延慶區2024—2025學年第一學期期中試卷

八年級數學

考生須知

1.本試卷共6頁，共三道大題，28道小題，滿分100分，考試時間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上正確填寫學校名稱、姓名和考號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用25鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.

一、選擇題：（共16分，每小題2分）

第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.若分式A-2有意義，則X的取值范圍是（）

A.T>2B.x<2c.tx2D.V=2

【答案】c

【解析】

【分析】分式有意義時，分母不等于零.

【詳解】解：依題意得：1一?=0,

解得一.

故選：C.

【點睛】本題考查了分式有意義的條件.分式有意義的條件是分母不等于零.

2.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V5B.丫3C.萬D.V03

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查最簡二次根式，被開方數不含有分母，被開方數不含有開得盡方的因數或因式，這樣的

二次根式是最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關鍵.根據最簡二次根式的定義逐一

判斷即可.

【詳解】解：A.、區中被開方數被開方數中不含能開得盡方的因數，是最簡二次根式，符合題意，

B.1'中被開方數含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意，

C.FS被開方數含有開得盡方的因數，不是最簡二次根式，不符合題意，

屈=區

D.V10,被開方數含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意，

故選：A.

3.下列實數中，是無理數的是（）

A.314159B.7CD.710

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查無理數的識別及求算術平方根，無理數是指無限不循環小數，由此判斷即可.

【詳解】解：A.314159是分數，屬于有理數，故該選項不符合題意，

B.7是分數，屬于有理數，故該選項不符合題意，

C.、/*=土是整數，屬于有理數，故該選項不符合題意，

D.J10是開方開不盡的數，屬于無理數，故該選項符合題意.

故選：D.

4.下列各式中，化簡正確的是（）

A.（8）;2B.（-由'=-3C.石=￡D.=-5

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，根據二次根式的性質對各選項進行判斷即可，熟練掌握二次

根式的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A、（、萬原選項化簡正確，符合題意；

B,?'一，原選項化簡錯誤，不符合題意；

C、&原選項化簡錯誤，不符合題意；

D、J*=5原選項化簡錯誤，不符合題意；

故選：A.

5.不改變分式的值，下列各式中變形正確的是（）

力力+1nn3a'-,-a—b.

—=---------=—y-----------a—b---------=-I

A.m切+1B.mmC.a-bD.a+b

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了分式的性質，平方差公式，分式乘方等知識，根據分式的基本性質：分式的分子與分

母同時乘以或除以一個不等于0的整式，分式值不變，即可得出答案，掌握運算法則和性質是解題的關

鍵.

nn+1

【詳解】解：A、w力+1,原選項變形錯誤，不符合題意；

B、a,原選項變形錯誤，不符合題意；

爐―b，(a+b)(a-b)

C、a-b~a-b~,原選項變形錯誤，不符合題意；

一a-b-(a+b)

------=----------1

D、＞心+b,原選項變形正確，符合題意；

故選：D.

6.下列各式中，計算正確的是()

A.3+由=氐B.4-乖=亞c.無*.后=?D.提-壬=4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的運算，根據二次根式的加、減、乘、除運算法則逐項排除即可，掌握運算

法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、與"不可以合并，原選項不符合題意；

B、W與一6不可以合并，原選項不符合題意；

C、==原選項符合題意；

D、-JS=Vs-2=4=2,原選項不符合題意；

故選：C.

7.如圖，以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與數軸交于點

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查實數與數軸、勾股定理，掌握勾股定理是解題關鍵.由數軸可知正方形的邊長為

1,由勾股定理即可得出正方形的對角線長為根據以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧可

得出Q4-7T,則可得出點A表示的數.

【詳解】解：由圖可知正方形的邊長為1,

??.正方形的對角線長為：J幣=A,

???以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，

：.0A-￡,

二點A表示的數是一6，

故選：B.

