專題18.12常用五種構造三角形中位線的方法

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生構造三角形

中位線的五種常用方法的理解！

【題型1連接兩點構造三角形的中位線】

（24-25八年級?廣東深圳?期中）

1.如圖，在△/8C中，3/=BC=5,4C=6,點。，點￡分別是8GAs邊上的動點，連結

點尸，點M分別是C2OE的中點，則的最小值為（）

AC

1295

A.—B.-C.3D.一

552

（24-25八年級?山東淄博?階段練習）

2.如圖，在中，ZC=90°,AC=3,BC=4,P是斜邊上的一個動點，且尸在

AB1.（不包含端點）運動的過程中，始終保持G、〃分別是。P、PE

的中點，連接G〃，則GH的最小值是（）

（24-25八年級?廣東深圳?期中）

3.如圖，點E為口A8C。的對角線AD上一點，DE=\,BE=5,連接NE并延長至點尸，使

得AE=EF,則CF為（）

試卷第1頁，共12頁

9

C.4D.

2

(24-25八年級?江蘇揚州?期中)

4.如圖，已知△Z5C的中線8。、CE相交于點O,M、N分別為06、。。的中點.

(1)求證：和7VE互相平分；

(2)若BOLZ。，OC2=32,OD+CD=^,求△0C3的面積.

(24-25八年級?山東濟寧?期末)

5.如圖，在中，/A4C=90。,瓦尸分別是5C,4C的中點，延長力到點。，使

AD=-AB.連接DE,DF.

2

(1)求證：4尸與。E互相平分；

(2)若NABC=60。,BC=4,求。尸的長.

(24-25八年級?山東濟寧?期末)

6.如圖，在平行四邊形/BCD中，點G,H分別是/及8的中點，點￡,尸在對角線ZC

上，S.AE=CF.

試卷第2頁，共12頁

A

ED

⑴求證：四邊形EGM是平行四邊形；

（2）連接8。交/C于點。，若BD=28,AE+CF=EF,求EG的長.

（24-25八年級?山東威海?期末）

7.（1）【課本再現】我們前面學習過三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半.請你嘗試證明.

已知：如圖1,是ZUSC的中位線.

求證：DE//BC,DE=-BC.

2

（2）【實踐應用】

如圖2,是△4BC的中位線，4F是BC邊上的中線，OE與/尸是否互相平分？請證明

你的結論.

圖2

【題型2倍長法構造三角形的中位線】

（2024下?黑龍江伊春?八年級校聯考期末）

8.如圖，四邊形中，ACVBC,AD//BC,BC=3,AC=4,AD=6.M是BD

的中點，則CM的長為（）

試卷第3頁，共12頁

AD

M

BC

35

A.-B.2C.-D.3

22

（2024上?福建龍巖?八年級校聯考階段練習）

9.如圖，已知正方形45C。、正方形ZE產G的邊長分別為4和1,將正方形ZE產G繞點A旋

轉，連接。尸，點"是。尸的中點，連接CM,則線段CW的最大值為（）.

/y

A.3^2B.4V2C.5V2D-2-\/5H-----

2

（24-25八年級?四川成都?階段練習）

10.如圖，在△NBC中，己知/E平分于點瓦廠是8C的中點.若

AB=14cm,AC=20cm,則E77=cm.

11.【知識探究】探究得到定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【定理證明】請你利用矩形的性質，證明該定理.

已知：如圖1,在Rt2X4BC中，ZABC=90°,。是/C的中點；

試卷第4頁，共12頁

（2）【靈活運用】如圖2,四邊形/BCD中，NABC=90。,AC=AD,E,尸分別是NC,

CD的中點，連接BE,EF,BF,求證：Z1=Z2.

（2024上?江蘇蘇州?八年級校考階段練習）

12.如圖，在A48c中，AACB=60°,BC=2,。是48的中點，E是NC上一點，若DE

平分A23C的周長，則。￡的長等于—.

【題型3已知角平分線與垂直關系構造中位線】

（2024下?河北邯鄲?八年級校考期中）

13.在△ABC中，點。是的中點，CE平分NACB,AELCE于點、E.

（1）求證：DE//BC；

（2）若NC=5,BC=1,求。E的長.

