2025年中考數學復習難題速遞之圓（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?長沙二模）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和AABC的外接圓相交于點。，與3C相

交于點G.則下列結論：①NA4O=NCW；②若N3AC=60°,則NBEC=120°；③若點G為5c

的中點，則N5GD=90°；④AE=DE=DB.其中不一定正確的是（）

3D

A.①B.②C.③D.@

2.（2025?南關區模擬）如圖，A、13、C、。是O。上的四個點，屈=我.若/AO8=68°,則/8OC的

大小為（）

A2.22°B.34°C.44°D.68°

3.（2025春?東西湖區月考）如圖，四邊形ABC。內接于OO,AB=AC,BD±AC,垂足為E.若AB=8,

CD=4,則BC的長是（）

8r16/-8r-16r-

5555

4.（2025?五華區校級模擬）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm）,則這個幾何體的側面積為

()

5.（2024秋?江北區校級期末）如圖，平行四邊形ABC。，AB=2,8C=3,以點C為圓心，CD為半徑畫

弧，分別交A。、BC于F、E,連接AE,若則圖中陰影部分的面積為（）

1

BEC

V32TIV347r廠3^3

A.一B.---C.一-V3D.——

23232

6.（2025?廬江縣模擬）如圖，將扇形AOB沿AC折疊,使得點3和點O重合，已知AC=2g,則彳&的

長為（）

A

小

0CB

7.（2025?襄城縣一模）如圖，。。是等邊三角形A3C的外接圓,點。是我的中點，連結8。，CD.以點

1（黃，則等邊三角形的邊長為（）

。為圓心，5。的長為半徑在。。內畫弧，陰影部分的面積為二ABC

D

?

A

A.4B.4V2C.4V3D.-V3

8.（2025?市南區校級模擬）如圖，在正方形ABC。中，AC和80交于點。，過點。的直線EF交A8于

點不與A,B重合），交C。于點￡以點。為圓心，OC為半徑的圓交直線E尸于點M,N.若AB

=1,則圖中陰影部分的面積為（）

9.（2025?成都模擬）如圖，OA,OB是。。的半徑，C是。。上的點，且脛=2怒，連接AB,BC,若

。4=3,ZABC=20°,則扇形AOB的面積為（）

10.（2024秋?太和縣期末）如圖，PA,PB分別與。。相切于A,8兩點，C是優弧8上的一個動點，若

二.填空題（共5小題）

11.（2025?南關區模擬）如圖，A8為半圓。的直徑，將半圓。繞點A逆時針旋轉，使點。的對應點。'

恰好落在弧AB上，點B'為點B的對應點，連結B'O.若AB=8,則陰影部分的面積為

（結果保留n）.

12.（2025春?楊浦區校級月考）己知：如圖，正方形ABC。的邊長為4,兩段圓弧將正方形分成了①、②、

③、④的四個部分，它們的面積分別是Si、S2、S3和S4.則：

（1）四個部分的周長之和為；

（2）S3-S4的值為.（1T取3.14）

13.（2025?湖南模擬）如圖是一頂用竹蔑編制的圓錐形斗笠，若斗笠高為15厘米，斗笠底部邊沿的周長

為40n厘米，則這個斗笠的表面積是平方厘米.（豆心3.14）

14.（2025?海淀區校級模擬）如圖，為。。的直徑，C,。為O。上的點，弧8C=弧CD若/CBD=

34°,則NAB。的度數為.

15.（2025?鎮海區校級模擬）如圖，△O4B為直角三角形，且以。為圓心，為半徑作圓與

交于點E,過點A作AFLOE于點尸交圓。于點C,延長A。交圓。于點。，連結OE交AC于點

若圓。的半徑為5,tanZD=則AM的長為.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?宿遷校級一模)如圖，在△ABC的邊BC上取一點。，以。為圓心，0c為半徑畫。。與邊

相切于點。，^AC=AD.

