2025年中考數學專題訓練：圖形的相似

一、單選題

1.如圖，四邊形ABCD的對角線AC,8。相交于點O,分別記VAOB,ABOC,MOD,AAOD

的面積為S1,S2,S3,S4,若AB〃CD,則下列結論不一定正確的是（）

B.SJ+53=S2+54

C.Si:S2=S4:S3D.S2=[S].S3

2.如圖，在口ABC。中，DG:GC=1:2,連接3G并延長交AD的延長線于點尸，交對角線AC于點

E,若G石=4,則所的長為（）

A.15B.18C.21D.24

3.如圖，在RtZXABC中，NABC為直角，5DLAC于點O,若照=?,則》也二()

BC4S2BCD

4.如圖1,已知矩形A5CD,￡是5c邊上的一個動點，AEA.EF,EF交CD于點F.設防的長為工,

c尸的長為y,若y與％之間的函數關系圖象如圖2所示，則矩形ABC。的面積為（）.

A.8B.6C.12D.14

5.如圖是小明實驗小組成員在小孔成像實驗中的影像，蠟燭在刻度尺50cm處，遮光板在刻度尺70cm

處，光屏在刻度尺80cm處，量得像高女m,則蠟燭的長為（）

6.在平面直角坐標系中，將一個Rt^ABO的直角頂點與原點O重合，頂點A、8恰好分別落在函數

y=B（x<0）,y=§（x>0）的圖象上，若黑=#,則1k的值為（）

4

7.如圖，在平面直角坐標系中，A、5兩點分別在x軸、y軸上,tanN3AO=§,Q4的垂直平分線與

反比例函數y="（4#。）的圖象交于點E,與AB交于點。，與無軸交于點C.連接0E并延長，交A8

x

于點E若DE：CE=1:3,且％EF=!，則上的值為（）

8.如圖，2002年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會的會徽設計源于1700多年前我國數學家

趙爽的“弦圖”.它是由4個全等的直角三角形AABH,ABCE,NCDF,AD4G和一個小正方形跖G"

拼接而成的大正方形ABCD.已知直線rH分別交邊BC、A￡>于點M、N.若F、//是線段肱V的

兩個三等分點，則大正方形ABC。與小正方形EFG"的面積比為（）.

ICM20()2

金

Beijing

Angul20-21.2002

A.9+60C.9+V2D.不確定

二、填空題

9.如圖，在RJABC中，ZA=30°,IB90?,點。為A3的中點，BC=2,若過點。作。E〃3c

交AC于點E,則AE的長為.

10.已知VABC與ADEF是位似三角形，且45=3￡>￡,則VABC與△口￡戶的周長比為.

11.如圖，在矩形ABCD中，點E,P分別在邊2C,OC上，S.AEA.EF.若AB=2,AD=4,BE=1,

則匹的長為

12.在平面直角坐標系中，已知A(0,0),8(6,0),C(m,后,D(m+6,8.分別連接A3,BC,AC,

把VABC沿8C翻折得到AA'3c.當A與。重合時，BD=；當以A、C、B、。為頂點的四邊

形是矩形時，機=.

13.如圖，邊長為6的正六邊形ABCDEF內接于圓。，點尸為劣弧A3的中點，連接叱，BP.

(1)NAP3的度數為

(2)連接尸C交AB于點G,則尸G-PC=

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,點M,N分別在邊CD,BC上,S.BN=2DM.連

接AM,過點N作NPLAM,垂足為P,連接OP,則DP的長的最小值為.

15.如圖，在矩形Q4BC和矩形OD所中，OA=2OC=2OD=4OF=4,矩形OD跖繞點。在平面內

旋轉一周的過程中，直線AD,CF相交于點G,則NAGC=°,BG的最小值為.

16.如圖，在正方形ABCD中，點、E,點廠分別在邊BC,AB上(點E不與點8,C重合)，且酢=砥.連

接AC,。R交于點G,連接AE,3G交于點H.若DF=4GH,貝1」絲=.

三、解答題

17.圖1,圖2是3x4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，點A,點3,點C均在格點上.僅

用無刻度的直尺，在給定網格中完成兩個畫圖任務，保留作圖痕跡，不要求寫出畫法.

圖1圖2

(1)在圖1中畫線段所〃3C且BE=2,點、E,尸均在格點上.

