2025年中考數學三輪沖刺：四邊形綜合常考熱點提分刷題練習題

1.如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm,點。是對角線AC的中點，動點尸、。分別從點

A、3同時出發，點尸以lcm/s的速度沿邊A3向終點B勻速運動，點。以2cm/s的速度沿

邊向終點C勻速運動，當一點到達終點時另一點也停止運動，連接尸。并延長交邊CO于

點、M,連接QO并延長交邊ZM于點N,連接尸。、QM,MN、NP,得到四邊形尸QVW,

設點P的運動時間為x(s)(x>0),四邊形PQMN的面積為j(cm2).

(1)3尸的長為cm,CM的長為cm.(用含x的代數式表示)

⑵求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑶當四邊形PQMN是軸對稱圖形時，求出x的值.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,尸是射線2C上的一個動點，過點尸作尸E_LAP,

交射線DC于點E,射線AE交射線8C于點/，設=

(1)當a=3時，連接。尸，試判斷四邊形APRD的形狀，并說明理由；

(2)當tan/PAE=g時，求。的值.

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，NBA。的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點尸,

以EC,CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.

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GF

圖2圖3

(1)若—ABC=90°,如圖(1),求證：平行四邊形ECRS是正方形;

⑵若NA5C=120°,如圖(2),連接8G,DG,求證：BG=DG；

⑶若NABC=90。，如圖⑶，若A3=6,AD=8,M是的中點，求。0的長.

4.如圖，在正方形ABC。中，AB=BC=CD=DA=4,ZA=ZB=ZC=ZD=9Q°.動點尸

以每秒1個單位長度的速度從點8山發，沿線段2C方向運動，動點。同時以每秒4個單位

長度的速度從點A出發，沿正方形的邊AD-OC-CB運動，當點P與點。相遇時停止運動，

設點尸的運動時間為/秒.

A。

BP

備用圖

⑴運動時間為_秒時，點尸與點。相遇;

⑵求f為何值時，AAB。是等腰三角形?

(3)用含/的式子表示△AQP的面積S,并寫出相應/的取值范圍;

(4)連接上4,當以點。及正方形的某兩個頂點為頂點組成的三角形和ARW全等時，直接寫

出f的值(點尸與點。重合時除外).

5.如圖1,在正方形ABCD中，點E、尸分別為邊2C、0c上的動點，且ZE4F=45。，AE.

AF分別交對角線于點尸、Q.

圖1圖2圖3

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(1)如圖2,當EF〃加時，

①求證AME名人4￡*；

②當AB=1時，求取的值;

⑵求質的值；

(3)如圖3,連接QE,當E在3c上移動時NAEQ是否發生變化？如果不發生變化，求出

/AE。的值；如果發生變化請說明理由.

6.某“數學學習興趣小組”成員在復習《圖形的變化》時，對下面的圖形背景產生了濃厚的

興趣，并嘗試運用由“特殊到一般”的思想進行了探究：

如圖1,正方形ABC。中，點E為A3邊上一點，連接DE,過點E作EF_LDE交3C邊于

點、F,將VADE沿直線DE折疊后，點A落在點A處，當NBEF=25。,貝UNFE4'=

如圖2,連接￡)尸，當點A恰好落在。尸上時，求證：AE=2A'F.

如圖3,若把正方形ABCD改成矩形ABCD,B.AD^mAB,其他條件不變，他們發現AE與

A尸之間也存在著一定的數量關系，請直接寫出AE與4尸之間的數量關系式.

圖1圖2圖3

7.在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,點、E、F分別是AD、A3邊上的動點，以EF為

邊作平行四邊形EPG/Z,點//落在邊CO上，點G落在矩形ABCD內或其邊上.

(1)如圖1,當AE=4,AF^6,且NHEF=90。時，

①求證：四邊形EFG”是正方形；

②連接CG,直接寫出ACG"的面積；

(2)如圖2,當4￡=4且EF=￡W時，若AF=無，連接CG,

①DH=；(用含尤的代數式表示)

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②求ACG"面積的取值范圍；

(3汝口圖3,當。E與AF的長度之比為1：2,且/HEF=90。時，在點E從點。運動到點A的

過程中，直接寫出點G運動的路線長.

