第7章三角函數(shù)單元綜合檢測

一、填空題

1.函數(shù)V=tan(x+f的定義域為.

【答案】｛%|%H]+/nT,/cCz｝

【分析】定義域滿足％+與H5+左冗(fceZ).

【解析】丫=12口(％+。的定義域滿足%+方。]+所1(fcGZ),即％W5+Mr(fcGZ).

故答案為：｛%[%W]+kn,kEz].

2.函數(shù)〃x)=2sin(x+"的圓頻率是.

【答案】1

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷即可.

【解析】因為〃x)=2sin1x+t，

所以〃x)的圓頻率為1.

故答案為：1

3.函數(shù)7=38$。丫-])的嚴格單調(diào)遞減區(qū)間是

JT2兀

【答案】E+—,Ed-----,keZ.

|_63

【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法直接求解.

【解析1因為y=3cos-g：令2kji<2x--1-<2kn+7i,A:GZ,

jr27r

求得^7i+—<x<hi+—,A:GZ,

TT27r

可得函數(shù)的嚴格單調(diào)遞減區(qū)間為kTi+-,k7i+—,keZ.

63

故答案為：析+?,而+=,k&Z.

63

4.函數(shù)>=2-sinx最大值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)sinxe[-1,1]即可求解.

【解析】因為sinxe[-l,l],

所以當sinx=-l時，函數(shù)V=2-sinx有最大值為2-(-1)=3.

故答案為：3.

5.已知函數(shù)/(x)=sin(x+。)(0>0)是偶函數(shù)，則。的最小值是

【答案】：

【分析】由誘導公式及三角函數(shù)的奇偶性即可判斷.

【解析】因為/(x)=sin(x+0)(0>0)是偶函數(shù)，

TT

所以0=,+hi?￡Z,又0>0,

TT

所以當左=0時，。取最小值,.

故答案為：3

6.函數(shù)歹=3sin2x+2esinxcosx+cos2x,xw0,^的值域為.

【答案】」4］

【分析】由三角恒等變換得〃x)=2sin12x-j+2,再整體代換求解值域即可.

［解析］y=3sin2x+2V3sinxcosx+cos2x=3--~~。。戲'+百sin2x+1+。。戲”

._,.JC—_兀兀5兀

因為xw0,—,所以，

2J6Lo6

所以sin12x-胃e-pl,所以2sin12x-胃+2e[l,4],

所以函數(shù)V=3sin2x+2V^sinxcosx+cos2x,xe0,-|-的值域為[1,4].

故答案為：[1,4]

7.已知函數(shù)〃x)=sinx+6cosx,若/(X)的圖像關(guān)于(私。)中心對稱，則最小的正實數(shù)機=

2萬2

【答案】c兀

【分析】先利用輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性即可得解.

[解析]f(x)=sinx+V3cosx=2sin

兀71

令x+—=而，得x=E——,kwZ,

所以最小的正實數(shù)切=7

故答案為：y.

8.若函數(shù)了=/(%)的圖像可由函數(shù)y=3sin2x-Gcos2x的圖像向右平移0(。＜0(兀)個單位所得到，且函

數(shù)＞=/(%)在區(qū)間［。,萬］上是嚴格減函數(shù)，貝.

.2萬.2

【答案】―/

【分析】利用三角恒等變換化簡＞=3sin2x-6cos2x,根據(jù)圖象平移變換得到了=/*)的表達式，結(jié)合函

數(shù)的單調(diào)性確定0(0兀)，即可求得答案.

【解析】由題意得＞=3sin2x-gcos2x=2百sin(2x-—),

6

則/(x)=2V3sin［2(x-0)-巴］=26Sin(2x-2^--),

66

JT冗冗Sjt

當0,—時，2x-2(p——￡［一20——,-----2勿，

_2J666

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［o,［1T上是嚴格減函數(shù)，

故乙+2E＜-2(p--＜--2^?＜-+2hi,kGZ,即(p＜---kit^(p＞---kit,kGZ,

266233

兀2兀

貝！J0=一§-kn^keZ,而0＜。＜兀，故。=,

2兀

故答案為：y

9.已知/eR,實數(shù)。＞0,/(x)=^sinLx+|Y函數(shù)了=的部分圖像如圖所示，若該函數(shù)的最小正

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到/=2,再根據(jù)該函數(shù)的最小正零點是當，由2sin(當0+0求解.

12\126)

【解析】解：由圖象知：4=2,因為該函數(shù)的最小正零點是五，

所以2sin(二=0,貝|￡^0+乙=兀，即。=2.

