第18關解直角三角形

基礎練

考點1銳角三角函數

“2024云南］如圖在△ABC中，若NB=90o,AB=3,BC=4,則tanA=()

2.[2024重慶江北區一模]如圖，在RtAABC中,NC=90。若tanB=提則sinA的值為（）

3.[2024天津紅橋區三模]ttan45°+2sin30°的值為()

A.lB.V3C.2D.2V2

4.[2024河北張家口一模]一架梯子（長度不變）一端放在水平地面上，梯子跟地面所成的銳角為/A,下列關于/

A的三角函數值與梯子的傾斜程度之間關系的敘述，正確的是（）

A.sinA的值越大梯子越陡

B.cosA的值越大梯子越陡

C.tanA的值越小才弟子越陡

D梯子的傾斜程度與NA的三角函數值無關

5.[2024廣東廣州二模]在正方形網格中,NAOB如圖放置，則cos/AOB的值為（）

A宿B.『C.iD,2

6.[2024江蘇常州一模]在RSABC中,NC=90。，sin/=芻則tanA二.

考點2解直角三角形

7.[2024甘肅臨夏州]如圖，在△ABC中,AB=AC=5,sinB=:則BC的長是

A.3B.6C.8D.9

BC

8.[2024吉林長春]2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射.

當火箭上升到點A時，位于海平面R處的雷達測得點R到點A的距離為a千米，仰角為0,則此時火箭距海平

面的高度AL為（）

A.asinO千米?千米

siny

C.acosO千米Z）.—千米

cost/

9.[2024寧夏]如圖1是三星堆遺址出土的陶本儂），圖2是其示意圖.已知管狀短流AB=2cm,四邊形BCDE是器

身,BE〃CD,BC=DE=11cm,/ABE=12（F,NCBE=80。.器身底部CD距地面的高度為21.5cm，則該陶番管狀短流口A

距地面的高度約為cm（結果精確到0.1cm）.（參考數據：sin80°?0.9848,cos80°?0.1736,tan80°~5.6713,V3

-1.732）

10.[2024四川眉山]如圖，斜坡CD的坡度i=l:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB,當太陽光與水平面的

夾角為60。時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米、則大樹AB的高為米.

11.如圖，在△ABC中,AD_LBC,AE是BC邊上的中線,AB=10,AD=6,ianNACB=l.

⑴求BC的長；

⑵求sinZDAE的值.

12.2024黑龍江大慶］如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路1上由北向南行駛，在A處測

得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續行駛1500米后到達B處，測得橋頭C在南偏東60。方向上，橋頭D在南偏東

45。方向上，求大橋CD的長度.（結果精確到1米，參考數據：V3x1.73）

13.［2024甘肅蘭州］單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置、某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探

究，并撰寫實驗報告如下.

實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化

實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等

如圖1,在支架的橫桿點0處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始

往復運動.（擺線的長度變化忽略不計）

如圖2,擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處,BD±OA.ZBO

實驗說明A=64°,BD=20.5cm;當擺球運動至點C時,NCOA=37o,CE，OA（點O,A,B,C,D,E在同一平

面內）

0

區仔

實驗圖示

圖1圖2

解決問題：根據以上信息，求ED的長.（結果精確到0.1cm）

參考數據：sin37。加.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05.

提升練

14.[2024江蘇常州模擬]將RtAABC的各邊長都擴大至原來的2倍，則cosA的值（)

A不變B.變大

C.變小D.無法判斷

15.[2024廣東梅州一模必ABC中,NA,/B都是銳角，且sinX=芋,cosB=抑必ABC的形狀是（）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.銳角三角形或鈍角三角形

16.[2024廣東深圳二模]如圖是某滑雪場一段雪道的示意圖，該雪道的平均坡角約為20。,在此雪道向下滑行1

00米，高度大約下降了（）

CB

4工米8衛工米

sin20cos20

C.lOOsin20。米D.100cos20。米

17J2024湖南]如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（ch6ng）搗谷物的工具——“碓（dui）”的結構簡圖，右圖為

其平面示意圖.已知ABLCD于點B,AB與水平線1相交于點OQELL若BC=4分米,OB=12分米/BOE=60。廁點

C到水平線1的距離CF為分米（結果用含根號的式子表示）.

18.[2024山東泰安]在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度.他們在河岸一側

的瞭望臺上放飛一只無人機.如圖，無人機在河上方距水面高60米的點P處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為50。，

測得瞭望臺頂端C處的俯角為63.6°,已知瞭望臺BC高12米（圖中點A,B,C,P在同一平面內）.那么大汶河此河段的

寬AB為米.（參考數據：sin40"?|,sin63.6°?巳tan500儀|,tan63.6°?2）

5017X63.6°

AB

第18題圖第19題圖

19.[2024河南南陽校級模擬]如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A,B,C,D都在這些小正方形的頂點

上，AB與CD相交于點P,則tan/APD的值為.

