2025年中考數學總復習《四邊形解答題》專項測試卷(含答案)

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1.如圖1,兩個正方形ABCD和CEFG共一個直角頂點C,連接BG、交于點H,連接BE、

DG、BD、GE.

⑴當AB=4,跳'=3時

①作圖：請在圖1中分別取m、DG、BE的中點“、N、P(不要求尺規作圖)，并直接

寫出跖V和M尸的關系：;

②若席=6,求此時DG的長；

(2)當3G=5,求DG+旗的最小值.

2.閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，

如圖1,在四邊形小。中，E,F,G,"分別是邊AR3C,CD,ZM的中點，依次連接各邊中

點得到中點四邊形EFGH.

⑴菱形的中點四邊形的形狀是；

(2汝口圖2,在四邊形中，點”在上且AWD和AMCB為等邊三角形，E,F,G,"分

別為AB、BC、CD、AD的中點，試判斷四邊形EFGH的形狀并證明.

(3)若四邊形"CD的中點四邊形為正方形，AB+CD的最小值為4,則網＞=.

3.如圖，E,F,G,H分別是四邊形A5CD各邊的中點，順次連接跖，FG,GH,HE.

(1)求證：四邊形"GH是平行四邊形.

⑵當四邊形相。的對角線8D,AC滿足_____時，四邊形MG〃是正方形.

4.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形

對角線AC,加交于點。.

⑴若AO=2,30=3,CO=4,00=5,請求出AB?,BC2,CD2,Z)T的值.

⑵若AB=6,CD=10,求BP+AD。的值.

(3)請根據(1)(2)題中的信息，寫出關于“垂美”四邊形關于邊的一條結論.

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=6cm,點尸從點A出發，以lcm/s的速度沿4。向

終點。運動，同時，點。從點。出發，以Icm/s的速度沿CB向終點5運動，設運動時間

為r(s).

(1)當0</<6時，判斷四邊形時蛇的形狀，并說明理由;

(2)當。</<6時，求四邊形BQDP的面積S(cn?)與運動時間《s)的函數關系;

⑶四邊形時。尸可能為菱形嗎？若可能，請求出彳的值；若不可能，請說明理由.

6.如圖，在梯形A2CD中，AD//BC,ZC=ZD=90°,BC=16,CD=12,AD=21.動點尸從

點。出發，沿線段DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點。從點。出發，在

線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點5運動.點P,。分別從點Z),。同時出發,

當點尸運動到點A時，點。隨之停止運動.設運動時間為Ms),當才為何值時，以B,

P,。三點為頂點的三角形為等腰三角形？

7.(1)如圖1,在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，連接3E,若BE=BC,過C作CFL族

交BE于點F,求證：△ABE空△FCB.

(2)如圖2,在菱形ASCD中，cosA=g,過C作CE1AB交A3的延長線于點E,過E作印上AD

交于點/，若S菱硼BCD=12時，則EFBC=.

(3)如圖3,在平行四邊形中，ZA=60°,AB=12,AD=10,點E在CD上，且CE=4,

點F為BC上一點,連接用，過E作EGLE尸交平行四邊形ABCZ)的邊AD于點G,若

EDEG=28百時，請直接寫出AG的長.

8.如圖，在△AED中，AD=10cm,ZAED=90°,延長AE到點5,使DE=EB=8cm,過點5

作CBLM,CB=2cm,連接CD；點N從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為Icm/s；

過點N作以桃和跖為鄰邊作矩形DEFG,點M與點N同時出發，點M從點5

沿胡方向勻速運動，速度為lcm/s,連接MN、MD、MC,設運動時間為電)(0</<8).解答

下列問題:

(2)設四邊形MVG。的面積為S(cm2),求S與彳的函數關系式(0</<8)；

⑶當點"在NDN尸的角平分線上時，求才的值；

(4)連接AC,在運動過程中，是否存在某一時刻工使直線"N過線段AC的中點。？若存

在，求出力的值；若不存在，請說明理由.

9.已知正方形鉆8邊長為1,對角線AG3。相交于點0,過點。作射線0E,5,分別

交AD,AB于點E,F,且

(1)如圖1,當OELAD時，求證：四邊形鉆0尸是正方形;

⑵如圖2,將射線0E，5繞著點。進行旋轉.

①在旋轉過程中，判斷線段OE與。尸的數量關系，并給出證明;

②四邊形函F的面積為二

(3)如圖3,在四邊形PQMN中，PQ=PN，NQPN=NQMN=9U。，連接PM.若PM=9,請直接

寫出四邊形PQMN的面積.

10.如圖，在四邊形ABCZ）中，AD//BC,1B90?,AD=22cm,AB=8cm,3C=24cm,動

點尸從A點開始沿AQ邊以lcm/s的速度向點。運動，動點。從點。開始沿CB邊以3cm/s

的速度向點5運動，P,。分別從A,。同時出發，當其中一個動點到達終點時，另一

個動點也隨之停止運動.設運動的時間為小).

