板塊二十四圓（三）圖形研究一一解答題

圖形研究1等腰圖（一題練透）

恚本圖形基本結論

建①弧、線段關系：AB=AC,BD=CD,OD=|CE,

AM=EM=OA;

②位置關系:AD，BC,ADllCE;

蜘△ABCf為接于。O,AB=AC.③角度關系:NBOD=NCOD=NBAC=NBEC.

AABC內接于。O,AB=AC,BO的延長線交AC于點D.

訓練點1如圖1,⑴求證:A0平分NBAC;

（2）若BC=6,smZBAC=|,求仁的值.

訓練點2（2024武漢模擬）如圖2,若BO=3,OD=2,求BC的氏

圖2

訓練點3如圖3,若AD=2,CD=3,求BC的長.

A

圖3

圖形研究2腰徑圖(一題練透)

基本圖形:已知AB=AC,AB是直徑.基本結論

①三線合一：AD，BC/BAD=NCAD,BD=CD;

②直徑又寸直角:NADB=NAEB=90°,

BD=CD=DE;

③構中位線：(ODv|AC.

在△ABC中，AB=4C”以AB為直徑的。。交BC于點D.

訓練點1如圖1,DE回"于點F,交BA的延長線于點E.

(1)求證:DE是。O的切線；

(2)若AC=6,tan/E=三，求AF的長.

4

訓練點2如圖2,CA的延長線交。0于點E,過點D作D”團"于點H,連接DE交線段0A于點F.若A為

EH的中點，求需的值.

FD

圖2

訓練點3如圖3,過點D作AC的垂線，垂足為E.連接0E交。。于點F,連接DF,若tan4DF=[,求cos

ZDEF的值.

A

\E

C

圖3

圖形研究3切割圖（一）（一題練透）

基本圖形條件:BC是直徑,AD是切線.

結論:①NCAD二NB;②^ACD?^BAD;

③AD2=DGDB.

BC是。。的直徑,D為CB延長線上一點,DA切。0于點A.訓練點1如圖1,若CD=8,tanC=今求。。

的半徑.

圖1

訓練點2（2024雅安）如圖2,（1）若sin/C=/求證：AB=眄⑵若4H回8c于點H,BD=4,CH=6,求A

D的長.

訓練點3如圖3,P是元的中點,AP交BC于點E.

（1）求證：DA=DE;

(2)若OE=1,BE=2,求AE的長.

A

BD

圖3

圖形研究5割線圖

基本圖形條件:AB=AC,EDA,ECB是割線.

A

結論NABD=NE,

AA

△ABD^CED^AEBZ

△EBD-AEAQAB2=AD-AE.

典例精講

【例】(2023江漢區)如圖,AB為。O的直徑，弦CD，AB,垂足為E,K為^北上一動點，AK,DC的延長線

相交于點F,連接CK,KD.

⑴求證:NAKD=NCKF;

(2)若AB=10,CD=6,求tanzCKF的值.

典題精練

1.如圖，四邊形ABCD內接于。O,AB=AC,連接BD,延長AD,BC交于點E.

(1)求證:NABD=NE;

⑵若喘=1CE3求CD的長.

DE3

2.如圖，點A,B,C在半徑為5的。。上，且AB=AC.BC=6,,點D在劣弧AC上，連接AD并就延長交BC

的延長線于點E.

（1）若AD=麗,求證:CE=AC；

（2）若AD=6,求DE的長.

圖形研究6雙切圖（一題練透）

基本圖形（課本101頁第6題）基本結論

①PA=PB/1=N2=N3=NCBD,NDOB=NAPB;

@OP±AB?AP=BF,AE=BE,OE±|BC；

③△BODsaAPDjBCDsZkABD;

AC是直徑,PA,PB是切線.

(4)AAOE'Z'AACB^'APAE'Z'APOA.