（2024下?山西運城?八年級校聯考期末）

14.如圖，在中，BD平仿乙4BC,過點C作CO_L8D于點。，E是邊/C的中點，連

接。￡,若DE=2,BC=10,則的長為（）

試卷第5頁，共12頁

A

D

B

A.6B.8C.7D.9

（24-25八年級-江蘇南通?期末）

15.已知：如圖，AD、2E分別是AZBC的中線和角平分線，ADLBE,AD=BE=3,則

AC的長等于—.

（2024下?江蘇?八年級姜堰區實驗初中校考期中）

16.如圖，為△/8。中乙4。8=90。，4B=13,BC=5,AD,AE■分別平分—A4C、

ZABC,ZADC=ZBEC=90°,連接。E,貝1|。￡=.

（24-25八年級?河南南陽?期中）

17.如圖，ZUBC中，ZC=90°,過點8作NC的平行線，與/C48的平分線交于點。,

若/C=6,C5=8.E、尸分別是C2、4D的中點，則￡尸的長為.

（24-25八年級-江蘇南通?期中）

18.已知：點E在正方形4BCD的邊的延長線上，連接CE,過點C作WLCE,交邊

于點尸.

試卷第6頁，共12頁

⑴如圖1，猜想CE與CF的數量關系，并說明理由：

(2)如圖2,連接￡/，AC,作NNEE的平分線交/C于點G,求證：所=eCG;

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接EG,過點A作NN,EG,交EG的延長線于點N,M

為/月的中點，連接MV.若/尸=6,FD=\,請求出MV的長.

(24-25八年級?湖北武漢?期中)

19.在和中，AD<AB,AB=AC,NDAE=工NBAC=a,//￡。=90°,點

2

下是線段。C的中點，連接斯.

(1)若。在3C上，

①如圖1,點E恰好落在NC上，請探究線段所與8。的數量關系；

②如圖2,試探究線段所與AD的數量關系;

圖1

試卷第7頁，共12頁

A

圖2

63

(2)如圖3,a=30。，點。不在上，ZDBC=15°,EF=芳,AE=~,直接寫出A48C

的面積是---------

圖3

【題型4已知中點，取其他邊中點構造三角形的中位線】

(24-25八年級?山西太原?期末)

20.如圖，ZUBC中，ZACB=90°,G4=CB=12cm,點。為C8的中點，將一個直角三角

板的直角頂點放在點。處，直角邊的點￡在邊42上，AE=7cm,連接8尸，則B尸的長

為cm.

試卷第8頁，共12頁

c

（24-25八年級?天津?期末）

21.如圖，已知△4BC中，ZACB=90°,BC=AC=4,將直角邊/C繞/點逆時針旋轉至

AC,連接8C',￡為8。的中點，連接CE,則CE的最大值為（）

C

A.472B.272+1C.272+2D.2石+2

（24-25八年級?湖北恩施?期末）

22.如圖，△ABC中，。是48的中點，E在/C上，5.ZAED=90°+,貝U8C+2/E

等于（）

33

A.ABB.ACC.—4BD.—AC

22

（24-25八年級?山東煙臺?期末）

23.如圖所示，在四邊形中，AB=245,CD=2拒,ZABD=3Q°,ZBDC=120°,

E,尸分別是ND,8c邊的中點，則斯的長為（）

試卷第9頁，共12頁

A.2V2B.2V3C.V5D.V7

（24-25八年級?福建漳州?期末）

24.如圖，在△NBC中，點。，石分別是/民8。上的動點，連接。￡,將aBDE沿直線DE

折疊得到3￡尸，點尸落在/C上.

⑴如圖1,若點E是BC的中點，求證：DE//AC；

⑵如圖2,若448c=90。，且點尸是NC的中點.

①判斷線段CE與。E之間存在的數量關系，并證明；

②若AB=3,BC=4,直接寫出:跖的面積.

【題型5作其他輔助線構造三角形的中位線】

（24-25八年級?江西宜春?期末）

25.如圖，在△NBC中，AD平分NCAB交BC于點、E.若48￡>/=90。，E是/。中點,

DE=2,AB=5,則NC的長為（）

D

C/\

（24-25八年級?山西長治?階段練習）

26.已知如圖，正方形NBC。，4B=10,點、E,尸分別是邊42,8c的中點，連接EC,

DF,點、G,H分別是EC,。尸的中點，連接G8,則G〃=.