20.[2024江西]將圖1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD,連接AC,則tan/CAB=

B

圖2

21.[2024江蘇南京校級模擬]如圖，在直角三角形ABC中,/C=9（T,BC=3,AC=4,點D是線段AC上的動點，設/

BDC=%/BAC=|3,有以下結論：

①0°<P<a<90°,且tana>tan。；

②0°<P<a<90°,且cosa>cos[3;

③當D為AC中點時，sin^DBA=要；

65

④當BD平分NCBA時,tan|3=2tana.其中，正確的是.（填序號）

CDA

22.[2024內蒙古通遼]在“綜合與實踐”活動課上，活動小組測量一棵楊樹的高度.如圖，從C點測得楊樹底端B

點的仰角是30。，BC長6米，在距離C點4米處的D點測得楊樹頂端A點的仰角為45°,求楊樹AB的高度（精

確至U01米,AB,BC,CD在同一平面內，點C、D在同一水平線上，參考數據：V3?1.73）.

23.[2024山東荷澤校級模擬]已知△ABC的三個內角NA,NB,NC的對邊分別為a,b,c.

觀察若/A=35o,/B=45。,

則有sin245°+COS245°=1,

a_b_c

sin35°sin45°sinlOO。'

sinlOO0=sin(35°+45°)=sin35°cos45°+

sin45°cos35°,SA?iBC=-ac-sinB.

模仿：已知乙4=60°,c=|a.

⑴求sinC的直

⑵若a=7,求SAABC.

24.[2024重慶A卷]如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發，分別向B,D兩港運送物資，最后到達A港正東

方向的C港裝運新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港，再沿北偏東60。方向航行一定距離

到達C港.乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達D港，再沿南偏東30。方向航行一定距離到達C港.

慘考數據：V2~1.41,73?1.73,76?2.45)

(1)求A,C兩港之間的距離(結果保留小數點后一位).

(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同(停靠B,D兩港的時間相同)，哪艘貨輪先到達C港?請通過計算說明.

25.[2024安徽]科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗.如圖，光線自點B處發出，經水面點E折射

到池底點A處.已知BE與水平線的夾角a=36.9。,點B到水面的距離BC=1.20m,點A處水深為1.20m,到池壁的水

平距離AD=2.50m.點B,C,D在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內.記入射角為P，折射角為丫，求型的

siny

值（精確到0.1）.

參考數據：sin36.9°~0.60,cos36.9°~0.80,tan36.9°?0.75.

26.[2024貴州]綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習.

【實驗操作】

第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內

壁AC的夾角為NA；

第二步：向水槽注水,水面上升到AC的中點E處時，停止注水直線NN為法線，AO為入射光線，OD

為折射光線）

【測量數據】

如圖點A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面內,測得AC=20cm,/A=45。折射角/DON=32。.

【問題解決】

根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：

⑴求BC的長：

⑵求B,D之間的距離（結果精確到0.1cm）.（參考數據:sin32°?0.52,cos32°=0.84,tan32°=0.62）

27J2024廣東］中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽車的充電

需求，某小區增設了充電站，下圖是矩形充電站PQMN的平面示意圖、矩形ABCD是其中一個停車位、經測量、

ZABQ=60°,AB=5,4m,CE=1,6m,GH±CD,GH是另一個車位的寬，所有車位的長、寬分別相同，按圖示并列劃定.

根據以上信息回答下列問題：(結果精確到0.1m,參考數據：V3X1.73)

⑴求PQ的長；

(2)該充電站有20個停車位，求PN的長

28J2024江蘇連云港］圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究.數學興趣小組也

類比進行了如下探究：如圖2,正八邊形游樂城A】A?A3A4A5A6A7A8的邊長為jkm,南門O設立在AeA,邊

的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路BM,A6A7在BM上(門寬及門與道路間距離忽略不計)，東側有一

條南北走向的道路BC,C處有一座雕塑.在A1處測得雕塑在北偏東45。方向上，在A2處測得雕塑在北偏東59。方

向上.

(1)4。4遇2=-<^-CA2AI—_°;

(2)求點A1到道路BC的距離；

(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路MB向東行走，求她離B處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會

受到游樂城的影響.

（結果精確到0.1km,參考數據：V2~1.41,sin76°~0.97,tan76°?4.00,sin59°?0.86,tan59°~1.66）

|C

北

第18關解直角三角形

1.c解析:因為在AABC中/B=90*AB=3,BC=4,所以tanA=箓=*

2.B解析:在RfABC中,?.NC=90。，.?.tanB=*=之

BC3

設AC=4x,BC=3x,

由勾股定理得AB=7(4x)2+(3x)2=5x,sinA==|^=|.