AB是。。的直徑,BC,DC為。。的切線，切點分別為B,D,BA,CD的延長線交于點E.訓練點1（2024湖北改）

如圖L連接OC,交。O于點F.若ED=?AE=1,求存的長

圖1

訓練點2如圖2,連接AD,BD.若EA=2,04=4,,求。O的半徑.

c

B

EA

圖2

訓練點3如圖3,連接DA,若tan/EDA=$2D=2,求線段DE的氏

圖3

圖形研究7多切圖(一題練透)

基本圖形條件:NACB=90°,。。與BC,AC,AB分別相切于點E,F,D.

結論:AD=AF,CE=CF,BE=BD,

四邊形OECF是正方形.

在RfABC中/C=9O°,0O是AABC的內切圓,與三邊AC,BC,AB分別相切于點E,F,G.

訓練點1如圖1,若AC=3,BC=4.

(1)求。0的半徑r;

(2)求tanzOAG的值.

AB

圖1

訓練點2如圖2,連接OA,OB若BF=AC=3,OO的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

圖2

訓練點3（2024自貢）如圖3,延長AC到點M,使AM=AB,過點M作MN^AB于點N.求證:MN是。O的切

線.

圖3

圖形研究9內心圖（一題練透）

基本圖形（課本124頁第13題）條件:點I是AABC的內心.

結論:①BD=CD=ID;

@BD2=DE-DA.

逕C

D

已知點I是△ABC的內心,AI的延長線與，△ABC的外接圓。。交于點D.

訓練點1如圖1,AD與BC交于點E,連接BD,BL若DE=4,AE=5“求AI的長.

圖1

訓練點2如圖2,AB為OO的直徑,（。用40,求sinN&W的值.

圖2

訓練點3（2024巴中改）如圖3,過點D作DF\\BC,,交AC的延長線于點F.若DI=5,CF=4,求AB的長.

圖3

圖形研究10徑切圖

基本圖形條件:AB是。0的直徑,AC是。。的切線.

結論:AACDSABCA^ABAD,

AC2=CDCB,AB2=BDBC,AD2=BD-CD.

典例精講

【例】如圖，在AABC中,NABC=90。,以AB為直徑的。O交AC于點D,DE切。O于點D,交BC于點E,

連接OE.

（1）求證:OEllAC;

⑵若CE=CD=4,求圖中陰影部分的面積

典題精練

1.（2024南充）如圖，在。O中,AB是直徑,AE是弦,F是冠上一點，AF=BE?AE,BF交于點C,D為BF延長

線上一點，且NCAD=NCDA.

(1)求證:AD是。。的切線；

(2)若BE=4,AD=2追求。。的半徑.

2.(2023武昌區)如圖,AB是。。的直徑,BC是。O的切線,AC交。O于點D,屈=曲,BE交AC于點F.

⑴求證:CB=CF;

(2)若。O的半徑r=V5,sinC=(求DF的長.

圖形研究11垂徑圖

基本圖形條件:AB是。0的直徑，弦CE±AB于點D.

結論:①CD=DE;

?CD2=AD-BD;

@CD2=CO2-OD2=AC2-AD2.

典例精講

【例】如圖,AB是。O的直徑,AC是一條弦,D是死的中點，DE回力B于點E,交AC于點F,交。。于點

H,DB交AC于點G.

(1)求證:AF=DF;

(2)若AF=|,sin4BD=.求OO的半徑.

典題精練

1.（2024黃岡）如圖,AB是。0的直徑,AM是。O的切線,AC,CD是。O的弦，且CD回4B,垂足為E,連接BD

并延長，交AM于點P.

（1）求證:NCAB=NAPB;

⑵若。O的半徑r=5,AC=8,求線段PD的長

2.（2023江漢區）如圖,AB是。。的直徑，弦CDJ_AB于點E,過點C作DB的垂線交AB的延長線于點G,垂

足為F,連接AC.

(1)求證:AC=CG;

(2)若CD=EG=8,求GF的長.

