乘法公式與幾何背景問(wèn)題重難點(diǎn)綜合訓(xùn)練

一、解答題

1.（21-22七年級(jí)下?江西撫州?階段練習(xí)）完全平方公式：（a±6）2=。2±2成+/經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危梢?/p>

解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，

（1）①若x+y=6,x2+y2-28,貝!Jxy=；

（2）若2a+b=6,ab—4,則（2a—b）2=；

⑵如圖，C是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)力B=8,兩正方形的面積和Si+S?

=44,求△2FC的面積.

【答案】(1)①4；②20

(2)5

【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用：

(1)先求出(X+y)2=62,則久2+2xy+y2=36,再由/+y2=28即可得到答案;

(2)根據(jù)(2a—b)2=(2a+6)2—4ab進(jìn)行求解即可；

(3)設(shè)力C=a,BC=b,根據(jù)Si+$2=44,得到&2+/=44,根據(jù)4B=8,得到a+b=8,據(jù)此得到

a2+2ab+b2=64,貝加6=5,可得圖中△4尸C的面積為5.

【詳解】(1)解：@-：x+y=6,

(x+y)2=62,

x2+2xy+y2=36

\'x2+y2=28,

28+2xy=36

J.xy=4；

故答案為：4；

(2)V2a+fo=6,ab=4,

???(2a-b)2=(2a+6)2-4ab=62-4x4=20,

故答案為：20；

(2)解：設(shè)ZC=a,BC=b,

22

；?Si=a,S2=bf

,/Si+S2=44,

a2+b2=44,

-：AB=8,

.'.a+b=Q,

(a+b)2=82

a2+2ab+b2-64

2ab+44=64,

ab—10

/.^ab—5

圖中的面積為5.

2.(23-24七年級(jí)下?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))如圖，用4個(gè)長(zhǎng)是a,寬是6的長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)如圖2所示的"回

形”正方形.

⑴由圖可知，因?yàn)槠磮D前后的面積不變，所以可得恒等式：;

(2)利用(1)中得到的恒等式，解決下面的問(wèn)題：已知2(x+y)=10,2(%-y)=2,求久y的值.

【答案】⑴4ab=(a+b)2—(a-Z?)2

⑵6

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理.

通過(guò)觀察可以得大正方形邊長(zhǎng)為a+上小正方形的面積為a—6,利用大正方形面積減去小正方形面積即為

陰影部分的面積，得出答案；

(2)由(1)的結(jié)論變形后即可得出盯的值.

【詳解】(1)解：由拼圖前后4個(gè)長(zhǎng)方形的面積不變，可得4ab=(a+b)2—(a—b)2,

故答案為:4ab=(a+4)2—(a—)2.

(2)解：根據(jù)條件可得：x+y=5,x—y=l,

4xy=(x+y)2—(%—y)2=25—1=24,

故xy=6.

3.(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，4種紙片是邊長(zhǎng)

為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b,寬為a的長(zhǎng)方形.并用4種紙片一張，8種紙

片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

⑴請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；

⑵觀察圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出代數(shù)式：(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系；

⑶根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：

①已知：a+6=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知(2020-a)2+(a—2019)2=5,求(2020—a)(a—2019)的值；

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2—a2+b2+2ab

⑶①ab=6；(2)-2

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景、正方形的面積以及長(zhǎng)方形的面積，利用完全平方公式的變

形求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式.

(1)正方形面積可以從整體直接求，還可以是四個(gè)圖形的面積和；

(2)根據(jù)兩種方法所表示的面積相等可解答；

(3)①利用完全平方公式的變形求解即可；

②設(shè)2020-a=x,a-2019=y,貝！U+y=l,然后利用完全平方公式的變形求解即可.

【詳解】(1)解：方法L大正方形的面積為(a+6)2；

方法2：大正方形的面積為a?+b2+2ab,

故答案為：(a+b)2,a?+爐+2ab；

(2)解：由(1)可知(a+b)2=a?+爐+2ab；

故答案為：(a+b)2=a2+》2+2ab；

(3)①ra+b=5,

(a+b)2=25,

???a2+b2+2ab=25,

又va2+b2=13,

ab=6；

②設(shè)2020—a=x,a—2019-y,則x+y=l,

(2020-a)2+(a—2019)2=5,

x2+y2—5,

(%+y)2=x2+2xy+y2,

...孫=。+加二(")=三=一2,

2

即(2020—a)(a—2019)=xy=-2.

4.(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試)如圖①是長(zhǎng)為a,寬為6的長(zhǎng)方形，將這樣四個(gè)形狀和大小完全相同

的長(zhǎng)方形拼成如圖②所示的大正方形，中間是一個(gè)小正方形(陰影部分).

⑴請(qǐng)你用兩種不同的方法表示圖②中小正方形(陰影部分)的面積：

方法一：S小正方形=;方法二：S小正方形=?

⑵根據(jù)(1)中小正方形面積的兩種不同的表示方法，下列等式中：①(a+6)(a—b)=a2—/)2；②(a+6)2

=(a—6)2+4a6,能夠驗(yàn)證成立的是(填序號(hào)).