3.C4.A5.A

6.±

3

解析：由sinA=g/C=90。,可設BC=4x廁AB=5x,在RtAABC中,由勾股定理得AC=3xtan/=^|=

4x_4

3x3，

7.B解析:過點A作BC的垂線，垂足為M,

在RbABM中.sinB=%=:

AB5

AM=5X=4,BM=V52-42=3.

又?.AB=AC/.BC=2BM=6.

8.A解析:在Rt^ALR中,AR=a/ARL=6,sin0=

，AL=AR-sine=asine千米.

9.34.1

解析：如圖，過點C作CF,BE,垂足為F,過點A作AG，EB交EB的延長線于點G,

?.zABE=120°,

..NABG=180°-NABE=60°,

在RtAABG中,AB=2cm,

???AG=AB-sin60°=2xf=V3(cm),

在RtABCF中,NEBC=80°,BC=11cm,

CF=BC-sin80°~llx0.9848=10.8328(cm),

1.器身底部CD距地面的高度為21.5cm,

，該陶吞管狀短流DA距地面的高度=V3+10.8328+21.5?34.1(cm),

,該陶吞管狀短流口A距地面的高度約為34.1cm.

10.(4V15-2V5

解析：如圖，過點E作AB的垂線，交AB的延長線于點H,

易知EHIICF,

貝UNBEH=NDCF,

在RbBEH中,tar)NBEH=tariNBCF=

設BH=x米廁EH=2x米

BE=y/EH2+BH2=國米=10米，

;.x=2V5

BH=2V5米EH=4V5米，

?.zEAH=180o-60o-90o=30o,

.-.AH=V3EH=4同米,

ABAH-BH=(4V15-2西)米.

，大樹AB的高為(4V15-2遙)米.

11.(1)14⑵唱

解析:(l)；AD，BC,AB=10,AD=6,

BD='AB?-AD2=V102-62=8.

?.tanzACB=l,/.CD=AD=6,

BC=BD+CD=8+6=14.

(2)/AE是BC邊上的中線，

???CE=-BC=7,

2，

DE=CE-CD=7-6=1,

-.AD±BC,

???AE=y/AD2+DE2=V62+l2=V37,

DF

???sin^DAE=—1V37

AE-V37-37'

12.548米

解析：分別過點C和點D作AB的垂線,垂足分別為M,N,

在Rt^CBM中，tan/CBM=需=tan60°=V3

所以CM=V3BM,

在RbACM中，tanX=^=tan30°=^

V3BM

因為AM=AB+BM,AB=1500米，所以=與則BM=750米

1500+BM

所以CM=750舊米，

所以DN=CM=750VI米.

在RbDBN中，tan/DBN=器=tan45°=1,

所以BN=DN=750百米，所以MN=BN—=（7508—750）米，貝!]CD=MN=750遮-750*548（米）,

故大橋CD的長度為548米.

13.8.2cm

解析:在RtAOBD中/ODB=90°,zBOA=64°,BD=20.5cm,tan^BOA=—,smzBOA=—,

ODOB

r20.520.5

，2Q.0n5?——，0n.9n0n?——,

ODOB

.-.OD=10cm,OB~22.78cm,在RbCOE中,OC=OB=22.78cm/COA=37°,

???cosHM吟，即0.80?

.QE=18.224（cm）,

ED=OE-OD~8.2cm.

14.A

15.C解析：sinX=~,cosB=

..NA=45°/B=60°,..NC=75°,

."ABC的形狀是銳角三角形.

16.C解析:由題意得AB，BC,在RtMBC中,NACB=20°,.?在此雪道向下滑行100米，高度大約下降了100si

n20°米

17.(6-2V3

解析:延長DC交I于點H,連接OC,在RbOBH中/BOH=90°-60°=30°,OB=12,

..BH=12xtan30°=4V3,OH=8V3

S&OBH=S40cH+S4OBC，

■■-lOB-BH=lOH-CF+lOB.BC.

即jxl2x4V3=|x8V3CF+|x12x4./.CF=(6-2何分米

18.74

解析:如圖，過點P作PE±AB于點E.過點C作CF±PE于點F,

貝［|NNPC=NPCF=63.6。，

zMPA=zBAP=50°,BC=EF=12米PE=60米

.?.PF=PE-EF=48米，

在RtWFC在tan63.6°=?2,

,■,CF=24米,.BE=24米,

在Rt^APE中,tan50°=第嗔

.-.AE=50米,..AB=AE+BE=74米.

