2025年中考數學專題訓練：分式方程

一、單選題

fvi2

1.已知關于X的分式方程;一+3=一；的解為正數，則非正整數機的和為（）

l—xx-1

A.-8B.-9C.-10D.-11

x>—2x+7

2.若關于X的一元一次不等式組LX-1無解，且使關于y的分式方程W+2=F-有整數

2x-----<ay-22-y

I2

解，則所有符合題意的整數〃的值的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

3.下列方程中，有實數根的方程是（）

A.y/2x—3+1=0B.y/l-x=x-2

x—2x—2

c.—=—D.

2%—2x

4.電視機、攝像機等電器的電路中有許許多多的元件，它們都有電阻.如圖所示，當兩個電阻舄、&

并聯時，總電阻R滿足1=/+=-,若尺=2尺2，R=20Q,則用的值為（）

A.60QB.50QC.40QD.30Q

5.已知正整數。，b,c,且，<bvc,1+|+i=|,則滿足題意的解的個數是（）

abc3

A.1B.2C.3D.4

6.對于實數a、b,定義一種新運算"?"為：a?b=—^,這里等式右邊是實數運算.例如：

a-b

117

1兇3=二女=二，則方程》兇（-1）=1-1的解是（）

1—3OX—L

A.x—2B.x=3C.x=4D.x=1土^^

2

7.2023年12月8日，山東濟南到河南鄭州的高速鐵路全線通車，將兩城之間的“V字形”路線變成了

“一字形”路線，為鄭州、濟南建設“強省會”提供更多可能.已知通車前從濟南西站到鄭州東站的路程

約為420km,通車后總路程縮短了40km,速度提升到了原來的2倍，時間縮短了90分鐘.設通車

前的平均速度為xkm/h,那么x滿足的分式方程為（）.

420420-40420-40420

A.=90B.=90

X2x2xX

420420-4090420-4042090

C.D.

2x602xX60

8.巖石會“說話”，山川有“韻律”，大自然中蘊涵著無盡的秘密，吸引著熱愛研學的重慶一中的師生

們走進其中一探究竟.甲、乙兩同學分別從距離活動地點12千米和5千米的兩地同時出發參加活動,

甲同學的速度是乙同學速度的1.5倍.乙同學比甲同學提前4分鐘達到活動地點.若假設乙同學的速

度是x千米/小時，則下列方程正確的是（）

尤

/X--1--2--—?----4--——5|-r^-l----2--------5-——40-^2--1--2------5---4,--1--.-5-x-------——4

1.5%60x1.5%x601.5%x12560

二、填空題

9.已知關于了的分式方程=l的解是非負數，則加的取值范圍是.

10.若分式方程二=1+W有增根，則。=________.

x-4x-4

11.在一個不透明的袋子里放有4個紅球和若干個黃球.它們除領色外其余都相同.從這個袋子里任

意摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是：2，則袋子里有個黃球.

生〉0

2的解集為x>4,且關于x的分式方程二十三

12.若關于x的不等式組=1有整數解,

x-4.

------+4<x

3

則符合條件的所有整數a的和為.

13.從1,2,3,4,5這五個數字中，隨機抽取一個數記為。，則使得關于無的分式方程J=1的

無一1

解為正數的概率為.

14.已知a和6兩個有理數，規定一種新運算“*”為：=（其中a+少W0）,若機*（一3）=—

a+b245

則加=___.