8.已知正方形ABCD邊長為1,對角線AC,應)相交于點。，過點。作射線OEOF,分

(1)如圖1,當OELAD時，求證：四邊形AE。尸是正方形；

(2)如圖2,將射線OE繞著點。進行旋轉.

①在旋轉過程中，判斷線段OE與OF的數量關系，并給出證明；

②四邊形OE4F的面積為二

(3)如圖3,在四邊形PQWN中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=9Q°,連接PM.若PM=9,

請直接寫出四邊形PQWN的面積.

9.如圖1,矩形ABCD中，AB=4,3c=3,點E在邊上運動(不與點8和點C重合)，

將AE繞點A順時針旋轉得到"，旋轉角等于連接C尸，過點尸作萬MJLAC于點

M.

(1)求證：AABE當Z\AMF；

(2)當直線府恰好經過點E時，求CF的長；

(3)如圖2連接DP.

RF

①當止=CF時，求的值；

CE

②探究D尸是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若不存在，請說明理由.

10.如圖1,在菱形ABCD中，點P是對角線3。上一點，連接”和CP,在射線AP上取

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點E,使得NAEC+/ABC=180。，射線CE交射線于點。，設NABC=2a.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,若夕=45。，連接AC,交BD于點O,求證：AOPC-AOCg；

（2）【探究】如圖3,若c=30。，BD=4DP,請畫出圖形，并求巖的值；

【歸納】若應＞=公。尸，箸的值為.（用含左、a的表達式表示）

11.已知，點尸是邊長為。（。為常數）的正方形內部一動點，PELADE,PFVBC

于尸，連結尸￡＞,EF,DE,DF,記Z\PDE,△尸￡＞尸，！PEF的面積分別為&,S2,S3,

令PE=x,PF^y.

（1汝口圖1,點P在對角線AC上.

①求》+邑（用含。、》的代數式表示）

②是否存在實數3使'+S?+茯3的值與尸點在AC上的位置無關.若存在，請求出左的值;

若不存在，請說明理由；

X1

（2）若-=當點尸在VABC內部（不含邊界）時（如圖2）.

①求x的取值范圍；

②試說明：5+S2的值隨著x的增大而增大.

4

12.平面內，在小鉆CD中，AB=12,AD=10,sinB=g,點尸為AB邊上任意一點，

連接PC,將尸C繞點尸逆時針旋轉90。得到線段尸E,設8P=x.

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F、

⑴當CP恰與AB垂直時，如圖1,求PC旋轉到PE所掃過的面積；(結果保留兀)

(2)當點E落在對角線C4的延長線上時，分別過點C,E作直線的垂線，垂足分別為M,

N,如圖2.

①求證：&CM沿AEPN；

②求x的值;

(3)連接尸￡),在旋轉PC的同時，將PZ)繞點尸逆時針旋轉90。得到線段小，連接AE,AF,

如圖3.當AAE尸是直角三角形時，直接寫出x的值.

13.【問題探究】

課外興趣小組活動時，同學們正在解決如下問題：

如圖1,在矩形ABCD中，點E,f分別是邊。C,上的點，連接AE,DF,且

于點G,若的=6,BC=8,求正的值.

圖1圖2圖3

(1)請你幫助同學們解決上述問題，并說明理由.

【初步運用】

(2)如圖2,在VA5C中，440=90。，-=:，點。為AC的中點，連接3。，過點A作

AC4

AF

AELBD于點、E,交BC于點、F,求就的值.

BD

【靈活運用】

4D3

(3)如圖3,在四邊形中，ZBAD=90°,—=一,AB=BC,AD^CD,點E,F

AD4

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CF

分別在邊4B,AD上，且。ELCF,垂足為G,則而=_

14.【教材呈現】如圖，在VABC中，點。、E分別與AC的中點.則DE與BC的關系

是OE||8C,DE=；BC；

圖⑴

【感知】如圖1,在矩形ABCD中，點。為AC的中點，點M為A3邊上一動點，點N為BC

的中點，連結"N、OM,ON.MN//AC,NOMN與NOMW的數量關系是.