圖形研究12平分直角圖（一題練透）

基本圖形

條件:AB是直徑,CD平分NACB.

結論:①AD=BD;②OD_LAB;

③AABD是等腰直角三角形；(④AC+CB=V2CD.

已知AB是。。的直徑,C是。。上一點，N4CB的平分線交。。于點D,連接AD,BD.訓練點1如圖1,⑴試

判斷AABD的形狀，并給出證明；

(2)若AD=V2MC=1,求BC的長.

D

圖1

訓練點2如圖2,CD交AB于點E,若AB=6,AC=23求能的值.

D

圖2

訓練點3如圖3,弦CD交AB于點E,若.AC=3fBC=1〃求DE的長.

D

圖3

圖形研究13平分銳角圖

基本圖形（課本87頁例4）結論：

①G=BD,OD，BC,OE，|AC;

②NBAD=NCAD=NADO=NCBD;

③---=*AC；

條件:AB是直徑,AD平分NBAC.@AB=AG,BD=DG.

典例精講

【例】（2022武漢中考）如圖，以AB為直徑的。O經過△力BC的頂點C,AE,BE分別平分NBAC和NABC,AE

的延長線交。O于點D,連接BD.

（1）判斷ABDE的形狀，并證明你的結論；

⑵若AB=10,BE=2m,求BC的長.

典題精練

1.（2024寧夏）如圖,。。是“BC的外接圓,AB為直徑，弦AE平分/BAC,過點E作。。的切線交AB的延長

線于點F.

(1)求證:BCIIEF;

（2）連接CE,若。。的半徑為2,sin^AEC=/求陰影部分的面積（結果用含n的式子表示）.

2.（2023江岸區）如圖,AB是。O的直徑,C為圓上的一點,D為.玩的中點，連接BC,AD,過點C作AD

的垂線交AB于點E.

(1)求證:AC=AE;

(2)若AB=5,AD=4,求AE的長.

板塊二十四圓（三）圖形研究一解答題

圖形研究1等腰圖（一題練透）

基本圖形基本結論

①弧、線段關系：AB=AC,BD=CD,OD=|CE,

△M=OME=OA,

②位置關系:AD±BC,AD//CE;

B\~p~Xc

③角度關系:/BOD=/COD=NBAC=/BEC.

已知△ABC內接于。O,AB=AC.

AABC內接于OO,AB=AC,BO的延長線交AC于點D.

訓練點1如圖1,⑴求證:AO平分NBAC;

⑵若BC=6,sinzBXC=|,求部勺值.\//\/

解:⑴證4AOB之△AOC(SSS)即可；圖1

⑵延長BD交。0于點E,連接CE延長A0交BC于點H,則BH=\BC=3,-：sinzBOH=sm^BAC=

—=OB=AO=OE=CE可證CE\\OA,

OB55,=811CDCE8

訓練點2(2024武漢模擬)如圖2,若BO=3,OD=2,求BC的長.

解:延長BD交。O于點F,連接FC,延長AO交BC于點E,連接OC.

VBF為OO的直任，/BCF=90o,，FC_LBC,：AB=AC,OB=OC,A

.?.AO是線段BC的垂直平分線,.?.AE_LBC,；.AE〃FC,；.ZkAODsz\CFD,//\\廠

??…cccCCLY32”3

一OA=—ODOF=0A=3,0D=2,DF=1.一=一，CF=

CFDFCF12

BC=NBF2—CF2=心一針=等圖2

訓練點3如圖3,若AD=2,CD=3,求BC的長.

