乘法公式與幾何背景問題重難點綜合訓練

一、解答題

1.（21-22七年級下?江西撫州?階段練習）完全平方公式：（a±6）2=。2±2成+/經過適當的變形，可以

解決很多數學問題，

（1）①若x+y=6,x2+y2-28,貝!Jxy=；

（2）若2a+b=6,ab—4,則（2a—b）2=；

⑵如圖，C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設力B=8,兩正方形的面積和Si+S?

=44,求△2FC的面積.

【答案】(1)①4；②20

(2)5

【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應用：

(1)先求出(X+y)2=62,則久2+2xy+y2=36,再由/+y2=28即可得到答案;

(2)根據(2a—b)2=(2a+6)2—4ab進行求解即可；

(3)設力C=a,BC=b,根據Si+$2=44,得到&2+/=44,根據4B=8,得到a+b=8,據此得到

a2+2ab+b2=64,貝加6=5,可得圖中△4尸C的面積為5.

【詳解】(1)解：@-：x+y=6,

(x+y)2=62,

x2+2xy+y2=36

\'x2+y2=28,

28+2xy=36

J.xy=4；

故答案為：4；

(2)V2a+fo=6,ab=4,

???(2a-b)2=(2a+6)2-4ab=62-4x4=20,

故答案為：20；

(2)解：設ZC=a,BC=b,

22

；?Si=a,S2=bf

,/Si+S2=44,

a2+b2=44,

-：AB=8,

.'.a+b=Q,

(a+b)2=82

a2+2ab+b2-64

2ab+44=64,

ab—10

/.^ab—5

圖中的面積為5.

2.(23-24七年級下?貴州貴陽?階段練習)如圖，用4個長是a,寬是6的長方形拼成了一個如圖2所示的"回

形”正方形.

⑴由圖可知，因為拼圖前后的面積不變，所以可得恒等式：;

(2)利用(1)中得到的恒等式，解決下面的問題：已知2(x+y)=10,2(%-y)=2,求久y的值.

【答案】⑴4ab=(a+b)2—(a-Z?)2

⑵6

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用圖形面積的關系證明勾股定理.

通過觀察可以得大正方形邊長為a+上小正方形的面積為a—6,利用大正方形面積減去小正方形面積即為

陰影部分的面積，得出答案；

(2)由(1)的結論變形后即可得出盯的值.

【詳解】(1)解：由拼圖前后4個長方形的面積不變，可得4ab=(a+b)2—(a—b)2,

故答案為:4ab=(a+4)2—(a—)2.

(2)解：根據條件可得：x+y=5,x—y=l,

4xy=(x+y)2—(%—y)2=25—1=24,

故xy=6.

3.(23-24七年級下?全國?單元測試)數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，4種紙片是邊長

為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b,寬為a的長方形.并用4種紙片一張，8種紙

片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

⑴請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；

⑵觀察圖2,請你寫出代數式：(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關系；

⑶根據(2)題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：a+6=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知(2020-a)2+(a—2019)2=5,求(2020—a)(a—2019)的值；

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2—a2+b2+2ab

⑶①ab=6；(2)-2

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景、正方形的面積以及長方形的面積，利用完全平方公式的變

形求值，解題的關鍵是掌握完全平方公式.

(1)正方形面積可以從整體直接求，還可以是四個圖形的面積和；

(2)根據兩種方法所表示的面積相等可解答；

(3)①利用完全平方公式的變形求解即可；

②設2020-a=x,a-2019=y,貝！U+y=l,然后利用完全平方公式的變形求解即可.

【詳解】(1)解：方法L大正方形的面積為(a+6)2；

方法2：大正方形的面積為a?+b2+2ab,

故答案為：(a+b)2,a?+爐+2ab；

(2)解：由(1)可知(a+b)2=a?+爐+2ab；

故答案為：(a+b)2=a2+》2+2ab；

(3)①ra+b=5,

(a+b)2=25,

???a2+b2+2ab=25,

又va2+b2=13,

ab=6；

②設2020—a=x,a—2019-y,則x+y=l,

(2020-a)2+(a—2019)2=5,

x2+y2—5,

(%+y)2=x2+2xy+y2,

...孫=。+加二(")=三=一2,

2

即(2020—a)(a—2019)=xy=-2.

4.(23-24七年級下?全國?單元測試)如圖①是長為a,寬為6的長方形，將這樣四個形狀和大小完全相同

的長方形拼成如圖②所示的大正方形，中間是一個小正方形(陰影部分).

⑴請你用兩種不同的方法表示圖②中小正方形(陰影部分)的面積：

方法一：S小正方形=;方法二：S小正方形=?