(1)求證：AC是。。切線；

(2)若AB=10,BC=6,求的半徑.

17.(2025?槐蔭區一模)如圖，在Rt^ABC中，48=90°,點。是AC上一點，以AD為直徑的O。交

BC、AB于點E、F,連接。尸、EF、DE,且DE=EF.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若A8=6,。。的半徑為4,求。的長.

18.(2025?興慶區校級一模)如圖，已知。。是Rt^ABC的外接圓，ZACB=90°,。是圓上一點，E是

DC延長線上一點，連接A。、AE,且CA=CE.

(1)求證：直線AE是。。的切線；

2

(2)若sinE=京，CE=4,求AE的長.

A

19.(2025?浦口區校級模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,O。是△ABC的外接圓.過點B作BO_LC。,

交AC于點過點A作AE〃BC,交8。的延長線于點E.

(1)直線AE是。。的切線嗎？為什么？

(2)求證：BD=BC.

(3)若A8=3,BC=1,求AE的長.

20.(2025?阿城區一模)已知：四邊形4BC。內接于。。，連接AC、BD交于點、F.

(1)如圖1,求證：NDAB=/CDB+/DBC；

(2)如圖2,點E為O。外一點，連接。￡、CE,若/。CE+/ABC=180°,ZDEC=ZDBC,求證：

AD=CE；

BE4

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8E,若/。C￡-/CA8=90°,—=-，ZCED=ZABD,CE

AB5

=6,求BP的長.

BB

圖1圖2圖3

2025年中考數學復習難題速遞之圓（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案DBDBAACADB

選擇題（共10小題）

1.（2025?長沙二模）如圖，點￡是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點。，與BC相

交于點G.則下列結論：?ZBAD=ZCAD；②若/BAC=60°,則/BEC=120°；③若點G為8C

的中點，則/8GD=90°；④AE=DE=DB.其中不一定正確的是（）

A.①B.②C.③D.④

【考點】三角形的內切圓與內心；全等三角形的判定與性質；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】圖形的全等；與圓有關的計算；幾何直觀；推理能力.

【答案】D

【分析】利用三角形內心的性質得到則可對①進行判斷；直接利用三角形內心的性質

對②進行判斷；根據垂徑定理則可對③進行判斷；通過證明得到。則可對④進

行判斷.

【解答】解：是△ABC的內心，

：.AD平分/BAC,

；./BAD=NCAD,

故①正確；

如圖1,連接BE,CE,

A

D

圖1

???￡1是△ABC的內心，

11

???NEBC="ABC,乙ECB=jzXCB,

VZBAC=60°,

ZABC+ZACB=120°,

i

JNBEC=180°-ZEBC-/ECB=180°-^ABC+4ACB)=120°,

故②正確；

如圖2,設該圓的圓心為。連接0。，OB,OC,BE,

圖2

VZBAD=ZCADf

：.BD=CD,

：.OD±BC,

??,點G為的中點,

???G一定在0。上，

：.ZBGD=90°,

故③正確；

■:BE平分NA8C,

二NABE=NCBE,

ZDBC=ZDAC=/BAD,

/.ZDBC+ZEBC=ZEBA+ZEAB,

:./DBE=/DEB,

：.DB=DE,

若AE=QE,貝ijCA=C。，顯然不可能，

故④錯誤，

綜上所述，不一定正確的是④.

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關鍵是

掌握三角形的內心與外心.

2.（2025?南關區模擬）如圖，A、B、C、。是上的四個點，AB=BC.^ZAOB=68°,則N8OC的

大小為（）

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】B

【分析】根據圓心角、弧、弦的關系求出/BOC的度數，再由圓周角定理求出/BOC的度數即可.

.\ZBOC=ZAOB=68°,

11

AZBDC=^ZBOC=x68°=34°.

故選：B.

【點評】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系，掌握圓周角定理和圓心角、弧、弦的關系是解

題的關鍵.