(126)126

故答案為：2

10.已知RM>0,函數(shù)歹=Vasins-cosGX在區(qū)間［0,2］上有唯一的最小值-2,則①的取值范圍

為.

5KIE]

【答案】

【分析】先用輔助角公式得到弓jr兀c兀

V=2sin,x-結(jié)合xe［0,2］得到。——,2a)——求出

o66

o兀3兀7兀)

2a)——G得到答案.

6T?T)

【解析】y=sincox-coscox=2sin

71c71

因為XE[0,2],0〉0,所以—,2co——

666

因為函數(shù)V=2sin在％e［0,2］上有唯一的最小值2

所LL,以I2C。-薩兀「f3兀7兀1571IE)

解得oe

7’高

附

故。的取值范圍是21

5TT11叫

故答案為:

11.聲音是由物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是函數(shù)

y=4sin。兀"某技術(shù)人員獲取了某種聲波，其數(shù)學模型記為了="?),部分圖象如圖所示，對該聲波進行逆

9

向分析，發(fā)現(xiàn)它是由兩種不同的純音合成的，滿足"(/)=sin27rr+歷sin0n/(O<@<8),其中

“I；卜-0.866,則。=.(參考數(shù)據(jù)：V3?1,732)

0,又〃⑴=0,可得0=3或0=6,又1不是〃(X)

95

【解析】由//?）=sin2ji/+歷sinG兀/（0<G<8）,且"?—0.866,

99

由圖可知H（l）=sin27i+msinG7i=j^sin07i=0,

故0兀=kn,kGZ,即0=k,kGZ.

5兀

因為0<。<8,且sin—690,所以。=3或。=6.

由圖可知，1不是X(x)的周期,

當69=6時，H（t）=sin2jitH----sin6nt,

99

此時7/（/+1）=51112兀（，+1）+m51116兀（才+1）=sin27i/+—sin6^=

周期為L不符合題意.

9

當0=3時,H(Z)=sin2nt+—sin3nt,易知，滿足題意.

綜上，。=3.

故答案為：3.

12.已知N=>=5布［0一m")+5指［］一夕+看〃),〃21,〃€］\},常數(shù)夕滿足0<0<.，若集合A中恰有6

個元素，則。的取值構(gòu)成的集合為.

【分析】根據(jù)/y=sin［e-/〃J+sin［m-e+7J,〃21,〃eN）,集合有6個元素，利用和差化積進行

求解，利用函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解析】由/=卜y=sinL?--nl+sinly-^+-^77l,n>l,neN

TTTTIf

設(shè)a=（p——n,/3=——（p+—n,

656

rjm.z,a+/3+（a-.a+4一（a一4）

貝1Jy=sma+smp=sin-----j------+sm------j------

c.a+Ba-B_.it（it兀）

=2sin----cos----=2sm——cos—〃+---（p

2210（610）

所以函數(shù)/（叼=2$也白0$（3+去-夕］,最小正周期，一反

由集合A有6個元素，則可得到在半個周期內(nèi)存在6個不同的值，即

C.兀/兀兀\兀「兀兀）

2sin—cos—I----（p—2sin—cos—x12H----（p

10（610）10（610）

化簡COS［cos［去一夕］一sin《sin（去一0j=cos［今一,即tan（今一°J=6一2,

又由0<0<:，tan^|=tan^-^=2-V3,

匚匚【、1兀兀qn兀兀11兀

所以---<p=----,U（p=一+—=---

1012121060

1ITI

故答案為:

60

【點睛】方法點睛：本題主要運用和差化積的求解公式，再運用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解.

二、單選題

13.下列函數(shù)的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.si?n2-x+cos2xDr\.s?nr2x-cos2x

【答案】A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【解析】對A,sinx+cosx=V2sinx+,周期7=2兀，故A正確；

|2兀

對B,sinxcosx=—sin2x,周期T=一=7i,故B錯誤；

22

對于選項C,sin2x+cos2x=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤;

一、2兀

對于選項D,sii?x-cos'=-cos2x,周期「=萬=無，故D錯誤，

故選：A.