⑴當才為何值時，四邊形ABQP是矩形；

⑵當彳為何值時，四邊形尸是平行四邊形；

(3)問：四邊形尸是否可以為菱形？若能，求出此時的才值；若不能，請說明理由.

11.如圖，在VABC中，ZACB=90°,AB=i5,BC=9,。為VABC的中線.點P從點A出發，

沿線段秒以每秒12個單位長度的速度向點B運動，過點尸作尸交折線AC-CB于點

Q.當點尸不與點。重合時，作點尸關于點。的對稱點“，連結加，以P。、為鄰邊構

造PQMN,設點尸的運動時間為/秒("0).

⑴用含/的代數式表示線段P2的長；

(2)連結NQ,則線段NQ長度的最小值是；

(3)作直線DN,當直線DV平行于VABC的一條邊時，求f的值；

(4)當P3W的一個內角和-A相等時，直接寫出/的值.

12.如圖，在A3CD中，CD=8cm,BC=16cm,ZA=60°,BD±AB.過點。作DEJ.3C,垂

足為E,動點尸從點。出發沿。A方向以2cm/s的速度向點A運動，動點。同時從點5出

發，以4cm/s的速度沿射線BC運動，當點尸到達點A時，點。也隨之停止運動，設點P,

。運動的時間為熱(。＜，＜8).

⑴當PQ//CA時，求才的值;

⑵連接的，設四邊形BPDE的面積為S(cm)求S與l之間的函數關系式;

⑶當點尸關于直線的對稱點恰好在直線。上時，請直接寫出才的值.

13.在238中，M,N分別是AD,8C的中點，連接AN,CM.

(1)如圖①，求證：四邊形⑷VCM是平行四邊形；

(2汝口圖②，連接MN,DV,若Z/WD=90。，求證：MN=NC；

(3)如圖③，在(2)的條件下，過點。作CELMN于點E,交DN于點P,EP=1,且Nl=/2,

求AN的長.

14.如圖，在VASC中，AB=5,3c=11,VABC的面積為22,AEL5c于點E,動點尸從點A

出發，沿折線MYC向終點C運動，在村上的速度為每秒5個單位長度，在BC上的速

度為每秒2個單位長度，當點尸出發后，且不與點E重合時，將點E繞尸A的中點旋轉180。

得到點尸，連結w、PF、PE.設點尸的運動時間為f(秒)(r>0).

⑵用含/的代數式表示四邊形AFPE的面積s.

⑶當四邊形AFPE被直線AC分得的兩部分面積之比為1：3時，求/的值.

(4)當直線CF垂直于VA5C的一邊所在的直線時，直接寫出/的值.

15.在四邊形ABC。中，AD//BC,AB=12cm,AD=8cm,BC=24cm,ZABC=90°,P,。同時

沿著四邊形的邊逆時針運動，點尸從點D出發，以ls/s的速度運動，點。從點B出發，

以2cm/s的速度運動，設運動時間為/秒.

(l)CD=cm.

(2)若點。運動到點。時就停止,點尸也隨之停止運動，用含方的代數式表示四邊形尸

的面積S(cn?)；

(3)若其中一個動點回到其出發點時，另一個動點也隨之停止運動，則當年時，以

點尸、。與點A、B、。、Z)中的任意兩個點為頂點的四邊形為平行四邊形.

參考答案

1.(1)①作圖見解析，MN=MP,MNLMP.(2)714

(2)5立

【分析】(I)①MN=MP,MNLMP,先證明跖V是BDG的中位線，M尸是_5即的中位線，

MN=^BG,MP=^DE,MNBG,MPDE；再證明3CG-OCE(SAS),得至ljBG=OE,

NCGB=NCED,即可推出肱V=MP,再證明DE_L3G,即可得到肱V_LMP；②②由①知：BGLDE,

利用勾股定理得到Ba?+KF+￡)712+HG2=BE。+DG2=BD2+GE2,求出BD2=32,EG2=18,BE2=36,

即可求解；

(2)如圖，分別取3D、DG、GE、DE的中點M、N、。、K,連接MN,NQ,MQ,MK,KQ同

理(1)①可得MN=；2G,NQ=；。及MK=gBE,KQ=；DG,MNBG,NQDE;當M&Q三點共線時，

KQ+MK有最小值，最小值為的長，即。G+班有最小值，最小值為2MQ的長，同理(1)

①得8G=DE=5,BGLDE,MN=；BG=：NQ=；DE=：,MNLNQ,利用勾股定理求出加0=孚，

即可解答.

【詳解】(1)解：MN=MP,MN±MP,理由如下:

?點M、N、P分別是3D、DG、況的中點

.MN是:BDG的中位線，是一①辦的中位線

,MN=-BG,MP=-DE,MNBG,MPDE?