3.（2025春?東西湖區月考）如圖，四邊形A8CD內接于。。，AB=AC,BDLAC,垂足為E.若AB=8,

【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理；垂徑定理.

【專題】與圓有關的位置關系；推理能力.

【答案】D

【分析】過A作于X,根據等腰三角形的性質得到/助8=/。18=W/CA2,CH=BH,過C

作CGLA。交的延長線于G,根據全等三角形的性質得到AG=AH,CG=CH,根據相似三角形的

性質得到處=±設BH=k,AH=2七根據勾股定理即可得到結論.

AH2

【解答】解：過A作于H,

9

：AB=ACf

1

???NBAH=NCAH=^ZCAB,CH=BH,

'：ZBAC=2ZDAC,

:./CAG=/CAH,

過。作CG±AD交AD的延長線于G,

：.ZG=ZAHC=90°,

VAC=AC,

AAGC^AAHC(AAS),

：.AG=AHfCG=CH,

9：ZCDG=ZABC,

：./\CDG^/\ABH,

.CGCD51

99AH~AB~10~2f

.BH1

??—―,

AH2

沒BH=k,AH=2k,

：.AB=y/BH2+AH2=而K=8,

.,8V5

?"=廿

:.BC=2g咚1

【點評】本題考查了圓內接四邊形，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定

和性質，勾股定理，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

4.（2025?五華區校級模擬）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：co?）,則這個幾何體的側面積為

C.12ncm2D.9Tlem2

【考點】圓錐的計算；由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積；勾股定理.

【專題】投影與視圖；幾何直觀；運算能力.

【答案】B

【分析】根據三視圖可以判定該幾何體為圓錐，根據勾股定理求出底面圓的半徑為6c〃z,再根據圓錐側

面積公式為周長X母線+2,代入公式求值即可.

【解答】解：根據三視圖可以判定該幾何體為圓錐，底面圓的半徑為，102—82=6（cm）,

.,.圓錐的側面積為2TTX6X10+2=60it（cm2）.

故選：B.

【點評】本題考查由三視圖判斷幾何體和圓錐的計算，掌握圓錐的側面積公式是解題的關鍵.

5.（2024秋?江北區校級期末）如圖，平行四邊形ABC。，AB=2,BC=3,以點C為圓心，C￡）為半徑畫

若AEL8C,則圖中陰影部分的面積為（）

47r/-3遮

c.——73D.——

32

【考點】扇形面積的計算.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】A

【分析】連接EF,CF.證明弓形。尸的面積=弓形EE的面積，再根據S陰=S梯形AECF-SAECF求解.

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD=2,

,:CD=CE=2,

：.BE=BC-CE=3-2=1,

'：AE±BC,

：.ZAEB=90°,

：.AE=7AB2—BE2=V22-I2=V3,

?；AB=2BE,

：.ZBAE=30°，

：.ZB=ZD=60°,

?：CF=CD,

的等邊三角形，

：.ZDCF=60°,DF=CD=2,AF=AD-DF=3-2=1f

'JAB//CD,

：.ZBCD=180°-60°=120°,

：.ZECF=ZFCD=6Q°,

???弓形。尸的面積=弓形EF的面積，

S陰=S^ijuAECF-SAECF=2（1+2）XV3-x2?=

故選：A.

【點評】本題考查扇形的面積，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，

靈活運用所學知識解決問題.

6.（2025?廬江縣模擬）如圖，將扇形A02沿AC折疊，使得點2和點。重合，已知AC=2百，則麗的

長為（）

47r2兀7T

A.—B.itC.—D.-

332

【考點】弧長的計算；翻折（折疊問題）.

【專題】與圓有關的計算；展開與折疊；運算能力.

【答案】A

【分析】連接AB,由折疊的性質可得AB=OA,ZACO=9Q0,再根據△。48是等邊三角形的性質得

/。=60°,再求出扇形的半徑，根據弧長公式計算即可.