14.設(shè)/(x)=sin2x+百cos2x,將函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向右平移弓個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖

像，貝U()

A.函數(shù)》=g(x)是偶函數(shù)

B.函數(shù)N=g(x)的圖像關(guān)于直線x=5對稱

TTTT

C.函數(shù)〉=g(x)在上是嚴格增函數(shù)

D.函數(shù)y=g(x)在上的值域為[-6,2]

【答案】D

【分析】利用兩角和的正弦公式化簡的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到g(x)的解析式，最后

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

/I—\(、

【解析】因為/(x)=sin2x+gcos2x=2—sin2xd-----cos2x=2sin2x+—,

將函數(shù)＞=/(X)的圖像沿X軸向右平移9個單位得到g(x)=2sin=2sin2x,

6

Xg(--x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),所以g(x)=2sin2x為奇函數(shù)，故A錯誤;

因為g(jj=2sin12xr2sin7T=0,所以函數(shù)kg(x)的圖像不關(guān)于直線x=]對稱，故B錯誤;

TT'11J?JI

當xe時2xe-,7t,因為y=sinx在-,n上單調(diào)遞減,

JTJT

所以函數(shù)y=g(x)在上是嚴格增減函數(shù)，故C錯誤；

.「兀2兀1I-「兀4兀]LL,,.cV3,

當“￡時2x*T?-，所以sm2x￡--—,1,

_63J3」[_2

則g(x)e[g2],即函數(shù)kg(x)在py上的值域為卜百,2],故D正確.

故選：D

15.已知函數(shù)/'(x)=gsin2x+cos2x.若存在匕，”[-兀,2兀],使得/"⑷/'&)=4,則J-t2的最大值為

713K

A.B.兀C.D.2兀

2~2

【答案】D

【分析】由題意可知/億)=2,〃幻=2或者/&)=-2,/&)=-2,即可求解.

【解析】由/(x)=百sin2x+cos2x=2sin]2x+看

因/⑷〃幻=4,必有/&)=2,〃幻=2或者/>⑷=-2,f(tj=-2,

由2x+〃=2E+烏，2x+—=2/ai~-,分另！J得至!Jx=左兀+5，x=kn~-.

626263

一_|5兀兀77rl1、,.I7C2兀5兀].,,.

于是4，G1---,或者Jf2G?J得%T2的取大值為2兀.

[666J[333J

故選：D.

16.已知函數(shù)〃x)=cosx+：的定義域為(0,+e),將“X)的所有零點按照由小到大的順序排列，記為：

工,々，......,xn......,對于正整數(shù)〃有如下兩個命題：甲：("-l)n<x“<”兀；乙：

斗-'~~尸一恒成U;貝I()

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯誤

C.甲錯誤，乙正確D.甲錯誤，乙錯誤

【答案】A

【分析】將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，作出大致圖象由零點存在性定理分區(qū)間討論即可判定甲乙

命題.

【解析】/(力的零點，即為函數(shù)>=cosx與函數(shù)>=圖象在(0,+8)交點的橫坐標.

又注意到xe(O,+8)時，-J<0,

X

左EN時，cos(兀+2析)=-1<-----——,

兀+2加

*IZX|兀CT7T-|.

左EN,xw[0,萬—5+2^71,5+2標7J時，cosx>0.

據(jù)此可將兩函數(shù)圖象畫在同一坐標系中，如下圖所示.

嗚+2可=-->0

甲命題，注意到kEN時,尹2版

偌+2E

1!>0

/(兀+2砌=-1+<0,

兀+2左兀—+2kn

2

結(jié)合圖象可知當〃=24-1,左EN*,7i,rmo〃一1)兀,〃兀).

xGH-l)7i,in兀/兀）.故甲正確;

當n=2k,左￡N*,n

乙命題，斗一（2〃；）兀表示兩點（x0,o）與（〃-￡|兀可間距離，

由圖象可知，隨著〃的增大，兩點間距離越來越近，

萬（2〃+1）乃|

即當一'2>—2恒成立?故乙命題正確;

故選：A.

【點睛】思路點睛：由零點存在性定理結(jié)合余弦函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，分區(qū)間討論可判定甲，而乙命

題轉(zhuǎn)化為兩點（七,0）與3卜,0）間距離，根據(jù)圖象分析即可.

三、解答題

17.已知函數(shù)/（x）=2cos2x+cos（2x-］）-l.

⑴求函數(shù)/（X）的在［0,和上單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若函數(shù)”X）在區(qū)間［0,%］上有且只有兩個零點，求〃?的取值范圍.

【答案】⑴/爺；

⑵丹嚴）?

63

【分析】（］）利用二倍角公式及和差角公式化簡函數(shù)解析式，再求出相位的范圍，并借助正弦函數(shù)的性質(zhì)

求出遞減區(qū)間.

JT

（2）由x的取值范圍求出2x+§的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

【解析】(1)依題意，f(x)-2cos2x+cos(2x-y)-1=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

33

sin2x+—cos2x二百sin(2x+￡),

223

當山0,兀］時，2X+；嗚爭,由產(chǎn)若哆哈

7T77r

所以函數(shù)/（X）的在［0,汨上的單調(diào)遞減區(qū)間為［展,￡］.