試卷第10頁，共12頁

（24-25八年級?北京?階段練習）

27.已知"BE,將"BE繞點A逆時針旋轉a（0°<a<180。）到△/4,使得點8的對應

點C落在直線班上.

⑴①依題意補全圖1；

②若尸C垂直BE,直接寫出a的值；

（2）如圖2,過8作NC的平行線2D,與FE的延長線交于點。，FE交AC于點、G,取廠。

的中點河和BC的中點N,寫出線段與FG的數量關系，并證明.

（24-25八年級?湖北武漢?期末）

28.如圖（1）,在等腰△NBC,中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ZEAD=a,"BE

可以由A/。通過順時針旋轉變換得到.

⑴請直接寫出旋轉中心及最小旋轉角的大小（用含&的式子表示）；

⑵如圖（2）,若河為8c中點，點。在CM上，過點M作于0,交DE于點、N.

①求證：N為。E的中點；

②若N8=NC=2,a=120。，點。在MC上運動時（包括M,C兩個端點），直接寫出

的最小值.

試卷第11頁，共12頁

（24-25八年級?安徽淮南?階段練習）

29.如圖，在△ABC和△NZJE中，AB=AC,AD=AE,ABAC+ZEAD=180°,△ABC不

動，繞點A旋轉，連接5￡、CD,尸為BE的中點，連接.

（1）如圖①，當/24￡=90。時，求證：CD=2AF,

（2）當NR4EW90。時，（1）的結論是否成立？請結合圖②說明理由.

（24-25八年級?浙江金華?階段練習）

30.如圖，在矩形紙片如5CD中，AB=9cm,8C=12cm,E為邊CD上一點、,將ABCE沿BE

所在的直線折疊，點C恰好落在/。邊上的點尸處，過點尸作RWLBE,垂足為點“，取

4尸的中點N,連接則初V的長為.

試卷第12頁，共12頁

1.A

【分析】本題考查了等腰三角形三線合一的性質及三角形中位線定理，正確得出CE的最小

值是解題的關鍵.過點8作88L/C于〃，連接CE；當CE取最小值時，W0的值最小，

由垂線段最短可知，當CE123于點E時，CE的值最小，利用等腰三角形三線合一的性質

求出58的長，進而利用三角形等面積法求解即可.

【詳解】解：如圖，過點B作BHJ.4C于連接CE；

當CE取最小值時，的值最小，

由垂線段最短可知，當CE148于點￡時，CE的值最小,

在△NBC中，BA=BC=5,AC=6,

.-.CH=-AC='3,

2

???S-M'X6X4=12=L/8.CE,

zizizjc22

24

:.CE=——

5

故選：A.

2.B

【分析】連接。耳尸。，判定四邊形尸EC。是矩形，推出PC=O￡,由三角形中位線定理得

到=因此=g尸C,當尸CLAB時，尸C最小，由勾股定理求出的長，由

11I?

三角形面積公式，得到的面積=,/以尸C=,/C?5C,求出PC=不，即可得到GH

的最小值是

答案第1頁，共37頁

【詳解】解：連接。￡,尸C,

PD//BC,PE//CD,ZACB=90°,

???四邊形PEC。是矩形，

：.PC=DE,

???G、”分別是。P、PE的中點，

???GH是APDE的中位線，

.-.GH=-DE,

2

：.GH=-PC,

2

.?.當PC最小時，GH最小,當時，尸C最小,

此時4ACB的面積=-AB-PC=-AC-BC,

22

-.■ZC=90°,AC=3,BC=4,

???AB=yjAC2+BC2=5，

;.5PC=3x4,

.-.PC=y,

2255

??.GH的最小值是t，

故選：B.

【點睛】本題考查三角形中位線定理，矩形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質,

關鍵是判定四邊形尸ECZ）是矩形，得到PC=DE,由三角形中位線定理得到G//=gpC,

由三角形面積公式求出PC的最小值.

3.C

【分析】本題考查平行線四邊形的性質，三角形中位線定理，關鍵是證明OE是的中

答案第2頁，共37頁

位線.連接/c交50于。，由平行四邊形的性質推出/O=OC,OD=；BD,證明OE是

△/CR的中位線，得到bC=20E,求出BD=6,得到。0=3,求出0E=OD-QE=2,

從而FC=2OE=4.