⑵根據(1)中小正方形面積的兩種不同的表示方法，下列等式中：①(a+6)(a—b)=a2—/)2；②(a+6)2

=(a—6)2+4a6,能夠驗證成立的是(填序號).

⑶應用⑵中驗證成立的等式，解決問題：已知m+n=12,mn=11,求m—n的值.

【答案】(l)(a+b)2—4ab,(a—b)2

(2)②

(3)m—n=±10

【分析】本題是完全平方式的實際應用，完全平方式經常與正方形的面積公式和長方形的面積公式聯系在

一起，要學會觀察圖形.

(1)觀察圖形可確定：方法一，大正方形的面積為(a+b)2,四個小長方形的面積為4昉，中間陰影部分的

面積為S=(a+b)2—4ab；方法二，圖2中陰影部分為正方形，其邊長為a—b,所以其面積為(a—b)2；

(2)由(1)中表示的兩種方法相等即可求解；

(3)根據(2)的關系式代入計算即可求解.

【詳解】(1)解：方法一：S小正方形=(a+b)2-4ab.

方法二：S小正方形=(a—b)2；

(2)由(1)得，(a+b)2—4ab=(a—b)2

(a+b')2=(a—b)2+4ab.

能夠驗證成立的是②；

(3)由(2)得，(m+幾)2—4nm=(m—n)2

\'m+n=12,mn=11,

A122-4x11=(m-n)2,

(m—n)2=100

.\m—n=±10.

5.(23-24七年級下?浙江寧波?期中)如圖1是一個長為2爪、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四

塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

⑴你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；

(2)請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.

①；

②.

⑶觀察圖2你能寫出(7M+冗)2,(爪―71)2,6打三個代數式之間的等量______.

⑷用完全平方公式和非負數的性質求代數式2/+4%+3y2_18y+32的最小值.

【答案】(l)m-n

(2)①(m—n)2@(m+n)2—4mn

(3)(m—n)2=(m+n)2—4mn

(4)3

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，準確識圖，根據陰影部分的面積的兩種不同表示方法得到

的代數式的值相等列式是解題的關鍵.

(1)根據陰影部分正方形的邊長等于小長方形的長減去寬解答；

(2)①根據正方形面積公式求解，②用總面積減去四個相等的長方形面積即可.

(3)陰影部分的面積相等，結合(2)可得出答案.

(4)利用完全平方公式將原式變形為2(x+1)2+3(y—3/+3,再根據非負數的性質可求出最小值為3.

【詳解】(1)解:由圖可知，陰影部分小正方形的邊長為：m-n；

(2)①根據正方形的面積公式，陰影部分的面積為(巾-幾)2,

②還可以用總面積減去四個相等的長方形的面積，即表示為(巾+n)2-4mn；

(3)陰影部分的面積相等，結合(2)可得出(m—n)2=(zn+n)2—4nm；

(4)2久2+4久+3y2—18y+32

=2x2+4x+2+3y2—18y+27+3

=2(x+l)2+3(y-3)2+3

V2(x+l)2>0,3(y-3)2>0,

.-.2(x+l)2+3(y-3)2+3>3,即最小值為3.

6.(22-23七年級下?浙江溫州?期中)如圖1,是一個寬為a,長為46的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成

四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個"回形"正方形(如圖2).

⑴觀察圖2,請你用等式表示(a—方尸，(a+6)2,ab之間的數量關系：.

Q

(2)根據(1)中的結論，如果久+y=5,xy=~,求代數式(x—y)2的值.

【答案】(l)(a+b)2=(a-b)2+4ab

⑵16

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景和平方差公式，用不同的方法表示圖形的面積，熟練掌握完全

平方公式的幾何背景的計算方法是解題的關鍵.

(1)表示出大、小正方形的邊長和面積，根據面積之間的關系得出結論；

(2)由(1)的結論得(x+y)2=(x—y)2+4xy,再整體代入即可.

【詳解】(1)由圖2可知，大正方形的邊長為(a+b),小正方形的邊長為(a—b),大正方形的面積可以表示

為：(a+6)2或(a—b)2+4ab,

(a+ft)2=(a—b)2+4ab,

故答案為：(a+b)2=(a-b)2+4ab；

(2)由(1)得：(x+y)2=(x—y)2+4xy,

：.52=(x-y)2+4xy,

(%—y)2=16.

7.(22-23七年級下?江蘇常州?期末)如圖1,已知紙片4是邊長為acm的正方形，紙片B是相鄰兩邊長分別

為xcm,ycm的長方形，且紙片4B的周長相等.

Z中手印

(圖I)(圖2)(圖3)

(1)當a=5時.