⑶應(yīng)用⑵中驗(yàn)證成立的等式，解決問(wèn)題：已知m+n=12,mn=11,求m—n的值.

【答案】(l)(a+b)2—4ab,(a—b)2

(2)②

(3)m—n=±10

【分析】本題是完全平方式的實(shí)際應(yīng)用，完全平方式經(jīng)常與正方形的面積公式和長(zhǎng)方形的面積公式聯(lián)系在

一起，要學(xué)會(huì)觀察圖形.

(1)觀察圖形可確定：方法一，大正方形的面積為(a+b)2,四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為4昉，中間陰影部分的

面積為S=(a+b)2—4ab；方法二，圖2中陰影部分為正方形，其邊長(zhǎng)為a—b,所以其面積為(a—b)2；

(2)由(1)中表示的兩種方法相等即可求解；

(3)根據(jù)(2)的關(guān)系式代入計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：方法一：S小正方形=(a+b)2-4ab.

方法二：S小正方形=(a—b)2；

(2)由(1)得，(a+b)2—4ab=(a—b)2

(a+b')2=(a—b)2+4ab.

能夠驗(yàn)證成立的是②；

(3)由(2)得，(m+幾)2—4nm=(m—n)2

\'m+n=12,mn=11,

A122-4x11=(m-n)2,

(m—n)2=100

.\m—n=±10.

5.(23-24七年級(jí)下?浙江寧波?期中)如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2爪、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀均分成四

塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形.

⑴你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于；

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.

①；

②.

⑶觀察圖2你能寫(xiě)出(7M+冗)2,(爪―71)2,6打三個(gè)代數(shù)式之間的等量______.

⑷用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式2/+4%+3y2_18y+32的最小值.

【答案】(l)m-n

(2)①(m—n)2@(m+n)2—4mn

(3)(m—n)2=(m+n)2—4mn

(4)3

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，準(zhǔn)確識(shí)圖，根據(jù)陰影部分的面積的兩種不同表示方法得到

的代數(shù)式的值相等列式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)陰影部分正方形的邊長(zhǎng)等于小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)減去寬解答；

(2)①根據(jù)正方形面積公式求解，②用總面積減去四個(gè)相等的長(zhǎng)方形面積即可.

(3)陰影部分的面積相等，結(jié)合(2)可得出答案.

(4)利用完全平方公式將原式變形為2(x+1)2+3(y—3/+3,再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出最小值為3.

【詳解】(1)解:由圖可知，陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)為：m-n；

(2)①根據(jù)正方形的面積公式，陰影部分的面積為(巾-幾)2,

②還可以用總面積減去四個(gè)相等的長(zhǎng)方形的面積，即表示為(巾+n)2-4mn；

(3)陰影部分的面積相等，結(jié)合(2)可得出(m—n)2=(zn+n)2—4nm；

(4)2久2+4久+3y2—18y+32

=2x2+4x+2+3y2—18y+27+3

=2(x+l)2+3(y-3)2+3

V2(x+l)2>0,3(y-3)2>0,

.-.2(x+l)2+3(y-3)2+3>3,即最小值為3.

6.(22-23七年級(jí)下?浙江溫州?期中)如圖1,是一個(gè)寬為a,長(zhǎng)為46的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成

四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)"回形"正方形(如圖2).

⑴觀察圖2,請(qǐng)你用等式表示(a—方尸，(a+6)2,ab之間的數(shù)量關(guān)系：.

Q

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，如果久+y=5,xy=~,求代數(shù)式(x—y)2的值.

【答案】(l)(a+b)2=(a-b)2+4ab

⑵16

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景和平方差公式，用不同的方法表示圖形的面積，熟練掌握完全

平方公式的幾何背景的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

(1)表示出大、小正方形的邊長(zhǎng)和面積，根據(jù)面積之間的關(guān)系得出結(jié)論；

(2)由(1)的結(jié)論得(x+y)2=(x—y)2+4xy,再整體代入即可.

【詳解】(1)由圖2可知，大正方形的邊長(zhǎng)為(a+b),小正方形的邊長(zhǎng)為(a—b),大正方形的面積可以表示

為：(a+6)2或(a—b)2+4ab,

(a+ft)2=(a—b)2+4ab,

故答案為：(a+b)2=(a-b)2+4ab；

(2)由(1)得：(x+y)2=(x—y)2+4xy,

：.52=(x-y)2+4xy,

(%—y)2=16.

7.(22-23七年級(jí)下?江蘇常州?期末)如圖1,已知紙片4是邊長(zhǎng)為acm的正方形，紙片B是相鄰兩邊長(zhǎng)分別

為xcm,ycm的長(zhǎng)方形，且紙片4B的周長(zhǎng)相等.

Z中手印

(圖I)(圖2)(圖3)

(1)當(dāng)a=5時(shí).

