第09講探索與表達規律(2個知識點+2種題型+過關檢測)

思維導圖

知識點1.規律型：數字的變化類避一.規骸：數字的變硬

探索與表

達規律

知識點2.規律型：圖形的變化類題型二.規律型：圖形的變像

知識梳理

知識點L規律型：數字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎上去

探究，觀察思考發現規律.

(1)探尋數列規律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字與序號建立數量關系或者與

前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為尤，再利用它們之間的關系，設出其他未知

數，然后列方程.

知識點2.規律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規律題

首先應找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求

解.探尋規律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題.

題型歸納

題型一.規律型：數字的變化類

1

1.(2024秋?洛寧縣月考)已知一列數為=2,a2,生，…，它們滿足關系式％=----，“3=--------------

]—q]一%］一%

當。1=2時，則。2024=()

A.2B.-1C.――D.-

22

【分析】分別計算出第2、3、4個數，據此得出循環規律，進一步求解即可.

【解答】解：,已知一*列數％=2,a2J它們滿足關系式。2=—-—，。3=―-—，。4=--—，…，4]=2,

1-q1—a21—%

-------=------=11

1—q1—2

1_11

-

l-a2-1-(-1)2

2024=674x3+2,

故選：B.

【點評】本題主要考查數字的變化規律，掌握數字的循環規律是解題的關鍵.

2.(2024秋?蜀山區月考)設。是不為1的有理數，我們把」一稱為。的差倒數.如-2的差倒數是」一2的

1-a1-(-2)3

差倒數是1=T.已知q=5,%是q的差倒數，火是電的差倒數，處是火的差倒數，……，以此類推，則出。24的

值為二.

一4~

【分析】根據差倒數的計算方法，分別求出力,電，4，%，〃5值，找出規律即可求解.

【解答】解：根據題意，e=5,〃=」—=_▲,a3=--二—=3,a4=—二=5,%=」—=—',

1-5435%「a1-54

45

每三個循環一次，

2024+3=6742,

%024的值為——>

故答案為：-4.

4

【點評】本題考查了定義新運算，數字規律，找到規律是關鍵.

3.(2024秋?玄武區校級月考)觀察下列算式：

?22-I2=2+1；

②32-22=3+2；

③42-32=4+3；

④52—42=5+4；

⑤6-52=6+5；

(1)根據以上規律寫出第⑧條算式：_92-82=9+8_；

(2)計算:1002-992+982-972+...+22-12；

(3)計算：182-192+202-212+222-232+...+20162-20172.

【分析】(1)根據已知等式得出第〃條算式為5+1)2-/=〃+1+〃，再將〃=8代入可得答案;

(2)利用所得規律展開得原式=100+99+98+97+…+2+1,再利用高斯求和公式計算可得；

(3)原式提取符號得出原式=-(20172-2016?+2015,-2014?+...+212-202+19?-1G),再利用所得規律變形,最后

利用求和公式計算可得答案.

【解答】解：⑴①22-12=2+1

@32-22=3+2

③42-32=4+3

(4)52-42=5+4

@62-52=6+5

以此類推可知，第〃條算式為(〃+1)2-〃2=〃+1+”,

則第⑧條算式為9?-8?=9+8,

故答案為：92-82=9+8.

(2)原式=100+99+98+97+…+2+1

100x(100+1)

2

=5050；

(3)182-19z+202-212+222-232+...+20162-20172

=-(20172-20162+20152-2014+...+212-202+192-182)

=-(2017+2016++21+20+19+18)

(2017+18)x(2017-18+1)

一2-

=-2035000.

【點評】本題主要考查了數字類的規律探索，發現規律是關鍵.

題型二.規律型：圖形的變化類

4.（2024秋?察右前旗校級月考）觀察下列一組圖形按此規律，第8圖中五角星的個數有（）

☆

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

圖形①圖形②圖形③圖形④

A.43個B.45個C.51個D.53個

【分析】根據圖形的順序和數量，確定數量關系即可求解.