①若x>6,求y的取值范圍；

②如圖2,以紙片B的相鄰兩邊為邊長分別向外作正方形C,D,若紙片B的面積比紙片4的面積小10cm2,求C,D

的面積之和；

(2)如圖3,將紙片4B疊合在一起，記陰影部分的周長為

?M=(用含羽a的代數式表示)；

②若關于X的不等式M<12恰有3個正整數解，則a的取值范圍是.

【答案】⑴。<y<14；370

(2)2a+2x；2<a<3

【分析】本題主要考查了代數式表示數，不等式的應用，對于(1)①，根據4,2的周長相等，可得

4a=2(x+y)=20,再結合x>6可得答案；②，由題意可得xy=一10,再結合*+y=10可得解；

對于(2)①，先表示陰影部分周長，可得解；

②，由①得2x+2a<12,再結合不等式M<12有3個正整數解可得答案.

【詳解】(1)①??】，8的周長相等，a=5,

.*.4a=2(%+y)=20,

.\x=10—y.

：x>6,

10—y>6,

.\y<4.

Vy>0,

AO<y<4；

②由題意，得%y=小—io=25—10=15.

*.*%+y=10,

x2+y2=(%+y)2—2xy=100—30=70,

AC,。的面積之和為70；

(2)①由題意，陰影部分周長

M=2a+2(a—y)+2y+2(x—a)=2a+2a—2y+2y+2%—2a=2a+2x.

故答案為：2a+2%；

②由①得，2x+2a<12,

/.%+a<6,

??xV6—d.

又不等式M<12恰好有3個正整數解，

?.x<6-a恰好有3個正整數解，

***3<6—aW4,

/.2<a<3.

故答案為：2<a<3.

8.(22-23七年級下?四川成都?期末)通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等

式.

如圖1是一個長為4a、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后用四塊小長方形

拼成一個"回形"正方形(如圖2).

⑴根據上述過程,寫出(a+6)2、(a—b)2、ab之間的等量關系:_；

(2)類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個恒等式.觀察圖3,把一個大正方

體分割成如圖所示的小長方體和小正方體，從中可以得到一個恒等式：_；

⑶兩個正方形力BCD,CEFG如圖4擺放，邊長分別為x,y(x>y),若這兩個正方形面積之和為34,且

BE=8,求圖中陰影部分面積.

【答案】⑴(a+b)2=(a-b)2+4ab

(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(3)T

【分析】本題考查了完全平方公式，

(1)從"整體"和"部分"兩個方面分別用代數式表示圖2的面積即可；

(2)從"整體"和"部分"兩個方面分別用代數式表示圖3的面積即可；

(3)設正方形力BCD的邊長加，正方形CEFG的邊長為“，由于兩個正方形面積之和為34,且BE=8得m2+

n2=34,m+n=8,用代數式表示陰影部分的面積代入計算即可得；

掌握完全平方公式的結構是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：圖2"整體"上是邊長為a+b的正方形，因此面積為(a+b)2,圖2中間"小正方形"的邊長

為a—b,因此面積為(a—b)2,四個小長方形的面積和為4ab,

所以有(a+b)2=(a—b)2+4ab,

故答案為：(a+6)2=(a-b)2+4a6；

(2)解：圖3〃整體〃上是棱長為a+b的正方體，因此體積為(a+b)3,分割成的8個部分的體積和為。3+3

a2b+3ab2+b3,

所以有(a+力>=a3+3a2b+3ab2+b3,

故答案為：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(3)解：設正方形ZBCO的邊長加，正方形CEFG的邊長為小

由于兩個正方形面積之和為34,且BE=8,

m2+n2=34,m+n=8,

*.*(m+n)2=m2+n2+2mn,

即64=34+2mn,

mn=15,

*.*(m+n)2=(m+n)2—4nm=64—60=4,

.?.771—=2或m—71=—2(舍去)，

二S陰影部分=S^BCD+SDFG

11

=—9+—n(m—n)

11

=—(m+n)(m—n)+—mn

11

=-x8x2+-xl5

_31

9.(23-24七年級下?廣東佛山?階段練習)如圖1,A紙片是邊長為Q的正方形，8紙片是邊長為b的正方形,

C紙片是長為從寬為。的長方形.現用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方

形.

⑴請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法1：:方法2：;

(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數式：(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關系

⑶①根據(2)題中的等量關系，解決如下問題：若a+6=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(％-2023)2+(光—2025)2=52,求久-2024的值.

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2=a2+b2+2ab

⑶①ab=7；②x—2024=±5.

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，靈活完全平方公式的變形是突破本題的關鍵.

(1)根據面積的兩種算法求解即可;

(2)利用(1)的結論列出等式即可;

(3)根據完全平方公式變形代入即可.