(2)在圖2中畫BC邊上的高A。，在射線上找一點尸，使NPCB=/4CB.(畫線條數不超過三條)

18.如圖，在Rt^ABC中，ZBC4=90°,在A3上取一點。，以點。為圓心，08長為半徑作。

交AB于點E,且與AC相切于點O,連接即并延長交BC延長線于點尸.

CF

⑴求證：BE=BF；

310

(2)若tanA="AE=—,求BECF的值.

19.如圖，已知VABC是等邊三角形，點。、E分別在AC、A3上，且CD=AF,3。與CE相交于

點P.

⑴求證：.ACE%CBD；

(2)如圖2,將沿直線CP翻折得到對應的△CPAf,過C作CG〃AB,交射線PM于點G,PG

與BC相交于點孔連接3G.

①試判斷四邊形ABGC的形狀，并說明理由；

②若四邊形ABGC的面積為4道，PF=1,求尸G的長.

20.定義：長寬比為?:1為正整數)的矩形稱為而矩形.下面我們通過折疊的方式折出一個夜

矩形，如圖1所示.

操作1：將正方形的跖沿過點A的直線折疊,使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處,折痕為

操作2：將EE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AE2E上，折痕為DC,則四邊形ABCD

為母矩形.

圖1圖2

⑴證明：四邊形ABCD為a矩形;

⑵點M是邊A3上一動點.如圖2,0是對角線AC的中點，若點N在邊2C上，OMLON,連接MN,

求證絲=2.

OM

21.如圖1,已知ABCD內接于。O,連接BO平分NABC,點P是BC的中點，連接AP分別

交BD,BC于點、E,F.

圖1圖2

(1)如圖2,若A3為。。的直徑，求NAE3的度數.

⑵求證：

?DC=DE；

@PE2-PF2=PFAF-

22.如圖1,在矩形ABCZ)中，AB=4cm,BC=6cm,長度為2cm線段PQ在射線BC上，點尸與點C

重合，如圖2,線段P。從圖1所示起始位置出發，沿CB方向勻速運動，速度為Icm/s；同時點M從

點5出發，沿3fAf。方向以2cm/s速度運動，當“點到達。時運動結束，P。運動同時結束.連

接AQ,DP,相交于點E.設運動時間為t秒，解答下列問題：

ADAMD

(備用圖1)

⑴當/為何值時四邊形APQ"是平行四邊形?

(2)當點M在45上運動時，求/為何值時點M在AQ的垂直平分線上?

⑶求的面積S與t的關系式；

(4)運動過程中，將AOCP繞點。順時針旋轉90。得到△DCP,是否存在某一時刻乙使C',P',E

三點在同一條直線上？若存在請求出?的值，若不存在請說明理由.

《2025年中考數學專題訓練：圖形的相似》參考答案

題號12345678

答案BACCCCAA

1.B

【分析】本題考查了相似三角形的性質和判定，同底等高的兩個三角形面積相等，高相等的兩個三角

形的面積比等于底邊的比，解題的關鍵是掌握以上知識點.

首先根據同底等高的兩個三角形面積相等可判斷A；根據高相等的兩個三角形的面積比等于底邊的比

S.OAS.OAS.S.

得到肅=定，U=進而可判斷B和C；將邑=邑代入7t=”即可判斷D.

【詳解】解：；AB〃CD

:?S&ABD=S4ABe（同底等高的兩個三角形面積相等）

SABD_S]=^ABC~S1

；?邑=邑，故A正確;

??,點A,O,。共線

???點B到OA的距離等于點B到OC的距離

.S1OA即W="5,

1OC2

____s4OA

同理可得,即邑=

S.OC，

Sj+53=—s9+—s4

13OCOA4

???。4和OC不一定相等

??,a+53和52+54不一定相等，故B正確;

ss

:?寸二U,故c正確;

?3

:.52s4=S1S3

2

S2=5應

AS2=7S,-S3,故D正確.

故選：B.

2.A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，二元一次方程組的應用.設FG=匹

BE=b,DF=x,證明ADBGSACBG和△AFE's/xCBE,得至l]2a=〃+4①，36=2a+8②，據此求

解即可.

【詳解】角星：^FG=a,BE=b,DF=x,貝！J￡F=方G+￡G=，+4,

四邊形ABC。是平行四邊形,

AD//CB,AD=BC,

'：DF//CB,

:?ADFGS點JBG9

,DFFGDG1xa1

即an——=----=-

*BC-BGCG2BC。+42

/.BC=2x,2a=b+4①,

AD=BC=2x,AF=AD+DF=3x,

'：AF//CB,

：.Z\AFE^/\CBE,

.AFFE3xQ+4

??一，艮IJ=,

BCBE2xb

：.3Z?=2Q+8②，

解①②得b=6,a=5,

???3尸=5+4+6=15,

故選：A.