【解答】解：第1個圖形中，有2個五角星，即1+1=2,

第2個圖形中,有6個五角星，即1+2+3=6=1+2+(1+2),

第3個圖形中,有11個五角星，BP1+2+3+5=11=14-2+3+(2+3)，

第4個圖形中,有17個五角星，即1+2+3+4+7=17=1+2+3+4+(3+4),

第5個圖形中,五角星的個數為1+2+3+4+5+9=24=1+2+3+4+5+(4+5),

第6個圖形中,五角星的個數為1+2+3+4+5+6+11=32=1+2+3+4+5+6+(5+6),

第7個圖形中,五角星的個數為1+2+3+4+5+6+7+13=41=1+2+3+4+5+6+7+(6+7),

(1+ri)nn"+5〃-2

.,.第〃個圖形中，五角星的個數為1+2+3+4++n+（2n-V）=+(2〃-1)=

22

，第8個圖形中，五角星的個數為正當心二51,

故選：C.

【點評】本題考查了圖形規律，這類題型在中考中經常出現.對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是

按照什么規律變化的.

5.（2024?廣安區校級開學）如圖，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第3個圖中共有9個三

角形，…依此類推，第2024個圖中共有三角形8093個.

【分析】根據圖形中三角形的個數得出規律：第〃個圖中共有(4〃-3)個三角形，然后利用規律計算即可.

【解答】解：第1個圖中有1個三角形，即4x1-3=1個三角形，

第2個圖中共有5個三角形，即4x2—3=5個三角形，

第3個圖中共有9個三角形，即4x3-3=9個三角形，

???,

所以第〃個圖中共有(4〃-3)個三角形，

所以第2024個圖中共有4*2024-3=8093個三角形.

故答案為：8093.

【點評】題考查的是規律型一圖形的變化類，發現規律是關鍵.

6.(2024秋?姑蘇區校級月考)圖①是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以

下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了〃層，將圖①倒置后與原圖拼成圖②所示的形狀，這樣我們可以算出圖①中

所有圓圈的個數為1+2+3+...+〃=皿±2

2

靠品打感@@@

第退OO-CXDUOO-OC)OO-W

圖1圖2圖3圖4

如果圖①-④中各有11層.

(1)圖①中共有66個圓圈;

(2)我們自上而下，在圓圈中按圖④的方式填上一串連續的正整數1,2,3,4,…，則最底層最左邊圓圈的數是.

(3)我們自上而下，按圖④的方式填上一串連續的整數-23,-22,-21,-20,求圖④所有圓圈中各數的絕對值之

和.

【分析】(1)根據圖形中圓圈的個數變化規律求解；

(2)n層時最底層最左邊這個圓圈中的數是第io層的最后一個數加1；

(3)由(1)得出圓圈的總個數，從而分析出23個負數后，又有多少個正數.

【解答】解：(1)gxllx(ll+l)=66,

故答案為：66；

(2)|xl0x(10+l)=55,55+1=56,

故答案為：56；

(3)圖4中共有66個數，其中23個負數，1個0,42個正數，

所以圖4中所有圓圈中各數的和為：

|-231+1-22|+...+I-1|40+1+2+...+42=

(1+2+3+...+23)+(1+2+3+...+42)

=276+903

=1179.

【點評】本題主要考查了圖形的變化類，發現的規律是解題的關鍵.

過關檢測

一.選擇題

1.按1,1,2,3,5,(),13,…按規律括號里應該填()

A.7B.9C.5D.8

【分析】根據規律“從第三個數開始，每個數等于它前面兩個數的和”解答即可.

【解答】解：從第三個數開始，每個數等于它前面兩個數的和，且3+5=8,

所填的數為：8.

故選：D.

【點評】本題考查數字變化類規律探究，找出數字變化的規律是解題的關鍵.