解:延長AO交BC于點E,延長BD交0O于點F,連接CF.由⑴知/BAO=/CAO,：AB=AC,，AE_LBC.：BF

是直徑,，NFCB=90。,；.AE〃CF:.AAOD^ACFD,=馬.?.可設AO=4a=OC,貝！］CF=6a,：.OE=-CF=

CFCD32

3a,AE=AO+OE=7aCE=VOC2-OF2=立a,：.在RtAACE中，(7a)2+(V7a)2=52,???a=；?BC=

2CE=277a=2V7x—=—.//Of

282//：\D.-\

圖3

圖形研究2腰徑圖（一題練透）

基本圖形:已知AB=AC,AB是直徑.基本結論

①三線合一:AD_LBC,/BAD=/CAD,BD=CD;

②直徑對直角:/ADB=/AEB=90。,

BD=CD=DE;

BD

銳角圖鈍角圖③構中位線：0D±|AC.

在4ABC中,AB=AC以AB為直徑的交BC于點D.

訓練點I如圖1,DE±AC于點F,交BA的延長線于點E.

⑴求證:DE是。0的切線;

(2)若AC=6,tanz￡=|,求AF的長.

解：(1)連接OD,：NB=/C=NODB,，OD〃AC,：DEJ_AC,；.ODJ_DE,，DE是。。的切線；圖1

(2)???AC=AB=6,-.r=3=OD,tanzE=^|=|,DE=4,OF=5，,AE=2,???OD\\AC,.--AAEFA

OED,?..——=—,??.AF=

EOOD5

訓練點2如圖2,CA的延長線交。O于點E.過點D作DH_LAC于點H,連接DE交線段OA于點F.若A為E

H的中點,求案的值.

FD

解:連接AD,OD,BE.：A為EH的中點,；.AE=AH,設AE=AH=x，貝！|EH=2x.：AB為。。的直徑,二/BEA=/A

DB=90°,AAD±BC,

1

???AB=AC,BD=CD,：.DE=jfiC=CD,■：DH1AC,■.CH=EH=2xE

：.AC=AH+CH=3x.OA=OB,BD=CD,.\OD是△ABC的中位線，(

圖2

訓練點3如圖3,過點D作AC的垂線，垂足為E.連接OE交。O于點F,連接DF,若tanZE"=[,求cosZ

DEF的值

解:延長EO交。O于N,連接DN,OD,：DE與。O相切,NEDF=/DNF,，tanNEDF=tanz^^

=NNED,'Z\EDFs^END,???葛=篙=黑=：,設EF=1,則DE=3,EN=9,00=OF=|X((一4A\X

r-/L廠DE3

=5,???cos乙DEF=——=

OE5

BDC

圖3

圖形研究3切割圖（一）（一題練透）

基本圖形條件:BC是直徑,AD是切線.

結論:①NCAD=/B;②△ACDS/\BAD;

XL/@AD2=DCDB.

BC是OO的直徑,D為CB延長線上一點,DA切。。于點A.

訓練點1如圖1,若CD=8,tanC=/求。0的半徑.

解:證/BAD=/C,NADC=NBDA,，ZkACDs^BAD.：BC是直徑,

1AD_DB_AB1

???乙BAC=90°,tanC=——

2r"DC-AD~AC2’

AD=|DC=4,BD=^AD=2,：.BC=DC—BD=8—2=6,：.?O的半徑為3.

訓練點2(2024雅安)如圖2,⑴若sin/C=*求證:AB=BD;

(2)若AH_LBC于點H,BD=4,CH=6,求AD的長.

圖2

解:⑴連接OA,：DA是OO的切線,BC是。O的直徑,.?.NDAB+/OAB=/OAC+/OAB=90o,；.NDAB=NO

1

AC=ZC,VsinZC=j,ZC=30°,AZDAB=ZC=30°,VZBAC=90°,AZABC=60°,ZD=ZABC-ZDAB=30°,.\

ZBAD=ZD,.\AB=BD;

(2)設BH=x，在RtAACB中,AH_LBC,；.AH2=BHCH=6x,VZD=ZD,^DAB=ZC,?-?ADBAADAC,：.=

222

器,DA=DB-DC=4(6+4+x)=4(10+x),在RtADAH中油勾股定理得DH+AH=。弟,即(4+x)2+6x=4

2

(10+x),,整理得x+Wx-24=0,解得Xj=2,X2=一12(舍去),:.AD=4A/3.