三、解答題

3

15.解方程：-^-+1

+2x-

16.中秋節被列入首批國家級非物質文化遺產名錄，每到這一天，人們都有中秋之夜飲宴賞月的習

俗.臨近中秋節，某公司準備購買A、8兩種禮盒給員工發放，已知花費810元購買A種禮盒的數量

與花費720元購買8種禮盒的數量相同，且每盒A種禮盒的售價比每盒B種禮盒的售價貴10元，求

每盒A種禮盒和每盒8種禮盒的售價分別為多少元？

17.星期天小秦帶著測角儀，皮尺和平面鏡去公園測量一路燈的高度.如圖所示，小秦先將測角儀放

在地面點C處，從點。處測得路燈頂端A的仰角為26.6。，他挪開測角儀后，又將一平面鏡（平面鏡

大小忽略不計）放在地面點C處，并自點C處向后退2.4米到達點E,此時小秦剛好可以從平面鏡中

看到路燈頂端A的像，已知測角儀DC的高為1.8米，小秦眼睛到地面的高度為1.6米，請你根據以

上數據，幫助小秦求得路燈AB的高度（參考數據：sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.50）

18.某茶葉店計劃購進甲、乙兩種茶葉進行銷售，兩種茶葉的進價和售價如下已知用4000元購進甲

種茶葉的數量與用6000元購進乙種茶葉的數量相同.

茶葉品種進價（元/斤）售價（元/斤）

甲a200

乙a+50300

⑴求"的值;

(2)茶葉店計劃購進甲、乙兩種茶葉共300斤，其中甲種茶葉不少于80斤且不超過120斤，“五一”期

間，茶葉店讓利銷售，將乙種茶葉的售價每斤降低加元(加＜50),甲種茶葉的售價不變，為保證銷

售完這兩種茶葉的利潤的最小值不低于31800元，求加的最大值.

19.某建設單位需要一種如圖1所示的三棱柱配件，該配件由3個全等的長方形側面和2個全等的等

邊三角形底面的金屬板焊接而成.

A方法:切割4個側面B方法：切割2個側面和5個底而

k，、

、、，，、、t\/

、/、/'、,

/?/

、、

圖1圖2

(1)若該建設單位共需圖1所示的配件3800個，有甲、乙兩個工廠參與競標，根據兩個工廠的生產水

平可知，甲工廠每天生產該配件的數量比乙工廠每天生產該配件的數量多10個，且甲工廠完成任務

比乙工廠用時少1天.求甲工廠每天生產該配件的數量.

(2)甲工廠憑借優異的生產工藝競標成功，甲工廠現在需要先生產一批樣品，用以檢驗是否達到生產

標準.現有19塊完全相同的長方形金屬板，以圖2的兩種方法進行切割(切割后邊角料不再利用)，

其中根塊用A方法，其余用8方法，若切割出的側面和底面恰好全部用完，求機的值.

20.某個車間批量生產零件，圖紙如下所示.印有圖案外輪廓的鋼板在流水線上等待激光機處理.對

于一個零件，激光機會沿外輪廓切割一圈，切割的時間不低于安全時間，否則有可能會由于激光切割

不充分而出現品控問題.以下是零件的示意圖，虛線部分是設計師在設計時的輔助線.根據設計參數，

四邊形ABC/為菱形，四邊形C/)￡F為正方形，AC=60加毫米，2P=20面毫米.

￡'----------'D

操作批次切割長度操作內容單次切割時間

1原零件切割長度調至最大速度安全時間2倍

2550毫米速度下調50毫米每秒安全時間+5秒

(1)請求出單個該零件的切割長度.

(2)上表為在兩個批次的零件生產的生產記錄.在第2批生產時，設計人員簡化了零件模型，切割長

度下降.求安全時間.

《2025年中考數學專題訓練：分式方程》參考答案

題號12345678

答案ABDAAACB

1.A

m254-FT?

【分析】本題主要考查了解分式方程.解分式方程1也+3=三，得尤=等，因為分式方程的解

1-xx—13

5+m5+加

是正數，所以》=亨>0且亨*1,進而推斷出現>-5且機力-2.進一步可得出結論.

m2

【詳解】解：3+3=9，

1—Xx—1

方程兩邊同乘(％—1),得m+3(x—1)=2,

解得：*=笠

m2

關于尤的分式方程+3=J的解為正數,

\—xx-1

,5+m?口5+m1

..x=------＞0且-----w1,

33

???加＞一5且mw-2,

???符合條件的非正整數為0,-1,-3,-4,

和為0—1—3—4=—8.