【解答】解:如圖，連接

ocB

由折疊可得，AB^OA,/AC。=90°,

'：OA^OB,

：.OA=OB=AB,

.?.△OAB是等邊三角形，

；./。=60°,

AC

在RtZXOAC中，sin/O=券，

..（八。2^/3V3

..sin60=碇=2,

???OA=4,

一,,、,6071X447r

的長為t------——.

1803

故選：A.

【點評】本題主要考查了弧長的計算及翻折變換（折疊問題），熟知弧長的計算公式及折疊的性質是解

題的關鍵.

7.（2025?襄城縣一模）如圖，。。是等邊三角形A8C的外接圓，點。是我的中點，連結8。，CD.以點

。為圓心，8。的長為半徑在。。內畫弧，陰影部分的面積為等，則等邊三角形ABC的邊長為（）

A.4B.4V2C.4V3D.1V3

【考點】三角形的外接圓與外心；扇形面積的計算；等邊三角形的性質；垂徑定理.

【專題】圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】C

【分析】過。作。EL8c于E,利用圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質求出/BOC=120°,利

11

用弧、弦的關系證明BD=CD,利用三線合一性質求出BE==2V3,/BDE=江BDC=60°,在

RtABDE中,利用正弦定義求出8。，最后利用扇形面積公式求解即可.

【解答】解：如圖，過。作DEL8C于E,

1?,OO是等邊三角形ABC的外接圓，

AZA=60°,ZBDC+ZA=18O°,

AZBZ）C=120°,

:點。是比的中點，

：.BD=CD,

：.BD=CD,

1

：.BC=2BE,/BDE="BDC=60°,

ZDBE=30°,

???陰影部分的面積為坨，

3

.1207TXBD2167r

??=,

3603

：.BD=4,

1

：.DE=^BD=2,

：.BE=V3DE=2V3,

：.BC=4V3,

故選：C.

【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，扇形面積公式，解

直角三角形等知識，靈活應用以上知識是解題的關鍵.

8.（2025?市南區校級模擬）如圖，在正方形ABC。中，AC和8。交于點。，過點。的直線Eb交A8于

點不與A,2重合），交O）于點E以點。為圓心，OC為半徑的圓交直線所于點M,N.若AB

1，則圖中陰影部分的面積為（)

A.~n—~B.-n——C.n-1D.TT--r

84244

【考點】扇形面積的計算；全等三角形的判定與性質；正方形的性質.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】A

【分析】根據對稱性可知陰影部分的面積=扇形ODC的面積-NJDC的面積.

【解答】解：如圖，根據對稱性可知陰影部分的面積=扇形ODC的面積-△OOC的面積.

:四邊形ABC。是正方形，

.?.AB=BC=Cr>=AO=l,AC±BD,

：.AC=BD=V2,

A陰影部分的面積=.2戶=

故選：A.

【點評】本題考查扇形的面積，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

9.（2025?成都模擬）如圖，04是。。的半徑，C是上的點，且我=2衣，連接AB,BC,若

。4=3,ZABC=20°,則扇形AOB的面積為（）

C.

3兀

A.TTB.—C.2irD.3Tt

2

【考點】扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】D

【分析】連接0C,根據圓周角定理求出NAOC的度數，再根據圓心角、弧、弦的關系求出NBOC的

度數，從而求出NA08的度數，進而由扇形面積公式計算扇形AOB的面積即可.

【解答】解：如圖，連接OC.

VZABC=20°,

AZAOC=2ZABC=40°,

'：BC=2AC,

：.ZBOC=2ZAOC=SO°,

：.ZAOB=ZAOC+ZBOC=AO°+80°=120°,

120

，扇形AOB的面積為藍產X32=3TT.

故選：D.

【點評】本題考查扇形面積的計算，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，掌握扇形面積的計算公式,

圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理是解題的關鍵.