訓練點3如圖3,P是我的中點,AP交BC于點E.

(1)求證:DA=DE;

⑵若OE=1,BE=2,求AE的長.

解:⑴連接OA,OP.：DA切。0于點A,.-.OA±AD,.\ZOAD=90°.

VP是我的中點,.?.OPLBCV./POEngO。，

ZOAP+ZDAE=90°,ZOPA+ZOEP=90。,而ZOPA=ZOAP,

，ZDAE=ZOEP,VZOEP=ZDEA,.\ZDAE=ZDEA,.\DA=DE;

(2)連接CP.VOE=1,BE=2,0C=0B=0P=3,CE=4,

圖3

.?.在RtAOPE中，PE=VOE2+OP2=Vl2+32=V10,

ZPCE=ZBAE,ZCEP=ZAEB,.\ACEP^AAEB,.*.PE:BE=CE:AE,

即V10:2=4:XE,AE=筆.

圖形研究4切割圖（二）（一題練透）

基本圖形（課本第102頁第12題）基本結論

①OC〃AD,四邊形EMCD為矩形;

②AC平分/BAD,NDCA=NCBA;

③AF=AM=EF/MF;

@BM2=OB2-OM2=BC2-CM2.

AB是直徑,CD是切線,ADLCD.

AB為。。的直徑,C為。O上一點,AD與過點C的切線互相垂直,垂足為D,AD交。O于點E.

訓練點1如圖1,若AD=3CD=9,求AE的長.

解:連接BE,OC交于點F.設(^=我則AE=2x,

VAB為。。的直徑，.\CF=DE=9-2x,

ZAEB=90°,.*.OC=9-2x+x=9-x=OB,

又NEDC=NDCF=90。，在RtAOFB中，%2+32=(9—x)2,

四邊形DEFC為矩形，解得x=4,

.\EF=BF=DC=3.AE=2x=8.

訓練點2如圖2,若AB=10,CD=4,求tanNBAC的值.

解:連接OC,過點O作OFLAD于點F.

JNOFD二NADC二NDCO90。，

???四邊形CDFO為矩形，

OF=CD=4,OA=5=OC=DF,

AF=3,AD=DF+AF=8,

VOA=OC,OC/7AD,AZBAC=ZOCA=ZDAC.

rn4i

???tan/BAC=tanzD^C

AD82

訓練點3如圖3,連接OD交AC于點F.若AF=8,cos^BAE=|,求CF的長.

圖2

解:連接BE,OC交于點H,則NAEB=9()OQC〃AD,

D

???NEAB=NBOH.

???cos乙BOH=cos^LEAB=-=

OB5

設OB=5x,貝!1OH=3x,CH=2x.

AE=2OH=6x,易得四邊形CDEH是矩形,

；.DE=CH=2x,；.AD=8x.

VOC//AD,△OCFsADAF,

AFAD8x8.?門二廠r

—=—=-=-,???AF=8,CF=5.

CFOC5x5

圖形研究5割線圖

基本圖形條件:AB=AC,EDA,ECB是割線.

A結論:/ABD=/E,

AABD^ACEDIAAEB,

AEBD^>AEAC,AB2=ADAE.

典例精講

【例】（2023江漢區）如圖,AB為。O的直徑，弦CD，AB,垂足為E,K為AC上一動點，AK,DC的延長線相

交于點F,連接CK,KD.

⑴求證:/AKD=NCKF;

(2)若AB=10,CD=6,求tanZCKF的值.