①若x>6,求y的取值范圍；

②如圖2,以紙片B的相鄰兩邊為邊長(zhǎng)分別向外作正方形C,D,若紙片B的面積比紙片4的面積小10cm2,求C,D

的面積之和；

(2)如圖3,將紙片4B疊合在一起，記陰影部分的周長(zhǎng)為

?M=(用含羽a的代數(shù)式表示)；

②若關(guān)于X的不等式M<12恰有3個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍是.

【答案】⑴。<y<14；370

(2)2a+2x；2<a<3

【分析】本題主要考查了代數(shù)式表示數(shù)，不等式的應(yīng)用，對(duì)于(1)①，根據(jù)4,2的周長(zhǎng)相等，可得

4a=2(x+y)=20,再結(jié)合x(chóng)>6可得答案；②，由題意可得xy=一10,再結(jié)合*+y=10可得解；

對(duì)于(2)①，先表示陰影部分周長(zhǎng)，可得解；

②，由①得2x+2a<12,再結(jié)合不等式M<12有3個(gè)正整數(shù)解可得答案.

【詳解】(1)①??】，8的周長(zhǎng)相等，a=5,

.*.4a=2(%+y)=20,

.\x=10—y.

：x>6,

10—y>6,

.\y<4.

Vy>0,

AO<y<4；

②由題意，得%y=小—io=25—10=15.

*.*%+y=10,

x2+y2=(%+y)2—2xy=100—30=70,

AC,。的面積之和為70；

(2)①由題意，陰影部分周長(zhǎng)

M=2a+2(a—y)+2y+2(x—a)=2a+2a—2y+2y+2%—2a=2a+2x.

故答案為：2a+2%；

②由①得，2x+2a<12,

/.%+a<6,

??xV6—d.

又不等式M<12恰好有3個(gè)正整數(shù)解，

?.x<6-a恰好有3個(gè)正整數(shù)解，

***3<6—aW4,

/.2<a<3.

故答案為：2<a<3.

8.(22-23七年級(jí)下?四川成都?期末)通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等

式.

如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為6的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形

拼成一個(gè)"回形"正方形(如圖2).

⑴根據(jù)上述過(guò)程,寫(xiě)出(a+6)2、(a—b)2、ab之間的等量關(guān)系:_；

(2)類(lèi)似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式.觀察圖3,把一個(gè)大正方

體分割成如圖所示的小長(zhǎng)方體和小正方體，從中可以得到一個(gè)恒等式：_；

⑶兩個(gè)正方形力BCD,CEFG如圖4擺放，邊長(zhǎng)分別為x,y(x>y),若這兩個(gè)正方形面積之和為34,且

BE=8,求圖中陰影部分面積.

【答案】⑴(a+b)2=(a-b)2+4ab

(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(3)T

【分析】本題考查了完全平方公式，

(1)從"整體"和"部分"兩個(gè)方面分別用代數(shù)式表示圖2的面積即可；

(2)從"整體"和"部分"兩個(gè)方面分別用代數(shù)式表示圖3的面積即可；

(3)設(shè)正方形力BCD的邊長(zhǎng)加，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為“，由于兩個(gè)正方形面積之和為34,且BE=8得m2+

n2=34,m+n=8,用代數(shù)式表示陰影部分的面積代入計(jì)算即可得；

掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：圖2"整體"上是邊長(zhǎng)為a+b的正方形，因此面積為(a+b)2,圖2中間"小正方形"的邊長(zhǎng)

為a—b,因此面積為(a—b)2,四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和為4ab,

所以有(a+b)2=(a—b)2+4ab,

故答案為：(a+6)2=(a-b)2+4a6；

(2)解：圖3〃整體〃上是棱長(zhǎng)為a+b的正方體，因此體積為(a+b)3,分割成的8個(gè)部分的體積和為。3+3

a2b+3ab2+b3,

所以有(a+力>=a3+3a2b+3ab2+b3,

故答案為：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(3)解：設(shè)正方形ZBCO的邊長(zhǎng)加，正方形CEFG的邊長(zhǎng)為小

由于兩個(gè)正方形面積之和為34,且BE=8,

m2+n2=34,m+n=8,

*.*(m+n)2=m2+n2+2mn,

即64=34+2mn,

mn=15,

*.*(m+n)2=(m+n)2—4nm=64—60=4,

.?.771—=2或m—71=—2(舍去)，

二S陰影部分=S^BCD+SDFG

11

=—9+—n(m—n)

11

=—(m+n)(m—n)+—mn

11

=-x8x2+-xl5

_31

9.(23-24七年級(jí)下?廣東佛山?階段練習(xí))如圖1,A紙片是邊長(zhǎng)為Q的正方形，8紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形,

C紙片是長(zhǎng)為從寬為。的長(zhǎng)方形.現(xiàn)用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方

形.

⑴請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法1：:方法2：;

(2)觀察圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出下列三個(gè)代數(shù)式：(a+b)2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系

⑶①根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若a+6=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(％-2023)2+(光—2025)2=52,求久-2024的值.

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2=a2+b2+2ab

⑶①ab=7；②x—2024=±5.