【應用】如圖2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC^4,AD.CE是Rt^ABC的中

線，M.N分別是AD和CE的中點，求MN的長；

【拓展】如圖3,在平行四邊形ABCD中，點E為A3邊上一點，連接CE,點尸在CE上，

BE=EP=CP=2,點G是EP的中點，連接AG交2C于點尸，若點F為2C的中點，

Ap

/尸GP=60。，連接AP,求力;的值.

BC

15.(1)如圖①，四邊形ABCD是矩形，點E是A3左側一點，作點E關于AB的對稱點「

作點廠關于AD的對稱點G,連接AE、AF、AG,且/E4B<90。,請你判斷點4點E、

點G是否共線？回答：_；(填：“共線”或“不共線”)

(2)如圖②，四邊形ABCD是矩形，AD=2AB,點E是A3左側一點，作點￡關于A8對

稱的點F,作點F關于AD的對稱點G,連接AE、AF.AG.EF、GF、DG,GF^AD

于點H,且ZEAB<90°,AE=AB,

①當㈤B的度數為多少時，EF=G尸？請說明理由；

②當㈤B的度數為多少時，△AGD是直角三角形？請說明理由；

(3)如圖③，矩形AC是ABCD的對角線，AD=6A2直線MN經過點8,且NCBN=30。,

點、E是直線MN上一動點，作點E關于BC的對稱點憶作點F關于的對稱點G,

連接AE、AG.當AABG為等腰三角形時，請直接寫出/E4C的度數.

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E

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參考答案

1.(l)(4-x),x

(2)y=4x2-12x+16(0<x<2)

3

【分析】(1)證AMCOZ△上40,得出CM=AP即可；

(2)證AQCO絲ANAO,分別列出SAAPN，SQCMQ,^^BPQ>S#MN，再用正方形面積減去即

可；

(3)先確定四邊形尸QMN是平行四邊形，其中能為軸對稱的只有矩形和菱形，分別討論即

可.

【詳解】(1)解：(1)由題意得，AP^xcm,BQ=2xcm,

VAB=4cm,

BP=AB-AP=(4-x)cm,

:四邊形ABC。是正方形，

AB//CD,

：.ZMCO=ZPAO,ZCMO=ZAPO,

:點。是對角線AC的中點，

：.CO=AO,

在AMCO和ABIO中，

ZMCO=ZPAO

<ZCMO=ZAPO,

CO=AO

：.AMCC^APAO(AAS),

CM=AP=xcm,

故答案為：(4-x),尤;

(2)根據題意，得：0<x42,

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???四邊形ABC。是正方形，

：.AD//BC,

：.ZQCO=ZNAOfZCQO=ZANO,

丁點。是對角線AC的中點，

：.CO=AO,

在△QCO和VNAO中，

ZQCO=ZNAO

<ZCQO=ZANO,

CO=AO

：.△QCO^NAO（AAS）,

；.CQ=ANf

???四邊形是正方形，

BC=AB=CD=AD=4cm,

*.*BQ=2九cm,

CQ=BC-BQ=（4-2x）cm,

AN=（4-2x）cm,

DM=CD-CM=（4一元）cm,DN=AD-AN=2xcm,

5AAp可=~^AP-AN=；無（4-2尤）=2無一X?；

2

S、CM2=；CM-CQ=Ix（4-2x）=2x-元2；SABPQ=^BP-=x）-2x=4x-x■

S^DMN=^DM-DN=^4-xy2x=4x-x2,

正方形=42—2（2尤一尤2）—2（4X—尤2）=4X?—12x+16,

y=S4sCD-S、APN—S&CMQ-SaBPQ~

綜上，y=4x2-12x+16（0<A：<2）；

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(3),：AMCg^PAO,

：.MO=PO,

'：AQCO9ANAO,

QO=NO,

，四邊形PQMN是平行四邊形,

V四邊形尸。的是軸對稱圖形,

①當四邊形尸。腦V是矩形時，如圖,

只需尸。=。。即可，

則此時只需尸8=Q3即可，

4-x=2x,

4

解得尤=葭

②當四邊形PQMN是菱形時，PQ=MQ,

：.（4-域+（2x）2=x2+（4-2x）2,

解得x=0（舍去）；

4

綜上，當四邊形PQMN是軸對稱圖形時，x的值是

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，動點問題，矩形和菱形的性

質，軸對稱的性質，勾股定理，熟練掌握這些性質是解題的關鍵.