10.（2024秋?太和縣期末）如圖，PA,PB分別與O。相切于4,2兩點，C是優弧B上的一個動點，若

ZP=50°,則/ACB的度數為（）

A.50°B.65°C.55°D.60°

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【專題】圓的有關概念及性質；運算能力.

【答案】B

【分析】連接04,OB,根據切線的性質得NO4P=/。8尸=90°,再利用四邊形的內角和計算出/AOB

的度數，最后根據圓周角定理計算NACB的度數.

【解答】解：連接OB,OA,

,：PA,尸2分別與。。相切于A,B兩點，

AOB±PB,OA±PA,

：.ZOBP=ZOAP=90°,

：.ZAOB=180°-ZP=180°-50°=130°,

ZACB="1AOB=/1130°=65°,

故選：B.

【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，掌握其性質定理是解決此題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

H.（2025?南關區模擬）如圖，AB為半圓。的直徑，將半圓。繞點A逆時針旋轉，使點。的對應點。'

恰好落在弧A3上，點次為點B的對應點，連結配O.若AB=8,則陰影部分的面積為4b-萼

（結果保留TT）.

【考點】扇形面積的計算；旋轉的性質.

【專題】平移、旋轉與對稱；與圓有關的計算；運算能力.

【答案】4遮-等

【分析】連接。。'，設與弧A3交于點C,根據旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三

角形的判定與性質和三角形外角的性質分別求出/AO。'和。V的度數，從而求得/AO8'=

90°,利用三角函數求出OB，,由三角形面積公式求出△AOB的面積，再由“同高的兩個三角形，

其面積比等于底邊長之比"求出OB'的面積，再根據扇形面積公式求出扇形O'OC的面積，最

后由陰影部分的面積=Z\0'OB'的面積-扇形O'OC的面積計算陰影部分的面積即可.

【解答】解：如圖，連接。。'，設OB'與弧AB交于點C.

1

根據題意，得04=0'A=。'B'=00'=尹3=4,

是等邊三角形，△。。‘B'是等腰三角形，

/.ZAOO'=ZAO'O=ZOAO'=60",ZO'OB'=^ZAO'0=30°,

：.ZAOB'=ZAOO'+ZO'OB'=60°+30°=90°,

F5

：.OB'=AB'?sinZOAO7=8x詈=4后

：.SMOB'=^OA'OB'=2X4X4V5=8百，

OB'—2S/\AOB'-2X8V5=4A/3,

..30~24兀

?Sc扇形。，oc=%0^X4=3，

「?S陰影=Sa。，-S扇形。，OC=4A/5-粵.

故答案為：4A/5—等.

【點評】本題考查扇形面積的計算、旋轉的性質，掌握旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三

角形的判定與性質、三角形外角的性質、扇形和三角形的面積計算公式是解題的關鍵.

12.（2025春?楊浦區校級月考）已知：如圖，正方形A5CD的邊長為4,兩段圓弧將正方形分成了①、②、

③、④的四個部分，它們的面積分別是Si、S2、S3和S4.貝（J：

（1）四個部分的周長之和為16+8TI；

（2）S3-S4的值為9.12.（11取3.14）

【考點】弧長的計算；正方形的性質.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】(1)16+8it；(2)9.12.

【分析】(1)用正方形的邊長加上半徑為4的圓的周長即可;

(2)分別求出S3和S4的面積即可解答.

【解答】解：(1)由題意可得，四個部分的周長之和為：

4X4+211X4=16+811；

故答案為：16+811；

(2)如圖所示：

AZBAP=ZABP=60°，

黑1

22

s4+全4222

3-XX60XX--XX-

7r3607r24-

8

-+

3-7r

88

--+--4

37r37rV3

164

3-V3

s1

2-

o

—16—可兀—4V

.,.S3-S4

16/—8/—

=(-7T—4V3)-(16—^TI—4A/3)

3J

=^TT-4V3-16+|TT+4V3

=811-16

=9.12.

故答案為:9.12.