2.等邊△ABC在數軸上的位置如圖所示，點A、C對應的數分別為。和-1,若△ABC繞頂點沿順時針方向在數軸上

連續翻轉，翻轉1次后，點3所對應的數為1,則連續翻轉若干次后，數2024對應的點為（）

B

____1?????,

-2-1012345

A.點AB.點、BC.點CD.不確定

【分析】根據隨著翻轉點的變化，可找出點的變化周期為3,結合2024為3的整數倍余2,可得出數2024對應的點為

C.

【解答】解：翻轉1次后，數1對應的點為5,翻轉2次后，數2對應的點為C,翻轉3次后，數3對應的點為A,

翻轉4次后，數4對應的點為3,…，

.??點的變化周期為3.

又?2024+3=674…2,

.?.連續翻轉2024次后，則數2024對應的點為C.

故選：C.

【點評】本題考查了數軸以及變化類：數的變化，根據點的變化，找出變化規律是解題的關鍵.

3.中國文化博大精深，漢字文化是中國古代文化流傳下來的一份珍貴遺產.下列圖形都是由同樣大小的圓點和線段按

照一定的規律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖1中共有12個圓點，圖2中共有18個圓點，圖3中共有25個

圓點，圖4中共有33個圓點，…，依此規律，則圖9中共有圓點的個數是（）

A.63B.75C.88D.102

【分析】觀察并比較每兩個相鄰的“漢字”的相同與不同之處，得出每兩個相鄰的“漢字”中后一個“漢字”前半部

分與前一個“漢字”的前半部分圓點數量相等，后一個“漢字”的后半部分的圓點數總是前一個“漢字”后半部分頂

部加上圖案序號多2個的圓點與底部添加兩個圓點，進而解決該題.

【解答】解：在圖1中，圓點個數為％=12個.

在圖2中，圓點個數為％=乂+2+4=18個.

在圖3中，圓點個數為%=%+2+5=25個.

在圖4中，圓點個數為%=%+2+6=33個.

以此類推，在圖9中，圓點個數為％=%+（2+11）=為+（2+1。）+13

=%+（2+9）+12+13

=y5+（2+8）+11+12+13

=y4+（2+7）+10+11+12+13

=33+9+10+11+12+13

=88.

故選：C.

【點評】本題主要考查規律型：圖形的變化類，解答的關鍵是由所給的圖形總結出所存在的規律.運用特殊到一般的

數學思想解決此類規律題.

4.一只小球落在數軸上的某點P處，第一次從P處向右跳1個單位到《處，第二次從［向左跳2個單位到8處，第

三次從巴向右跳3個單位到乙處，第四次從A向左跳4個單位到B處…，若小球按以上規律跳了（277+5）5為正整數）

次時，它落在數軸上的點￡“+5處所表示的數恰好是"-7,則這只小球的初始位置點P所表示的數是（）

A.-10B.-9C.-8D.-7

【分析】根據題意可以用代數式表示出前幾個點表示的數，從而可以發現它們的變化規律，進而求得這只小球的初始

位置點綜所表示的數.

【解答】解：設點尸所表示的數是加

則點4所表示的數是a+1,

點g所表示的數是a+1-2=。一1,

點鳥所表示的數是a-l+3=a+2,

點1所表示的數是a+2-4=a—2,

丁點心+5所表示的數是"-7,

解得，a=—10,

故選：A.

【點評】本題考查數字的變化規律，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的代數式.

5.如圖，一只青蛙在圓周上標有數字的五個點上跳，若它停在奇數點上，則下次沿順時針方向跳兩個點：若停在偶數

點上，則下次沿逆時針方向跳一個點，若青蛙從2這點開始跳，則經過2024次后它停在哪個數對應的點上（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】列出青蛙每次跳動后的落點，找出規律求解即可.

【解答】解：由題意可得：

第一次跳后落在1上；

第二次跳后落在3上；

第三次跳后落在5上；

第四次跳后落在2上；

.??分別在1,3,5,2這4個數上循環,

.?.2024+4=506,

應落在2上；

故選：B.

【點評】本題考查了數的變換規律，根據題意找出變換規律是解題的關鍵.