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，靈活完全平方公式的變形是突破本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)面積的兩種算法求解即可;

(2)利用(1)的結(jié)論列出等式即可;

(3)根據(jù)完全平方公式變形代入即可.

【詳解】(1)解:大正方形面積按照邊長(zhǎng)的平方可得：(a+6)2,

按照大正方形的組成可得：a2+b2+2ab.

故答案為：(a+b)2,a2+b2+2ab；

(2)解：由圖②可得：(a+b)2-a2+b2+2ab.

故答案為：(a+b)2=a2+/+2ab；

(3)解：①：a+6=5,a2+b2=11,

2ab=(a+b)2—(a2+b2)=52-11=14,

???ab=7.

②：(x—2023)2+(x—2025)2=52,

???(x-2024+l)2+(%-2024-l)2=52,

設(shè)m=x—2024,貝!](m+1)2+(zn—1)2=52,

m2=25,

(x-2024)2=25.

Ax-2024=±5.

10.(2025七年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))【閱讀學(xué)習(xí)】

做整式的乘法運(yùn)算時(shí)借助圖形，可以由圖形直觀地獲取結(jié)論.

例1：如圖1,可得等式a(6+c)=ab+ac.

例2：如圖2,可得等式(a+26)(a+6)=a?+3ab+2b2.

【問(wèn)題解決】

(1)如圖3,將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái).

(2)利用(1)中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+6+c=11,ab+6c+ac=38.求a2+/)2+c2的

值.

【拓展應(yīng)用】

(3)利用此方法也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.如圖4,將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，

BCG三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，連接BDBF.若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿(mǎn)足a+6=10,ab=20,請(qǐng)求出陰影部分的

面積.

圖1圖2

b

圖3圖4

【答案1(1)(a+b+c)2=a?+/++2ab+2bc+2tic；(2)45；(3)20

【分析】(1)先用正方形的面積公式表示出面積，再用幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形的面積的和表示大正方形

的面積，由兩個(gè)結(jié)果相等即可得出結(jié)論.

(2)由(1)可知,a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac),代入數(shù)值計(jì)算即可；

(3)根據(jù)題意得到a?+=60,再米用數(shù)形結(jié)合得到陰影部分的面積為S正方形4BCD+S正方形ECGF—

-S^BFG，計(jì)算即可；

本題考查了幾何面積與多項(xiàng)式的關(guān)系，正確掌握多項(xiàng)式變化與幾何面積的關(guān)系，通過(guò)等面積法理解因式分

解結(jié)果以及規(guī)律.

【詳解】解：(1)???正方形面積為(a+b+c)2,

小塊四邊形面積總和為：a2-+b2+c2-+2ab+2bc+2ac

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

(2)由(1)可知，

a2+b2+c2={a+b+c)2—(2ab+2bc+2ac)=121—2X38=45.

(3)a+b=10,ab=20,

(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+40=100,

a2+b2=60,

陰影部分的面積為：S正方形4BCD+^sE^^ECGF~^AABD—^ABFG

=a2+b2—|a2—/(a+6)=^(a2+b2—ab)=|X(60—20)=20.

11.(22-23七年級(jí)下?陜西咸陽(yáng)?期中)【問(wèn)題背景】通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較來(lái)理解整式乘法公式

是常見(jiàn)的辦法.如圖1,邊長(zhǎng)為a+b的大正方形可分割成兩個(gè)較小的正方形和兩個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形(如

【探索歸納】

①若將圖1中的大正方形看作一個(gè)整體，則它的面積是(用含a,6的式子表示);

②圖2中4個(gè)部分的面積之和是(用含a,b的式子表示)；

③因此，可以得到等式：.

【學(xué)以致用】簡(jiǎn)便計(jì)算：

①1052；

②3.142+6.28X6.86+6.862.

【拓展應(yīng)用】若圖2中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)(b)與寬(砌的值分別為12—爪和加一3,且滿(mǎn)足(12—爪)(機(jī)-3)=18,

請(qǐng)求出(12-m)2+(m-3＞的值.

【答案】探索歸納：①(a+b)2；②a2+2a6+*(3)(a+b)2=a2+2ab+b2；學(xué)以致用：①11025；

②100；拓展應(yīng)用：45

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵.

探索歸納：①根據(jù)圖形列式即可；

②根據(jù)圖形列式即可；

③結(jié)合①和②以及圖形列式計(jì)算即可；

學(xué)以致用：

①運(yùn)用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；

②運(yùn)用完全平方公式簡(jiǎn)便運(yùn)算即可；

拓展應(yīng)用：逆用完全平方公式即可解答.

【詳解】解:探索歸納：①若將圖1中的大正方形看作一個(gè)整體，則它的面積是(a+b)2,

故答案為：(a+b)2；

(2)a2+ab+ab+b2-a2+2ab+b2；

故答案為：。2+2時(shí)+爐；

③(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案為:(a+b)2=a2+2ab+b2-

學(xué)以致用：

2

①1052=(100+5)2=1002+2X100x5+5=10000+1000+25=11025

②3.142+6.28x6.86+6.862=(3.14+6.86)2=102=100；

拓展應(yīng)用：由b=12—Tn,a=Tn—3,則a+b=12—+m—3=9,ab=(12—m)(m—3)=18,

所以a?+爐=(a+b)2—2ab=92—2X18=45.