故選：A.

2.B

【分析】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的

方法是解題的關鍵.不等式組變形后，根據無解確定出。的范圍，再表示出分式方程的解，由分式方

程有非負整數解，確定出滿足條件。的值，即可解答.

7

【詳解】解：解不等式》2―2尤+7得：x>

解不等式2x-苛〈。得，

x>-2x+7

???一元一次不等式組Lx-1無解，

2x--------<ci

L2

.2a-17

??-------&-9

33

解得

2

解分式方程岸+2二百得＞=

2-a

?.?關于y的分式方程-t+2=o—有整數解,

y—22—y

2一a=±1或2一a=±2,

，。=4或3或0或1,

。=1時，y=2,原分式方程無解，故將。=1舍去，

；?符合條件的所有整數。的個數為3,

故選：B.

3.D

【分析】本題主要考查了解無理方程，解分式方程，二次根式有意義的條件，根據二次根式的性質可

得0r與20,據此可判斷A；根據二次根式有意義的條件可得xWl,則x-2<0,據此可判斷B；

解分式方程可判斷C、D.

【詳解】解：A、VV2x-3+l=0,

A/2X-3=-1，

又「j2x-32

原方程無實數根，不符合題意；

B、：式子工工有意義，

***1—x0,

x<1,

??x—2<0,

原方程無實數根，不符合題意；

C..X_2

C、?一9

x—2x—2

???去分母得x=2,

檢驗，當％=2時，x-2=0,

??.x=2是原方程的增根，

?,?原方程無實數根，不符合題意；

..x—2x—2

D、?----=----,

x2

去分母得：2（尤—2）=x（無一2）,

（X-2）2=0,

解得再=%=2,

經檢驗，當x=2是原方程的解,

原方程有實數根，符合題意,

故選：D.

4.A

111

【分析】本題考查了分式方程的實際運用，根據總電阻R滿足方=不+7，且凡=26，R=20CL,

K%K-,

111

___—_____I______

建立分式方程20一Kip進行求解，即可解題.

-K

21

111

【詳解】解：??,總電阻R滿足6=不+左，且用=2尺2，R=20O,

111

---=-----H----

20號均，

21

解得凡=60,

經檢驗尺=60是該方程的解，

故選：A.

5.A

【分析】本題主要考查分數方程的整數解問題，需結合不等式約束條件進行分析，通過逐步縮小變量

范圍并驗證可能的取值.根據整數。，b,c,且。<6<c,i+1+i=4,通過分析。的取值范圍來

確定滿足條件的解.

【詳解】解：??,正整數〃，b,c,a<b<c,

111

abc

1113

,

abca

..1_,1_,1_4

abc3'

.43

一，

??73<a

9

??〃<一,

4

即a=l或a=2,

當a=l時，1+4+[=]，

bc3

111

/.——?——=—

bc3

..1>1

'be'

12

..—<—,

3b

?.Z?<6,

'：b>a=l,

可能的值為2,3,4,5,

1

當6=2時，=!-1=-i<0,不滿足c為正整數，舍去；

c326

當6=3時，i=1-1=0,不滿足c為正整數，舍去；

c33

當〃=4時，￡—[=貝!Jc=12,滿足條件；

c3412

當6=5時，[=4-1=△，貝"二與，不滿足。為正整數，舍去;

c35152

當4=2時，-y+T+~-4?

2bc3

115

bc6

ii

,,^>c，

.1,1<2

,蒞+"<歹

.52

..一<一,

6b

12

??Z?<,

??,b為正整數，

b為1或2,

b>a-2,

■■b的值無解；

，滿足題意的解是。=1,6=4,c—12.

故選：A.

6.A

12

【分析】本題考查了新定義實數的運算，解分式方程，由題干中的新定義得出方程三不『=二工一1

解分式方程即可得解.