6.已知整數％=2、%、%、'，兩足下列條件：q=0,——%=—1°2+2|,%=—1%+3|，...，以

此類推，則出020=()

A.-1008B.-1009

C.-1010D.-1-1010=-1011

【分析】根據已知規則分別求出q=2、0、/、%、%、4…，觀察從第二個數字開始，如果順序數為偶數，最后

的數值是其順序數的一半的相反數，據此即可求解.

【解答】解：％=0,

%=—Iq+11=-10+11=—1,

%=-I%+21=—|-1+21=—1,

%=-1%+3|=一|_1+31——2,

q=-I%+41=-I—2+41=—2,

%=-I%+51=—|—2+51=—3,

%=~■I%+61=~■I—3+61=—3,

.??,

以此類推，

即a2?=~n'

7090

則為020=---=-1010,

故選：C.

【點評】本題考查了數字類規律探索，找出一般規律是解題關鍵.

7.如圖，按照此規律，圖形⑥需要（）個0.

O

O6^

①②③

A.15B.21C.24D.28

【分析】根據所給圖形，依次求出圖形中圓形的個數，發現規律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知,

第①個圖形中，圓形的個數為:1=1;

第②個圖形中，圓形的個數為:3=1+2；

第③個圖形中，圓形的個數為:6=1+2+3；

所以第〃個圖形中，圓形的個數為：1+2+3+…+〃=弛土?

2

當〃=6時,

修個）,

即第⑥個圖形中，圓形的個數為21個.

故選：B.

【點評】本題主要考查了圖形變化的規律，能根據所給圖形發現第〃個圖形中圓形的個數為丁是解題的關鍵.

8.觀察下面點陣圖的規律，第9幅點陣圖中有（）個。.

A.18B.28C.32D.36

【分析】根據所給圖形，依次求出圖形中圓圈的個數，發現規律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

第1幅點陣圖中圓圈的個數為：4=lx3+l；

第2幅點陣圖中圓圈的個數為：7=2x3+l；

第3幅點陣圖中圓圈的個數為：10=3x3+1；

.??,

所以第"幅點陣圖中圓圈的個數為（3〃+1）個，

當〃=9時，

3n+l=28（個），

即第9幅點陣圖中圓圈的個數為28個.

故選：B.

【點評】本題主要考查了圖形變化的規律，能根據所給圖形發現圓圈的個數依次增加3是解題的關鍵.

9.兩人坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗.已知火車上的座位排列如下所示，則下列座位號碼符合

要求的是（）

窗口12過道345窗口

678910

1112131415

A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85

【分析】根據圖示的規律可知每個車廂有15個座位，被5除余1的數和能被5整除得座位號靠窗，再逐項分析.

【解答】解：由題圖中座位得排序規律可知，每個車廂有15個座位，被5除余1的數和能被5整除得座位號靠窗.

48,49沒有靠窗的，所以A不符合題意;

62,63之間有過道，不連在一起，所以3不符合題意;

75,76不在同一行，所以C不符合題意.

由于兩個旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，可知只有D項符合條件.

故選：D.

【點評】本題主要考查了規律問題，發現規律是關鍵.

10.圖中的問號處應該選哪個圖形？（）

三0

A.HB.N

【分析】找到前8個圖形都是中心對稱圖形，每個圖形的最長線段的指向依次是一，I，/4個一循環排列的規律即

可得答案.

【解答】解：前8個圖形都是中心對稱圖形，每個圖形的最長線段的指向依次是一，I，/4個一循環排列，

故選：A.

【點評】本題主要考查了圖形變化的規律，解題關鍵是找到規律.

二.填空題

11.4個邊長為1s小正三角形擺成圖①，圖①的周長為6c加，接者擺放前4個圖形如圖所示，按這樣的方式，那么第

⑥個圖形的周長是26cm.

①②③④

【分析】觀察圖形可以得到后一個圖形的周長比前一個圖形的周長多4c機，進行求解即可.