2.（1）四邊形APFD是平行四邊形，理由見解析

（2）a=3或7

【分析】（1）把。=3的值代入第一問的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可

以求出C尸的值，進而判斷即可.

（2）由條件可以證明可以得到/=坐=2,再分情況討論，從而求出。的

CEPC

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值.

圖1

/一32+5x33

當a=3時,---------——，

42

DE=-

2

四邊形438是矩形,

.1AZ)平行于8戶.

\AAED^AFEC,

,ADDE

"~CF~~CE'

5

.J_=l

"CF~l'

2

:.CF=3,

：.PF=AD=5,

二四邊形APFD是平行四邊形,

AP={AB2+BP2=5>

:.AP=PF,

，平行四邊形APED是菱形;

(2)解:如圖2,

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圖2

1Ap

根據tan/PA石=5,可得：—=2,

ZAPB+ZBPE=90。,ZCEP+ZEPC=90°,

.?./CEP=ZAPB,

又?.?ZABP=NPCE,

/.AABP^APCE

.BPAB入

CEPC

解得：a=3,EC=1.5或。=7,EC=3.5.

二.a=3或7.

【點睛】本題為四邊形綜合問題，考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，平行四邊

形的判定與性在，菱形的判定，解直角三角形以及勾股定理的運用，利用數形結合得出是解

題關鍵.

3.（1）證明見詳解；

⑵證明見詳解；

⑶=50.

【分析】（1）結合平行四邊形的性質及角平分線的定義推得/氏牙=90。和NGEE=45。，再

根據等角對等腰可得GE=Gb,綜合NEGF=90。即可證明平行四邊形ECPG是正方形；

（2）根據平行四邊形的性質推得平行四邊形EC/G是含有60。角的菱形，再結合菱形的性質

推得“BEGmQCG即可證明BG=DG；

（3）延長Z）暇交EG延長線于點。，延長GE交AO于點P,先根據平行四邊形和矩形的性質

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推得。尸，A。，CE、DP的值，再證推得=再根據勾

股定理在&ADPQ中求得。。、DM.

【詳解】(1)證：,??平行四邊形ABCD中，ZABC=90°,

平行四邊形ABCD是矩形，

:"BCD=/BAD=90°,AD\\BC,

NECF=90°,

平行四邊形ECFG是矩形，

:.CE\\FG,ZEGF=90。,

又平分/BAD,

ZDAE=-ZBAD=45°,

2

:.NGFE=NCEF=ZAEB=NDAE=45。,

:.RMEGF中,GE=GF,

矩形ECFG是正方形.

(2)證：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，四邊形ECFG是平行四邊形，

AD\\BC\\GF,AB\\DF,AB=CD

ZABC=nO0,

ZECF=120°,/BAD=60°=ZCEG,

AE平分/BAD,

NBAE=ZEFC=-/BAD=30°,

2

AB—BE=DC,

.?.△CEF中NCEF=30。,

:.CE=CF,

即平行四邊形ECFG是含有60°角的菱形，

:.EG=CG,/CEG=/FCG=60°,

,\ZBEG=ZDCG=120°f

?.?△BEG和△OCG中，

BE=DC

<ZBEG=ZDCG,

EG=CG

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.■.^BEG^DCG(SAS),

:.BG=DG.

(3)解：延長。欣交EG延長線于點Q,延長GE交4。于點P,

???四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ECRG是平行四邊形,

AB\\PQ\\DF,EG=CF,

AB=PE=CD=6,BC=AD^8,

.??四邊形PECO是平行四邊形，

:.DP=CE,

-.?ZABC=90°,

二平行四邊形ABCD是矩形，

.?.ZBAD=90°,即54_LAD,

:.QPLAD,即/。尸。=90°,

AE平分/BAD,

:.ZBAE^45°,ZBEA=45°

:.BE=AB=6,CE=BC-BE=8-6=2=DP,

NCEF=NBAE=45°,

矩形ABCD中/BCD=90°,

：.CF=CE=2=EG,

???PQ\\DF,

ZQEM=ZDFM,

?rM是政的中點，

:.EM=FM,

?.?AQEM和AOU/中，

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ZQEM=ZDFM

,EM=FM,

ZQME=NDMF

:.^QEM^DFM(ASA),

:.QM=DM=^DQ,EQ=FD=CD+CF=S

PQ=PE+EQ=14,

.?.R/ADPQ中，DQ=yjDP2+PQ2=10A/2,

:.DM=、DQ=5叵.