【詳解】(1)解:大正方形面積按照邊長的平方可得：(a+6)2,

按照大正方形的組成可得：a2+b2+2ab.

故答案為：(a+b)2,a2+b2+2ab；

(2)解：由圖②可得：(a+b)2-a2+b2+2ab.

故答案為：(a+b)2=a2+/+2ab；

(3)解：①：a+6=5,a2+b2=11,

2ab=(a+b)2—(a2+b2)=52-11=14,

???ab=7.

②：(x—2023)2+(x—2025)2=52,

???(x-2024+l)2+(%-2024-l)2=52,

設m=x—2024,貝!](m+1)2+(zn—1)2=52,

m2=25,

(x-2024)2=25.

Ax-2024=±5.

10.(2025七年級下?全國?專題練習)【閱讀學習】

做整式的乘法運算時借助圖形，可以由圖形直觀地獲取結論.

例1：如圖1,可得等式a(6+c)=ab+ac.

例2：如圖2,可得等式(a+26)(a+6)=a?+3ab+2b2.

【問題解決】

(1)如圖3,將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示這個大正方形的面積，你能發現什么結論？請用等式表示出來.

(2)利用(1)中得到的結論，解決下面的問題：已知a+6+c=11,ab+6c+ac=38.求a2+/)2+c2的

值.

【拓展應用】

(3)利用此方法也可以求出一些不規則圖形的面積.如圖4,將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，

BCG三點在同一直線上，連接BDBF.若這兩個正方形的邊長滿足a+6=10,ab=20,請求出陰影部分的

面積.

圖1圖2

b

圖3圖4

【答案1(1)(a+b+c)2=a?+/++2ab+2bc+2tic；(2)45；(3)20

【分析】(1)先用正方形的面積公式表示出面積，再用幾個小正方形和小長方形的面積的和表示大正方形

的面積，由兩個結果相等即可得出結論.

(2)由(1)可知,a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac),代入數值計算即可；

(3)根據題意得到a?+=60,再米用數形結合得到陰影部分的面積為S正方形4BCD+S正方形ECGF—

-S^BFG，計算即可；

本題考查了幾何面積與多項式的關系，正確掌握多項式變化與幾何面積的關系，通過等面積法理解因式分

解結果以及規律.

【詳解】解：(1)???正方形面積為(a+b+c)2,

小塊四邊形面積總和為：a2-+b2+c2-+2ab+2bc+2ac

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

(2)由(1)可知，

a2+b2+c2={a+b+c)2—(2ab+2bc+2ac)=121—2X38=45.

(3)a+b=10,ab=20,

(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+40=100,

a2+b2=60,

陰影部分的面積為：S正方形4BCD+^sE^^ECGF~^AABD—^ABFG

=a2+b2—|a2—/(a+6)=^(a2+b2—ab)=|X(60—20)=20.

11.(22-23七年級下?陜西咸陽?期中)【問題背景】通過對同一面積的不同表達和比較來理解整式乘法公式

是常見的辦法.如圖1,邊長為a+b的大正方形可分割成兩個較小的正方形和兩個大小相同的長方形(如

【探索歸納】

①若將圖1中的大正方形看作一個整體，則它的面積是(用含a,6的式子表示);

②圖2中4個部分的面積之和是(用含a,b的式子表示)；

③因此，可以得到等式：.

【學以致用】簡便計算：

①1052；

②3.142+6.28X6.86+6.862.

【拓展應用】若圖2中的長方形的長(b)與寬(砌的值分別為12—爪和加一3,且滿足(12—爪)(機-3)=18,

請求出(12-m)2+(m-3＞的值.

【答案】探索歸納：①(a+b)2；②a2+2a6+*(3)(a+b)2=a2+2ab+b2；學以致用：①11025；

②100；拓展應用：45

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，掌握數形結合思想是解答本題的關鍵.

探索歸納：①根據圖形列式即可；

②根據圖形列式即可；

③結合①和②以及圖形列式計算即可；

學以致用：

①運用完全平方公式簡便運算即可；

②運用完全平方公式簡便運算即可；

拓展應用：逆用完全平方公式即可解答.

【詳解】解:探索歸納：①若將圖1中的大正方形看作一個整體，則它的面積是(a+b)2,

故答案為：(a+b)2；

(2)a2+ab+ab+b2-a2+2ab+b2；

故答案為：。2+2時+爐；

③(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案為:(a+b)2=a2+2ab+b2-

學以致用：

2

①1052=(100+5)2=1002+2X100x5+5=10000+1000+25=11025

②3.142+6.28x6.86+6.862=(3.14+6.86)2=102=100；

拓展應用：由b=12—Tn,a=Tn—3,則a+b=12—+m—3=9,ab=(12—m)(m—3)=18,

所以a?+爐=(a+b)2—2ab=92—2X18=45.