【詳解】解：連接NC交2。于O,如圖所示：

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.AO=OC,OD=~BD,

2

■■■AE=EF,

.?.0E是△/(?尸的中位線，

：.FC=20E,

■：DE=\,BE=5,

BD=1+5=6,

...on=1x6=3,

2

.-.OE=OD-DE=3-1=2,

；.FC=2OE=4.

故選：C.

4.(1)證明見解析

⑵16

【分析】本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、完全平方

公式，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關鍵.

(1)先根據三角形的中位線定理可得ME=ME//OA,DN=goA,DN//OA,

再證出四邊形。EMN是平行四邊形，根據平行四邊形的性質即可得證；

(2)先求出OB=2(W=2OD,再利用勾股定理可得OZ)2+a)2=32,然后利用完全平方

公式變形求值可得2。6CD的值，最后利用三角形的面積公式計算即可得.

【詳解】(1)證明：如圖，連接O4DE,MN,

答案第3頁，共37頁

???CE是△ABC的中線，點M是08的中點，

.-.ME=-OA,ME//OA,

2

同理可得：DN=^OA,DN//0A,

：.ME=DN,ME//DN,

???四邊形DEMN是平行四邊形,

.?."D和2VE■互相平分.

(2)解:由(1)已證：和互相平分，

：.OD=OM,

,?,點M是08的中點，

OB=2OM,

/.OB=20D,

?■BDLAC,OC2=32,

???。獷+5=。。2=32,

OD+CD=8,

2ODCD=(OD+C￡>)2-[OD2+C￡>2)=82-32=32,

??.AOCB的面積為goBCD=；x2O￡>CD=gx32=16.

5.(1)證明見解析

(2)2

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性

質等知識；

(1)利用三角形中位線定理可得出跖〃EF：AB,結合得出

EF=AD,可證明四邊形NEED是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質即可得證；

(2)先證明ANBE為等邊三角形，可得AE=BE=2,再利用平行四邊形性質求解即可.

答案第4頁，共37頁

【詳解】(1)證明：連接E尸，AE.

???點￡,尸分別為3C、/C的中點，

-.EF//AB,EF=-AB.

2

又MD=LAB,

2

：.EF=AD.

又???EF//AD,

二四邊形AEFD是平行四邊形.

尸與DE互相平分.

(2)解：在中，NABC=60°,BC=4,￡為8c的中點，

：.BE=LBC=2,NACB=3Q°,

2

：.AB=LBC=2,

2

AB=BE,

；.A4BE為等邊三角形,

.，?AE=BE=2,

又???四邊形AEFD是平行四邊形，

???DF=AE=2.

6.(1)證明見解析

⑵7

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及三角形的中位線

定理等知識點，熟練掌握平行四邊形判定與的性質及三角形中位線定理是解題的關鍵.

(1)證明“GE0Ao/F(SAS),得GE=HF,NAEG=NCFH,則=得

GE//HF,即可得出結論；

(2)先由平行四邊形的性質得出08=00=14,再證出4E=0E,可得EG是A/8。的中

位線，然后利用中位線定理可得EG的長度.

答案第5頁，共37頁

【詳解】（1）證明：???四邊形45C。是平行四邊形,

AB〃CD,AB=CD,

ZGAE=ZHCF,

???點G,7/分別是45,。。的中點,

??.AG=CH,

在△4G￡和△CHF中，

AG=CH

<ZGAE=ZHCF,

AE=CF

???"GE四△C7ZF(SAS),

，GE=HF,ZAEG=ZCFH,

/GEF=/HFE,

:?GE〃HF,

又?:GE=HF,

???四邊形￡GF〃是平行四邊形；

(2)解：連接交/C于點。如圖:

???四邊形ABCD是平行四邊形,

OA=OC,OB-OD,

???50=28,

OB=0D=14,

AE=CF,OA=OC,

OE=OF,

?/AE+CF=EF,AE=CF9

；.2AE=EF=2OE,

AE=OE,

又??,點G是45的中點，

答案第6頁，共37頁

???EG是的中位線,

.-.EG=-OB=7.

2

7.（1）證明見解析；（2）與/尸互相平分，見解析.

