二次期數中平移■翻折■痛轉綜合問題

目錄

解窘中考.................................................................................1

題型帶詞提分.............................................................................2

【題型一】二次由數中的平移嫁合問題...................................................2

【題型二】二次函敷中的制折綜合問題...................................................7

【題型三】二次函數中的建橋綠合問題..................................................12

解密中考

考情分析:二次函數中平移、翻折、旋轉綜合題是全國中考的熱點內容,更是全國中考的必考內容。每年都有

一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。

1.從考點頻率看，平移為高頻考點，常考解析式變化；翻折為中頻,涉及對稱軸變換;旋轉低頻，多與坐標系

結合。各地差異小，平移占比約30%,翻折20%,旋轉10%左右。

2.從題型角度看，平移、翻折多現選擇填空（直接求解析式）或解答題第一問（基礎變換）;旋轉常融綜合題

（如與幾何圖形結合求坐標）,壓軸題占比約15%,側重邏輯推導。

備考策略:在中考數學備考中，熟記變換規律（如平移“左加右減”、翻折符號變化、旋轉坐標公式）;分類練基

礎題與綜合題,注意變換后圖形性質；壓軸題需結合函數與幾何，用方程思想聯立求解,強化畫圖分析能力。

題型特訓提分

【題型一】二次函數中的平移綜合問題

1.（2025?浙江?模擬預測）已知二次函數y="+kc—3的圖象經過點（1,-4）.

（1）求二次函數解析式及其對稱軸；

（2）將函數圖象向上平移巾個單位長度，圖象與c軸相交于點A,B（A在原點左側），當AO-.BO=1:4時,

求7n的值；

（3）當n―1W/43時,二次函數的最小值為2%,求九的值.

1.用頂點式分析:設原函數為y=a（x-hy+%,平移后頂點為（憶匕）,則新解析式為y=a（x—h'f+k'.

2.記平移規律:左右平移變從左加右減），上下平移變%（上加下減）。如向右移館個單位，得"=a（c-無

—m）2+ko

3.分步平移:先左右再上下,或反之，結果一致。

4.一般式轉換:若為一般式，先配方成頂點式再平移，避免符號錯誤。

0

2.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點71(-1,-5),5(1,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求當一3時，二次函數V=爐+般+°的最大值.

(3)現將該二次函數y=x2+bx+c的圖象沿著比軸的正方向平移R(k>0)個單位長度得到新的二次函

數圖象，當2W宓W4時，新的二次函數有最小值，最小值為7,求平移后新的二次函數的表達式.

3.（2025?重慶?模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線夕=a/3+五一4與宓軸交于點A、B,與％軸交于點

C,點。是拋物線的頂點，08=00=204,連接BC.

備用圖

⑴求拋物線的解析式.

（2）如圖，點P是直線下方拋物線上一點，點A、E關于夕軸對稱，線段BE沿著射線平移.平移

后的線段記為MN,當ABCP面積最大時,求PM+MN+ND的最小值.

2

（3）在（2）的基礎上將拋物線y=ax+bx-4：沿射線AC方向平移2V5個單位長度得新拋物線如，在新

拋物線y'上是否存在點Q,使ZQFB=NACO+45°?若存在,請直接出點Q的橫坐標，若不存在,請說

明理由.

4.(2025?海南?模擬預測)在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a00)與宏軸交于71(—4,0),

8(1,0)兩點，與0軸交于點。(0,—2),連接

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,點P是拋物線上位于直線AC下方一動點,過點P作夕軸的平行線交直線AC于點。，點E

是y軸上的一個動點，連接BE,PE.當線段PD長度取得最大值時，求PE—BE的最大值，及此時點E

的坐標；

(3)如圖2,將拋物線y=arc?+就+eg#0),先向右平移1個單位長度,再像上平移2個單位長度，得到

新拋物線yi,點N是新拋物線上一點，連接CN,當4ACN=ACBA-ACAB時,請求出點N的坐標.

5.(2025?湖南衡陽?一模)拋物線L」.y=~x2+bx+c^x軸交于A(—4,0),5(1,0)兩點，與y軸交于點

C,點P是拋物線Li上的一動點,設點P的橫坐標為m(-4<m<0).

⑴求拋物線二的表達式.

⑵如圖1,連接AP,并延長4P交y軸于點。，連接BP,交y軸于點E.點P在運動過程中，OD+

4OE的值是否為定值，若是,請求出定值;若不是，請說明理由.

(3)將該拋物線加向左平移4個單位，再向上平移2個單位，得到如圖2所示的拋物線L2剛好經過點P,

點河為拋物線L對稱軸上一點.在平面內確定一點N,使以點A,P,河，N為頂點的四邊形是菱形.