12.(23-24七年級下?江蘇淮安,期末)如圖，AB=a,P是線段4B上任意一點，在同一側分別以4P,BP

為邊作正方形力PC。、正方形PBEF.設4P=x.解答下列問題(用含a、％的代數式表示)

⑴①正方形PBE尸的邊長為二

②求這兩個正方形的面積之和S；(需化簡)

(2)若乂＜a1,連接DF、BD、BF,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴①a—久；②S=2/_2ax+a2；

(2)|x2+|a2—ax

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景.

(1)①直接求得a-X；②根據正方形的面積公式進行計算即可；

(2)利用陰影部分的面積=s正方形4PCD+S正方形PBEF+S^XFCD—S44BD—S^EFB，據此計算即可得出答案.

【詳解】(1)解：①由于AP=X,AB=a,貝l]8P=a—x,

故答案為：a-x；

②所以兩個正方形的面積之和為S=x2+(a-%)2=2x2-2ax+a2；

(2)解：?.?正方形4PCD、正方形PBEF,4P=x,BPa-x,

CF=PF-PC=a—x—x=a—2x,

???陰影部分的面積=S正方形4PCO+S正方形PBEF+S△尸co—S^ABD—^AEFB

111

=x2+(a—x)2+—x?(a—2x)——x-a——{a—%)2

111

=%，9+—(a—x)29+—x-(a—2%)——%?a

1111

=%2+—a2-ax+—%2+—ax—x2——ax

=+la2一?

13.(23-24七年級下?遼寧沈陽?期末)(1)如圖1,是一個長和寬分別為加，〃的長方形紙片，如果它的長

和寬分別增加a,b,所得如圖2長方形，用不同的方法表示這個長方形的面積，得到的等式為(TH+a)(n+b)

(2)①如圖3,是幾個正方形和長方形拼成的一個邊長為a+b+c的大正方形，用不同的方法表示這個

大正方形的面積，得到的等式為(a+b+c)2=_

②已知a+b+c=15,a2+Z?2+c2=77,利用①中所得到的等式，求代數式ab+be+ac的值.

(3)如圖4,是用2個正方體和6個長方體拼成的一個棱長為a+b的大正方體，通過用不同的方法表示這

個大正方體的體積，求當a+b=5.9,ab=4.5時，代數式足+/的值.

【答案】(1)mn+mb4-na+ab；(2)(l)a2+fo2+c2+2(ah+be+ac)；②ab+be+ac=74；(3)

125.729

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用圖形的面積和體積來得到數學公式，關鍵是靈活進行

數形結合來分析.

(1)由圖形面積的兩種不同表示方法可得等式；

(2)①由圖形面積的兩種不同表示方法可得等式；

②由等式利用代入法即可求解；

(3)由圖形體積的兩種不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解.

【詳解】解：(1)大長方形的長為(m+a),寬為(n+b),面積為(m+a)(n+b),

也可表示為四個長方形的面積nrn,mb,na,ab的和，

/.(m+a)(n+b)=mn+mb+na+ab,

故答案為：mn+mb+na+ab；

(2)①如圖3,是幾個小正方形和小長方形拼成的一個邊長為a+6+c的大正方形,

用不同的方法表示這個大正方形的面積，

得到的等式為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；

故答案為：a2+抉++2(ab+be+ac)；

②：a+b+c=15,a2+b2+c2=77,

152—77+2(ab+be+ac),

ab+be+ac=74；

(3)如圖4,是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個棱長為a+b的大正方體,

整體上大正方形的體積為(a+6)3,

23

組成大正方體的2個小正方體和6個小長方體的體積的和為+3ab+3ab2+b,

.,.得到的等式為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

?1a+b=5.9,ab=4.5,

a3+b3

=(a+b)3—3a2b—3ab2

=(a+b)3—3ab(a+b)

=205.379-79.65

=125,729.

14.(23-24七年級下?河北滄州?期末)如圖a是一個長為2機、寬為2〃的長方形(根>九)，沿圖中虛線用剪

刀均勻分成四塊小長方形，然后按圖b形狀拼成一個正方形.

⑴請分別用兩種不同的方法表示圖b中陰影部分的面積：方法一：;方法二：;

⑵觀察圖依直接寫出代數式(??1+九)2,(m—n)2,7Tm之間的關系；

⑶利用(2)的結論，嘗試解決以下問題：

①已知m+九=7,mn=6,求。n—九產的值；

②已知：(4-%)(5-x)=6,求(9一2%)2的值.