3.C

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，證明△ABDS^BCD,由相似三角形的性質求解

即可.

【詳解】解：??,5D，AC于點。，

：.ZADB=ZBDC=90°,

,/NABC為直角，

：.ZABD^ZDBC=9Q°,

又???NABD+NA=90。，

：.ZA=ZDBC=90°,

**?AABDS^BCD,

S#CD[BC)UJ16

故選：C

4.C

【分析】本題考查了動點的函數圖象性質的應用，結合圖象分析題意是解題關鍵.

設AB=。，證明△SAEsaCEF,列出關系式，結合圖象求出。值，進而求出矩形面積.

【詳解】解：根據圖2得BC=4,

設AB=a,

QZABE=90°,

.*.ZBAE+ZAEB=90°,

QAE1EF,

.\ZAEF=90°,

,-.ZAEB+ZCEF=90°,

,\ZBAE=ZCEF,

:NBAE^NCEF,

.BECF

,?瓦一法‘

即2=十，

a4-x

1414

y=——x20+—x=——(x-2)92+—,

aaaa

44

當％=2時，y有最大值一=z，

a3

..a=3,

?,?矩形ABC。的面積為12,

故選：C.

5.C

【分析】本題主要考查相似三角形的實際應用，根據題意aAO5s△co。，運用相似三角形的性質可

得結論.

【詳解】解：如圖，

,AAOBSGOD,

,CD__0C_

^~AB~~0A

?.?OA=70-50=20cm,OC=80-70=10cm,CD=3cm,

-3_10

**AB-20?

AB=6cm

故選：C.

6.C

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，反比例函數的幾何意義等知識，過A作AC，％軸于

C,過8作3DJLx軸于。，證明AACOSAODB,得出黑四=［四］=2,根據反比例函數的幾何意

S.ODBVOB）9

義得出％co=-I，&曲=共，代入化簡即可求解.

【詳解】解：過A作AC_Lx軸于C,過2作BD_Lx軸于

則ZACO=NBDO=90°,

又ZAOB=90°,

ZACO=NOBD=90°-ZBOD,

AACOSQDB,

.—c。："。丫陽12

,?S.ODBUBJt3J9'

..?頂點A、8恰好分別落在函數y=+(x<O),y=與(無>0)的圖象上,

,?S&ACO=一萬卜1,SqDB=5%

?芻=_2

,?k?9f

故選：C.

7.A

【分析】連接OO,由CD是04的垂直平分線可得0c是VAOB的中位線，結合。E=：QC,可得

4

DE=~BO,即段=：.易證△BPOSAOPE,所以=（也］=64,則其防。=64x：=芋，設

S4DEF\DE）263

ii9

棉形X22

OA=6x,則OB=OAtanZBAO=8x,則SDCOB——(℃+CD)xOC=18x,SAOCE=—OCxCE=—x

1932

6尸O=gDEF+S梯形OEQ3=SgM+S梯形DCQB—S^OCE=/+18x+彳％~~T~?求出％的值，則可求出點石

1O23

的坐標，進而可求出左的值.

【詳解】解：如圖，連接。。，

由題意可知，C。垂直平分Q4,

OD=AD,ZODC=ZADC=-ZODA,

2

???ZAOB=ZDCA=90°f

：.DC//OB,

：?/BOD=NCDO,ZABO=ZADC=ZODCf

：.ZABO=ZBOD,

???△3OD是等腰三角形，

:?BD=OD,

,：OD=AD,

：.BD=OD=AD,即點。為AB的中點.

?.?DC[IBO,

ZADC=ZABO

???ZA=ZA

△ADCs小ABO

.DCAD\

**OB-2

???DC=-BO,

2

,/DE：CE=1：3,

DE=-DC,

4

即出

DE=-BO,

8

VZOBF=ZEDF,ZDFE=ZBFO,

"BFOSQFE,

..DEI

*BO~S"

=f—?=64,

s^LD>ELFrv、DE/J

132

貝1JSABFO=64XN=T，

o3

設Q4=6x,則Q5=Q4tanNB4O=8x,

:.DC=4x,

3

CE=-CD=3x.