【解答】解：圖①的周長為6cm,

圖②的周長為6+4=10?！?，

圖③的周長為6+4+4=14。",

.?.圖”的周長為：6+4(〃-1)=4〃+2；

.,?第⑥個圖形的周長是4x6+2=26s；

故答案為：26.

【點評】本題考查圖形類規律探究，正確找出規律是解題的關鍵.

12.數學活動課上，麗麗在一個正方形內畫正方形，她發現圖中三角形的個數與所畫正方形的數量之間存在某種規律,

依此規律她推斷出第2024個圖形中正方形與三角形的數量之和為10121.

【分析】根據圖形的變化，找出變化規律是解題的關鍵.先得出第一個圖所畫的正方形有1個，三角形有4個，第二

個圖所畫的正方形有2個，三角形有8個，第三個圖所畫的正方形有3個，三角形有12個，再歸納即可得到答案.

【解答】解：第一個圖所畫的正方形有1個，三角形有4個,

第二個圖所畫的正方形有2個，三角形有8個,

第三個圖所畫的正方形有3個，三角形有12個,

歸納可得：

第2024個圖形中所畫的正方形有2024個，三角形有2024x4=8096個，

第2024個圖形中正方形與三角形的數量之和為1+2024+8096=10121,

故答案為：10121.

【點評】本題考查了規律型：圖形的變化類，正確地找出規律是解題的關鍵.

13.已知1=/，1+3=2"1+3+5=32,1+3+5+7=42,,按此規律，1+3+5++49=625.

【分析】由該一連串的等式可以看出從1開始“個連續的奇數的和等于川，可以得出1+3+5++49是從1開始25

個連續的奇數相加.

【解答】解：由1+3=2?,從1開始連續2個奇數相加；

1+3+5=32,從1開始連續3個奇數相加；

1+3+5+7=42,從1開始連續4個奇數相加；

.?.從1開始25個連續奇數相加的和等于252,即：1+3+5++49=252=625.

故答案為：625.

【點評】本題考查數字的規律型，有理數的加法，掌握從1開始"個連續奇數的和為"的規律是解題的關鍵.

14.有一個數字游戲，第一步：取一個自然數4=5,計算4《3%+1)得％,第二步：算出生的各位數字之和得％,計

算巧?(3%+1)得a2,第三步算出a2的各位數字之和得乙，計算為?(3%+1)得/；…以此類推，則a202i的值為200.

【分析】根據題意，可以寫出4，%，%，%，％，%，&，然后即可發現數字的變化特點，從而可以寫出生⑼

的值.

【解答】解：由題意可得，

々=5,q=5x(3x5+1)=80,

%=8+0=8,a2=8x(3x8+1)=200,

4=2+0+0=2,g=2x(3x2+1)=14,

%=1+4=5,%=5x(3x5+1)=80,

由上可得，每三個為一個循環,

2021+3=673......2,

,?02021~"2=200,

故答案為：200.

【點評】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現數字的變化特點.

15.【妙填幻方】如圖①，是一個3*3的幻方，每行三個數，每列三個數、每斜對角三個數相加的和均相等.

（1）將下列各數組上的9個數分別填入圖②③④所示的3x3方格中，使得每行的三個數，每列的三個數、每斜對角上

的三個數相加的和均相等.

第一組：6,5,4,3,2,1,0,-1,-2；

第二組：9,8,7,6,5,4,3,2,1；

第三組：一8,-6,-4,一2,0,2,4,6,8.

（2）如圖⑤，若要按照以上規律填成，則九個數字之和為90.

【分析】（1）根據幻方的和的性質，一一解答.先確定中央的數，再把第二個數與第四個數（或第六個數與第八個數）

填在同側的角里，而后根據幻方和的性質計算填寫；

（2）根據幻方性質先確定相對角上的數，再確定剩下的數.