【點睛】本題考查的知識點是平行四邊形的性質、矩形、菱形、正方形的性質與判定、等腰

三角形的判定、全等三角形的性質與判定、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握特殊平行四邊形

的性質與判定.

4.⑴葭

3

(2)t=l或萬或2

12

⑶當0。41時，S=8r；當1042時，5=-2r+2r+8;當2<t<1時，S=-10r+24

(4”的值為|4■或4:或：8

【分析】(1)設f秒后P、Q相遇.列出方程即可解決問題；

(2)根據AB=AQ,AB=BQ,BQ=AQ分類討論即可解決問題；

⑶分三種情形①如圖2中，當0<tVl,點。在AD上時.②如圖3中，當1</2,點。

17

在CD上時，S=S正方形一S&ADQ-S^ABP-S#QC?③如圖4中，當2<*《，點。在2C上

時.分別求解即可；

(4)分四種情形求解①當時，ACDQI四AABP.②當。0?=BP時，

AADQ2^AABP.③當CQ=B尸時，ABCQB'ABP.④當=2尸時，,

此時尸與。重合.

【詳解】(1)設/秒后尸、。相遇.

由題意(4+)=12,

12,,

.」=二秒，

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「?1秒后P、。相遇.

12

故答案為《；

(2),??正方形ABCD

：.AB=AD=DC=BC=4,

AF)

當AB=AQ時，此時。與。重合，，=竽=1;

4

當=時，此時。與。重合，"AD-L-D-C二2；

4

當時=A。時，。在A3的垂直平分線上，即。為C。中點，此時，AD+lDC3；

42

3

綜上所述，當f=l或1或2時，AA?。是等腰三角形；

(3)①如圖2中，當0</41,點。在AD上時，S=；x〃x4=8r.

②如圖3中，當1CW2,點。在CD上時，

S=S正方形-S4Ap°—凡何―=16—/x4x（4r—4）—]x4xr—/X（4T）（8—旬=—2/+2r+8

圖3

121

③如圖4中，當2<f<一,點。在8C上時，S=-x[4-f-（4r-8）]-4=-10?+24.

52

圖4

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8f(0</<1)

綜上所述，S=<-2d+2f+8(l<r<2)

-10/+2412<Z<—|

II5J

(4)如圖5中，

D

2

2

C

①當￡)Q=BP時，ACDQI烏AABP,此時4—4f=r,

4

②當DQ,=BP時,AADQ=^ABP,此時4r—4=t,t=—

23

Q

③當co,3=BP時,ABCQ3=AABP,此時8—4r=r,t—~<

12

④當幽=2尸時，^ABQ^ABP,此時尸與。重合，r=y；

44812

綜上所述，f為二或孑或］或《時，當以點。及正方形的某兩個頂點組成的三角形和AXAB

全等.

【點睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的

判定和性質等知識，解題的關鍵是學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題.

5.(1)①見解析；②20-2

⑵及

⑶不發生變化，45°

【分析】(1)①由正方形ABC。可得AB=AD,BC=DC,ZABC=ZADC=ZDCB=90°,

Z.DBC=ZBDC=45°,再由EF〃的可得/FEC=/n?C=45。，ZEFC=ZBDC=45°,從

而得出AEFC為等腰直角三角形，可得EC=FC,最后可得結論；

②連接AC交所于點G,則AC230,證明AABE絲AAGE(AAS),最后進行計算即可；

(2)連接AC,證明AE4cs△QA。，即可解決問題；

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AEAC/—

(3)連接AC,由(2)知△EACSAQA。，可得==.2,再證△EA。為等腰直角

/iV/f\L)

三角形，即可得出結論.

【詳解】(I)①證明：,??正方形MC。，

:.AB=AD,BC=DC,ZABC=ZADC=ZDCB=90°,ZDBC=ZBDC=45°,

?:EF〃BD,

ZFEC=ZDBC=45°,ZEFC=ZBDC=45。,

.?.△￡FC為等腰直角三角形，

:.EC=FC,

:.BE=DF.