【答案】⑴(血一九)2,(m+n)2—4mn

(2)(m—n)2=(m+n)2—4mn

⑶①25；②25

【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應用：

(1)可以直接求陰影部分正方形的邊長，計算面積；也可以用大正方形的面積減去四個小長方形的面積,

得陰影部分的面積；

(2)根據大正方形面積等于陰影面積加四個小長方形的面積可得出三個代數式之間的等量關系，然后計算

驗證即可；

(3)①根據(2)中的等量關系可得，代入計算即可；②根據(4—x)(5—x)=6,(5-%)-(4-x)

=5—%—4+x=1,結合(2)中的等量關系，即可求解.

【詳解】(1)解：方法1：陰影部分正方形的邊長為(m—九)，則陰影部分的面積為：(TH—幾)2；

方法2:陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個小長方形的面積，即(血+幾)2—4血71;

故答案為：(血一九)2,(m+n)2—4mn；

(2)解：??,兩種方法表示的陰影部分面積相等，

(m—n)2=(m+n)2—4mn,

(3)解：(1)Vm+n=7,mn=6,

(m—n)2—(m+n)2—4mn=72—4x6=25；

②V(4-x)(5-x)=6,(5-x)-(4-x)=5-x-4+x=l,

(9-2x)2

=[(4-x)+(5-x)]2

=[(4—%)—(5—%)]2+4(4—x)(5—x)

=l2+4X6

=25

15.(23-24七年級下?四川成都?期末)通過計算幾何圖形的面積可以驗證一些代數恒等式.

⑴如圖①是一個大正方形被分割成了邊長分別為a和b的兩個正方形及長寬分別為a和b的兩個長方形，利用

這個圖形的面積可以驗證公式」

(2)若孫=8,x+y-6,求/+y2的值；

⑶如圖②，在線段CE上取一點D,分別以CD、DE為邊作正方形ABC。、DEFG,連接BG、CG、EG.若陰影

部分的面積和為9,△CDG的面積為3.求CE的長度.

【答案】⑴(a+b)2=a2+b2+2ab

(2)x2+y2=20

(3)CE的長度為6

【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，完全平方公式變形求值；

(1)從"整體"與"部分"分別用代數式表示圖形的面積，再根據各個部分面積之間的和差關系即可得出答案;

(2)根據久2+y2=(x+y)2一2孫整體代入計算即可；

(3)設正方形48CD的邊長為正方形CDEF的邊長為n,由題意可得mn=6,m2+n2=24,根據

(m+n)2=m2+n2+2nm求出m+ri的值即可.

【詳解】(1)解：圖①從"整體上"看是邊長為a+6的正方形，因此面積為(a+b)2,拼成圖①的四個部分

的面積和為a?+2ab+b2,

所以有(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案為：(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)xy=8,x+y=6,

:.x2+y2=(x+y)2—2xy

=36-16

=20；

(3)設正方形4BCD的邊長為小，正方形CDEF的邊長為n,由題意可得，

11

mn=6,7+-m(m—n)=9

即加+九2_mn=18,

???m2+n2=24,

(m+幾)2=m2+n2+2mn

=24+12

=36,

m>0,n>0,

m+n=6,

即CE=m+n=6.

16.(23-24七年級下?江西九江?階段練習)實踐操作：從邊長為。的大正方形中剪掉一個邊長為6的小正方

形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個長方形(如圖2).

圖I圖2

(1)上述操作能驗證的等式是一(請選擇正確的一個)

A.a2—2ab+fe2=(a—h)2B.b2+ab=b(a+b)

C.a2—b2=(a+b)(a—b)D.a2+ab=a(a+b)

啟發應用：請結合(1)選出的等式，利用其結論完成下列各題：

⑵計算：(1-4)*(1一專)*(1-1)*”*(1一聯)

(3)計算1015-2X992+972

11

【答案】⑴C；(2)募(3)8

【分析】本題考查了平方差公式與圖形面積，平方差公式的運用，熟練掌握平方差公式是解題關鍵.

(1)分別表示出兩個圖形中陰影部分的面積，即可列出等式；

(2)利用(1)得出的等式化簡各個括號內的式子，再計算有理數的加減法與乘法即可得到答案；

(3)首先將式子轉化成10/—992+972—992,然后利用平方差公式求解即可.

【詳解】解：(1)圖1中陰影部分的面積為：a2-b2；圖2中陰影部分的面積為：(a+b)(a—b),

a2—b2—(a+b~)(a—b~)

，上述操作能驗證的等式是〃—/=(a+b)(a—方)

故選：C；

⑵(1一擊)x(1—專)x(-9X…x(l一小)

=(1-勺(1+3(1-白(1+2(1…(1-2(1+得

132435911

=-X-X-X-X-X-X--X—X—

2233441010

111

=2xTo

——11?