解:⑴連接AD,AC.：NCKF是圓內接四邊形ADCK的外角,NCKF=NADC「；AB為。O的直徑，弦CD,

AB,.,.AD=AC.AZADC=ZAKD..\ZAKD=ZCKF;

(2)連接OD.：AB為。O的直徑,AB=10,，OD=5,：弦CD_LAB,CD=6,^.DE=3,.^.在Rt△ODE中,OE=

VOD2-DE2=4,/.AE=9,在RtAADE中.tanZTlDE=蔡=[=3,Z.CKF=乙ADE,：.tan^CKF=3.

典題精練

1.如圖，四邊形ABCD內接于。O,AB=AC,連接BD,延長AD,BC交于點E.

(1)求證:/ABD=NE;

⑵若黑E，.=夕，求CD的長.

ft?:(l)VAB=AC,.*.ZABC=ZACB,VZABC=ZABD+ZCBD,ZACB=ZE+ZCAE,ZCBD=ZCAE,.*.ZABD=

NE;

(2)VNBAD=NECD,NABD=NE,；.4ABDs4CED,；.ED=AB,由—=二可設AD=4a,則DE=3a,AE=7a,；ZA

DE3

BD=ZE,ZBAD=ZEAB,.\AABD^AAEB,.*.AB2=AD-AE=28a2,AB=277a..?.詈=等,CD=2.

2.如圖，點A,B,C在半徑為5的。0上，且AB=AC,BC=6點D在劣弧.AC±_連接AD并延長交BC的延長線于

點E.

⑴若AD=/,求證:CE=AC;

⑵若AD=6.求DE的長.

解：(1)連接BD.VAB=AC,.\ZABC=ZACB,

/.ZABD+ZDBC=ZCAE+ZE.VZDBC=ZCAE,.\ZABD=ZE.

VD是AC的中點,，ZABD=ZCAE,/.ZCAE=ZE,.\CE=AC;

⑵連接AO并延長交BC于點H,連接BO,CO.：OB=OC,AB=AC,；.AO垂直平分BC,

BC=6,二BH=3.：OB=5,OH=4,AH=9.；.AB2=BH2+AH2=90.

,/ZABD=ZE,ZBAD=ZEAB,/.AABD^△AEB,/.AB2=AD-AE=90.

??,AD=6,/.AE=15,.*.DE=9.

圖形研究6雙切圖(一題練透)

基本結論

①PA=PB,N1=N2=N3=NCBD,NDOB=NAPB;

②OP_LAB,AF=BF,AE=BE,OEJ_|BC;

③△BODs/\APD,ABCD^AABD;

@AAOE^>AACB^>APAE^>APOA.

AB是0O的直徑,BC,DC為。O的切線，切點分別為B,D,BA,CD的延長線交于點E.訓練點1(2024湖北改)

如圖1,連接OC,交。O于點F.若ED=<3,AE=1,求價的長.

解:連接OD,設。O的半徑為R,在RtAOED中，ED=V3,AE=1,EO=AE+OA=1+R,(OD=R,ED2+OD2=E

02(V3)2+/?2=(1+R)2,解得R=l,

/.OD=1,

tanzFOD=迫=回

???乙EOD=60°,

/BOD=120。,可證△OCDgZ\OCB,

1

???(COD=(COB=-A.BOD=60°,

2

ABF的長=史%=

1803

訓練點2如圖2,連接AD,BD若EA=2,DA=4,求。O的半徑.

解:連接DO.

VDC是。O的切線,AB是。O的直徑，

ZCDO=90°=ZADB,

ZADE=ZBDO=ZOBD,

又：NE=NE,

AEAD^AEDB,

ADBDc

.?.一=—=2,

AEDE

???BD=2DE,設ED=x,貝!]BD=2x,

設。O的半徑為R,則OD=R,OE=R+2,

在RtAEDO中，ED2+OD2=OE2,

：.久2+R2=(R+2)2①，

圖2

RtAADB中*AD2+BD2=AB2,

42+(2x)2=QR)2②，

由①②解得R=2+2g(負舍)，

/.OO的半徑為：2+2g.