在和△的)尸中，

AB=AD

<ZABE=ZADF

BE=DF

.?.△ABE^AAZ)F(SAS).

②如圖，連接AC交所于點G,則AC/AD,

,EF〃BD,

:.AC±EF,

由①知，AE=AF,ZBAE=ZDAF,

又?.?NE4尸=45。，

ZBAE=ZGAE=22.5°f

在△△的和△AGE中，

ZBAE=ZGAE

<NABE=/AGE

AE=AE

「.△ABE名△AGE(AAS).

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AG=AB=1,

.*.CG=AC-AG=V2-b

:.EF=2CG=2^2-2-

(2)如圖，連接AC,

/.ZEAC=ZQAD,

又???ZADQ=ZACE=45°,

:./\EAC^Z^QAD,

，二=芷=也

DQAD

(3)不發生變化，理由如下:

如圖，連接AC,

由(2)知AE4cs△QA。，

冊,

AQAD

又?.?NE4Q=45°,

.?.△胡。為等腰直角三角形，

;.ZAEQ=45。.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性

質、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

6.25；見解析；AE=2mA'F

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【分析】圖1:由余角的性質和折疊的性質可求解；

圖2：由“AAS”可證△3EF/可得BE=AE=AE,AF=BF,由銳角三角函數可

求解；

圖3：由“AAS”可證△BEF/ZkAEF,可得BE==AF=BF,由銳角三角函數

可求解；

【詳解】解：如圖1,-.EF^DE,ZBEF=25°,

:.ZAED=65°,

,?,將VADE沿直線￡>E折疊后，點A落在點A處，

ZAED=ZAED=65°,

:.ZFEA:=25°；

如圖2,證明：?.,將VADE沿直線DE折疊后，當點A恰好落在Db上時，

:.AE=AE,ZA=ZDAE=90°,ZAED=ZDEA!,

:.ZB=ZEA'F=90o,

-.-ZAED+ZBEF=90°=ZDEA+ZFEA!,

:.ZBEF=ZFE^,

又?：EF=EF,

；.BEF沿狀EF(AAS),

:.BE=AE=AE,AF=BF,

AE=-AD,

2

ZAED+ZBEF=90°=ZAED+ZADE,

:.ZBEF=ZADE,

.河BF]

/.tanZADE=tanZBEF===—,

ADBE2

：.BE=2BF,

:.AE=2AF；

如圖3,解：?將VADE沿直線OE折疊后，當點A恰好落在上時，

:.AE=AE,ZA=ZDAE=90°,ZAED=ZDEA',

:.ZB=ZEA!F=9Q°,

-.-ZAED+ZBEF=90°=/DE^+ZFEA：,

:.ZBEF=ZFE^,

第13頁共47頁

又；EF=EF,

:.ABEF^AAEF(AAS),

,-.BE=A'E=AE=-AB,A'F=BF,

2

AD=mAB,

:.AE=—AD,

2m

ZAED+ZBEF=90°=ZAED+ZADE,

:.ZBEF=ZADE,

AFBF1

/.tanZADE=tanZBEF===——,

ADBE2m

BE=2mBF,

AE=2mAF.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，菱形的性質，折疊的性質，全等三角

形的判定和性質，銳角三角函數等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

7.(1)①詳見解析;②32

⑵①在2_20；?0<SAOTG<40

(3)5A/1()

【分析】(1)①在口EFG8中，NHEF=90°,口EFGH為矩形,DE^AD-AE,ZA=ZD=90°,

ZDEH+ZAEF=90°=ZAFE+ZAEF,ZDEH=ZAFE,AAEF^DHE(ASA),EF=HE,矩形

EFGH為正方形,

②過G作GK_LCD于K,則4K0=4>=90。，NCHG=ZDEH,ADEH、KHG(AAS),DH=AE,

KG=DH,S/=gcH?KG=g(DC-DH).KG；

(2)①連接CG,過點G向CD作垂線交于點M,求出。E,EF=y/AE2+AF2=^42+x2,

EH=EF,DH=ylEH2-DE2=A/42+X2-62;