【題型二】二次函數中的翻折綜合問題

6.（2025?湖南?二模）已知拋物線y=ax2—2ax—4（a>0）.

（1）如圖1,將拋物線y=aX^-2ax-4在直線y=-4下方的圖象沿該直線翻折，其余部分保持不變,得

到一個新的函數圖象“W”.翻折后，拋物線頂點A的對應點4恰好在立軸上，求拋物線y=a〃—2a①

—4的對稱軸及a的值；

（2）如圖2,拋物線y=ax2-2ax-4（a>0）的圖象記為“G”,與y軸交于點過點B的直線與（1）中的

圖象"W"（2>1）交于P,。兩點，與圖象“G”交于點D

①當a=六時，求煞的值；

②當a￥4時,請用合適的式子表示等（用含a的式子表示）.

1.明確對稱軸：

力軸翻折:頂點仇,k）變仇,一k）,開口反向（a變一a）,解析式為沙=—a（力一九尸一鼠

y軸翻折:頂點變（一九,k）,開口不變，解析式為y=a（C+h）2+鼠

2.一般式處理:先配方成頂點式再翻折，避免符號錯誤。

3.利用對稱點:任一點（力,妨關于軸翻折后坐標代入原函數，直接推導新解析式（如關于力軸翻折,

用nt—y替換）。

7.(2025?山東濟南?一模)如圖1,拋物線G經過點4(—3,0)、0(0,3),對稱軸為直線c=—1,直線BE與宏軸

所夾銳角為45°,與U軸交于點E.

⑴求拋物線G和直線BE的表達式；

(2)將拋物線G沿二、四象限的角平分線平移，使得平移后的拋物線與直線班;恰好只有一個交點，求拋

物線平移的距離；

⑶如圖2,將拋物線G沿直線BE翻折,得到新曲線G,G與0軸交于M、N兩點,請直接寫出7點坐

標.

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8.(2025?廣西南寧?一模)在平面直角坐標系中，拋物線4=12+法+。經過點(0,-3),(-1,0).

⑴求出該拋物線的解析式；

⑵當一1＜小時，求"的最小值；

(3)把拋物線夕=〃+就+。的圖象在立軸下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原拋物線位

于力軸下方的部分組合的圖象記作圖象Q,若直線工="與圖象Q的上下部分分別交于4B兩點，當線

段48=4時，求"的值.

2

9.（2025?上海靜安?一模）已知拋物線y=ax'+bx+°（01#0）上,其9與2：部分對應值如下表:

X-3-1032

y-80202

⑴求此拋物線的表達式；

（2）設此拋物線的頂點為P,將此拋物線沿著平行于立軸的直線Z翻折,翻折后得新拋物線.

①設此拋物線與比軸的交點為4、B（點力在點B的左側），且AABP的重心G恰好落在直線I上,求此時

新拋物線的表達式；

②如果新拋物線恰好經過原點，求新拋物線在直線I上所截得的線段長.

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10.(2025?吉林?一模)如圖，已知拋物線y=x'2+bx+c經過A(3,4)和8(—2,4)兩點，將該拋物線位于c軸

下方的部分沿T軸翻折，其余部分不變,得到的新圖象記為“W”，圖象W交4軸于點C.

⑴①求拋物線y=x2+bx+c的解析式；

②求二次函數y=a;2+brr+c的最小值.

(2)①直接寫出圖象W的解析式；

②求當圖象W所對應的函數"隨力增大而增大時工的取值范圍.

⑶若直線沙=—/+b與圖象W有3個交點時，請結合圖象，直接寫出b的值.

【題型三】二次函數中的旋轉綜合問題

11.（2025?湖南永州.一模）如圖，已知拋物線G；y=—d+4,將拋物線G繞點河（1,0）旋轉180°,得到拋物線

C2：U="+?7KC,拋物線G,G相交于入，B兩點.

⑴求?71的值;

（2）求直線對應的一次函數表達式；

（3）拋物線G,G位于4口兩點之間的部分圖形記作W,過點M的直線/與W相交于E,尸兩點，連接

BE,BF,求△BEF面積的最大值及此時對應的E點坐標.

1,確定旋轉中心與角度:初中常考繞原點或頂點旋轉180°。

繞原點轉180°：頂點仇㈤變（―h,f）,a變—a,解析式為y=-a（x+h）2-ko

繞頂點轉180°：頂點不變，開口反向，解析式為y=-a（x-h/+乳

2.坐標變換法:任一點0y）旋轉后坐標代入原函數，整理得新解析式（如繞原點轉180°，用立一-,，v一

一夕替換）。

3.驗對稱性:旋轉后圖像應關于中心對稱，檢查頂點與開口方向是否符合。

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12.(2025?四川成都，二模)如圖，平面直角坐