22'

?四邊形"CD和四邊形CEFG都是正方形

.BC=CD.CE=CG,/BCD=/ECG=90°

?ZBCD+/DCG=/ECG+/DCG,艮|JZBCG=ZDCE

?BCG空OC石(SAS)

?BG=DE,ZCGB=ZCED

?MN=MP

*ZCGB=ZCED

.ZCGB+ZGHE=ZCED+ZGCE

.ZGHE=ZGCE

?NGCE=90。

?ZGHE=ZGCE=90°

?DE1BG

*MNBG,MP\DE

?MNIMP；

②由①知：BG1DE

/.ZBHD=ZDHG=ZBHE=ZEHG=90°

BH2+EH2=BE2,DH2+HG-=DG2,BH2+DH2=BD2,HE2+HG2=GE2

BH2+EH2+DH2+HG2=BE2+DG2=BD2+GE2

丁四邊形ABCO和四邊形CEFG都是正方形，AB=4,EF=3

BD-=AB2+AD2=2AB2=32,EG2=EF2+GF2=2EF2=18

*.*BE=6

BE2=36

J36+DG2=32+18

/.￡>G2=14,即OG=V17(負值舍去)；

(2)解：如圖，分別取此、DG、GE、的中點V、N、。、K,連接MN,NQ,MQ,MK,KQ

同理(1)①可得"N是即G的中位線，NQ是,GED的中位線，是一BED的中位線，KQ

是OEG的中位線

:.MN=gBG,NQ=；DE,MK=；BE,KQ=；DG,MNBG,NQDE；

DG+BE=2KQ+2MK=2{KQ+MK)

,/MK+KQ>MQ

.?.當M,K,Q三點共線時，KQ+MK有最小值，最小值為的長，即。G+仍有最小值，最

小值為2MQ的長

同理(1)①得BG=DE=5,BG1DE

/.MN=-BG=-,NQ=-DE=-

2222

,/MNBG,NQDE

/.MN±NQ

MQ=y/MN2+NQ2=平

2M2=5A/2,即DG+BE的最小值為50.

【點睛】本題考查了四邊形中點問題的綜合，全等三角形的判定與性質，勾股定理，

三角形中位線的判定與性質，正方形的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運

用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵.

2.⑴矩形

(2)四邊形區七〃為菱形；證明見解析

⑶2后

【分析】(1)由菱形的性質及矩形的判定可得出答案；

(2)連接AC、DB,由等邊三角形的性質得出3=ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,證

\^ZAMC=ADMB,由SAS證明△AMC絲ADMB,得出AC=r>3,由三角形中位線定理得出,

EF=^AC,GH//AC,GH=；AC,HE=^DB,得出E尸〃G〃，EF=GH,證出四邊形瓦<汨是

平行四邊形；再得出EF=HE,即可得出結論；

(3)連接加交AC于0,連接ON,當點。在跖V上(即M、0、N共線)時，OM+ON

最小，最小值為皿的長，再證明=即可求得答案.

【詳解】(1)解：如圖

四邊形ABC。是菱形時，連接各邊中點，得到四邊形成颯

根據中位線性質得到防〃。氏MN//DB

：.EF//MN

同理可得用/〃FN

，EWVM為平行四邊形

又?:小。是菱形

ACJ.BD,貝|￡M_LMV

?*.即VM為矩形.

故答案為：矩形；

(2)解：四邊形為菱形.理由如下:

連接AC與8D,如圖2所示：

,//1MD和AWCB為等邊三角形

AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM

:.ZAMC=ZDMB

在AMC和DMB中

AM=DM

<ZAMC=ZDMB

CM=BM

AMC^..DMB（SAS）

:.AC=DB

E,F,G,"分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

是VABC的中位線，GH是ACD的中位線，是△AB。的中位線

.'.EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE=-DB

'2'22

:.EF//GH9EF=GH

.?.四邊形EFGH是平行四邊形；

AC=DB

.\EF=HE

二四邊形所為菱形；

（3）解：如圖3,連接8。交AC于。，連接加、ON

當點0在跖V上（即"、0、N共線）時，OM+ON最小，最小值為MN的長

I.2（QM+0N）的最/卜值=2MV

由性質探究知：AC上BD

又.：M,N分別是筋，⑦的中點

AB=2OM,CD=2.ON

2（OM+ON）=AB+CD

9+CD的最小值=2W

,/四邊形EMM是正方形

：.FM=FN,NMFN=90°

.*?MN=y/FM2+FN2=y/2FN

■:N,尸分別是DC,3c的中點

FN=-BD

2

MN=—BD

2

—B￡）x2=4

2

BD=2y/2

故答案為：20.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形、矩形、

菱形的判定，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，利用前面得出的結論解

決新問題是解題的關鍵.

3.⑴見解析

(2)BD±AC,BD=AC

【分析】此題考查了三角形中位線的性質和判定，平行四邊形和正方形的判定，解題

的關鍵是掌握以上知識點.

(1)連接犯首先根據三角形中位線的性質得到田〃孫且=GF〃BD,且

GF=；BD,進而得到硝〃GF,且團=GF,即可證明出四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)連接即，AC,同理可得，HG=^AC,HG//AC,進而得到當應＞=4C時，EH=HG,

證明出平行四邊形EFGH是菱形，然后由即，AC推理得到EH1HG,進而證明出菱形EFGH

是正方形.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接的

丁點E是的中點，點H是A0的中點

/.EH//BD,^EH=-1BD

丁點尸是BC的中點，點G是。的中點

:.GF〃BD,^,,GF=-1BD

：.EH//GF,且E"=GF

???四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)解：當BDLAC,且3D=AC時，四邊形的也是正方形.