?CH=DC-DH=20-^/Z^20-EF=EH,口EFGH為菱形,連接gHG//EF,

ZEFH=ZFHG,XDC//AB,ZMHF=ZAFH,ZCHG=ZEFA,又EF=HG,^HMG^FAE

(AAS),MG=AE,S,CGH=；CH.MG,-2<0,當房而取最小值時，S^GH有最大值40,

當點。與點H重合時，點G在DC上，即&SG=0,ACG”面積的取值范圍即可求得；

(3)解：當點E與點。重合時，點G位置如圖，當點E與點A重合時，點G在點G'處，點

第14頁共47頁

4在點阻處，點G的運動路線為線段GG',由題意知：AG=BG'=^AD,BG=AB-AG,

GG'=y)GB2+G'B2-

【詳解】(1)①證明：在nEFG/f中.NHEF=驕，

.?口EFGH為矩形，

若AE=4則DE=AD—AE=10-4=6,

在矩形ABCD中，

ZA=ZD=90°,

ZDEH+ZAEF=90°,

ZAFE+ZAEF=90°,

:.ZDEH=ZAFE,

X.-AF=DE=6,

.-.AAEF^DHE(ASA),

:.EF=HE,

矩形EFG”為正方形；

②解：過G作GK_LCD于K,則Zffi1G=ZD=90。，如圖1,

DHKCPHMC

ZDHE+ZCHG=90°,

F

圖2

ZDHE+ZDEH=90°,

:"CHG=NDEH,

又rHE=GH

:.^DEH^KHG(AAS),

又由^AEF^^DHE,

:.DH=AE=4,

:.KG=DH=4,

:.S.CGH=-CHKG=-(DC-DH)KG=-x(20-4)x4=32,

故答案為：32；

第15頁共47頁

(2)解：①連接CG,過點G向CO作垂線交于點如圖2,

若AE=4,則。石=10-4=6,

?.-ZA=90°,

EF=ylAE2+AF2=,

EH=EF=742+x2，

又：？。90?,

DH=y]EH2-DE2=V42+x2-62=-Jx2-20，

故答案為：J%2-20；

?CH=DC-DH=20-7X2-20，

貝l]NHWG=NA=90。,

當EF=田時，口EFGH為菱形,連接HF,

■：HG//EF,

:.NEFH=NFHG,

又

.\ZMHF=ZAFH,

ZMHF-ZFHG=ZAFH-ZEFH,

NCHG=NEFA,

又?；EF=HG,

:.AHMG、FAE(AAS),

:.MG=AE=4,

2

S.CGH=；CH-MG="(20-A/X-20)X4=2(20-6-20)=-2&-20+40,

v-2<0,

二當Jx?-20取最小值時,S^CGH有最大值40,

當點。與點H重合時，點G在。C上，

即SACWG=。，

△CGH面積的取值范圍為：0<SCHG<40;

(3)解：當點E與點。重合時，點G位置如圖，根據瓜豆原理，主動點的軌跡是線段，則

從動點軌跡也是線段，則點G的運動路線為線段GG',

第16頁共47頁

由題意知：AG=BG'=|AD=1X10=5,

:.CG=5如，

所以點G的運動路線長為5M.

【點睛】本題考查動點，矩形，菱形，正方形的綜合問題，解題的關鍵是對以上知識的熟練

掌握.

8.(1)見解析

⑵①OE=OF,證明見解析；②;