訓練點3如圖3,連接DA,若tan^EDA=\,AD=2,求線段DE的長.

解:連接OD,BD.

VCD與。O相切于點D,AB是直徑,

JZODE=ZADB=90°,

???ZEBD+ZOAD=ZEDA+ZODA=90°,

ZOAD=ZODA,

???NEDA二NEBD,

1DA

???tanzEBD

3BD

???BD=6,??.BA=2V10

可證△EDA^AEBD,

.AE_ED_AD_1

''ED~EB-BD~3

設AE=x，貝UED=3x,

???ED2=AE-EB,

(3x)2=x(x+2V10),

.?.DE=-3-A/-1-0.

4

圖形研究7多切圖（一題練透）

基本圖形（教材103頁第14題）條件：乙4cB=90。，,?0與BC,AC,AB分別相切于點E.F,

結論:AD=AF,CE=CF,BE=BD,

四邊形OECF是正方形.

在R3ABC中,/C=90。,。。是AABC的內切圓,與三邊AC,BC,AB分別相切于點E,F,G.

訓練點1如圖1,若AC=3,BC=4.

（1）求＜30的半徑r;

⑵求tanZOAG的值.

解:⑴連接OE,OF.四邊形CEOF是正方形,CE=CF=i'.又:AG=AE=3-r,BG=BF=4-r,AG+BG=AB=5,(3-r)+(4-r)

(2)連接OG.在RtAAOG中，r=1,4G=3-r=2,tanzO4G=-=

AG2

訓練點2如圖2,連接OA,OB若BF=AC=3,?O的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.

解:連接OE.OF.VBC,AC與圓分別相切于點F,E,.\OE±AC,OF±BC,四邊形OECF是正方形,.\OE=OF=EC=

1

FC=1,?'.BC二BF+FC=4,又??.AC=3,?.?AB=5,v乙OAB+^OBA=1^CAB+"BA)=45°,???^AOB=135°,???

_1135X7TX12537r

S=SXAOB-S-丁/=~AB,OG—

用影底形236028

訓練點3（2024自貢）如圖3.延長AC到點M,使AM=AB,過點M作MN_LAB于點N.求能MN是。O的切線.

證明:過點O作OHLMN于點H,連接OG,OE,OF.

VZANM=90O=ZACB,ZA=ZA,AM=AB,.\AAMN^AABC(AAS),

AN=AC,VAG=AE,AN-AG=AC-AE,即GN=CE,可證CE=OF,AGN=OF,VZANM=90°=ZOGN=ZOHN,

.,?四邊形OHNG是矢巨形,.,.OH=GN,；.OH=OF,即OH是＜30的半徑,

VOH±MN,AMN是。O的切線.

圖形研究8梯切圖（一題練透）

圖3

基本圖形（課本102頁第11題）條件:BE,BC,CG是切線BE〃CG.

結論:①BC=BE+CG;

②OB_LOC,EF_LFG;

③EF〃OC,OB〃GF;

④四邊形OAFD為矩形.

已知AB是。O的直徑,DA,DE,BC是0O的三條切線，切點分別為A,EB訓練點1如圖1,連接OE,求證：

0E2=DE-CE.

解:連接ODQC.：DA,DE,BC是。O的三條切線,，AB_LBC,ABJ_AD,OE_LCD,DO平分AADE,AD\\BC,

^ADO=乙CDO同理/BCO=/ECO=|ZBCE.*.?AD//BC,/.ZADE+ZBCE=180°,ZODE+ZOCE=90°,

/.ODE+Z.EOD=90°,/.EOD=z￡C0,.--AODEACOE,OE2=DE-CE.

訓練點2如圖2,AD=1,BC=3,求圖中陰影部分的面積.