8.在學校組織的秋季登山活動中，某班分成甲、乙兩個小組同時開始攀登一座450m高的山.乙組的攀登

速度是甲組的1.2倍，乙組到達頂峰所用時間比甲組少.如果設甲組的攀登速度為mdniin,那么

下面所列方程中正確的是（）

4504504504504501、450450450

--------------I?------=IJX---------+15

A.XX+15B.IAc,Av+15D.1.2x

【答案】B

【解析】

【分析】設甲組的攀登速度為xm/min,則乙組的攀登速度為1.2xm/min,根據時間=路程+速度，結合乙

組到達頂峰所用時間比甲組少15min,即可得出關于x的分式方程，此題得解.

【詳解】設甲組的攀登速度為xm/min,則乙組的攀登速度為L2m/min,

依題意得:

450450

故還：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

二、填空題（共16分，每小題2分）

9.36的算術平方根是—.

【答案】6

【解析】

【分析】根據算術平方根可直接進行求解.

【詳解】解：=

二36的算術平方根是6；

故答案為6.

【點睛】本題主要考查算術平方根，熟練掌握求一個數的算術平方根是解題的關鍵.

10.若不二J在實數范圍內有意義，則實數、的取值范圍是.

【答案】—3

【解析】

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式等知識點，熟練掌握二次根式有意義

的條件是解題的關鍵.

由二次根式有意義的條件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得：3之0,

解得：'-->

故答案為：“23.

11.當分式二二的值為0時，T的值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】本題考查分式值為的條件，熟練掌握分式為零時必須同時滿足分子為零且分母不為零是解題關

鍵.根據分式值為0的條件求解即可.

【詳解】解：..?分式X-3的值為,,

T+】=°且二r-3*0,

解得：T=T.

故答案為：一】

12.比較大小：2723（填“>”、"=”或）.

【答案】<

【解析】

【分析】由8<9得到即可得到答案.

【詳解】解：；8<9,

即<3.

故答案為：<

【點睛】此題考查了實數的大小比較，熟練掌握二次根式的化簡是解題的關鍵.

13.寫出,5的一個同類二次根式_______.

【答案】邛（答案不唯一）

【解析】

【詳解】解：J5的同類二次根式為

故答案為：->/5（答案不唯一）

【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，熟練掌握一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，

如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題的關鍵.

14.如果加二1++3?=0,那么”;-*的值為.

【答案】5

【解析】

【分析】本題主要考查了非負數的性質，有理數減法，根據幾個非負數的和為°,那么這幾個非負數的值

都為0求出，”、"的值，再根據有理數的減法運算計算即可，熟練掌握非負數的性質和有理數減法法則是

解題的關鍵.

【詳解】解：.?.市

???=0*?4-3，=0，

.,?切=2,只■-3,

.w?-n=2-l-3=2+3=5

??，

故答案為：5.

15.已知"：?二手<”+1,m為整數，貝I］，"的值是.

【答案】2

【解析】

【分析】估算出"在哪兩個連續整數之間即可.

【詳解】v4<7<9,

2<"<3,

???力為整數，

:.m=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查無理數的估算，估算出、。在哪兩個連續整數之間是解題的關鍵.

16.某學校計劃租客車接送305名學生和6名教師去參加社會大課堂活動，每輛車至少有1名教師.現有

A,B,°三種型號的客車，載客量和租金如下表所示：

A型客5型客c型客

車車車

載客量（單位：人

/輛）434955

租金（單位：元/

135015001600

輛）

請你寫出一個滿足乘坐需求的租車方案；租車總費用最少需要元.

【答案】①.5輛C客車（答案不唯一）②.租U客車一,輛，a客車一'輛

【解析】

【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，由題意可知，最多租6輛客車，從而寫出滿足乘坐需求的租

車方案即可，按租丙客車的數量討論，設甲客車租X輛，分別列不等式求解，再計算滿足需求的租車方案

的總費用，即可得到答案，正確理解題意列出不等式是解題的關鍵.