12.(23-24七年級(jí)下?江蘇淮安,期末)如圖，AB=a,P是線(xiàn)段4B上任意一點(diǎn)，在同一側(cè)分別以4P,BP

為邊作正方形力PC。、正方形PBEF.設(shè)4P=x.解答下列問(wèn)題(用含a、％的代數(shù)式表示)

⑴①正方形PBE尸的邊長(zhǎng)為二

②求這兩個(gè)正方形的面積之和S；(需化簡(jiǎn))

(2)若乂＜a1,連接DF、BD、BF,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴①a—久；②S=2/_2ax+a2；

(2)|x2+|a2—ax

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景.

(1)①直接求得a-X；②根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用陰影部分的面積=s正方形4PCD+S正方形PBEF+S^XFCD—S44BD—S^EFB，據(jù)此計(jì)算即可得出答案.

【詳解】(1)解：①由于AP=X,AB=a,貝l]8P=a—x,

故答案為：a-x；

②所以?xún)蓚€(gè)正方形的面積之和為S=x2+(a-%)2=2x2-2ax+a2；

(2)解：?.?正方形4PCD、正方形PBEF,4P=x,BPa-x,

CF=PF-PC=a—x—x=a—2x,

???陰影部分的面積=S正方形4PCO+S正方形PBEF+S△尸co—S^ABD—^AEFB

111

=x2+(a—x)2+—x?(a—2x)——x-a——{a—%)2

111

=%，9+—(a—x)29+—x-(a—2%)——%?a

1111

=%2+—a2-ax+—%2+—ax—x2——ax

=+la2一?

13.(23-24七年級(jí)下?遼寧沈陽(yáng)?期末)(1)如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為加，〃的長(zhǎng)方形紙片，如果它的長(zhǎng)

和寬分別增加a,b,所得如圖2長(zhǎng)方形，用不同的方法表示這個(gè)長(zhǎng)方形的面積，得到的等式為(TH+a)(n+b)

(2)①如圖3,是幾個(gè)正方形和長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)

大正方形的面積，得到的等式為(a+b+c)2=_

②已知a+b+c=15,a2+Z?2+c2=77,利用①中所得到的等式，求代數(shù)式ab+be+ac的值.

(3)如圖4,是用2個(gè)正方體和6個(gè)長(zhǎng)方體拼成的一個(gè)棱長(zhǎng)為a+b的大正方體，通過(guò)用不同的方法表示這

個(gè)大正方體的體積，求當(dāng)a+b=5.9,ab=4.5時(shí)，代數(shù)式足+/的值.

【答案】(1)mn+mb4-na+ab；(2)(l)a2+fo2+c2+2(ah+be+ac)；②ab+be+ac=74；(3)

125.729

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，利用圖形的面積和體積來(lái)得到數(shù)學(xué)公式，關(guān)鍵是靈活進(jìn)行

數(shù)形結(jié)合來(lái)分析.

(1)由圖形面積的兩種不同表示方法可得等式；

(2)①由圖形面積的兩種不同表示方法可得等式；

②由等式利用代入法即可求解；

(3)由圖形體積的兩種不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解.

【詳解】解：(1)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(m+a),寬為(n+b),面積為(m+a)(n+b),

也可表示為四個(gè)長(zhǎng)方形的面積nrn,mb,na,ab的和，

/.(m+a)(n+b)=mn+mb+na+ab,

故答案為：mn+mb+na+ab；

(2)①如圖3,是幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+6+c的大正方形,

用不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，

得到的等式為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；

故答案為：a2+抉++2(ab+be+ac)；

②：a+b+c=15,a2+b2+c2=77,

152—77+2(ab+be+ac),

ab+be+ac=74；

(3)如圖4,是用2個(gè)小正方體和6個(gè)小長(zhǎng)方體拼成的一個(gè)棱長(zhǎng)為a+b的大正方體,

整體上大正方形的體積為(a+6)3,

23

組成大正方體的2個(gè)小正方體和6個(gè)小長(zhǎng)方體的體積的和為+3ab+3ab2+b,

.,.得到的等式為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

?1a+b=5.9,ab=4.5,

a3+b3

=(a+b)3—3a2b—3ab2

=(a+b)3—3ab(a+b)

=205.379-79.65

=125,729.

14.(23-24七年級(jí)下?河北滄州?期末)如圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2機(jī)、寬為2〃的長(zhǎng)方形(根>九)，沿圖中虛線(xiàn)用剪

刀均勻分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b形狀拼成一個(gè)正方形.