圖1

解:連接OE,OC.：DA,DE,BC是。O的三條切線,，AD=DE,BC=CE,

DE=1,CE=3,OE2=DE-CE,OE=V3.(OO的半徑是V3

.OC=VOB2+BC2=2V3,OC=20B,：.乙OCB=30°

ZBCE=2ZOCB=60°,.\ZBOE=360°-ZOBC-ZOEC-ZBCE=120°,

1nz-nn120X7TXOB20后

??e?S-=e_Se=2x-BC-OB----------------=3V3—TT.

睛影圓邊形BCEO底形OBE2360

圖2

訓練點3（2024江漢區）（1）如圖3,連接BE,求證:NADC=2/CBE;

⑵如圖4,連接OD,OC交。。于點M,若OM=CM=2,求CD的長.

解:（1）：BC,CD是0O的切線,

；.CB=CE,且AD\\BC,Z.CBE=乙CEB="產，又^ADC=180°-ZC,

-I

.-.乙CBE=即NADC=2/CBE;

(2)連接BM,VOM=MC,ZOBC=90°,

BM=OM=MC=2,AOBM是等邊三角形,

ZBOC=60°,.\ZBCO=30°,.\ZBCD=60°,

VAD/7BC,ZADC=180°-60°=120。,由切線長定理可得ZODC=60°,

4_8V3

???CD=OC

COSZ.OCDcos30°3'

圖形研究9內心圖（一題練透）

基本圖形（課本124頁第13題）條件點I是4ABC的內心.

及C結論:①BD=CD=ID;

(2)BD2=DEDA.

D

已知點I是AABC的內心,AI的延長線與△ABC的外接圓。O交于點D.

訓練點1如圖LAD與BC交于點E,連接BD,BI.若DE=4,AE=5.求AI的長.

解:：AI平分NBAC,

ZCAI=ZBAI,

又：NCAD=NCBD,

ZDBE=ZBAD,

ZBDE=ZBDA,

/.△BDE^AADB,

/.AI=AD-DI=(4+5)-6=3.

訓練點2如圖2,AB為。O的直徑,OI，AD,求sinZCAD的值.

解:連接BI,BD.

VI為公ABC的內心，

:.ZABI=ZCBI,

NCAD=NBAD,

又,.?NCBD=NCAD,

.\ZBAD=ZCBD,

ZBID=ZABI+ZBAD=ZCBI+ZCBD=ZDBI,

???BD=ID.

VAB為。O的直徑，

???ZD=90°,O為AB的中點，

又,.?OI_LAD,

???AI=DI,

AOI為公ABD的中位線，

???BD=2OI,

.*.AI=ID=BD=2OL

在RtAAOI中，由勾股定理彳導AO=y/OI2+A/2=遍。/,

V5

???sinZ.^i4D=—=-^―=5-

OAy/SOI

V5

???sinZ-CAD=sinZ-BAD=T-

訓練點3（2024巴中改）如圖3,過點D作DF〃BC,交AC的延長線于點F.若DI=5,CF=4,求AB的長.

解:連接CD",四邊形ABDC是圓內接四邊形，

.\ZABD+ZACD=180o,

VZDCF+ZACD=180°,

???NABD=NDCF,

???DF〃BC,???ZACB=ZF,

ZACB=ZADB,

???ZADB=ZF,.*.AABD^ADCF,

泮禽由I是4ABC的內心可證BD=CD,BD=ID,

???CD二BD=DI=5,

圖形研究10徑切圖

基本圖形條件:AB是（DO的直徑,AC是。O的切線.

結論:△ACD<^ABCA^ABAD,

AC2=CDCB,AB2=BDBC,AD2=BDCD.

典例精講

【例】如圖，在△ABC中,NABC=90。以AB為直徑的。O交AC于點D,DE切。O于點D,交BC于點E,

連接OE.

(1)求證:0￡〃人￡

⑵若CE=CD=4,求圖中陰影部分的面積.

解:⑴略;

(2)VAB為OO的直徑,二ZADB=90°,.\ZBDC=ZADB=90°,?/OE/7AC,AO=OB,