【點評】本題考查了圓的周長以及扇形的面積，掌握相關公式是解答本題的關鍵.

13.(2025?湖南模擬)如圖是一頂用竹蔑編制的圓錐形斗笠，若斗笠高為15厘米，斗笠底部邊沿的周長

為40n厘米相，則這個斗笠的表面積是1570平方厘米.(TT心3.14)

【考點】圓錐的計算.

【專題】與圓有關的計算；運算能力.

【答案】1570.

【分析】圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母

線長，根據扇形面積公式等于弧長X半徑，進行計算是解題的關鍵.先利用勾股定理，計算出圓錐

的母線長為25cm再利用扇形面積公式計算，即可求解.

【解答】解：若斗笠高為15厘米，斗笠底部邊沿的周長為407r厘米，

???斗笠底部邊沿的周長為407T厘米，

.?.斗笠底部半徑為40it+2n=20(cm),

圓錐的母線長為V152+202=25(cm),

...這個斗笠的表面積=Wx407rx25=500兀?1570(cm2).

故答案為：1570.

【點評】本題考查了圓錐的計算，正確進行是解題關鍵.

14.(2025?海淀區校級模擬)如圖，為O。的直徑，C,。為O。上的點，弧BC=弧CD若/CBD=

3三4°,則乙48。的度數為22。.

【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系.

【專題】圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】22°.

【分析】連接OC、0D,利用圓周角定理，圓心角、弧間的關系和平角的定義作答即可.

【解答】解：如圖，連接OC、0D,

VZCBZ)=34°,

ZDOC=2ZCBD=6S.

又丁弧弧CD,

：.ZD0C=ZB0C=6S°.

AZAOZ)=180°-2X68°=44°.

1

ZABD=^ZAOD=22°.

故三答案為：22°.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，圓心角、弧間的關系，圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”

——圓心角轉化.

15.(2025?鎮海區校級模擬)如圖，△OAB為直角三角形，且以。為圓心，OA為半徑作圓與

OB交于點E,過點A作于點尸交圓。于點C,延長AO交圓。于點連結DE交AC于點

M,若圓。的半徑為5,tanZD=則AM的長為7.5.

D

fFE

B

A

【考點】圓周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關概念及性質；解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】連接AE,依題意得OA=OO=OE=5,A￡)=10,進而得NAEZ)=90°,/D=/OED,在Rt

ApQ

△AQE中，根據tan/Z)=^；=本設AE=3笈，DE=4k,則40=5%,由此得太=2,貝UAE=6,DE=8,

AUn/7AEDE

證明/肱4￡=/。￡。=/。,在區12\赫1￡1中，85/胴1￡=黑,在區144。片中，85/。=株,則一=一,

AMADAMAD

由此可得AM的長.

【解答】解：連接AE,如圖所示：

A

:點。是。。的圓心，。。的半徑為5,AO的延長線交。。于點。,

是。。直徑，OA=OD=OE=5,AD=10,

：.ZAED=90°,ZD=ZOED,

APQ

在RtAWE中，tanNO=gJ=3

設AE=3笈，DE=4k,

由勾股定理得：AD=-JAE2+DE2=5k,

.*.5^=10,

解得：Z=2,

：.AE=3k=6,DE=4k=8,

VAF±OE,ZAED=90°,

AZMAE+ZAEO=90°,ZAEO+ZOED=90°,

???NMAE=NOED,

■:/D=/OED,

：./MAE=ND,

AJ7

在RtZkAME中，cos/MAE=箱

在RtaADE中，cos/Z)=第

.AEDE

AM~AD

.…AE-AD6x10ru

..AM=_=-5—=7.5.

DE8

?的長為7.5.

故答案為：7.5.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握圓周角定理，靈活運用三角

函數及勾股定理進行計算是解決問題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?宿遷校級一模）如圖，在△ABC的邊BC上取一點。，以。為圓心，0c為半徑畫。。與邊A3

相切于點。，若AC=A￡>.