⑴請(qǐng)分別用兩種不同的方法表示圖b中陰影部分的面積：方法一：;方法二：;

⑵觀察圖依直接寫(xiě)出代數(shù)式(??1+九)2,(m—n)2,7Tm之間的關(guān)系；

⑶利用(2)的結(jié)論，嘗試解決以下問(wèn)題：

①已知m+九=7,mn=6,求。n—九產(chǎn)的值；

②已知：(4-%)(5-x)=6,求(9一2%)2的值.

【答案】⑴(血一九)2,(m+n)2—4mn

(2)(m—n)2=(m+n)2—4mn

⑶①25；②25

【分析】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用：

(1)可以直接求陰影部分正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算面積；也可以用大正方形的面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積,

得陰影部分的面積；

(2)根據(jù)大正方形面積等于陰影面積加四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積可得出三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系，然后計(jì)算

驗(yàn)證即可；

(3)①根據(jù)(2)中的等量關(guān)系可得，代入計(jì)算即可；②根據(jù)(4—x)(5—x)=6,(5-%)-(4-x)

=5—%—4+x=1,結(jié)合(2)中的等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】(1)解：方法1：陰影部分正方形的邊長(zhǎng)為(m—九)，則陰影部分的面積為：(TH—幾)2；

方法2:陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即(血+幾)2—4血71;

故答案為：(血一九)2,(m+n)2—4mn；

(2)解：??,兩種方法表示的陰影部分面積相等，

(m—n)2=(m+n)2—4mn,

(3)解：(1)Vm+n=7,mn=6,

(m—n)2—(m+n)2—4mn=72—4x6=25；

②V(4-x)(5-x)=6,(5-x)-(4-x)=5-x-4+x=l,

(9-2x)2

=[(4-x)+(5-x)]2

=[(4—%)—(5—%)]2+4(4—x)(5—x)

=l2+4X6

=25

15.(23-24七年級(jí)下?四川成都?期末)通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以驗(yàn)證一些代數(shù)恒等式.

⑴如圖①是一個(gè)大正方形被分割成了邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)正方形及長(zhǎng)寬分別為a和b的兩個(gè)長(zhǎng)方形，利用

這個(gè)圖形的面積可以驗(yàn)證公式」

(2)若孫=8,x+y-6,求/+y2的值；

⑶如圖②，在線(xiàn)段CE上取一點(diǎn)D,分別以CD、DE為邊作正方形ABC。、DEFG,連接BG、CG、EG.若陰影

部分的面積和為9,△CDG的面積為3.求CE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴(a+b)2=a2+b2+2ab

(2)x2+y2=20

(3)CE的長(zhǎng)度為6

【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，完全平方公式變形求值；

(1)從"整體"與"部分"分別用代數(shù)式表示圖形的面積，再根據(jù)各個(gè)部分面積之間的和差關(guān)系即可得出答案;

(2)根據(jù)久2+y2=(x+y)2一2孫整體代入計(jì)算即可；

(3)設(shè)正方形48CD的邊長(zhǎng)為正方形CDEF的邊長(zhǎng)為n,由題意可得mn=6,m2+n2=24,根據(jù)

(m+n)2=m2+n2+2nm求出m+ri的值即可.

【詳解】(1)解：圖①?gòu)?整體上"看是邊長(zhǎng)為a+6的正方形，因此面積為(a+b)2,拼成圖①的四個(gè)部分

的面積和為a?+2ab+b2,

所以有(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案為：(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)xy=8,x+y=6,

:.x2+y2=(x+y)2—2xy

=36-16

=20；

(3)設(shè)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為小，正方形CDEF的邊長(zhǎng)為n,由題意可得，

11

mn=6,7+-m(m—n)=9

即加+九2_mn=18,

???m2+n2=24,

(m+幾)2=m2+n2+2mn

=24+12

=36,

m>0,n>0,

m+n=6,

即CE=m+n=6.

16.(23-24七年級(jí)下?江西九江?階段練習(xí))實(shí)踐操作：從邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方

形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖2).

圖I圖2

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是一(請(qǐng)選擇正確的一個(gè))

A.a2—2ab+fe2=(a—h)2B.b2+ab=b(a+b)

C.a2—b2=(a+b)(a—b)D.a2+ab=a(a+b)

啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)結(jié)合(1)選出的等式，利用其結(jié)論完成下列各題：

⑵計(jì)算：(1-4)*(1一專(zhuān))*(1-1)*”*(1一聯(lián))

(3)計(jì)算1015-2X992+972

11

【答案】⑴C；(2)募(3)8

【分析】本題考查了平方差公式與圖形面積，平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵.

(1)分別表示出兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，即可列出等式；

(2)利用(1)得出的等式化簡(jiǎn)各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子，再計(jì)算有理數(shù)的加減法與乘法即可得到答案；

(3)首先將式子轉(zhuǎn)化成10/—992+972—992,然后利用平方差公式求解即可.

【詳解】解：(1)圖1中陰影部分的面積為：a2-b2；圖2中陰影部分的面積為：(a+b)(a—b),

a2—b2—(a+b~)(a—b~)

，上述操作能驗(yàn)證的等式是〃—/=(a+b)(a—方)

故選：C；

⑵(1一擊)x(1—專(zhuān))x(-9X…x(l一小)

=(1-勺(1+3(1-白(1+2(1…(1-2(1+得

132435911

=-X-X-X-X-X-X--X—X—

2233441010

111

=2xTo

——11?