【解答】解：（1）第一組：6,5,4,3,2,1,0,-1,-2；

16-1

024

5-23

幻和：6+5+4+3+2+1+0-1-2=18,

每行、歹U、對角的數的和：18+3=6,

中央數：6+3=2

中央數兩側相對的數的和：6-2=4；

第二組：9,8,7,6,5,4,3,2,1；

294

753

618

幻和：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45,

每行、歹!J、對角的數的和：45+3=15,

中央數：15+3=5

中央數兩側相對的數的和：15-5=10；

第三組：一8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8.

-68-2

40-4

2-86

幻和：-8-6-4-2+0+2+4+6+8=0,

每行、歹I、對角的數的和：0+3=0,

中央數：0+3=0,

中央數兩側相對的數的和：0-0=0；

(2)中央的數是10,

左上角是：10x2—13=7,右上角是：10x2-8=12,

中歹！J上面是：10+8—7=11,下面是：10+7—8=9,

中行左面是：12+10-7=15,右面是：7+10-12=5,

，這九個數為：5,7,8,9,10,11,12,13,15,

.,.幻和為：5+7+8+9+10+11+12+13+15=90,

71112

15105

8913

故答案為：90.

【點評】本題主要考查了3x3的幻方.熟練掌握幻方的和的性質，是解決本題的關鍵.

16.用小棒按如圖方式搭圖形.（第一個圖形用5根小棒搭成），第5個圖形需用21根小棒,第100個圖形需要

根小棒.

o3一

【分析】根據所給圖形，依次求出所需小棒的根數，發現規律即可解決問題.

【解答】解:由所給圖形可知，

第1個圖形所需小棒的根數為：5=1x4+1；

第2個圖形所需小棒的根數為：9=2x4+1；

第3個圖形所需小棒的根數為：13=3x4+1；

所以第"個圖形所需小棒的根數為（4〃+1）根,

當〃=5時，

4/1+1=21（根），

即第5個圖形所需小棒的根數為21根.

當“=100時,

4n+l=401(根),

即第100個圖形所需小棒的根數為401根.

故答案為：21,401.

【點評】本題主要考查了圖形變化的規律，能根據所給圖形發現所需小棒的根數依次增加4是解題的關鍵.

17.“數形結合”是一種重要的數學思維，觀察下面的圖形和算式：

1=1=I12

1+3=1=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

解答下列問題：請用上面得到的規律計算：1+3+5+7+...+89=2025.

9泰泰泰泰泰

生泰

泰

泰泰泰泰

泰泰泰泰

【分析】根據規律解答即可.

【解答】解：1=1=F=（三）2,

1+3=1=22=(—)2,

2

1+3+5+7=16=4?=(——了，

2

1+99

1+3+5+7+9=25=5?9=(—)2,

故1+3+5+7+…+89=(告寄2=45。=2025.

故答案為：2025.

18,白色：8塊13塊18塊

照這樣畫下去，第6個圖形中黑色有心塊，白色有一塊.第“個圖形中白色有一塊.(用含〃的式子表示)

【分析】根據所給圖形，依次求出圖形中黑色和白色的塊數，發現規律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知,

第1個圖形中，黑色的塊數為:1,白色的塊數為:8=1x5+3；

第2個圖形中，黑色的塊數為:2,白色的塊數為:13=2x5+3；

第3個圖形中，黑色的塊數為:3,白色的塊數為:18=3x5+3；

所以第〃個圖形中，黑色的塊數為〃塊，白色的塊數為(5〃+3)塊.

當”=6時,

5〃+3=33(塊)，

即第6個圖形中，黑色的塊數為6塊，白色的塊數為33塊.

故答案為：6,33,(5〃+3).

【點評】本題主要考查了圖形變化的規律，能根據所給圖形發現黑色和白色個數的變化規律是解題的關鍵.

三.解答題

19.(直接寫出結果)如圖，將小正方體按如圖方式擺放在地上，1個小正方體有5個面露在外面，2個正方體有8個

面露在外面，那么5個小正方體有17個面露在外面,幾個小正方體有個面露在外面.