（1）求證：AC是。。切線；

（2）若A8=10,BC=6,求。。的半徑.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；與圓有關的位置關系；運算能力；推理能力.

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）連接OD,由切線的性質得到/4。。=90°,判定△AOC四△A。。（SSS）,推出NC=/

ADO=90Q,得到半徑。。_LAB,即可證明AC是。。切線；

8

（2）由勾股定理求出AC=8,設圓的半徑長是廣，由勾股定理得到（6-r）2=，+22,求出廠-

3-

到O。的半徑長.

【解答】（1）證明：連接O。，

：0。與相切于D,

OD±AB,

ZADO=90°,

'：AC=AD,AO=AO,OC=OD,

：.AAOC^AAOD(SSS),

：.ZC=ZADO=90°,

，半徑OD±AB,

；.AC是O。切線；

(2)解：：AB=10,BC=6,ZACB=90°,

：.AC=y/AB2-BC2=8,

.?.AD=AC=8,

：.BD^AB-AD^2,

設圓的半徑長是r,

：.0B=6-r,

,：OB2^OD2+BD1,

：.(6-r)2=A22,

r=TT.

【點評】本題考查切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，關鍵是掌握切線的判定方

法，由勾股定理列出關于r的方程.

17.(2025?槐蔭區一模)如圖，在Rt^ABC中，ZB=90°,點。是AC上一點，以為直徑的O。交

BC、AB于點￡、F,連接。尸、EF、DE,且DE=EF.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若AB=6,OO的半徑為4,求C。的長.

B

【考點】切線的判定與性質；圓周角定理.

【專題】與圓有關的位置關系；圖形的相似；推理能力.

【答案】（1）見解析；（2）4.

【分析】（1）連接0E,由DE=EF,得到麗=齊，根據圓周角定理得到根據平行線的

性質得到/。￡。=/8=90°,求得OELBC,根據切線的判定定理得到結論；

（2）根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】（1）證明：連接OE,

,:DE=EF,

：.DE=EF,

1

:./DOE="DOF,

1

ZDOE=NA,

???OE//AB.

：.ZDEO=ZB=9Q°,

：.OE±BC,

*/OE是。。的半徑，

???8。是。0的切線；

（2）解：OE//AB,

：.ACOE^/\CAB,

tOE_0C

?.—,

ABAC

.44+CD

**6—8+CD，

：.CD=4.

B

E

A

【點評】本題考查了切線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，正確地作出輔助線是

解題的關鍵.

18.(2025?興慶區校級一模)如圖，已知是Rt^ABC的外接圓，ZACB=90°,。是圓上一點，E是

0c延長線上一點，連接A。、AE,且CA=CE.

(1)求證：直線AE是。。的切線；

(2)若sinE=S，CE=4,求AE的長.

【考點】切線的判定與性質；解直角三角形；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；與圓有關的位置關系；解直角三角形及其應

用；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解析；

8V5

(2)-----.

3

【分析】(1)由圓周角定理得到AB是。。的直徑，由等腰三角形的性質推出由圓周角

定理得到推出NCAE=NB,由直角三角形的性質得到NB+NBAC=90°,因此NCAE+N

BAC=9Q°,即可證明直線AE是。。的切線；

(2)過C作CML4E于M,CNLAB于N,判定四邊形AMCN是矩形，推出AM=CN,由

得到sinB=sin￡=因此一=-,求出AB=6,由勾股定理求出8c=2小，由三角形面積公式求出

3AB3

CN=等，由等腰三角形的性質得到AE=2AM=竽.