理由如下：

如圖所示，連接切>,AC

;由⑴得，EH=；BD

同理可得，HG=|AC,HG//AC

.?.當3￡>=AC時，EH=HG

J平行四邊形EFG〃是菱形

當3DLAC時

*/EH//BD

/.EHLAC

HG//AC

/.EH1HG

J菱形是正方形.

4.(l)AB2=13,8c2=25,CD2=41,AD。=29

(2)136

(3)“垂美"四邊形對邊的平方和相等

【分析】本題考查了勾股定理的應用，靈活運用勾股定理是解題的關鍵.

(1)根據“垂美”四邊形的定義可得AC再根據勾股定理即可求解；

(2)根據“垂美”四邊形的定義可得AC人3D,進而得到A0、80?=36,CO2+DO2=100,根

^BC2+AD2=BO-+CO-+DO2+AO2BR

(3)由(1)(2)得到AB2+a>2=8C2+AD2,即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形鈾。是“垂美”四邊形，對角線AC,加交于點。

AAC±BD

AO=2,80=3,CO=4,DO=5

.，.AB2=AO2+BO2=22+32=13,BC2=BO2+OC2=32+42=25,CD2=CO2+DO~=42+52=41,

DA2=AO2+DO2=22+52=29

AB2=13,BC2=25,CD2=41,3=29；

(2)四邊形ABCD是“垂美”四邊形，對角線AC,BD交于點。

ACJ.BD

AB=69CD=10

AO2+BO2=AB2=62=36,CO2+DO2=CD2=102=100

BC2+AD2=BO2+CO2+DO2+AO2=36+100=136;

2

(3)由(1)(2)可得：AB^+CD=BC^+AD\即“垂美”四邊形對邊的平方和相等.

5.(1)四邊形88P是平行四邊形，見解析；

(2)24-4r

⑶可能，

【分析】(1)由矩形的性質可得出仞〃3C,再得出尸〃=時，即可得出四邊形38尸是平

行四邊形.

(2)得出陽=6-，再根據四邊形的面積代入求解即可.

(3)由菱形的性質得出毋=PD,利用勾股定理求出招，再根據BP=P。代入求出力值即

可.

【詳解】(1)解：四邊形是矩形

AD//BC

丁點尸從點A出發，以Icm/s的速度沿AD向終點。運動，同時，點。從點。出發，以Icm/s

的速度沿CB向終點5運動

，AP=CQ

Z.PD=BQ

，四邊形BQDP是平行四邊形.

（2）解:VBQ=6-t

SBQDP=B0AB=（6-?）x4=24-4r；

（3）解：四邊形8QDP可能為菱形.

???一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

BP=PD

AP=t,AB=4

?*-BP=y/AP2+AB2=J：+42

/./+16=(6-y

解得：f=1.

【點睛】本題主要考查了四邊形的動點問題，平行四邊形的判定，矩形的性質和菱形

的性質，勾股定理等知識，利用/值表示出各邊是解題的關鍵

6=午或（時，以5,P,。三點為頂點的三角形為等腰三角形

【分析】以5P，。為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況：當尸8=尸。時，當PQ=BQ

時，當=時，由等腰三角形的性質就可以得出結論.

【詳解】解：如圖1,當m=尸。時，作PE,3c于E

P

AD

BEQC

圖1

EQ=^BQ

'：CQ=f

/.BQ=16-t

：.EQ=S-^t

EC=8——Z+^=8+—Z.

22

??2%=8+5%.

解得：f=g.

如圖2,當尸Q=8Q時，作QESAD于E

ZPEQ=ZDEQ=90°

ZC=ZD=90°

NC=ND=ZDEQ=90°

四邊形DEQC是矩形

DE=QC=t

：.PE=t,QE=CD=U,

在RtAPEQ中，由勾股定理，得

PQ=〃+144.

16-t=&2+144

解得：料；

如圖3,當=時，作PEL8C于E

/.BP=BQ=BC-CQ=16-t

*/PD=2t

：.CE=2t

/.BE=16-2t

在Rt3EP中

(16-2/)2+122=(16-Z)2

3〃—321+144=0

A=(-32)2一4*3*144=_7Q4<0

故方程無解.

綜上所述，或+時，以'P,。三點為頂點的三角形為等腰三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理的運用，矩形的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，

一元二次方程的解法的運用，解答時根據等腰三角形的性質建立方程是關鍵.