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質；

（1）如圖所示，延長。E到下，使得=證明A/EOGACE廠，得到

/A=/FCE,AD=CF,則4D〃C/，再由點。是48的中點，得到4D=AD=C尸，即

可證明四邊形8CED是平行四邊形，則DE〃臺C,DF=BC,再由=即可證明

DE=LBC；

2

（2）如圖，連接。尸，證明四邊形/次石為平行四邊形，從而可得結論.

【詳解】證明：（1）如圖所示，延長。￡到尸，使得DE=FE,

???點E是/C的中點，

AE=CE,

在△NED和廣中,

AE=CE

<NAED=ZCEF,

DE=FE

.-.6.AED^CEF（SAS）,

；./A=/FCE,AD=CF,

：.AD//CF,

,?,點D是AB的中點，

AD=BD=CF,

.??四邊形2CFD是平行四邊形,

DE//BC,DF=BC,

又；DE=FE,

答案第7頁，共37頁

.-.DE=-DF=-BC,

22

：.DE//BC,且。

2

(2)如圖，連接。尸，

???DE是△N2C的中位線，/尸是BC邊上的中線，

D,E,F分別為UBC的三邊中點，

DF//AC,EF//AB,

二四邊形ADFE為平行四邊形，

；.DE與AF互相平分.

8.C

【分析】解法一：延長2C到E使=則四邊形NCED是平行四邊形，根據三角形的

中位線的性質得到CN=，根據跟勾股定理得到

22

AB=ylAC2+BC2=V42+32=5>于是得到結論；

解法二：延長CM交4D于T,證明ABMC絲得CM=M7,DT=BC=3,最后根據

勾股定理得到CT=^AC2+AT2=5，于是得到結論.

【詳解】解：解法一：延長8C到E使=則四邊形/CED是平行四邊形，

.1C是BE的中點，

是AD的中點，

:.CM=-DE=-AB,

22

答案第8頁，共37頁

■：ACA.BC,

AB=^AC2+BC2=A/42+32=5，

,-,CM=--

2

解法二：延長CM交4D于7,

AD//BC,

ZMBC=ZMDT,

■：MD=MB,NBMC=ADMT,

.-.A(ASA),

:.CM=MT,DT=BC=?>,

:4D=6,

:.AT=3),

?.?/C=4,ZCAT=90°,

CT=>JAC2+AT2=V42+32=5，

:.CM=MT=-CT=~,

22

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，三角形的中位線定理，勾股定理，全等三角形的判

定與性質，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

9.D

【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質、三角形三邊關系、勾股定理，

延長DC至點P,使C尸=DC,連接尸尸，AP,AF,由三角形中位線定理可得打'=2CN,

由正方形的性質結合勾股定理可得/尸="評=4右，/尸=爐下=&，由三角形三邊

關系可得尸尸V4尸+/尸，從而可得尸尸的最大值為4石+也，即可得解，熟練掌握以上知

識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，延長。C至點P,使CP=DC,連接尸尸，AP,AF,

答案第9頁，共37頁

?點M是。尸的中點，CP=DC,

:.CM是ADFP的中位線，

PF=2cM,

???正方形ABCD、正方形AEFG的邊長分別為4和1,

AP=^+^=475>/b=6,

?/PF<AF+AP,

二尸尸的最大值為46+收，

.,.CM的最大值為2指+",

2

故選：D.

10.3

【分析】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，掌握三角形中位線等

于第三邊的一半是解題的關鍵.證明根據全等三角形的性質得到

AD=AB=3cm,BE=ED,進而求出。C,再根據三角形中位線定理解答即可.

【詳解】解：???/￡平分/A4C,

NBAE=ZDAE,

???BE工AE,

ZAEB=ZAED=90°,

在“EB和AAED中，

BAE=ADAE

<AE=AE,

AAEB=NAED

△AEB2AAED（ASA）,

答案第10頁，共37頁

AD=AB=14cm,BE=ED,

DC=AC-AD=20-14=6(^),

■：BE=ED,尸是5c的中點，

尸是ABDC的中位線，

:.EF=^DC=3(cm),

故答案為：3.

【分析】(1)延長3。至點。，使連接NO、CD,先證四邊形ABC。是平行四

邊形，再證平行四邊形是矩形，得4C=BD,即可得出結論；

(2)由直角三角形斜邊上的中線性質得再由三角形中位線定理得收

然后由/C=40,得BE=EF,即可得出結論.