(3)T

【分析】(1)根據正方形的性質證明四邊形AEO尸是矩形，再得=即可解決問題；

(2)①證明AAEO絲AS尸0(ASA),可得OE=O尸即可；

②先根據正方形的性質得。4=08=OC,ZAOB=ZSOC=90°,貝U/OBE=/Q4E=45。，

ZOCF=ZOBF=45°,所以NO3E=/OC尸，由OE_LOP得NEO尸=90。，貝U

Z.BOE=ACOF=90°-Z.BOF,即可證明△3OE烏△C,于是得BE=CF,根據四邊形

OE4F的面積=A4O3的面積=J正方形A3。的面積，即可解決問題；

4

(3)延長MQ至點G,使GQ=MN,連接PG,證明APGQ學在MN(SAS),可得PG=PM,

NGPQ=NMPN,所以△PGM為等腰直角三角形，所以四邊形?。兒處的面積=等腰直角三

角形PGM的面積，進而可以解決問題.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

AZDAB=90°,"AC=45。，

VOELOF,OE±AD,

：.NDAB=ZOEA=/EOF=90°,

，四邊形AEO歹是矩形，

VZZMC=45°,

OE=AE,

四邊形AE。尸是正方形；

(2)解：@OE=OF,

證明：：四邊形ABC。是正方形，

/.OA=OB,NEAO=ZFBO=45°,

第17頁共47頁

ZEOF=ZAOB=90°,

：.ZEOA=ZFOBf

：.AAEO^^FCXASA),

OE=OF-

②：四邊形ABC。是正方形，

AC=BD,AC±BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD

22f

OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=90°,

：.ZOBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°,

???ZOBE=ZOCF,

?:OELOF,

：.NEO尸=90。，

ZBOE=ZCOF=90°-Z.BOF,

???山OE沿江OFCASA),

ABOE的面積=△CO廠的面積，

**?四邊形OK4F的面積的面積=；正方形ABCD的面積=Jxl=:；

(3)解：如圖，延長至點G,使GQ=MN,連接PG,

P

CrQM

?.?ZQPN=ZQMN=90°,

...ZPQM+ZN=1SO°,

?.,ZPQM+ZPQG=180。，

??.ZPQG=ZN,

?.?PQ=PN,

：.LPGQ會"MN(SAS),

??.PG=PM,ZGPQ=/MPN,

：./GPM=ZGPQ+ZQPM=ZMPN+ZQPM=90°,

???ZXPGM為等腰直角三角形，

PM=9,

第18頁共47頁

1Q1

???四邊形PQMN的面積=等腰直角三角形PGM的面積：x92=當.

【點睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性

質，根據正方形性質求出三角形全等的條件是解題的關鍵.

9.⑴見解析

(2)-

3

⑶①%=2；②。尸存在最小值?

CE5

【分析】(1)由旋轉的性質可得Zfi4C=ZE4F,AE=AF.從而得出

ZBAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE.即=又由N3=NWF=90。可得結論；

(2)設FM=EM=EB=x,貝！]EC=3-尤.在■中，由勾股定理列出方程

,4

12+X2=(3-X)\解得：%=-.最后在RSCFM中，求出CF的長即可；

553

(3)①連接3D交AC于點。，連接OF交CD于點G.貝|OC=OD=x，0M=一一1=-.先

222

證明AFOM/ACOG(ASA).得出RW=CG=2.從而得MF=BE=2.求出CE=1.最后可

得結果；

②過點D作DHLMF,交直線MF于點H,設FM交CD于點N,先證明ACMN^CDA.

列出比例式再代入數據得了1=[CN=—M4N.求得CN=51，MN=巳3從而得出

45344

53

4-一4

再證明△SAJJHN列出比例式再代入數據得」一=--從

DA^=4--=—,CMN.麗

n

44DH

4-

1133

而得出HN=五.最后求解即可.

【詳解】(1)證明：由旋轉知：ZBAC=ZEAF,AE=AF.

：.ABAC-ZCAE=ZEAF-ZCAE.

即：ZBAE=ZMAF.

XZB=ZAA/F=90°,

/.AABE絲△AMF(AAS).

(2)V/\ABE^Z\AMF.

：.AE=AF,BE=MF,AB=AM=4.

在RtAABC中，AC3+42=5.

第19頁共47頁

CM=1.

如圖，當直線FM恰好經過點E時，FM=EM=EB,

設FM=EM=EB=x,貝l|EC=3—x.

在RtZ\CEM中，EM2+CM2=EC2,

即：12+X2=(3-X)2,

4

解得：x=

在中，CF==

553

(3)①如圖，連接3。交AC于點O,則0。=。。=；；,=--1=-.

2OM22

連接。尸交CO于點G.

?；OC=OD,DF=CF.

：.ZOGC=90°,DG=CG=2.

：.OM=OG.

又/FOM=/COG,ZOGC=ZOMF=90°.

：.△FOM^ACOG(ASA).

：.FM=CG=2.

：.MF=BE=2.

：.CE=1.

第20頁共47頁

.BE

CE

②。尸存在最小值日，理由如下：

過點。作。交直線M尸于點"，設月0交CO于點N,

VZNCM=ZACD,ACMN=ZCDA=9