7.(1)證明見解析；(2)16；(3)6或8

【分析】(1)根據矩形的性質得出4BE+NCB尸=90。,/。用=ZA=90。，進而證明NFCB=ZABE

結合已知條件,即可證明AABE必FCB；

(2)根據菱形的性質得出AD//BC,AB=BC,根據已知條件得出==證明

△AFE3EC,根據相似三角形的性質即可求解；

(3)分三種情況討論,①當點G在AD邊上時，如圖所示，延長FE交AD的延長線于點

連接G尸，過點￡作研，￡＞加于點H,證明EDM^ECF,解HDEH,進而得出MG=7,根

據tanZMEH=tanZWGE,得出HE=HM-HG,建立方程解方程即可求解；②當G點在邊上

時，如圖所示，連接G尸，延長GE交3C的延長線于點過點G作GN〃AD,則GN〃BC,

四邊形ADVG是平行四邊形，同理證明EN3￡€加，根據1311/五￡//=1311功得出硝2=".以,

建立方程，解方程即可求解；③當G點在BC邊上時，如圖所示，過點B作取，DC于點T,

求得SvBrc=m，TC=gx5括X5=￥，而川%=14有，得出矛盾，則此情況不存在；當G點

在C。邊上時，過G點作G"_LAD交AD的延長線于點H,再由勾股定理求AG的長即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形A2CD是矩形，則ZA=ZABC=90。

:.ZABE+/CBF=90。

又CFLBC

ZFCB+ZCBF=90°,ZCFB=ZA=90°

:.ZFCB=ZABE

又BC=BE

ABE^,FCB(AAS)；

(2)解：:在菱形ABC。中，cosA=g

:.AD//BC,AB=BC

.\ZCBE=ZA

QCE±AB,ZCEB=90°

BE

cosZCBE=----

CB

BE=BC-cosZCBE=BC-cosA=—BC

3

114

:.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB

333

QEFLAD,CELAB

:.ZAFE=ZBEC=90°

又ZCBE=ZA

:.Z\AFE^Z\BEC

,AEEFAF

"BC~CE~BE

444

：.EFBC=AECE=-ABxCE==-xl2=16

故答案為：16；

(3)解：當點6在/10邊上時，如圖所示，延長FE交AD的延長線于點M,連接G尸，過

點E作瓦于點a

,-.CD=AB=n

:.DE=DC—EC=12—4=8

QDM//FC

:NEDM^NECF

.EMED_8G

,EF-￡C-4-

.S^MGE_EM_2

SvFEGEF

?二SYMGE=2SVEFG~EF-EG=28A/3

在心OEH中，ZHDE=ZA=60°

貝UEH=*DE=J^x8=45DH=^DE=4

《MG.HE=286

:.MG=14

QG￡_LEF,EH_LMG,NMEH=90°-ZHEG=ZHGE

/.tanZMEH=tanZHGE

八HEHM

Q----=------

HGHE

HE2=HM-HG

設AG=a,貝|GD=AZ)-AG=10-a

.?.G"=GO+/TO=10-。+4=14-a,=GM-=14-(14一a)=a

(4舟=a(14-a)

解得：a=6或a=8

即AG=6或AG—8

綜上所述，AG的長為6或8.

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了相似三角形的性質與判定，平行四邊形的性

質，解直角三角形，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定，分類討論是解

題的關鍵.

8.(1)當E在線段“尸的垂直平分線上時，1的值為5

(2)5與1的函數關系式為5=||〃-//+80

(3"的值為:

(4"=匕叵或*i時，直線MN過線段AC的中點O

【分析】(1)點E在板的垂直平分線上，推出斯=加，由此構建方程求解即可；

(2)利用分割法，S=S梯形OGFM-S",可得結論；

(3)過點M作MTLAD于點T.由角平分線的性質得MT=MF,由此構建方程求解即可;

(4)過。作于Q,貝ljOQ〃8c〃加，由相似三角形的性質構建方程求解即可.

【詳解】(1)在血A￡)E中，ZAED^9Q°,AD=10cm,DE=8cm

:.AE=飛AD。-DE?=7102-82=6(cm)

四邊形DMG是矩形

GFDE

.ANAF

"AD~AE

tAF

R即n一二二

1106

解得：”=十

點E在MF的垂直平分線上

:.EF=EM

5

解得：”5

即當E在線段陸的垂直平分線上時，，的值為5;

(2)由(1)可知，AE=6cm,AF=-tcm

3

/.EF=AE-AF=(6-—，)(cm)

EM=EB-BM=(8-r)(cm)

Q

:.FM=EF+EM=(14--r)(cm)

四邊形QEFG是矩形

3

:.ZDEF=90°,GF=DE=8cm,DG=EF=(6--t)cm,DG〃EF

.FN_AN

,^GF~AD

即空」

1810

解得：FN=：t

S=S梯形DGFM_SMNF=g(6_，+14_，］x8_；x(14_+Jxgf=1|/_g+80

即S與/的函數關系式為S=H?-g+8。；

(3)過點/作MT,AD于點兀

MTIND,MFINF

-(14-?)=14--f

55

解得：料

即存在某一時刻f,使點M在NON尸的角平分線上，f的值為g；

(4)存在，理由如下：

如圖2,過。作0。，BE于。

則OQ//BC//NF

由(1)可知，AE=6cm

AB=AE+EB=14(cm)

。是AC的中點

,-.OA=OC=-AC

2

OQ//BC

.,.二AOQsAC5

.OQAQOA

**BC-AB-AC-2

,OQ=^BC=l(cm),AQ=^AB=7(cm)

QM=BQ-BM=(J-Z)(cm)

OQ//NF

:.MOQsMNF

.OQ=QM

,NF~FM

1_1-t

即

55

解得："失叵

即仁巴普或，五時，直線MN過線段AC的中點0.