【詳解】解：證明：如圖1,延長8。至點。，使QD=O8,連接4。、CD,

圖I

OA=OC,

二四邊形/BCD是平行四邊形,

/ABC=90°,

平行四邊形/BCD是矩形，

AC=BD,

:.OB=-AC,

2

故答案為：OB=^AC-

答案第11頁，共37頁

（2）證明：如圖2,

NABC=90°，￡是/C的中點,

???尸是CD的中點,

.,.斯是A/CD的中位線,

:.EF=-AD,

2

AC=AD,

BE=EF,

Z1=Z2.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中

線性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線

性質和三角形中位線定理，證出08=是解題的關鍵.

12.6

【分析】此題考查了三角形中位線定理，等腰三角形性質，解直角三角形等知識點；延長/C

至點廠使得CF=C3,連接3/，作CGL8尸于點G,則/尸=/CBF=L//C8=3O。，易

2

得2斤=26，又由已知得+=++=+斯，則/￡=￡尸，故DE為公ABF

中位線，從而得DE=LBF=6

2

【詳解】延長NC至點尸使得CF=C8,連接5/，作CGL3產于點G,

答案第12頁，共37頁

F

???BG=FG=BC-cos30°=石，

■■BF=2^3，

?；DE平分MBC的周長

：.DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF,

???。是中點，

DA=DB,

???AE=EF,

???DE為44BF中位線,

.-.DE=-BF=y/3.

2

故答案為：V3.

13.(1)見解析

(2)1

【分析】(1)根據CE平分N/C2,AE1CE,運用ASA易證明△/CEg△尸CE.根據全

等三角形的性質，得AE=EF,C/=/C,根據三角形的中位線定理即可得到結論；

(2)根據三角形的中位線定理即可求解.

【詳解】(1)解：延長/￡交5c于尸，

?;CE平分NACB,4ELCE于點E,

ZACE=ZFCE,NAEC=ZFEC=90°,

在和AFCE中,

答案第13頁，共37頁

ZACE=ZFCE

<CE=EC,

NAEC=NFEC=90。

:.AACE/AFCE.

AE=EF,

???點。是45的中點，

AD=BD,

是尸的中位線.

DE//BC；

(2)AACE^AFCE,

CF=AC=5,

是的中位線.

DE=^BF=^(BC-AC)=^(7-5)=1,

故。E的長為1.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質以及三角形的中位線定理，正確地作出輔助線

是解題的關鍵.

14.A

【分析】如圖，延長24,CD交于點F,根據角平分線和垂線證得2F=3C,DF=CD,再利

用中位線的性質得到/尸=20E,即可計算/2=2廣NR求得答案.

【詳解】如圖，延長24,CD交于點尸，

F

?：BD平分乙48C,

ZFBD=ZCBD,

CDLBD,

??.△F2C是等腰三角形(三線合一),

答案第14頁，共37頁

■,BF=BC=10,DF=DC,

??.D是C尸的中點，

■.E是邊NC的中點，

.?.DE是尸的中位線，

???AF=2DE=4,

：.AB=BF-AF=6-,

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質，中位線的性質，解題的關鍵是做出輔助線,

利用等腰三角形和中位線的性質解答.

15.—

4

【分析】本題考查了三角形中位線的性質以及勾股定理的應用，設交于點G,過。

點作DF〃BE,則。尸尸為EC中點，在口伍40尸中求出/尸的長度，根據已知條

3

件易知G為ND中點，因此E為/尸中點，則=尸，即可求解.

【詳解】解：設交于點G,過。點作。尸〃8E,

;AD=BE=3,則DP=1.5,AF^^AD2+DF2

BE是dBC的角平分線，

ZABG=ZDBG

又AD±BE,

：.NAGB=ZDGB=90°

???ABAD=ABDA

又?.?BG=BG

:.AABG知DBG,

:.G為AD中點，

:.E為AF中點，

答案第15頁，共37頁

333A/5

AC=-AF=—x------

222

故答案為：苧

16.2

【分析】利用勾股定理求得/C=12,分別延長CD、CE交AB于點F、G,證明

△ADC咨ZXADF和△BE84BEG，推出=。尸，/C=/b=12,CE=EG,8C=8G=5,

得到。E是A4FG的中位線，據此求解即可.