20,

(3)1012-2X992+972

=1012-992+972-992

=(101+99)(101-99)+(97+99)(97-99)

=200x2+196x(-2)

=8.

17.(23-24七年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí))如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，圖2

是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為Si，圖2中陰影部分面積為S2.

⑴請(qǐng)直接用含a和6的代數(shù)式表示Si=,S2=；寫(xiě)出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式

(用式子表達(dá))；

⑵應(yīng)用公式計(jì)算：0一/)(1一+)。一號(hào))…(1一盛)

1

(3)應(yīng)用公式計(jì)算：(5+1)(52+1)(54+1)…(532+1)(564+1)+-

【答案】⑴az—＞；(a+b)(a—b)；a2—b2=(a+b)(a—b)

⑵黑

⑶〉rl28

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平方差公式與幾何圖形、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握平

方差公式.

(1)結(jié)合對(duì)應(yīng)圖形面積公式即可得解；

(2)逆用平方差公式即可求解；

(3)運(yùn)用平方差公式，將(5+1)(52+1)(54+1)…(532+I)(564+1)+；轉(zhuǎn)變?yōu)?(5_1)(5+1)(52+1)

(54+1)-(532+1)(564+1)+《即可求解.

22

【詳解】(1)解：依題得：Sr=a—b,S2=(a+b)(a—b),

2222

v(a+6)(a—6)=a4-ah—ab—b=a—bf

???利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式為小—按=(Q+h)(a_4

故答案為：a2—b2；(a+b)(a—b)；a2—b2=(a+b)(a—6).

(2)解：由(1)得：a2-b2=(a+b)(a-6),

?1-原式=(i+9(1—3(1+3(1—3(i+3(i—3…0+/)a—募)a+盛)a—壺)'

1324352023202520242026

^2X2X3X3X4X4X'"^X^X^X^)

12026

——X---?

22025'

_1013

―2025,

(3)解：根據(jù)(1)中所得關(guān)系式可得，

原式=1(5-1)(5+1)(52+1)(54+1)…(532+1)(564+1)+；,

=於2_1)(52+1)(54+1)-(532+1)(564+1)4-1

="(5128_1)+]

5128

一~4~,

18.(23-24七年級(jí)下?廣東佛山?期中)乘法公式的探究及應(yīng)用：

圖①圖②

⑴如圖①，可以求出陰影部分的面積是_(寫(xiě)成兩數(shù)平方差的形式)：

如圖②，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)矩形，面積是_:(寫(xiě)成多項(xiàng)式乘法的形式):

比較左、右兩圖的陰影部分的面積，可以得到乘法公式一(用式子表達(dá))

(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算1003x997的值：

【答案】⑴a?—抉,(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b)

(2)999991

【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用：

(1)利用正方形的面積公式即可求出圖①陰影部分面積；仔細(xì)觀察圖形就會(huì)知道圖②中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬,

由面積公式就可求出面積，根據(jù)圖①和圖②中的陰影部分面積相等，即可得到對(duì)應(yīng)的等式；

(2)把原式變形為(1000+3)X(1000—3),利用平方差公式就可方便簡(jiǎn)單的計(jì)算.

【詳解】(1)解：利用正方形的面積公式可知圖①中陰影部分的面積=。2—〃；

由圖②可知長(zhǎng)方形的寬是a—b,長(zhǎng)是a+b,

面積是(a+b)(a-b)；

V圖①和圖②中的陰影部分面積相等，

a2—￡>2=(a+b)(a—b)

故答案為：a2—b2,(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b).

(2)解；1003x997

=(1000+3)X(1000-3)

=10002-32

=1000000-9

=999991.

19.(21-22七年級(jí)下?江西撫州?期中)閱讀材料：

已知:%滿(mǎn)足(9—%)(%—4)=4,求(9一%)2+(久一4/的值.

設(shè)9—x=a,x—4=b,

則ab=(9—x)(x—4)=4,a+Z)=(9—x)+(x—4)=5,

因此(9—x)2+(x—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2X4=17.

用上面的方法解下列問(wèn)題：

⑴已知：(5—x)(久一2)=2,求(5—久尸+(x—2)2的值；

(2)如圖，已知正方形2BCD的邊長(zhǎng)為x,E、F分別是邊40、DC上的點(diǎn)，AE=1,CF=3,分別以MF、DF

為邊作正方形.

①M(fèi)F=,DF=(用含久的式子表示)；

②若長(zhǎng)方形EMFD的面積是48,試求陰影部分的面積.

【答案】⑴5

(2)0x-l,x-3；②32

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，平方差公式.應(yīng)從整體和部分兩方面來(lái)理解完全平方公式

的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開(kāi)分析.