【點睛】本題屬于二次函數與四邊形綜合題，考查了考查了矩形的性質、相似三角形

的判定與性質、平行線分線段成比例定理、線段垂直平分線的性質、勾股定理、梯形

面積公式以及三角形面積公式等知識，本題綜合性強，解題的關鍵是學會利用參數構

建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.(1)見解析

⑵①=證明見解析；②;

⑶3

【分析】(1)根據正方形的性質證明四邊形AE。9是矩形，再得比=即可解決問題；

(2)①證明AEOMBF(XASA),可得OE=O尸即可；

②先根據正方形的性質得以=08=。。，ZAOB=ZBOC=90°,則NOBE==45。，

Z.OCF=ZOBF=45°,所以ZOBE=ZOCF,由OE_LOb得Z.EOF=90°,貝ljZBOE=ZCOF=90°-NBOF,

即可證明ABOE四△COP,于是得3E=b,根據四邊形OE4F的面積=入4。3的面積=：正方

形"CD的面積，即可解決問題；

(3)延長至點G,使GQ=MN,連接尸G,證明"GQWPMN(SAS),可得PG=PM,

ZGPQ=ZMPN,所以△PGM為等腰直角三角形，所以四邊形PQ"N的面積=等腰直角三角

形尸GM的面積，進而可以解決問題.

【詳解】(1)證明：二?四邊形"CD是正方形

ZZMB=90°,NZMC=45°

VOELOF,OELAD

：.Z.DAB=ZOEA=ZEOF=90°

；?四邊形AEOF是矩形

,/ZZMC=45°

/.OE=AE

二?四邊形AEOb是正方形;

(2)解:①。石=。尸

證明：:四邊形錨8是正方形

/.OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°

ZEOF=ZAOB=90°

ZEOA^ZFOB

：.AEO^BFOCASA)

?\OE=OF-

②;四邊形ABCD是正方形

AC=BD,AC±BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD

22

OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=90°

：./OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°

ZOBE=ZOCF

「OELOF

/.ZEOF=90。

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF

...BOEASA)

的面積=COP的面積

???四邊形OE4F的面積的面積=：正方形A5CD的面積=：xl=；；

(3)解：如圖，延長至點G,使GQ=MN,連接PG

,/ZQPN=ZQMN=90°

/.NPQM+NN=180。

,/ZPQM+ZPQG=180°

/.ZPQG=ZN

?/PQ=PN

/.PGQWPMNQSAS)

/.PG=PM,ZGPQ=ZMPN

/.ZGPM=ZGPQ+ZQPM=/MPN+ZQPM=90°

???△PGM為等腰直角三角形

PM=9

四邊形PQMN的面積=等腰直角三角形尸GM的面積:㈤=黑

【點睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋

轉的性質，根據正方形性質求出三角形全等的條件是解題的關鍵.

10.(1"=6s

(2)告

(3)不能，見解析

【分析】此題考查了菱形的性質、勾股定理、平行四邊形的判定與性質以及矩形的判

定與性質，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用是解答本題的關鍵.

(1)在四邊形AB。中，AD//BC,1B90?,可得當"=8Q時，四邊形ABQP是矩形，即

可得到方程”24-解此方程即可得到最后答案；

(2)在四邊形神8中，AD//BC,當PD=CQ時，四邊形加8是平行四邊形，列方程解

方程即可；

(3)由四邊形尸QC。是菱形，則四邊形尸是平行四邊形，根據(2)中求解的答案,

分析看此時能否為菱形，求出⑦工即，即可得到尸QCD不可能為菱形.

【詳解】(1)解：根據題意得：AP=tcm,CQ=3rcm

.?AB=8cm,AD=22cm,BC=24cm

DP=(22-Z)cm,5Q=(24-34cm

二?在四邊形ABC。中，AD//BC,IB90?

.?.當AP=8Q時，四邊形ABQP是矩形

.?./■=24-3/解得t=6

.?.當/=6s時，四邊形A3。尸是矩形；

(2)當PD=CQ時，四邊形尸QC。是平行四邊形

...22T=3r解得：

，當，=?s時，四邊形尸QCO是平行四邊形；

(3)若四邊形尸是菱形，則四邊形尸是平行四邊形，根據(2)得，”與

/.PD=22—t=——33.

2

過點。作DRSC于點R

?*.四邊形是矩形

BR=AD=22

CR=2,DR=AB=8,CD=JcN+DR?=2而*PD

???四邊形尸尸Qcn不可能是菱形.