【詳解】解：ZC3=90°,43=13,BC=5,

???AC=A/132-52=12，

分別延長CD、CE交4B于點F、G,

C

???N。分別平分/歷IC,ZADC=ZADF=90°,又AD=AD,

ADC咨ZXADF(ASA),

CD=DF,AC=AF=U,

同理△BEC之△BEG(ASA),

；.CE=EG,BC=BG=5,

二。￡是A4FG的中位線，

：.DE=-FG,

2

■.■FG^AF+BG-AB^12+5-13^4,

.-.DE=-x4=2,

2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，三角形中位線定理，證明。E是

“AFG的中位線是解題的關鍵.

17.2

【分析】連接CF并延長交3。于G,先求出48=10,由AD是ZA4C的平分

答案第16頁，共37頁

線推出5D=/B=10,證明ADG尸也A/C尸(ASA)得G尸=CF,DG=AC=6,則

BG=BD-GD=4,再證明所為ACBG的中位線，即可得解.

【詳解】解：如圖，連接CF并延長交助于G,

在△/8C中，ZACB=9Q°,AC=6,CB=8,

■■AB=dAC?+BC。=A/62+82=10)

?.■AC//BD,

：.ACAD=4D,

???/。是/A4c的平分線，

/BAD=ZCAD,

.-2D=/BAD,

BD=AB=10,

???點/為4。的中點，

:?DF=AF,

在△OG尸和廠中，

ZDFG=/AFC

<DF=AF,

ZGDF=ZCAF

???△DG尸之△ZCF(ASA),

??.GF=CF,DG=AC=6,

??.BG=BD-GD=10-6=4,

???點E為的中點，Gb=W即點尸是CG的中點，

???￡方為的中位線，

EF=—BG=—x4=2,

22

廠的長為2.

故答案為：2.

答案第17頁，共37頁

【點睛】本題考查勾股定理定理，平行線的性質，角平分線的定義，等角對等邊，全等三角

形的判定和性質，三角形的中位線定理.解題的關鍵是熟練掌握三角形的中位線定理、全等

三角形的判定和性質，正確地添加輔助線構造全等三角形.

18.(1)CE=CF,理由見解析

(2)證明見解析

(3)W=1

【分析】(1)利用正方形的性質和全等三角形的判定與性質解答即可；

(2)利用正方形的性質和等腰直角三角形的性質得到斯=血3,再利用角平分線的定義,

正方形的性質和等腰三角形的判定定理得到CG=CF,則結論可得；

(3)延長NN交所于點。，利用正方形的性質和勾股定理求得所，再利用三角形的角平

分線的性質，全等三角形的判定與性質得到/N=QN,EQ=EA=8,再利用三角形的中位

線定理解答即可.

【詳解】(1)解:CE與CF的數量關系為：CE=CF.理由如下：

???四邊形ABCD是正方形，

CD=BC,NABC=ZBCD=ZD=90°,

■：ZABC+ZEBC=\iQ°

ZEBC=90°=ZD

■：CF1CE

ZECF=Z90°

ZECF-ZBCF=/BCD-ZBCF

即：ZBCE=ZDCF.

在AEBC與△FDC中，

ZEBC=ZD=90°

<CB=CD,

NBCE=ZFCD

答案第18頁，共37頁

.?.AEBC%FDC(ASA),

CE=CF-

(2)證明：CFICE,CE=CF,

，在C尸是等腰直角三角形，

:.ZCFE=45°,EF=y[2CF,

???四邊形48。是正方形，

ZCAD=45°,

ZCAD=ZCFE.

一:FG平分~NAFE,

ZEFG=ZAFG.

NCFE+ZEFG=ACAD+ZAFG,

即NCFG=ZCGF,

CG=CF,

EF=V2CG;

(3)解：延長/N交E尸于點。，如圖,

由（1）知：△E3C之△FDC,

BE=FD=\.

???四邊形/BCD是正方形，

ZDAB=90°,AB=AD=AF+FD=6+l=y,

AE-8,

由勾股定理得：

EF=-jAE2+AF2=10，

???四邊形ABC。是正方形，

：.4C平分NR4D,

???尸G平分N/EE,三角形的三條角平分線交于一點,

答案第19頁，共37頁

EG平分NAEF,

/.ZAEN=ZQEN.