4

???OC=AC=-OA=3x

2f

???OC=EC,

iio

梯切OC+CD無2

貝I」SCOB=2（）xOC=182,S^CE=-OCXCE=-X,

」+1如+工2萼

Q&BFOS&DEF+§梯形0E08SADEF+S梯形c08—SQCE

01623

解得x=*

CE=3x=幣,

，OC=EC=幣,

；.E（近，⑺，

:=q.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了待定系數法求函數解析式，反比例函數的性質，等腰三角形的判定與性質，

相似三角形的性質與判定，解直角三角形的相關運算等知識，解題的關鍵是根據面積之間的關系得出

方程.

8.A

【分析】本題主要考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質，靈活運用以上知識點，確定相似三

角形是解題的關鍵.延長。/交3C于點尸，設=EF=a,由題意可得"F=AG=;c+a,根據

DFFNr+/72r+/7

AD〃BC,易得ADFNs^PFM，即/=言，由題意得"=j，因此FP=,又根據FP//EB,

j-1j-'r\X'"I_Cl_

易得△CFPsACEB,即二得％_2,因止匕X?-2融—4=0,解得：x=(l+J^)〃或

x+ax

x=（l-@a（負值舍去），即x=（l+3）a,在RtAAGD中，利用勾股定理得仞？=（9+6&）〃

最后根據正方形面積公式即可求出面積比.

【詳解】解：如圖，延長。尸交5c于點尸，

四邊形ABC。是正方形,

:.AD//BC,AB=BC=CD=DA,

???大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形小BCE,VCDF,△ZMG和一個小正方形石尸GH

拼接而成，

..AH=BE=CF=DG,EF=FG=GH=HE,

設AH=BE=CF=DG=x,EF=FG=GH=HE=a,

DF=CE=BH=AG=九+Q,

:AD//BC,

,△DFNsgFM,

DF_FN

'FPFM'

,F、”是線段MN的兩個三等分點,

,FN=2FM,

x+a_2

FP-T，

??,四邊形EFGH是正方形,

:.FP〃EB,

.-.△CFP^ACEB,

.CF_FP

,~CE~BE"

x+a

即％_2，

x+ax

f—2dX—a2—0,

解得：x=（l+0）a或尤=（1一0）a（負值舍去）,

即x=（1+應）。，

在Rt^AGD中，AD2=AG2+DG2=（x+a）2+_?=（9+6叫a2,

,正方旅BQ=竺=（9+61）。=隊6亞，

S正方形EFGHHGa

故選：A.

9.2

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相

關知識.根據含30。角的直角三角形的性質可得AC=23C=4,由DE〃BC,點。為A3的中點，可

1ApArt1

得AADEsAABC,AD^-AB,得到==士，即可求解.

2ACAB2

【詳解】解：,??在Rt~45c中，NA=30。，IB90?,BC=2,

AC=2BC=A,

???￡）石〃3。，點。為A3的中點，

AADE^AABCAD=-AB

f2f

?AD_1

"AC-AB-2'

/.AE=—AC=2,

2

故答案為：2.

10.3:1

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質.相似三角形的周長比等于相似比，根據性質直接可得答案.

【詳解】解：與△口￡尸是位似三角形，S.AB=3DE,

：.△ABCS^DEF,相似比為3:1,

/.NABC與&DEF的周長比等于相似比3:1.

故答案為：3:1.

“3亞

11.---------

2

【分析】本題主要考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，證得△ABEs^ECF是

解題的關鍵.

根據矩形的性質以及勾股定理可得EC=3、AE=45，再證明△""/△氏/,然后根據相似三角

形的性質列比例式求解即可.

【詳解】解：,??四邊形是矩形,

,々="=90。，BC=AD=4,

：.EC=BC-BE=4-1=3,AE=JAB2+BE2=5

'：ZB=ZC=90°,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

*.*AE±EF,

：.ZAEB-^-ZCEF=90°,

：.ZBAE=ZCEF,

：.AABEsAJECF,

.?.小四,即立=2解得：EC若

EFECEF3

故答案為：垣.

