-be-(b+c)2-3bc,而a=2,Z?c=4,

解得b+c=4,所以VA3C周長的為6.

【小問3詳解】

由內角A的平分線交BC于點O,AD=V3.SABC^SABD+SACD,

得工besin二=工c-ADsin—+—/?-ADsin—,即^bc=(6+c)AD=6(b+c),

因此秘=8+cN2癡，即》c24,當且僅當Z?=c=2時取等號,

則所以VA5C面積的最小值為若?

UUUUL1UULIUULUUUU1UUU1

19.如圖，在VABC中，AE=E5,CD=2￡>8,點。為AD和CE的交點，設5A=a,BC=6.

UUL111

(1)若_BO=%a+y〃，求的值；

⑵若E在AC上，OF±AC,且口=2忖=10,求t的取值范圍.

21

【答案】(1)x=：,y=%

【解析】

【分析】(1)利用平面向量線性運算，用基底6表示80,根據平面向量基本定理求出系數尢〃即可求解;

(