【詳解】解：：每輛車至少有1名教師，

最多租6輛客車，

...總人數為305+6=311（人），

若全租（、客車6x55=330>311,符合題意，

則滿足乘坐需求的租車方案為5輛C客車，

故答案為：5輛C客車（答案不唯一）；

;若租客車6輛，則46客車沒有租，

此時乘坐人數為55>6=330>311滿足題意，

租車總費用為：1600x6=9600元;

:'若租丙客車5輛，設A客車租1輛，則8客車租6-5-*=（1一"輛，其中OsxSl,

此時43、+49（1-、此31】-55*5

/3

XR__

解得：一一6

'的取值為】或0,

當x=i時，即租C客車5輛，A客車1輛，租車總費用為：1600x5+1350=9350（元）；

當x=o時,即租C客車5輛,8客車1輛，租車總費用為:1600x5+1500=9500（元）；

,若租丙客車4輛，設A客車租】輛，則8客車租6-4-'=>一”輛，其中

此時43、+49（"、）之311-55,4

7

X<—

解得：6,

???1的取值為1或0,

當r=l時，即租I’客車4輛，A客車1輛，8客車1輛，

租車總費用勺:1600*4+1350*1+1600x1=9350（元）；

當％=。時，即租C客車4輛，8客車？輛，租車總費用為：1600x4+1500x2=9400（元）；

1若租丙客車？輛，設A客車租1輛，則8客車租6-3-"=（3-”輛，其中04143,

此時43x+49（3-t）N3ll—55x3

解得：6.

1的取值為（'，

當x=o時，即租C客車3輛，8客車3輛，

租車總費用為：1600x3+1500x3=9300（元）；

當租0客車少于3輛時，均不滿足需求，

則租車總費用最少的租車方案為租：二客車3輛，8客車3輛，

故答案為：租0客車？輛，B客車3輛.

三、解答題（共68分，17—18題，每小題8分；19—24題，每小題5分；25題6分；26一

27題，每小題5分；28題6分）

17.計算:

（1）3#?疝;

⑵（7^+V^）+（不-⑹.

【答案】（1）30g

⑵34+有

【解析】

【分析】本題考查二次根式乘法及二次根式的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵.

（1）根據二次根式乘法法則計算即可得答案；

（2）先化簡各二次根式，再根據二次根式加減法混合運算法則計算即可得答案.

【小問1詳解】

解：3小x1反

=6廊

=30邪.

【小問2詳解】

=?/+?/+招

=3Vs+V5.

18.計算：

（1）＞/9+|--73|--J（-2）a+唬;

⑵小，無+、工

【答案】（1）3+A

⑵7s

【解析】

【分析】本題考查實數的混合運算，熟練掌握二次根式混合運算法則及完全平方公式是解題關鍵.

（1）先計算算術平方根、絕對值及立方根，再計算加減即可得答案；

（2）利用完全平方公式，根據二次根式混合運算法則計算即可得答案.

【小問1詳解】

解：次+|-6|-J（f+Vs

=3+73-2+2

=3+G

【小問2詳解】

解：舟o+（d

=疝+（2-2至+1）

/+1__2_

19.計算：a+1a+1.

【答案】a-\

【解析】

【分析】本題考查了分式的混合運算，根據同分母的分式的加減，進行計算，再約分即可得出答案，熟練

掌握運算法則是解此題的關鍵.

M+12

【詳解】解：＜7+1

a:+1-2

-4+1

=a+1

|a+l)(a-l|

a+1

=a-1.

a-￥b

-------一上-5~7T

20.計算：I°)Lb

a-b

【答案】

【解析】

【分析】本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵.先根據異分母分式的加減法法則把括

號內的分式通分計算，再利用平方差公式、完全平方公式及分式乘法法則約分計算即可得答案.