2

12.61或5或6

【分析】本題主要考查軸對稱的性質，相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質等知識，第一空：

根據軸的性質得AC=DC=6,由勾股定理得AC=J療+同=6,求得機=回，再根據兩點間距

離公式求出BD=6；第二空：分A點在x軸上和不在x軸上兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：根據題意得，當A與。重合時，2C是AA的垂直平分線，

AC=DC,

,:C(m,舟,D(m+6,布),

CD=m+6-m=6,

???AC=6f

,：A(0,0),

AC2=(777-O)2+(^5-O)2=62,

解得，機=，

.?.00+6,灼，

BD=J(731+6-6)2+(V5-0)2=6；

當以A，、C、B、O為頂點的四邊形是矩形時，有兩種情況:

①當A點在無軸上，如圖，

m=6；

???ZCEB=ZDFB=90°,

；?/ECB+/CBE=90。,

???四邊形ACBQ是矩形,

/.ZCBD=90°,

ZECB=ZFBDf

又/CEB=/DFB=90。,

:?ACBESABDF,

.CEBEy/56-m

??--=---，即----=---7=~,

BFDFmy/5

解得，m=1或機=5,

綜上，加的值為：1或5或6；

故答案為：6；1或5或6.

13.150。/150度72-3673

【分析】（1）連接OA,OB,OP,OP交AB于點H,先根據正六邊形的性質求出A3=6,ZAOB=60。，

再根據圓周角定理可得/尸區4=^/尸。4=15。，ZPAB=^ZPOB=15°,然后根據三角形的內角和定

理求解即可得；

（2）先根據垂徑定理可得。尸，4民出/=[A2=3,利用勾股定理求出尸笈的值，再證出

2

YPCB內PBG,根據相似三角形的性質即可得.

【詳解】解：（1）如圖，連接。AO8,OP,0P交AB于點”,

:邊長為6的正六邊形A3CDER內接于圓。,

360°

/.AB=6,NAOB=——=60°,

6

,點P為劣弧的中點，

ZPOA=ZPOB=-ZAOB=30°,

2

由圓周角定理得：ZPBA=-ZPOA=15°,ZPAB=-ZPOB=15°,

■-22

，ZAPB=180°-APBA-APAB=150°,

故答案為：150°.

(2):點尸為劣弧A3的中點，AB=6,

：.OP±AB,BH=-AB=3,

2

.,.在RtA30H中，OB=2BH=6,

OH=y/OB2-BH2=3A/3，

又：OP=OB=6,

PH=OP-OH=6-3也,

在中，PB2=PH2+BH2=72-3673,

由圓周角定理得：NPCB=NPAB=15。,

由(1)已得：ZPBA=15°,

：./PCB=NPBG,

在APCB和△PBG中，

JZPCB=ZPBG

[ZBPC=ZGPB，

：.NPCB^NPBG,

.PCPB

"PB-PG)

PG-PC=PB-=12-3643

故答案為：72-36/.

【點睛】本題考查了正多邊形的中心角、圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質、勾股定

理等知識，熟練掌握圓周角定理和相似三角形的性質是解題關鍵.

14.2

【分析】延長AB到H，使得BH=2AD=12,連接,可證明△政必得到^BNH=ZAMD,

再導角證明NHNH+NRVB=180。，得到尸、N、”三點共線；取的中點0,連接。尸，OD,則可

得到當點尸在線段8上時，DP有最小值，最小值為8-8的值，據此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長到“，使得9=24)=12,連接"N,

???四邊形ABCD是矩形，

???ZADC=ZABC=ZC=90°,

???/NBH=180。—ZABC=90°=ZADM,

?；BN=2DM,BH=2AD=12f

.BNBH

**DM-

：.^NBH^AMDA,

：.NBNH=/AMD,

,：NP.LAMf

：.ZNPM=90°,

：./PMC+/PNC=360°-ZC-ZNPM=180°,

ZAMD+ZPMC=ZPNC+ZPNB=180°,

AZAAffi)+ZPA?=180°,

???ZBNH+ZPNB=180°,

:?P、N、”三點共線;

如圖所示，取AH的中點O,連接。尸，OD,

H

?：AH=AB+BH=16,

：.OA=OP=-AH=8,

2

'：DP>OD-OP,

???當點尸在線段OO上時，。尸有最小值，最小值為OD-的值,

在Rt^ADO中，由勾股定理得8=44/再&7=10，

場小值=10一8=2,

故答案為；2.

【點睛】本題主要考查了圓外一點到圓上一點的距離的最值問題，勾股定理，相似三角形的性質與判

定，矩形的性質等等，正確作出輔助線構造相似三角形從而確定點尸的軌跡是解題的關鍵.