【解答】(1)證明：：/ACB=90°,

?MB是OO的直徑,

VAD=AE,

:?/E=/D,

9

\CA=CEf

:?NE=NCAE,

:?NCAE=ND,

?：ZD=ZB,

??.NCAE=/B,

9：ZB+ZBAC=90°,

.\ZCAE+ZBAC=90°,

???直徑3A_LAE

???直線AE是OO的切線；

(2)解：過。作CM_LAE1于"，CN1AB于N,

'：BA±AE,

???四邊形AMCN是矩形，

：?AM=CN,

由(1)知N5=NE,

2

sinB=sin￡=于

AC_2

?t?—―,

AB3

,.?AC=CE=4,

.*.AB=6,

:.BC=7AB2—AC?=2A/5,

?/AABC的面積=3AB?CN=^AC-BC,

；.6XCN=4X2V^,

，CN=竽，

4/5

：.AM=CN=竽

*：CA=CE,CMLAE,

：.AE=2AM=竽.

A

E不-----代

【點評】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形，三角形的外接圓與外心，關鍵是掌

握切線的判定方法，由銳角的正弦定義求出A8的長，由三角形的面積公式求出CN的長.

19.(2025?浦口區校級模擬)如圖，在△ABC中，AB=AC,是△ABC的外接圓.過點8作

交AC于點D過點A作AE〃BC,交BD的延長線于點E.

(1)直線AE是。。的切線嗎？為什么？

(2)求證：BD=BC.

(3)若A8=3,BC=1,求AE的長.

E

【考點】圓的綜合題.

【專題】與圓有關的計算；推理能力.

【答案】(1)直線AE是。。的切線，理由見解析；

(2)見解析；

(3)2.

【分析】(1)延長A。交BC于點尸，由圓內接三角形的性質可得再由平行線的性質及切線

的判定定理可得結論；

(2)設8。與OC交于點G,由題易證/朋Z)=/CZ)G=N8C。，進而得證；

(3)先證△BOCsZsABC求出CZ)和8Q,再證即可得解.

【解答】(1)解:直線AE是O。的切線，

理由：連接A。，延長AO交BC于點R

:△ABC內接于OO,

0是AABC垂直平分線的交點，

：.AF.LBC,

U：AE//BC,

：.AF±AE,

TOA是半徑，

???AE是。。的切線;

E

9

(2)證明：設瓦)與OC交于點G,：AE//BCf

:?/EAD=/BCD,

9：0A=0C,

：.ZOAC=ZOCD,

?；BD_LCO,

：.ZCGD=90°,

：.ZCDG^-ZOCD=90°,

'：ZEAD+ZOAC=9Q°,

NEAD=NCDG=/BCD,

：.BD=BC；

(3)解：U：AB=AC=3,

：.ZACB=ABC=NBDC,

:?△BDCs^ABC,

—BC=—CD,BP1-=C—D,

ACBC31

1

:?CD=I，

2

：.AD=AC-CD.

由(2)可知N￡AD=N5OC=N5CD=NAZ)E,

:?叢EADs叢BCD,

AEAD

??___?____—_―_乙o,

BCCD

：.AE=2.

【點評】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性

質等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

20.（2025?阿城區一模）已知：四邊形ABC。內接于。。，連接AC、8D交于點E

(1)如圖1,求證：ZDAB=ZCDB+ZDBC；

(2)如圖2,點E為O。外一點，連接。E、CE,若/。CE+NABC=180°,ZDEC^ZDBC,求證：

AD=CE-,

BE4

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8E,若NDCE-/CAB=90°,—=-，ZCED=ZABD,CE

AB5

=6,求BF的長.

【考點】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；運算能力；推理能力.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BF=g.

【分析】（1）根據圓周角定理即可得到結論;

（2）根據圓內接四邊形的性質得到/AZ）C=/OCE,根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論；

（3）作直徑。“交AC于點連接CH、BH,得到NZ）CE=/ADC,ZCAB=ZCDB,推出AB。。

是直徑，得至根據全等三角形的性質得到AO=8”，根據平行四邊形的性質得到8E=HC,

HBE4

--

一

H一-

根據圓周角定理得到/QCH=90°,根據三角函數的定義得到cosZDHC=4B5連接0C,