20,

(3)1012-2X992+972

=1012-992+972-992

=(101+99)(101-99)+(97+99)(97-99)

=200x2+196x(-2)

=8.

17.(23-24七年級下?浙江杭州?階段練習)如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為6的小正方形，圖2

是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設圖1中陰影部分面積為Si，圖2中陰影部分面積為S2.

⑴請直接用含a和6的代數式表示Si=,S2=；寫出利用圖形的面積關系所得到的公式

(用式子表達)；

⑵應用公式計算：0一/)(1一+)。一號)…(1一盛)

1

(3)應用公式計算：(5+1)(52+1)(54+1)…(532+1)(564+1)+-

【答案】⑴az—＞；(a+b)(a—b)；a2—b2=(a+b)(a—b)

⑵黑

⑶〉rl28

【分析】本題考查的知識點是平方差公式與幾何圖形、運用平方差公式進行運算，解題關鍵是熟練掌握平

方差公式.

(1)結合對應圖形面積公式即可得解；

(2)逆用平方差公式即可求解；

(3)運用平方差公式，將(5+1)(52+1)(54+1)…(532+I)(564+1)+；轉變為;(5_1)(5+1)(52+1)

(54+1)-(532+1)(564+1)+《即可求解.

22

【詳解】(1)解：依題得：Sr=a—b,S2=(a+b)(a—b),

2222

v(a+6)(a—6)=a4-ah—ab—b=a—bf

???利用圖形的面積關系所得到的公式為小—按=(Q+h)(a_4

故答案為：a2—b2；(a+b)(a—b)；a2—b2=(a+b)(a—6).

(2)解：由(1)得：a2-b2=(a+b)(a-6),

?1-原式=(i+9(1—3(1+3(1—3(i+3(i—3…0+/)a—募)a+盛)a—壺)'

1324352023202520242026

^2X2X3X3X4X4X'"^X^X^X^)

12026

——X---?

22025'

_1013

―2025,

(3)解：根據(1)中所得關系式可得，

原式=1(5-1)(5+1)(52+1)(54+1)…(532+1)(564+1)+；,

=於2_1)(52+1)(54+1)-(532+1)(564+1)4-1

="(5128_1)+]

5128

一~4~,

18.(23-24七年級下?廣東佛山?期中)乘法公式的探究及應用：

圖①圖②

⑴如圖①，可以求出陰影部分的面積是_(寫成兩數平方差的形式)：

如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，面積是_:(寫成多項式乘法的形式):

比較左、右兩圖的陰影部分的面積，可以得到乘法公式一(用式子表達)

(2)運用你所得到的公式，計算1003x997的值：

【答案】⑴a?—抉,(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b)

(2)999991

【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應用：

(1)利用正方形的面積公式即可求出圖①陰影部分面積；仔細觀察圖形就會知道圖②中長方形的長，寬,

由面積公式就可求出面積，根據圖①和圖②中的陰影部分面積相等，即可得到對應的等式；

(2)把原式變形為(1000+3)X(1000—3),利用平方差公式就可方便簡單的計算.

【詳解】(1)解：利用正方形的面積公式可知圖①中陰影部分的面積=。2—〃；

由圖②可知長方形的寬是a—b,長是a+b,

面積是(a+b)(a-b)；

V圖①和圖②中的陰影部分面積相等，

a2—￡>2=(a+b)(a—b)

故答案為：a2—b2,(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b).

(2)解；1003x997

=(1000+3)X(1000-3)

=10002-32

=1000000-9

=999991.

19.(21-22七年級下?江西撫州?期中)閱讀材料：

已知:%滿足(9—%)(%—4)=4,求(9一%)2+(久一4/的值.

設9—x=a,x—4=b,

則ab=(9—x)(x—4)=4,a+Z)=(9—x)+(x—4)=5,

因此(9—x)2+(x—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2X4=17.

用上面的方法解下列問題：

⑴已知：(5—x)(久一2)=2,求(5—久尸+(x—2)2的值；

(2)如圖，已知正方形2BCD的邊長為x,E、F分別是邊40、DC上的點，AE=1,CF=3,分別以MF、DF

為邊作正方形.

①MF=,DF=(用含久的式子表示)；

②若長方形EMFD的面積是48,試求陰影部分的面積.

【答案】⑴5

(2)0x-l,x-3；②32

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，平方差公式.應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式

的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析.

(1)設5—x=a,x—2=6,貝!]ab=2,a+b=3,再根據(5—x)2+(%—2尸=a2+/=9+6)2—2ab

進行求解即可；

(2)①正方形4BCD邊長為x,貝口D=CD=BC=x,再由DE=MF結合圖形可以表示出MF與DF；

②設久一1=a,%—3=b,貝1Jab=48,a—b=2,據此可得(a+b)2=(a—b)2+4ab=196,則

a+b=16,陰影部分面積=(%—l)2—(%—3)2=a2—b2=(a+b)(a—b),據此代值計算即可.