(1)設(shè)5—x=a,x—2=6,貝!]ab=2,a+b=3,再根據(jù)(5—x)2+(%—2尸=a2+/=9+6)2—2ab

進(jìn)行求解即可；

(2)①正方形4BCD邊長(zhǎng)為x,貝口D=CD=BC=x,再由DE=MF結(jié)合圖形可以表示出MF與DF；

②設(shè)久一1=a,%—3=b,貝1Jab=48,a—b=2,據(jù)此可得(a+b)2=(a—b)2+4ab=196,則

a+b=16,陰影部分面積=(%—l)2—(%—3)2=a2—b2=(a+b)(a—b),據(jù)此代值計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：設(shè)5—%=a,X—2=b,

ab=(5—x)(x—2)=2,a+&=(5—x)+(x—2)=5—x+x—2=3,

???(5—x)2+(%—2)2

=a2+b2

=(a+6)2—2ab

=32—2x2

=9—4

=5；

(2)解：①:四邊形EMFQ是長(zhǎng)方形、AE=1,四邊形"BCD是正方形、

??.AD=CD=BC=x,DE=MF,

:,MF=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3,

②^.^長(zhǎng)方形EMFD的面積是48,

???MF?DF=(x—l)(x—3)=48,

設(shè)1—1=a,x—3=5,

ab=.??MF?DF=(x—1)(%—3)=48,a—b=(%—1)—(%—3)=%—1—%+3=2,

??.(a+力尸=(a—b)2+4ab=22+4x48=196,

??.a+b=±16,

又a+Z?>0,

???a+h=16,

???陰影部分面積=MF2-DF2=(x-l)2-(x-3)2=@2_抉=(Q+_ft)=16x2=32

即陰影部分的面積是32.

20.(22-23八年級(jí)下?廣東佛山?期中)材料：對(duì)一個(gè)圖形通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積或體積，可以得

到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

⑴如圖1,將一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正方形紙片剪去-一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，根據(jù)剩下部分的面積，可得一個(gè)

關(guān)于“，b的等式：

圖1

請(qǐng)類(lèi)比上述探究過(guò)程，解答下列問(wèn)題：

⑵如圖2,將一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正方體木塊挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為6的小正方體，根據(jù)剩下部分的體積，可以得到等

式：a3一/=__________,將等式右邊因式分解，即a3—〃=；

⑶根據(jù)以上探究的結(jié)果，

①如圖3所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)...，按此規(guī)律拼疊到正方形力BCD,其邊長(zhǎng)為

19,求陰影部分的面積.

②)計(jì)算：(>/21+1)—(V21—1)

圖3

【答案】⑴一爐=9+b)(a—b')

(2)a2(a—b')+ab(a—b')+fa2(a—b),(a—b)(a2+ab+b2)

⑶①200②128

【分析】(1)利用兩種方法求出陰影部分的面積，即可得出結(jié)論；

(2)利用兩種方法求剩余的立方體的面積，即可得出結(jié)論；

(3)①根據(jù)整個(gè)陰影部分的面積等于各部分小陰影部分的面積之和，結(jié)合(1)中結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②

根據(jù)(2)中結(jié)論，進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴解：陰影=。2-b2=(a+b)(a—b),

關(guān)于a,6的等式為：d2,—b2—(^a+b)(a—b),

故答案為：a2-&2=(a+6)(a—b).

(2)解：由題意，得：

a3-b3=a2(a-b)+ab(a—b)+62(a-Z?)=(a-6)(a2+ab+b2)；

故答案為：a2(a—b)+ab(a—b)+h2(a—b),(a—b)(a2+ab+fo2)；

(3)解：①S=192-172+152-132+…+72-52+32-l2

=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+…+(3+1)(3-1)

=(19+17+15+13+……+3+1)x2

=iy^xl0x2

=200.

@(V2i+1)3-(VH-1)3=(vn+1-V21+i)[(V2i+1)2+(V21+i)(V2i-1)+(V21-1)2]

=2[(22+2V21)+(21-1)+(22-2V21)]

=2x(22+20+22)

=2x64

=128.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用.正確的識(shí)圖，利用兩種方法表示面積和體積，是解題的關(guān)鍵.

21.(22-23七年級(jí)下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))如圖1是長(zhǎng)為4a,寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分

成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)〃回形〃正方形(如圖2).

圖1圖3

⑴觀察圖2,請(qǐng)你寫(xiě)出(a+b)2、(a—力)2、ab之間的等量關(guān)系：；

Q

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，若x+y=5,xy=1,求(x—y)2的值；

⑶請(qǐng)求解下面實(shí)際問(wèn)題：

如圖3,已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為x,E,F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且45=1,。尸=3,長(zhǎng)方形EMFD的面積

是48,分別以MF、DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFD”，求陰影部分的面積.

【答案】(l)(a+6)2—(a—b)2=4ab

(2)16

⑶28

【分析】(1)根據(jù)圖形的面積可得到(a+6)2,(a—b)2,ab之間數(shù)量關(guān)系；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，利用完全平方公式變形求值即可求解；

(3)根據(jù)題意找出題中各線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，設(shè)a=x—3,b=x-l,即ab=48