【詳解】解”對于實數。、b,定義一種新運算'?,為…皿=」,

…(-I)=T7,

x-(一1)

1_2,

??尤_(T)2一無一1)

解得：x=2,

當x=2時，x—l=lwO,

2

???方程x0(-l)=-1的解是％=2,

X-L

故選：A.

7.C

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，根據通車前行駛420km所需時間-通車后行駛380km

所需時間=9多0，列方程即可.

60

【詳解】解：設通車前的平均速度為尤千米/小時，則通車后運行速度為2x千米/小時，

根據題意，得：絲420L絲4。0-一40=三90，

x2x60

故選：C.

8.B

【分析】本題主要考查了分式方程的應用，理解題意并找準等量關系，正確列出分式方程是解題關鍵.

設乙同學的速度是x千米/小時，則甲同學的速度為L5x千米/小時，根據題意乙同學比甲同學早到4分

鐘列出方程即可.

【詳解】解：設乙同學的速度是x千米/小時，則甲同學的速度為L5x千米/小時，

:?甲同學所花時間為=小時，乙同學所花時間巳小時，

1.5xx

4

???乙同學比甲同學提前4分鐘=義小時達到活動地點，

60

,口1254

二得：-------=—.

1.5尤尤60

故選：B.

9.m<

【分析】本題考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，分式的解是非負數是指該分式方程有解，且

解為非負數，正確理解該意義是解答的關鍵.根據分式方程的解法求出解，根據分式方程的解為非負

數進行解答即可.

【詳解】解：將關于x的分式方程上可-3=1兩邊都乘以尤-1得，

x-11-x

l—m+2=x—l,

解得尤=4一根，

???分式方程的解是非負數，

當犬=4一用時，x-l=4—m-1^0,

且4一機20,

解得機44且相，3,

綜上所述，加的取值范圍為機工4,“#3.

故答案為：加44且吟3.

10.4

【分析】本題主要考查了分式方程中增根的運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.

首先將分式方程去掉分母轉化為整式方程，根據分式方程有增根進一步得出整式方程的解，由此代入

整式方程求出〃的值即可.

【詳解】解：==1+烏

x-4x-4

原分式方程去掉分母可得：2x=x-4+2a,

則x=T+2a

???原分式方程有增根，

x—4=0,

即：x=4,

將x=4代入方程》=。+2a可得：

4=~4+2a,

a—4,

故答案為：4.

11.6

【分析】本題考查概率.熟練掌握概率公式，是解題的關鍵.

設袋子里有尤個黃球，利用概率公式進行列方程并解方程即可.

【詳解】解：設袋子里有x個黃球，

解得x=6,

經檢驗x=6是分式方程的解且符合題意，

即袋子里有6個黃球.

故答案為：6.

12.2

【分析】此題主要考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則，求得。的取值

范圍以及解分式方程是解本題的關鍵.根據已知不等式的解集確定出。的范圍，再由分式方程有整數

解，確定出“的值，即可得到答案.

x-a八

------>0

2r\x>a

【詳解】解：對于不等式組,，整理可得,，

x-4”|尤>4

------+4<xI

I3

???不等式組的解集為x>4,

a<4,

分式方程二^+±=1去分母，得1-辦-3=2-彳，

2-xx-2

則(l-a)x=4,

??,分式方程有整數解，

二.1—aw0,即aw1,

4

解得x=^一,

1-a

4

???分式方程有整數解，且％=；—豐2,即1-aw2,

l—a=±4或1-a=—2或1-a=±1,

解得a=—3或〃=5或a=3或a=0或a=2,

丁〃W4且aw1,

???符合條件的整數。的值有-3、3、0、2四個，

???符合條件的所有整數。的和為-3+3+0+2=2.

故答案為：2.

13.—/0.4

5

【分析】此題考查了概率公式的應用，解分式方程，根據已知條件得出〃的取值范圍，然后利用概率

公式求解即可.