【分析】根據所給圖形，依次求出正方體露在外面的面的個數，發現規律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

1個正方體露在外面的面的個數為：5=lx3+2；

2個正方體露在外面的面的個數為：8=2x3+2；

3個正方體露在外面的面的個數為：11=3x3+2；

所以“個正方體露在外面的面的個數為(3〃+2)個,

當"=5時，

3〃+2=17（個），

即5個正方體露在外面的面的個數為17個.

故答案為：17,(3"+2).

【點評】本題主要考查了圖形變化的規律，能根據所給圖形發現露在外面的面的個數依次增加3是解題的關鍵.

20.觀察下列等式:

第1個等式：.=^=14

第2個等式：^=—

22x32~3

1

第3個等式：a=—=-

33x434

按上述規律，回答以下問題：

(1)用含〃的代數式表示第"個等式為q,=__^_=_;

n(n+1)

(2)求4+/+/++%024的值.

【分析】(1)根據題目中給出的式子的特點，可以寫出第〃個等式;

(2)先將題目中的式子變形，然后計算加減法即可.

【解答】解：(1)由題目中的式子可得，

111

冊=------=-------,

n{n+1)nn+1

故答案為：--一-5

n(n+1)nn+1

(2)q+4+/++。2024

2025

_2024

-2025,

【點評】本題考查數字的變化類、列代數式，解答本題的關鍵是發現式子的變化特點，寫出相應的代數式.

21.新定義：符號“了”表示一種新運算，它對一些數的運算結果如下：

運算(―):/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-1=-1,f(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,

運算（二）"（一：）=一3,/（-》=—2,錯）=2,宿）=3,

利用以上規律計算:

(2)/(-2024)-/(一——)=；

2025------

(3)計算：/(-2023)+f(-2022)+...+/(-3)+/(-2)+/(-I)+/(0)+/(-1)+/(-1)+/(-^)+

【分析】(1)根據題中所給等式，發現規律即可解決問題.

(2)根據(1)中發現的規律即可解決問題.

(3)根據(1)中發現的規律即可解決問題.

【解答】解：(1)由題知，

當x為整數時，/(x)=x-l；

當X為分數時，/(X)=—.

X

所以/(7)=7-1=6,/(-7)=-7-1=-8,/(-)=7,/(-1)=-7.

故答案為：6,-8,7,-7.

(2)由(1)中結論可知，

原式=-2024-1-(-2025)=-2025+2025=0.

故答案為：0.

(3)由(1)中結論可知，

原式=-2024+(-2023)+(-2022)+...+(-2)+(-1)+(-2)+(-3)+(T)+...+(-2024)

=2x[(-2)+(-3)+(T)+…+(-2024)]+(-1)

、[-2+(-2024)]x2023：八

=2X------------------------------------F(―1)

=-2026x2023+(-1)

=-4098599.

【點評】本題主要考查了數字變化的規律及有理數的混合運算，能根據題意發現當x為整數時，f(x)=x-U當x為分

數時，是解題的關鍵.

X

22.生活中常用的十進制是用0~9這十個數字來表示數，滿十進一，例：212=2X102+1X10+2；

計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數來表示數，滿二進一，例：二進制數10000轉化為十進制數：

1X24+0X23+0X22+0x2*+0=16；

其他進制也有類似的算法…

(1)【發現】根據以上信息，將二進制數“101110”轉化為十進制數是46；

(2)【遷移】將八進制數“72”轉化為十進制數；

(3)【應用】在我國遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，如圖所示是遠古時期一位母親

記錄孩子出生后的天數，在從右向左依次排列的不同繩子上打結，滿五進一，根據圖示，求孩子已經出生的天數.

【分析】(1)根據二進制轉換十進制的方法列式計算即可；

(2)仿照二進制轉換十進制的方法進行計算即可；

(3)滿五進一，類似于五進制數，仿照二進制轉換十進制的計算方法進行計算即可.