?/ENLAN,

ZANE=ZQNE=90°.

在△￡7%和△EN0中，

ZANE=ZQNE

<EN=EN,

ZAEN=ZQEN

二△EN心△ENQgK),

AN=QN,EQ=EA=8,

.\FQ=EF-EQ=10-S=2f

■■-AN=QN,M為/尸的中點，

:.MN為AAQF的中位線，

:.MN=^FQ=1.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，勾

股定理，角平分線的性質，三角形的中位線，熟練掌握正方形的性質和全等三角形的判定與

性質是解題的關鍵.

19.(1)①EF=3BD,②EF=”D

/QX3-$/3+2y[6

4

【分析】⑴根據題意得NZW=N&4D和=ZCED=90°,進一步得EF=gco,

結合CD=BD,即可得跖

2

②延長至S,使￡S=Z)E,連接45,CS,則斯是ADCS的中位線，有EF=；CS,判

定NE垂直平分DS,WAD=AS,ZDAE=ZEAS=-ADAS,>ABAC=ADAS

一2

/BAD=NCAS成立,利用SAS證明AAB。會A/CS,貝l|有2r)=CS；

⑵延長DE至S,使ES=DE,連接/S,CS,過點。作于點T.則斯是AOCS

的中位線，有EF=*S,同上可證絲A/CS,^CS=BD.貝I」AD=2M,在Rt"O￡

中得DE,4D=2DE,進一步判定zUBC是等邊三角形，可得//AD=45。，求得

答案第20頁，共37頁

BT^DT=—BD,貝lj可得=+結合△4SC是等邊三角形即可求得面積.

2

【詳解】(1)解：①EF=gBD,理由如下：

?：ADAE=-ABAC=a,

2

??.ZDAE=ZBAD，

???AB=AC,

:?BD=CD,

???ZAED=90°,

???/CED=90°,

???點/是線段的中點，

:,EF=-CD,

2

???CD=BD,

：.EF=-BD-

2

②EF=”D,理由如下：

延長。E至S,使ES=DE,連接4S,CS,如圖，

???斯是4OCS的中位線，

：.EF=-CS,

2

???NAED=90。,

ZAES=90°=ZAEDf

???ZE垂直平分。S,

??.AD=ASf

???/DAE=ZEAS=-ADAS,

答案第21頁，共37頁

■：ADAE=-ABAC,

2

ABAC=ADAS,

ABAC-ACAD=ADAS-ACAD,

/BAD=ZCAS,

■：AB=AC,AD=AS,

%/CS(SAS),

:.BD=CS,

:.EF=gBD；

(2)解：延長。E至S,使ES=DE,連接/S,CS,過點。作。7_L48于點T.如圖,

??,點下是線段CD的中點，

.?.E尸是AOCS的中位線，

.-.EF=-CS,

2

同上可證A/B。也A/CS,

:.CS=BD.

???BD=2EF=V2，

3

在中，ZDAE=30°,AE=-,

2

???DE=^-,AD=IDE=y/3,

???ZBAC=2a=60°,AB=AC,

.??△/BC是等邊三角形，

/ABC=60°,

???ZDBC=15°,

???NABD=45°,

：,BT=DT=—BD=\,

2

答案第22頁，共37頁

在RtA^Z>7中，AT=^AD2-DT2=V2，

■■AB=BT+AT=1+42，

???△4BC是等邊三角形，

次邛（1+6=已返

【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的

判定和性質、三角形中位線定理和勾股定理，解題的關鍵是熟悉等腰三角形的和全等三角形

的性質.

20.（672-7）

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質與判定，中位線定理.取

的中點K,連接DK,證明AEOK^—D^SAS）,得到KE=B廠，求出KE的長即可得到

BF.

【詳解】解：取48的中點K,連接OK,

???點。為8C的中點，點K為48的中點,

??.OK是△NBC的中位線，

;.DK=LCA,DK//AC,

2

???C4=C5,點。為的中點，

：,BD=-CB=-CA,

22

DK=BD,

???N4C5=90。,DK//AC,

；,/KDB=90。,

???ZEDK+ZKDF=ZFDB+ZKDF=90°,

???ZEDK=ZFDB,

???△￡￡獷為等腰直角三角形，

答案第