【詳解】(1)解：設5—%=a,X—2=b,

ab=(5—x)(x—2)=2,a+&=(5—x)+(x—2)=5—x+x—2=3,

???(5—x)2+(%—2)2

=a2+b2

=(a+6)2—2ab

=32—2x2

=9—4

=5；

(2)解：①:四邊形EMFQ是長方形、AE=1,四邊形"BCD是正方形、

??.AD=CD=BC=x,DE=MF,

:,MF=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3,

②^.^長方形EMFD的面積是48,

???MF?DF=(x—l)(x—3)=48,

設1—1=a,x—3=5,

ab=.??MF?DF=(x—1)(%—3)=48,a—b=(%—1)—(%—3)=%—1—%+3=2,

??.(a+力尸=(a—b)2+4ab=22+4x48=196,

??.a+b=±16,

又a+Z?>0,

???a+h=16,

???陰影部分面積=MF2-DF2=(x-l)2-(x-3)2=@2_抉=(Q+_ft)=16x2=32

即陰影部分的面積是32.

20.(22-23八年級下?廣東佛山?期中)材料：對一個圖形通過兩種不同的方法計算它的面積或體積，可以得

到一個數學等式.

⑴如圖1,將一個邊長為。的正方形紙片剪去-一個邊長為b的小正方形，根據剩下部分的面積，可得一個

關于“，b的等式：

圖1

請類比上述探究過程，解答下列問題：

⑵如圖2,將一個棱長為。的正方體木塊挖去一個棱長為6的小正方體，根據剩下部分的體積，可以得到等

式：a3一/=__________,將等式右邊因式分解，即a3—〃=；

⑶根據以上探究的結果，

①如圖3所示，拼疊的正方形邊長是從1開始的連續奇數...，按此規律拼疊到正方形力BCD,其邊長為

19,求陰影部分的面積.

②)計算：(>/21+1)—(V21—1)

圖3

【答案】⑴一爐=9+b)(a—b')

(2)a2(a—b')+ab(a—b')+fa2(a—b),(a—b)(a2+ab+b2)

⑶①200②128

【分析】(1)利用兩種方法求出陰影部分的面積，即可得出結論；

(2)利用兩種方法求剩余的立方體的面積，即可得出結論；

(3)①根據整個陰影部分的面積等于各部分小陰影部分的面積之和，結合(1)中結論，進行求解即可；②

根據(2)中結論，進行求解即可.

【詳解】⑴解：陰影=。2-b2=(a+b)(a—b),

關于a,6的等式為：d2,—b2—(^a+b)(a—b),

故答案為：a2-&2=(a+6)(a—b).

(2)解：由題意，得：

a3-b3=a2(a-b)+ab(a—b)+62(a-Z?)=(a-6)(a2+ab+b2)；

故答案為：a2(a—b)+ab(a—b)+h2(a—b),(a—b)(a2+ab+fo2)；

(3)解：①S=192-172+152-132+…+72-52+32-l2

=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+…+(3+1)(3-1)

=(19+17+15+13+……+3+1)x2

=iy^xl0x2

=200.

@(V2i+1)3-(VH-1)3=(vn+1-V21+i)[(V2i+1)2+(V21+i)(V2i-1)+(V21-1)2]

=2[(22+2V21)+(21-1)+(22-2V21)]

=2x(22+20+22)

=2x64

=128.

【點睛】本題考查因式分解的應用.正確的識圖，利用兩種方法表示面積和體積，是解題的關鍵.

21.(22-23七年級下?重慶沙坪壩?階段練習)如圖1是長為4a,寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分

成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個〃回形〃正方形(如圖2).

圖1圖3

⑴觀察圖2,請你寫出(a+b)2、(a—力)2、ab之間的等量關系：；

Q

(2)根據(1)中的結論，若x+y=5,xy=1,求(x—y)2的值；

⑶請求解下面實際問題：

如圖3,已知正方形A8CD的邊長為x,E,F分別是AD、DC上的點，且45=1,。尸=3,長方形EMFD的面積

是48,分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFD”，求陰影部分的面積.

【答案】(l)(a+6)2—(a—b)2=4ab

(2)16

⑶28

【分析】(1)根據圖形的面積可得到(a+6)2,(a—b)2,ab之間數量關系；

(2)根據(1)的結論，利用完全平方公式變形求值即可求解；

(3)根據題意找出題中各線段之間的數量關系和等量關系，設a=x—3,b=x-l,即ab=48