'a'+b'a+b

---------2b?,J

【詳解】解：1°

2aba+b

=(丁下＞二丁

a+b

a(a+6)(a-b)

(a-b)‘a+b

a(a+6)(a-fe)

a-b

21.老師所留的作業中有這樣一個分式的計算題\+lv：-1,甲、乙兩位同學完成的過程分別如下:

甲同學：

2x+5乙同學：

---;——

1+1X1-12x+5

2x+5x+1x3-l

=(x+IXx-l)*(x+lXr-1)第步

1

=(I+1X<-1)(<+!)(<-0第一步

2*r+5

=(r+lXr-l)第二步=2T-2+X+5第二步

=3x+3第三步

=（X+D（T-】）第三步

老師發現這兩位同學的解答過程都有錯誤.

（1）請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改正.我選擇

同學的解答過程進行分析（填“甲”或“乙”）.該同學的解答從第一步開始出現錯誤，錯誤的原因

是;

2,x+5

---+-5---

（2）請重新寫出完成此題的正確解答過程：1+1

【答案】（1）甲，一，通分時第一個分式的分子少乘了尤-1；（或乙，二，直接去掉分母）；

（2）X-1

【解析】

【分析】（1）根據分式的混合運算順序和運算法則即可判斷；

（2）根據分式的混合運算順序和運算法則重新計算可得.

【小問1詳解】

我選擇甲同學的解答過程進行分析，該同學的解答從第一步開始出現錯誤，錯誤的原因是通分時第一個分

式的分子少乘了x-1；

或我選擇乙同學的解答過程進行分析，該同學的解答從第二步開始出現錯誤，錯誤的原因是直接去掉分

母；

故答案為：甲，一，通分時第一個分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；

【小問2詳解】

2x+5

---5------

V+11（選甲為例）

2r+5

一+------------

_A+1（14-1ux-1I

二0-1

【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則.

x-1,3,

---+=1

22.解分式方程:Ii+2

【答案］》=1

【解析】

【分析】此題只需按照求分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1,最后進行

檢驗即可.

X-13,

---+----=1

【詳解】解：＞

去分母得，(x-D(x+2)+3x=&+2)

去括號得，-+Y-二+3T=+2T

移項得，/+x-F-2T+3V=2

合并得，上-二

系數化為1,得：x=l

經檢驗，I=1是原方程的解，

原方程的解是：、=1

【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求

解.解分式方程一定注意要驗根.

521

----1=---=----

23.解分式方程：、+3、’-9A-3.

【答案】x=4

【解析】

【分析】等式雙方同乘最簡公分母，再合并同類項化簡即可.

【詳解】解:去分母得：5(X-3)+2=X+3

5x_15+2=i+3

:.x=4

經檢驗：'=4是原分式方程的解.

【點睛】本題考查了解分式方程的能力，掌握化解過程是解題關鍵，記住結果要檢驗.

'2a-a—2

a-2+---；-*-j—-

24.先化簡，再求值：I"+-)°+%+4,其中°

【答案】2a+4,*.

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵.先對括號內進行通

分，然后將除法轉化為乘法進行約分，即可得到化簡后的結果，最后代入求值.

,Jd+a一二

【詳解】解：［“a3+4a+4

(a-2)(a+2)2a-a'a-2

a+2a+2(<x+2)

//-4+i-°’、(a+2)’

=(-----------；------)-------

a+2a--

2(a-2)(a+2)，

a+2a—2

=2a+4.

當4=A-2時，原式=2(>^-2)+4=2^5

25.為了提高生產效率，宏達公司對生產線進行了技術更新.更新技術后平均每天比更新技術前多生產30

萬件產品，更新技術后生產500萬件產品所需時間與更新技術前生產400萬件產品所需時間相同，求更新

技術后每天生產多少萬件產品？

【答案】更新技術后每天生產】‘°萬件產品.

【解析】

【分析】本題考查分式方程的應用，正確找出等量關系，列出方程是解題關鍵.設更新技術后每天生產1

萬件產品，則更新技術前每天生產C'-30)萬件產品，根據，，更新技術后生產500萬件產品所需時間與更

新技術前生產400萬件產品所需時間相同”列出分式方程，解方程即可得答案.