11.⑴當ovrwg時，PQ=9t,當g<W時,PQ=20-16t

(2)9

(3)|■秒或2秒

(4)1秒或微秒

【分析】(I)根據勾股定理得4。=/仙2-比2=12,根據銳角三角函數的定義得tanA=1

tanB=|,cosA=1,cosB=|,過點C作CK,AB于點K,得%=；A"CK=；AC8C,求得

"=空子專，AIACJK-T，根據題意得AP=12t，BP=AB-AP=15-12t,然后分兩

種情況：①當owg時，點。在AC上；②當時，點。在2C上，分別解答即可；

(2)根據對稱的性質及平行四邊形的性質得出點。為慳的中點，NQ=2DQ,當OQUC時,

線段小的長度為最小值，此時線段陷的長度取得最小值，證明一得

^e=|BC=P即可得解；

(3)分兩種情況：①當四〃3(7時；②當DN〃AC時，分別求解即可；

(4)分三種情況：①當點尸在線段AD上時；②當點尸在線段DK上時；③當點P在線段2

上時，分別求解即可；

【詳解】（1）解：'?在VABC中，ZACB=90°,AB=15,BC=9

?*.AC=VAB2-BC2=V152-92=12

?BC93八AC124AC124BC93

?.tanA4=--=一=一,tanB=--=一=一,cosAA=--=一=一,cosBn==——=—

AC124BC93AB155AB155

過點C作CKLAB于點K

,/S..?=-ABCK=-ACBC

ZAA￡>rC22

??ACBC12x936

??GA=---------=------=——

AB155

/.AK=Y/AC2-CK2=

丁點尸從點A出發，沿線段AB以每秒12個單位長度的速度向點3運動，點P的運動時間

為/秒"。)

/.AP=12t,BP=AB-AP=15-l2t

當點尸與點K重合時，，=?12=g(秒)

當點尸與點8重合時，y15+12=；(秒)

?/PQJ.AB

①當0wg時，點。在AC上，則PQ=APtanA=12tx^=9t

B

0c

②當g<tv，時，點。在BC上，貝ljPQ=2PtanB=(15-⑵)xg=20-⑹

B

AN----------------達C

綜上所述，當時，PQ=9t,當時，PQ=2O-I6t;

(2):CD為VABC的中線，45=15

???點。為A8的中點

.，.AD=BD=-AB=—

22

丁點尸和點M關于點。對稱

???點。為9的中點

,/四邊形「。蛇為平行四邊形

.?.NQ與加互相平分，且交點為NQ與w的中點

???點。為NQ的中點

NQ=2DQ

當OQLAC時，線段DQ的長度為最小值，此時線段陷的長度取得最小值

由Z)Q_LAC,ZACB=90°

DQ//BC

；.ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB

_ADQsABC

?DQAD\

BC_AB-2

119

DQ=-BC=-x9=-

222

9

NQ=2DQ=2x-=9

線段NQ長度的最小值是9

(3)①當ON〃蛇時

/.ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB

，ADQsABC

?DQAD_1

**BC-AB-2

?119

??DQ=-BC=-x9=-

222

VPQ-LAB,IPZQPD=90°

.9Q3?7

..PD=DQ,cos/PDQ=—cosB=2x—=」

22510

z=y^12=|（秒）;

②當DN〃AC時

NBDQ=NBAC,ZBDQ=ZBCA

；.△BDQs^BAC

?DQBD\

?*AC-AB-2

?，?O0=；AC=；xl2=6

?424

??PD=DQ-cosZ.PDQ=6cosA=6x—=一

1524123

AP=AD+PD=—+—=

25lo-

?12341/工/、\

一=而+12,（秒）；

綜上所述，當f為，秒或1秒時，直線。N平行于VABC的一條邊;

（4）①當點P在線段AD上時

二?四邊形PQMN為平行四邊形，PQ±AB

/.PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

ZPQM<90°,即ZPQM為銳角

當ZPQM=NA時

327

貝I]PM=tanZPQM=PQtanA=9tx^==~t

丁點。為P”的中點

PD=-PM=-x—t=—t

2248

15?7

/.—=AD=AP+PD=12t+—t

28

解得：'=方；

②當點P在線段DK上時

;四邊形尸QMN為平行四邊形，PQLAB

/.PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

ZPQM<90°,即NPQM為銳角

當ZPQM=NA時

327

則PM=PQtanZPQM=PQtanA=9tx-=—t

丁點。為9的中點

112727

/.PD=-PM—t=

2248

1527

.\-=AD=AP-PD=12t——t

28

解得一

此時點尸不在線段DK上，不符合題意;

③當點尸在線段仍上時

丁四邊形PQMN為平行四邊形，PQ±AB

PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

AZPQM<90°,即NPQM為銳角

當ZPQM=NA時

327

則PM=PQtanZPQM=PQtanA=9tx-=—t

丁點。為9的中點

112727

/.PD=-PM—t=

2248

1527

.\-=AD=AP-PD=12t——t

28

解得：f=;

綜上所述，當/為/秒或II秒時，PQMN的一個內角和/A相等.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形性質，對稱的性質，勾股定理，銳

角三角函數，相似三角形的判定與性質，垂線段最短等知識點，運用了分類討論的思

想.解題關鍵是掌握銳角三角函數的定義及相似三角形的判定與性質.