【詳解】解：???一Z7—3=：1,

X-1

??a—3—■x—1,

解得x=a—2,

???關于X的分式方程V=1的解為正數，

X-1

x=a-2>0,且尤wl,

??。>2,且aw3,

?..1,2,3,4,5這五個數字中，使得關于x的分式方程—=1的解為正數的。可以為4,5,

x-1

2

???解為正數的概率為彳，

、2

故答案為：—.

一25

14.—

64

【分析】此題考查了解分式方程，已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出機的值.

25

m-----q

【詳解】解：根據新定義可得：一晟=-彳，

m-\----1

16

25

解得：m=—,

64

經檢驗機=占25是原方程的解，

64

25

故答案為：--.

64

15.%=10

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法是解題的關鍵.

先去分母將分式方程化為整式方程求解，再檢驗是否有增根即可.

【詳解】解：方程兩邊都乘方+2)(x-2),

得3(x-2)+(x+2)(x—2)=x(x+2).

去括號得：3尤一6+尤2-4=%2+2尤,

解得尤=10.

經檢驗，x=10是原方程的根，

.,.原方程的根為：x=10.

16.每盒A種禮盒和每盒B種禮盒的售價分別為90元、80元

【分析】本題考查了分式方程的應用，等量關系式：花費810元購買A種禮盒的數量=花費720元購

買B種禮盒的數量，據此列方程，即可求解；找出等量關系式是解題的關鍵.

【詳解】解：設每盒A種禮盒的售價為x元，由題意得

810720

x%—10

解得：x=90,

經檢驗：％=90是所列方程的根，且符合實際意義；

.\x-10=90-10=80(元)，

答：每盒A種禮盒和每盒3種禮盒的售價分別為90元、80元.

17.路燈的高度為7.2米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用中仰角俯角問題，解分式方程，矩形的判定，過點。作

。“，至于點"，根據題意得到/AD"=26.6。，設=x米，利用正切的定義求出D"=2x米，證

明四邊形3CDH是矩形，得至1]DH=BC,BH=CD,求出A5=(尤+1.8)米，3C=2x米，根據題意鏡

面反射得到NACB=/ECF,利用正切的定義建立方程求解即可.

【詳解】解：過點。作于點”,

由題意得：ZADH=26.6°,CD=1.8米，防=1.6米，CF=2.4米,

設AH=x米,

4“

在RuAD/f中，tanZADH=-----?0.50,

DH

AJ-T

：.DH=——=2%米,

0.50

??ZABC=ZDCB=ZBHD=90°,

，四邊形3CDH是矩形，

ADH=BC=2x^,BH=CD=1.8^i,

AB=(x+1.8)米,

根據題意得：ZACB=/ECF,

在Rt^ABC,Rt^CFE中，

ARFF

：.tanZACB=——=tanNECF=——，

BCCF

.x+1.81.6

??一，

2x2.4

解得:x=5.4(經檢驗，符合題意)，

，AB=54+1.8=7.2米，

答：路燈A8的高度為7.2米.

18.(1)100

(2)40

【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是:

(1)找準等量關系，正確列出分式方程；(2)找出數量關系，正確得出一元一次不等式和一次函數

關系式.

（1）由題意：用4000元購進甲種茶葉的數量與用6000元購進乙種茶葉的數量相同，列出分式方程,

解方程即可；

（2）設購進甲種茶葉X斤，銷售完這兩種茶葉的總利潤為y元，由題意得出y與無的一次函數關系式,

再由一次函數的性質結合題意得出一元一次不等式，解不等式即可.

?、斗如、必,40006000

【詳解】（1）解：由題意可知，——=—―

aa+50

解得，a=100

經檢驗，4=100是原方程的根，且符合題意；

.?.々=100

（2）解：設茶葉店計算購進甲茶葉X斤，那么乙茶葉（300-尤）斤，利潤為y,

由題意得：y=（200-100）x+（300-150-m）（300—尤）=（相—50）x+