【詳解】解：設更新技術后每天生產丁萬件產品，則更新技術前每天生產(*-30)萬件產品，

???更新技術后生產500萬件產品所需時間與更新技術前生產400萬件產品所需時間相同，

500_400

x'-30,

解得：［=150.

經檢驗：I=150是分式方程的解，且符合題意，

答：更新技術后每天生產150萬件產品.

26.閱讀材料：

小明在學習了二次根式后，發現一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+272=(14-V：3,這樣就可以將進行化簡，

即:+二上=，(:+△『=:+石?

善于思考的小明進行了以下探索：

對于a+2/，若能找到兩個數小和H,使用'+/=a且網》=/，則a+2柩可變形為

m3+?1+2wi,gp(m+n)\從而使得"+?4=求'+=m+”(其中a也見”均為正數)

例如：...4+1+3+2后-(㈤】+(我】+?(U")】，

6?=J(i+6)，=】+VJ

請你參考小明的方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：

(2)化簡：6-4儲;

(3)若M+4^=b+E,其中a,“都是整數，直接寫出門的值.

【答案】(1)6+W

⑵2-W

(3)a=±3

【解析】

【分析】本題考查二次根式的化簡、完全平方公式，理解題中計算方法，利用類比思想求解是解答的關

鍵.

(1)根據5=1+3,?，號=”,利用完全平方公式即可得答案；

(2)根據丁=4+3,非?忑=:相,利用完全平方公式即可得答案；

(3)由&'+46=6+6得出。2+4而=5'+2&+5,根據a,b都是整數可得4—=2屈，

即可求出6值，代入a：+4.5=9+二4》+5求出n值即可.

【小問1詳解】

解:出+1小

=$+2"+2

=。折+?岳氏(份

=揖+⑸

=有+S".

【小問2詳解】

解:力T力

=小4-+3

=J(何-2x2“病

【小問3詳解】

解：?/"+4'誨=$+&,

+4i/^—八+V、"，

；.a；+4jJ；+二@+5,

,：a,b都是整數，

.?.4、6=二屈，

解得：占=］，

.?./+4、R=P+*二+5,

解得：a=±3.

X3+ax+b

27.對于形如A+C的分式，我們可以通過觀察分母的特征，采取“湊分母”的方法將分式變形，最

終表示成整式與分式和(差)的形式或者整式的形式.例如：

X3+X+1X3+X1.1

---------------------+—=x+1+—

x3+x+lx(x—1)2x+l2(x-1)+3c3

-------------+----------x+--=x+2+—

x-1x-1x-1x-1x-

解決問題：

(1)分式可以表示成、的形式，且P為整式，用含丁的式子表示P;

(2)已知力為整數.

』-3X+E

①若V-1可以表示成一個整式，求力的值；

x3-3x+m

②若m=5,'為整數，且一二1一的結果也為整數，直接寫出)的值.

【答案】(1)尸=、-二

(2)①切=2；②、的值為/或？或-2或。

【解析】

【分析】本題考查分式的加減法運算，正確利用“湊分母”的方法將分式變形是解題關鍵.

x3-2x+3X3-2x3

(1)把A變形為-11，再把前面的分式分母提取公因式并約分，即可得答案；

X3-3x+wx3-3x+m

(2)①把A-1表示成整式與分式和的形式，根據v-1為整式，得出變形后的分式為0,

根據分式值為0,分子為0即可得答案；

-3ir+m_、3x3-3x+m

②根據，"的值及①中變形結果得出一二T,根據一二i一的結果也為整數得出

三T是整數，根據丁為整數得出》-1=±3或、一】=±1,即可得出答案.

【小問1詳解】

x2-2x+3

解：x

x‘一2x3

=+一

XX

x(x-2)3