15.90V15

【分析】本題考查矩形的性質，圓與多邊形的綜合，相似三角形的性質和判定以及解直角三角形，綜

合性比較高，難度較大.

①在矩形QWC和矩形ODEF中，ZAOC=ZDOF=90°,貝ljNZXM=NFOC,由

OA=2OC=2OD=4OF=4,得至U"="=工，證明AFOCSAOQA,得至I」//CO=/ZMO,設直

ODOA2

線位）與直線CO交于點ZGHC=ZAHO,從而得到結果；

②當AD與0。相切時，此時3G的值最小，分點。在AO在上方和下方兩種情況討論，兩種情況計

算方法相同，在RSAOD中，OA=2OD,則NAOD=60。，ZCOF=ZAOD=60°f求得。尸的長度，

再利用CT和3G的關系，即可得結果.

【詳解】在矩形Q4BC和矩形OL史方中，ZAOC=ZDOF=90°,

/./DOA+/DOC=/FOC+/DOC,

:./DOA=NFOC,

XOA=2OC=2OD=4OF=4

OFPC

,OD~OA~2

:4FOCsgOA,

???ZFCO=ZDAOf

設直線與直線CO交于點H,

如圖（1）,

ZAGC=Z.GHC+AFCO=ZAOH=ZDAO+AAHO=90°,

如圖（2）,

圖⑵

在CT右側作。WLCF,并使CN=2CF,連接MV,MB,EB,

則NMCF=90。,

在矩形Q4BC中，ZOCB=90°,

ZOCF+ZOCM=ZBCM+ZOCM

.\ZOCF=ZBCM

PC_CF

~BC~~CM~2

.△OCFs^BCM

OF1

:.ZBMC=ZOFC,且——=-

BM2

..OF_1

?OD~29

:.BM=OD=EF,

?:/BMF+ZMFE=/BMC+/CMF+NCFM—/CFE=/BMC+(/CMF+/CFM)—/CFE

=/OFC+90°-ZCFE=180。，

:,EF//BM

四邊形EKWB為平行四邊形，CM=2CF,

MF2=CF2+CM2=CF2+4CF2,

BE=MF=V5CF,

點。在以點。為圓心，。。為半徑的圓上運動，，

若點。在AO上方，則當AD與。。相切時，8_LAD,此時點E與點G重合，如圖（3）,

圖⑶

此時BG的值最小，BG=BE=辰F,

在RLAOD中，OA=2OD,

ZAOD=60°,

:.NCOF=ZAOD=60°,

CF=COsin60°=A/3,

.-.BG=715,

若點。在AO下方，如圖(4),

同理可得BG的最小值為V15,

綜上，8G的最小值為

故答案為：90,岳.

16.好

3

【分析】證明AOA尸/AABEGAS),得/ADF=NBAE,DF=AE,再證明3G=Z)G,推導出

AH

&/7=皿=成，貝I]——=1,DF=AE=2AH=2BH,再推導出尸G=G",再證明△AFgz^CDG,

HE

33

得到CG=[AC,DG=：DF,設設AF=小，利用勾股定理計算，于是得到問題的答案.

44

【詳解】解：:四邊形A5CD是正方形，

C.AB//CD,DA=AB,ZDAF=ZABE=ZADC=90°,

?/AF=BE,

：.△ZMF^AABE(SAS),

；?NADF=NBAE,DF=AE,

連接3。，則AC垂直平分30,

???BG=DG,

VZADB=ZABD,ZGDB=/GBD,

:.ZADB—NGDB=ZABD—NGBD,

：.ZADF=ZABG,

：?NBAE=ZABG,

：.NHEB=90。—NBAE=90。—ZABG=NHBE,

???AH=BH=HE,

DF=AE=2AH=2BH,

???DF=4GH,

：.2BH=4GH,

:.BH=2GH,

：.BG=DG=2GH+GH=3GH,

：.FG=4GH-3GH=GH,

*：AF//CD,

：.△AFWACDG,

.AG_AF_FG_GH_1

CG~CD~DG~3GH-3'

3333

ACG=——AC=-AC,DG=——DF=-DF,

1+341+34

設=則AD=CD=3AF=3根，

???AC=yjAD2+CD2=J（3m）2+（3m）2=342m,

DF=^AF2+AD2=y/m2+（3m）2=Mm，

?3A3而3V10

??CG=—x3v2m=-----m,DG=—xvlOm=-------m,

4444

3M

DGY~m小

"'CG=142~=T，

------m

4

故答案為：叵.