19.2

解析：如圖，連接BE,

B

?.四邊形BCED是正方形，

-11

DF=CF=：CD,BF=；BE,CD=BE,BE_LCD,BF=CF,

根據題意得ACIIBD,

.'.△ACP--ABDP,

，DP:CP=BD:AC=1:3,

.-.DP:DF=1:2,

11

DP=PF=-CF=-BF,

22

在RtWBF中，tan/BPF=祭=2,

,.-zAPD=zBPF,.,.tanzAPD=2.

20.-

2

解析：設AC與BD交于點。,由七巧板可知AABD和ABCD是全等的等腰直角三角形，

..AB=BD=CD/ABD=NBDC=90°,

/.ABIICD,

.?四邊形ABCD是平行四邊形，

11

OB=-BD=-AB,

22

tan/CAB=tan^OAB=—=

AB2

21.①

解析:〔2BDC是ABAD的外角,

.,.zBDC=zA+zABD.

.'.ZBDC>ZAK即a>0,又,.NC=90。，

...0°<B<a<90°,且tana>tanp,cosa<cosps

故①正確，②錯誤；

?.NC=9(T,BC=3、AC=4,

AB=>JAC2+BC2=V42+32=5,過點D作DE_LAB,垂足為E,當D為AC中點時，CD=4。=|71C=2,

BD=y/BC2+CD2—V32+22=V13,

???^^ABC-S^BCD+SABD”

???^AC-BC=^CD-BC+^AB-DE,即3x4=2x3+5DE/.*.DE=|

在Rt^BDE中.sin/DBA=需=言=嚼故③錯誤；

當BD平分NCBA0f--DE±AB,DC±BC,

，DC=DE,

^LABC=S2CD+S^BDA，

/.-AC,BC=LDC,BC+-AB?DE,

222

.?.3x4=3DC+5DE/.8DC=12z

??.DC==

2，

在RSBCD中，tanNBDC=tana=~=4=2,

2

在RtABCA中,tan^BAC-tan夕=^|=|,

，tanBH2tana,故④錯誤.

綜上，正確的是①.

!2.6.2米

解析:延長AB交DC于H,則NAHD=90。，

.2BCH=3(r,BC=6米，

...B"=(BC=3米，CH=^-BC=V33米，

?.zADC=45°,

.-.AH=DH=CD+CH=(4+3㈣米，

AB=4"-=4+3舊-3=1+3百=6.2(米).

答：楊樹AB的高度約為6.2米.

23.(l)sinC=^(2)SAylBC=6V3

解析：(1)由觀察可知，-、=吃=/=三，二sinC=當.

s\nAs\nBsinC里smC14

2

(2)va=7,???c=|a=3,

由觀察得sin2c+cos2c=1,

2z->.7c169

???cosc=1—sin^c=——，

196

c13

，COSL=——,

14’

又由觀察可得sin/B=sin(A+C)=sinAcosC+cos4sinC=yx||+jx^=S^ABC---SINB=6

24.(1)A,C兩港之間的距離約為77.2海

里(2)甲貨輪先到達；理由見解析

解析：(1)過點B作BE_LAC,垂足為E.

在RMAEB中/BAE=45°,AB=40,

.?.AE=BE=40sin45°=20V2

在RbEBC中/EBC=60°,

EC=E5tan60°=V3EB=20限

：.ACAE+EC=20>/2+20V6-77.2.

答：A,C兩港之間的距離約為77.2海里.

(2)在RbEBC中/EBC=60°,EB=20V2

CB=2EB=40V2.

?.?甲貨輪的航線為A-B-C,

???AB+BC=40+40V2?96.4

,「乙貨輪沿A港的北偏東60。方向航行一定距離到達D港，C港在D港的南偏東30。方向，

.?.zADC=90°.

在RSADC中,NDAC=30)AC=20V2+20歷

CD=|XC=10V2+10V6,AD=XCcos30°=—AC=10V6+30V2.

,「乙貨輪的航線為A-D-C,

???AD+DC=10V6+30V2+10V2+10V6=20V6+40V2?105.4.

1?兩艘貨輪的航行速度相等，目96.4<105.4,.?.甲貨輪先到達C港.

25.1.3

解析:過點E作EH，AD,垂足為點H,由題意可知/CEB=a=36.9°,EH=1.20,=焉5"耗=1.60,

AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90,

故.AE=7AH2+EH?=V0.902+1.202=1.50.

于是siny=—=-=0.60.

rAE1.50

又sin￡=sin^CBE=—=cos^CEB=

BE

cos36.9%0.80,故陋=照?1.3.

siny0.60

26.(l)20cm(2)3.8cm

解析：(1)在RfABC中/A=45°.

，NABC=45°.，BC=AC=20cm.

(2)由題意可知ON=EC=|XC=10cm,

/.NB=ON=10cm,

?.zDON=32°,

.■.DN=ON-tanzDON