（2）當xe［0,〃7］時，2x+je［p2/77+1］,又函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,加］上有且只有兩個零點，

即函數(shù)＞=sinx在號,2%+學只有兩個零點，

7T5冗4TT

因止匕2兀＜2m+—＜3兀，解得一＜m＜——,

363

所以〃?的取值范圍為［三57r,4;兀）.

18.某同學用"五點法”畫函數(shù)［（x）=sin（0x+e）（0＞O）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù),

如下表：

兀3兀

3X+(p0712兀

2~2

715712兀1171

XA

612T~V2

sin(G%+9)01A-i0

⑴請在答題卷上將上表△處的數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)＞=/（x）的解析式;

⑵設(shè)0=l，e=O,g(x)=/2(x)+/(x)/Kf0,yj,求函數(shù)y=g(x)的值域;

【答案】(1)補充表格見解析，〃x)=si“2x+W

(2)r_0,7^2—+f

兀兀

CD------\-（p=—

12,解方程組即可得0#,進一步可據(jù)此完成表格;

【分析】（1）由表得

2兀3兀

G）--------\-（D=—

32

（2）由題意結(jié)合二倍角公式、誘導公式以及輔助角公式先化簡g（x）的表達式，進一步通過整體換元法即可

求解.

7171

a)'—+(p=—

12,解得0=29=m，

【解析】（1）由題意

2713716

CO--------\-(p-——

32

所以函數(shù)y=〃x）的解析式為〃x）=sin（2x+2,

令2x+巴=0時，角軍得％=_■—,當％時，2x+女=7t,sin2x+女工0,

612126I6j

將表中A處的數(shù)據(jù)補充完整如下表：

713兀

CDX+(p0712兀

2T

71兀5兀2兀11兀

X五

"126nT

sin(G%+e)010-10

(2)若G=1,0=O,

則g(x)=sin2x+sinxsin一1]=sin2x+sinxcosx

_l-cos2x1.0_V2.<TIY1(「八兀1)

-------------1—sin2x-sin2x-----H—xG0,—

222142112P

因為xe0,q,所以2x-；e--考，

L2j4L44J

jjnijsin^2x-—e--^-,1,

/n_1_-i

所以函數(shù)y=g(x)的值域為0,---.

19.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖，假定在水流挺穩(wěn)定的情況下，一個半徑為5米的簡

車開啟后按逆時針方向做勻速圓周運動，每分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心。距離水面的高度為1米.設(shè)筒車上

的槳個盛水簡尸到水面的距離為y（單位：米）（在水面下則夕為負數(shù)）.若以盛水簡尸剛浮出水面時開始計

算時間，則了與時少I（單位：秒）之少的關(guān)系為y=/sin（0/+°）+K,其中/>0,0>0,冏<].

⑴求40,夕,K的值；

（2）當fe（40,50）時，判斷盛水筒尸的運動狀態(tài)（處于向上運動狀態(tài)、處于向下的運動狀態(tài)、處于先向上后向

下運動狀態(tài)、處于先向下后向上運動狀態(tài)），并說明理由.

S7T元

［答案［（1）/=5,K=-,a）=—,（P=~~

2306

（2）處于向下的運動狀態(tài)，理由見解析

【分析】（1）由圓的半徑、周期性以及銳角三角函數(shù)即可求解;

（2）結(jié)合⑴可得y=5sin［鼻-l+g，

/e[0,+”），從而根據(jù)t的取值范圍可得的取值范圍,

V306）2

即可判斷了單調(diào)性，進而即可得到盛水筒P的運動狀態(tài).

【解析】（1）如圖，設(shè)筒車與水面的交點為M,N,連接。”，

過點尸作尸于點8,過點。分別作。于點。，OCLPB于點C,

27rlT7T

因為筒車轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，所以。=:=三，故=

5

-

。21

在RMOMD中,-

一---

O52

TTTT

所以/COM=/OA?=—,即。=一一.

66

（2）盛水筒尸處于向下運動的狀態(tài)，

結(jié)合（1）可得了=+],re[0,+oo）,

oJZ

則當％w（40,50）時，--f—-,—,此時歹單調(diào)遞減，

所以盛水筒尸處于向下運動的狀態(tài).

20.已知函數(shù)/'（工）=5也公疝11。'+。05近。05晨-85'2苫，（其中左eN*,xwR）

⑴當人=1時,求函數(shù)“X）的嚴格遞增區(qū)間;

（2）當左=1時，求函數(shù)g（x）在上的最大值（其中常數(shù)。＞0）；

（3）若函數(shù)〃x）為常值函數(shù)，求上的值.