3

【點睛】此題重點考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、相似三

角形的判定與性質、勾股定理等知識，推導出==是解題的關鍵.

17.（1）畫圖見解析

（2）畫圖見解析

【分析】（1）如圖1,取格點E、F,連接跖，可得巫=CF=2,因為郎〃CF,所以四邊形8EFC

是平行四邊形，即得跖〃3C,故線段所即為所求；

（2）如圖2,取格點連接AM,交BC于點。，則網格特點可知ADSBC,再取格點￡、F,

連接EF,與射線A。相交于點尸，由（1）知EF〃BC,因為=所以由平行線等分線段定

理可得AD=D0,由線段垂直平分線的性質得AC=MC,再根據等腰三角形的性質可得

ZPCB=ZACB,故點尸即為所求；

本題考查了平行四邊形的判定和性質，平行線等分線段定理，等腰三角形的性質等，掌握以上知識點

是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：如圖1所示，線段EF即為所求；

圖1

（2）解：如圖2所示，線段仞及點尸即為所求.

（2）20

【分析】（1）連接OD,由直線AC為。。的切線可得ODLAC,從而得出NOA4=90。，進一步得

出OD||8C,由平行線的性質得到NOZ）E=/F.由OD=OE可得NODE=NOED,再證得

ZOED=ZF,最后得出結論；

（2）由（1）知NOZM=90。，設OD=OE=3x,貝!10A=OE+4￡=弓+3*，AD=4x,在中，

,_________252040

tM=j5+O02=5%,求出OD=O石=5，OA=-9AD=—,AB=BE+AE=—f證明

△AOD^AABC,求出BC=8,進而求出C尸=2,即可解答.

【詳解】（1）證明：連接O。，

???直線AC為。。的切線,

???ODA.AC,

：.ZODA=90°9

9：ZBCA=90°,

：.OD\\BC,

：.ZODE=ZF.

9：OD=OE,

：.ZODE=ZOED,

：.ZOED=ZF,

：.BE=BF；

（2）解：由（1）知NOZM=90。,

310

VtanA=-,AE=——

43

.OD3

??tanA4------=一,即nn

AD4

設OD=OE=3x,貝ijOA=OE+AE=W+3尤，AD=4x,

3

在Rt~4O。中，OA=^AD2-^OD2=5X^

???5x=—+3x,

3

._5

??x——

39

：?OD=OE=5,

??.y,5

：.BE=BF=1Q,

40

AB=BE+AE=—

3

?：OD\\BC,

^AOD^^ABC,

.OA_OD

ABBC

.?.BC=3=8,

OA

：.CF=BF-BC=2,

：.BE-CF=10x2=20.

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.運用切線的性質來進行計算或論

證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題.也考查了等腰三角形

的性質，相似三角形的判定和性質和三角函數的定義等知識點，熟練掌握以上知識點并能正確添加輔

助線是解決此題的關鍵.

19.（1）證明見解析；

⑵①四邊形9GC是菱形，理由見解析；②FG=叵」.

22

【分析】（1）根據SAS證明AACE%CBD；

（2）①根據（1）中：xACE經KBD，得NACE=NCBD,則NDPC=ZACB=60。，證明ACDB沿ACFG,

可得CG=AB=AC,則四邊形A3GC是菱形；

②作高CH,設菱形ABGC的邊長為。，根據菱形的面積列式為ARCH=4石，即小走a=4若，

2

可得4的值，證明尸s△尸GB,列比例式可得bG的長.

【詳解】(1)證明：:VABC是等邊三角形，

.?.ZA=ZACB=60°,AC=BC,

在“。石和中，

AC=CB

<NA=/BCD,

AE=CD

：.△ACE^ACBD(SAS)；

(2)解：①四邊形ABGC為菱形，理由如下：

^ACE^^CBD,

：.ZACE=ZCBD,

：.NDPC=NPCB+NCBD=NPCB+ZACE=ZACB=60。,

由翻折得：CD=CM,NCDP=/CMP,/MPC=/DPC=60

：.ZDCF+ZDPF=60°+2x60°=180°,

???ACDP+ACFP=360°-180°=180°,

???ZCMP+ZCMF=180°,

JZCMF=ZCFP,

：.CF=CM=CD,

?.?ZCFM+ZCFG=180°,ZCDB+ZCFM=180°,

:.ZCDB=ZCFG,

9：CG//AB,

：.ZGCF=ZCBA=60°=ZBCD,

在△CD5和中，

ZCDB=ZCFG

<CD=CF,

ZCDB=ZCFG

：.ACDB^ACFG(ASA),

???CG=CB,

：.CG=AB,

'：CG//AB,CG=AB=AC,

???四邊形ABGC是菱形；

②過。作SLAB于"，設菱形ABGC的邊長為。，如圖:

???VABC是等邊三角形，

AH=BH=-a,

2

，CH=AH?sin60°=-ay（3=—，

22

??,菱形ABGC的面積為4A/3,

:.ABCH=46，即〃史〃=46，

2

a=2A/2（負值已舍去），

BG=2式，

???四邊形ABGC是菱形，

:.AC//BG,

???ZGBC=ZACB=60°,

9：Z.GPB=180°-ZCPD-ZCPM=60°,

???NGBC=NGPB,

■:/BGF=/BGF,

：.ABGFS/GB,

BGFG目口

BPBG19=FGPG,

PCJBG

:PF^1,3G=20,

.■.（2V2）2=FG-（FG+1）,

解得：FG=---^FG=-—~-（舍去），

2222

/.FG=—

22

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質、平行

四邊形與菱形的判定和性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

20.⑴見解析

（2）見解析

【分析】本題考查了矩形的判定與性質，正方形的性質，折疊的性質，解直角三角形的相關計算，相

似三角形的判定與性質，正確理解新定義是解題的關鍵.

(1)設正方形ABEF的邊長為。，先根據折疊的性質證四邊形ABCD是矩形，再根據△ADG是等腰

直角三角形得出A3和AO的比例關系，即可得證結論；

(2)作OPLAB,OQ±BC,垂足分別為P,Q,證Rt/XQONsRt^POM,根據線段比例關系得

出第=槳即可得出結論.

OMBC

【詳解】(1)證明：設正方形AB￡F的邊長為。，

AE是正方形ABEF的對角線，

:.ZDAG=45°,

由折疊的性質可知AG=AB=a,ZFDC=ZADC=90°,

:四邊形ABEF是正方形，

ZDAB=ZABC=9G°,

：.ZDAB=ZABC=ZADC=90°

.?.四邊形A3CZ)是矩形，

工37是等腰直角三角形，

AD=DG=AG-sinZDAG=云，

AB:AD=a:~^==0:1,

V2

四邊形ABC。是亞矩形；

(2)證明：作OPLAB,OQLBC,垂足分別為P,Q,

???四邊形A3。是矩形，?B90?,

NB=ZOPB=ZOQB=90°,

二.四邊形。尸8。是矩形，

ZPOQ=90°,OP//BC,OQ//AB,

/XAOP^AACB,ACOQ^AG4B,

.OPAOOQCO

"BC-AC'~AB~~CA'

?.?O為AC的中點，

:.OP=-BC,OQ=-AB,

22

?.?NMON=90°,

ZQON=ZPOM=90°-ZMOQ,

ZOPM=ZOQC=90°

Rt/XQONsRtzXPOM,

.ON一OQ一AB￡

"OM~OP~BC~~，

OM

21.(1)135°

⑵①見解析；②見解析

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圓周角之間的關系，

熟練掌握弧、弦和圓周角之間的關系是解題的關鍵.

(1)連接AC,根據直徑所對的圓周角是直角得到Z4CB=90。，貝U可得至1JNC4B+NCBA=9O°,再

根據等弧所對的圓周角相等得到=由角平分線的定義得到=則可求出

ZEAB+ZEBA=45°,據此根據三角形內角和定理可得答案；

(2)①連接AC,先證明=NCAD=NCBD,貝U可證明4>A4=Nr>BC,進而證明

ZCAD=ZABD,AD=CD,進一步證明NZME=NA￡D,得到=則可證明DE=CD；②如

圖所示，連接尸3,先證明ZPAD=ZPBD,再證明ZPEB=NPBE，得到PE=PB；證明AAPB^ABPF,

得到=PE2PA-PF>再根據上4=PB+AF,即可證明PE?-依2=小..

【詳解】(1)解:如圖所示，連接AC,

：A3為。。的直徑，

ZACB=90。,

：.ZCAB+ZCBA=180°-ZACB=90°；

:點尸是BC的中點，

PC=PB，

：.ZPAB=Z