12.(1)|

(2)S=4gf+246(O</<8)

(3)2或6

【分析】(1)根據平行四邊形的性質和判定可知：PD=CQ,列方程可解答；

(2)根據梯形面積公式可解答；

(3)分兩種情況討論，由軸對稱的性質和等邊三角形的性質可求解.

【詳解】(1)解：四邊形"8是平行四邊形

.-.AD//BC

當PQ〃。時，四邊形加耍是平行四邊形

PD=CQ

2t—16—4/

8

..t=-?

3，

(2)解：?四邊形”8是平行四邊形

.\ZBCD=ZA=60°

DE1BC

:./DEC=90。

.../CDE=30。

CE=—CD=—x8=4

22

:.DE=M-U=4指

PD//BC

.?.S=；?D^?(OP+5E)=gx4A^x(2%+16—4)=4?+24g(0</<8)；

(3)解：四邊形ABC。是平行四邊形

:.AB//CD

.-.ZA+ZAr)C=180°

,\ZADC=120°

如圖2,當點尸的對稱點在線段CD上時

.\ZADQ=ZQDC=60°

是等邊三角形

,.CD=CQ=8

「.8=16—4，

.?/=2；

如圖3,當點尸的對稱點在線段。的延長線上時

圖3

:.NPDP=60°

點P的對稱點在線段。的延長線上

/.ZCDQ=|ZPDPf=30°

/BCD=ZCDQ+ZCQD

:.ZCDQ=ZCQD=30°

.\CD=CQ=8

80=16+8=24

.?4=24

.'.t=6

綜上，/的值是2或6.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，等邊

三角形的判定和性質等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵.

13.（1）詳見解析

⑵詳見解析

⑶AN=26

【分析】（1）根據平行四邊形的性質結合"，N分別是AD,BC的中點，即可證明；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結合N分別是的中點即

可證明；

（3）先判定四邊形CDW是平行四邊形，再判斷其為菱形，利用菱形的性質，判斷一MNC

為等邊三角形，從而求得Nl=N2=/A〃VD=30。，在RtAPEN中，利用特殊角，求出EN,進

而求出線段期的長.

【詳解】（1）證明：???四邊形好。是平行四邊形

/.AD=BC,AD//BC

,.'M,N分別是AO,3C的中點

AM=CN,AM〃CN

.??四邊形ANCM是平行四邊形；

（2）證明：?.?ZAA?=90。，M,N分別是的中點

/.MN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

MD=CN

：.MN=NC；

(3)解：VMD=^AD=^BC=CN,MD//CN

，四邊形肱VC。是平行四邊形

由(2)知MN=NC

???四邊形MNCD是菱形

/.ZNMC=ZDMC,DN±MC,ZDNM=ZDNC

"：Zl+ZDMC=Zl+ZNMC=Z2+ZENC=90°

/.ZNMC=NMNC

：.MN=CN=MC

?0?AMCN是等邊三角形

ZMND=N2=/l=30。

在RtNEP中

EP=1

NP=2EP=2

?*.NE￡NP-EP=6

MN=MC=2拒

...四邊形，CN是平行四邊形

AN=MC=2\/3.

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質和判定、菱形的判定與性

質、直角三角形的斜邊中線與斜邊的關系、等邊三角形的性質和判定，利用直角三角

形中30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半是求解的關鍵.

14.(1)4

⑵(0</<1)

-8r+20(l<r<-)

Q”二

513

8r-20(-<r<—)

22

(3"=:或f=|

/八(

(4)f=不8_或p,"不23或―Xr=w13

【分析】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的性質，勾股定理的應用；解題關鍵

是正確畫出圖形，分不同情況解三角形.

（1）利用面積法即可求出VABC的高AE

（2）根據點尸在不同線段的運動的圖形，分三種不同情況求解即可

（3）由AC與四邊形相交分割的圖形分類討論進行求解即可；

（4）根據點尸的位置不同以及可能成直角的圖形分別求解.

【詳解】（1）解：???區=11,VABC的面積為22,AELBC,SNABC^BC-AE

AE=（22x2）-ll=4

故答案為4；

(2)VAE±BC,AB=5,AE=4

/.BE=3

：.CE=BC—BE=ll-3=8

AC=y]AE2+EC2=A/42+82=4亞

SAABE=；BE.AE=：X3X4=6

???點尸到達5點時間=g=l（秒）

點尸到達E點時間=i+/T（秒）

點尸到達C點時間=1+（=]（秒）

①當尸在上（不含點A、B）運動時，此時如圖1-1

F

:將點石繞PA的中點旋轉180。得到點尸

/.OA=OP,OF=OE

，四邊形AS平是平行四邊形

FP=AE=4,FP//AE

ZJFPA=ZBAE

BF3

/.sinZFPA=sinZBAE=——=—

AB5

3

?&?AG=APsinZFPA=5tx-=3t

:?SAEPF=FPAG=1Z

②當尸在的上(含點