71

【答案】⑴kn,kn,+-,A-eZ；

至0<Y

僅用⑴3214

（3）k=3.

【分析】（1）當左=1時，化簡為/（%）=5加5加+85猶051一852、=1一（：0$2%,再由2版《2x?2防C+兀，

kez,求解即可；

（2）由（1）得〃x）=2sin2x,從而g（無）='[,、=—]『，令"ZsiEc,先求得/曰0,不,貝I]轉(zhuǎn)

aIjIxIciI4sinxk2

化為求g（x）=〃（'）=?二，/e1（）q的最大值，分“e]o：和兩種情況求解即可；

（3）由函數(shù)/（X）為常值函數(shù)，采用賦值法求得上的值，再代入驗證即可.

【解析】（1）

當左=1時，/(x)=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1一cos2x

兀

由2左兀<2x<2he+7i,ksZ,得kji?x4ICTI+—,ksZ.

IT

故〃X）的嚴格遞增區(qū)間為配碗十萬,丘z.

(2)

由(1)可知，當左=1時，/(x)=l-cos2x=2sin2x,

則g”/\石/(x吊)2sin2x

a+4sin4x

令"ZsiYx,當時，貝1]21￡(0弓,所以COS2XE--,1

則l-cos2x￡(()q,即[《O弓.

1

于是g(x)=M，)=

a

—+t

z9-

①r____<___—____]

當

QGa時

-巴+j2\at2，當且僅當，=V^時，最大值為2「；

(4

X-

②當時，J=-+^|o,|上遞減，貝M"）在上是增函數(shù)，則當"I時，最大值為丁\,

4t<2<224Q+9

4a9

----,0<a<—

4

綜上所述，g(x)111ax=2、

oy

〔4a+94

(3)

由函數(shù)〃x)為常值函數(shù)，令x=0,則原式=0,

令x=：,則原式=sinW-(-l『=0n左=4〃-1(“為正整數(shù))；

令I(lǐng)二乙，貝U原式=-cos”四一cos"-=0,即COS”C=-COS，—,

kkkkk

TT?71

因為左=4〃-1(〃為正整數(shù))，即左為正奇數(shù)，所以cos：=-cos丁，

kk

BPcos—+cos—=0,貝U2cos2四+cos工一1=0,

kkkk

TTJT1

解得cos；=-l或cosf=：,

kk2

又因為左=4"-1("為正整數(shù))，所以4=3.

當左=3時，原式為

sin3xsin3x+cos3xcos3x-cos32x=sin3xsinxsin2x+cos3xcosxcos2x-cos3lx

=sin3xsinx(l-cos2x)+cos3xcosx(1-sin-)-cos32x

=sin3xsinx+cos3xcosx-sin3xsinxcos2x-cos3xcosxsin2x—cos32x

=cos2x-sinxcosx(sin3xcosx+cos3xsiwc)-cos32x

=cos2x-sinxcosxsin4x-cos3lx=cos2x-sin22xcos2x-cos32x

=cos2x(l-sin22x)-cos32x=cos32x—cos32x=0.

所以當后=3時，函數(shù)〃x)為常值函數(shù).

【點睛】關(guān)鍵點睛：第三問的關(guān)鍵是抓住函數(shù)/(x)為常值函數(shù)，因此可以采用賦值法先確定左的值，再代

入驗證即可.

21.對于函數(shù)>=/(x),xeR,如果存在一組常數(shù)4，t2,tk(其中人為正整數(shù)，且0=。<馬<…〈人)

使得當x取任意值時，有〃x+fJ+"x+&)+…+/卜+幻=0則稱函數(shù)尸為皖級周天函數(shù)”.

⑴判斷下列函數(shù)是否是"2級周天函數(shù)”，并說明理由：①工(x)=sinx；②力(x)=x+2；

(2)求證:當0=3〃+2(〃eZ)時，g(x)=cos(s)是"3級周天函數(shù)”；

(3)iSg|^/i(x)=a+Z>cos2x+ccos5x+6/cos8x,其中b,c,d是不全為。的實數(shù)且存在加eR,使得

h(m)=4a,證明：存在”eR,使得

【答案】⑴工(x)是,力(x)不是；理由見解析

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)令“0,%=兀，然后化簡，根據(jù)定義可知;

27r4冗

⑵令“0,”鼻，「三，然后化簡，從而得證;

(3)若a＜。，貝1］〃(%)=4。＜0,取〃=加，則〃(〃)＜0