【解答】解：(1)101110轉化為十進制數是1x25+0x24+1x23+1x22+1x21+0=32+0+8+4+2+0=46,

故答案為：46；

(2)7x8'+2=58；

(3)由于滿五進一，類似于五進制數，圖示表示的五進制數為132,轉化為十進制數為1x52+3x5i+2=42

所以，孩子已經出生了42天.

【點評】本題考查了有理數的乘方運算，正確理解題中二進制轉換十進制的計算方法是解題的關鍵.

23.將正方形ABCD（如圖1）作如下劃分,第1次劃分:分別連接正方形ABCD對邊的中點（如圖2）,得線段和EG,

它們交于點Af,此時圖2中共有5個正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形再劃分，得圖3,則圖3中共

有9個正方形.

（1）若把左上角的正方形依次劃分下去，則第5次劃分后，圖中共有21個正方形.

（2）繼續劃分下去，第〃次劃分后圖中共有一個正方形；

（3）能否將正方形ABCD劃分成有2022個正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】（1）根據題意找出規律進行計算即可；

（2）探究規律，利用規律即可解決問題；

（3）構建方程即可解決問題；

【解答】解：（1）第1次可得5個正方形，即：1+4=5（個）,

第2次可得9個正方形，即：l+4x2=9（個），

第3次可得13個正方形，即：1+4x3=13（個），

.,?第4次可得正方形：1+4x4=17（個），

第5次可得正方形：1+4x5=21（個），

故答案為：21；

（2）由（1）得：第〃次可得（4〃+1）個正方形,

故答案為：（4〃+1）；

（3）不能，

理由：依題意得：4〃+1=2022,

解得：“=505.25,

，是正整數，

.?.當〃=505.25時不符合題意，

，不能將正方形ABCD劃分成2022個正方形的圖形.

【點評】本題考查規律型：圖形的變化類，解題的關鍵是學會并掌握從特殊到一般的探究規律的方法.也考查了一元

一次方程的應用.

24.某餐廳中，一張桌子可以坐6人，如果把多張桌子擺在一起，可以有以下兩種擺放方式.

（1）當有5張桌子時，第一種擺放方式能坐22人,第二種擺放方式能坐—人，

（2）當有〃張桌子時，第一種擺放方式能坐—人，第二種擺放方式能坐—人，

（3）一天中午餐廳要接待98位顧客共同就餐（即桌子要擺在一起），但餐廳只有25張這樣的餐桌，若你是這個餐廳

的經理，你打算選擇哪種方式來擺放餐桌？為什么？

【分析】（1）（2）第一種中，只有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多4人.即有〃張桌子時是6+4（〃-1）=4〃+2,

由此算出5張桌子，用第一種擺設方式，可以坐4x5+2=22人；

第二種中，有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多2人，即6+2（〃-1）=2〃+4,由此算出5張桌子，用第二種擺設方

式，可以坐2x5+4=14人.

（2）分別求出〃=25時，兩種不同的擺放方式對應的人數，即可作出判斷.

【解答】解：(1)當有5張桌子時，第一種擺放方式能坐4x5+2=22人，第二種擺放方式能坐2x5+4=14人;

(2)第一種中，只有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多4人.即有〃張桌子時是6+4(〃—1)=4〃+2.

第二種中，有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多2人，即6+2(〃-1)=2〃+4.

(2)打算用第一種擺放方式來擺放餐桌.

因為，當〃=25時，4x25+2=102>98

當〃=25時，2x25+4=54v98

所以，選用第一種擺放方式.

【點評】此題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的聯系，得出運算規律，利用規律解決問題.

25.用〃，b表示長方形兩條鄰邊的邊長，它們的變化規律如下表所示.

alcm1234612

b!cm12643

(1)根據已知的數據把表格補充完整.

(2)根據上表中的數據在圖中描出第5個長方形.

(3)從上面的數據中可以看出，長方形面積一定時，。和b有什么關系？

a/cm

--

111rnn1rnI---------1I---------1?—?

10LI_____IJJI_____I

9---------1rrnn

8Lj

7---------1rrI---------1i---------1i---------1I---------1

6