第一章

流體流動一、流量與流速二、定態流動與非定態流動三、連續性方程式四、柏努利方程式五、柏努利方程式的應用第二節

管內流體流動的基本方程式2025/6/6

一、流量與流速

1、流量

流體在單位時間內流經管道截面的量，稱為流量。

若流量用體積來計量，稱為體積流量VS；單位為：m3/s。

若流量用質量來計量，稱為質量流量WS；單位：kg/s。

體積流量和質量流量的關系是：

2、流速

單位時間內流體質點在通道內沿流體流動方向上所流經的距離，稱為流速u

。在管壁上u=0

。WS=VS

2025/6/6單位為：m/s。數學表達式為：

平均流速(averagevelocity)：流量與流速的關系為：

質量流速：單位時間內流體流過管道單位面積的質量流量。用G表示，單位為kg/(m2.s)。數學表達式為：u=

VSA

u=

VS

A

VS

=

uA

WS

=

uA

G=

WS

A

=

VS

A

=

u

2025/6/6

對于圓形管道，——管道直徑的計算式生產實際中，管道直徑應如何確定？說明：氣體的體積與T、P有關，當T、P發生變化時，V及u=V/A也發生變化，但G=ρ?V不變，原因是質量不隨T、P變化，或說V↑，ρ↓，二者之積不變。G不變，則W=G/A也不變。∴氣體采用W更方便。

d=

u4VS

4

A=

d2

4

u=

d2VS

2025/6/6二、定態流動與非定態流動流動系統定態流動(steadyflow)流體在系統中流動時，任一點上的流速、壓強、密度、溫度、粘度等物理參數僅隨位置而變，不隨時間而改變非定態流動任一點上的物理參數，部分或全部隨時間而變。例2025/6/6A

進口管B溢流管C水箱D排水管ABCD2’21’12025/6/62025/6/62025/6/6三、連續性方程在穩定流動系統中，對直徑不同的管段做物料衡算衡算范圍：取管內壁截面1-1’與截面2-2’間的管段。衡算基準：1s對于連續穩定系統：

WS1=WS2WS1WS212’21’2025/6/6如果把這一關系推廣到管路系統的任一截面，有：

若流體為不可壓縮流體

——一維穩定流動的連續性方程

WS

=

uA

=

u1A1

1u2A2

2WS

=

u1A1

1u2A2

2=

=

=

=

uA

常數VS

=

u1A1=

=

=

=

uA常數WS

u2A2=

2025/6/6對于圓形管道，表明：在穩流系統中，不可壓縮流體在管道中的流速與管道截面直徑的平方成反比。=

4

u1d12

4

u2d22=

u1

u2d1d222025/6/6四、柏努利方程式(Bernoulli’sequation)1、流體流動的總能量衡算

1）流體本身具有的能量

物質內部能量的總和稱為內能。單位質量流體的內能以U表示，單位J/kg。①內能：

流體因處于重力場內而具有的能量。

②位能：1換熱器2泵Z1Z22111’22’oo’2025/6/6質量為m流體的位能單位質量流體的位能

流體以一定的流速流動而具有的能量。

③動能：質量為m，流速為u的流體所具有的動能

單位質量流體所具有的動能

④靜壓能（流動功）=mgZ(J)=gZ(J/kg)=mu2(J)1212=u2(J/kg)2025/6/6流體在截面處所具有的壓力

流體通過截面所走的距離為

流體通過截面的靜壓能

單位質量流體所具有的靜壓能

單位質量流體本身所具有的總能量為：Vm=p=pv(J/kg)VA=Fl=pA?=pV(J)12U+gZ+u2+pv(J/kg)11’2025/6/6

單位質量流體通過劃定體積的過程中所吸的熱為：qe(J/kg)；質量為m的流體所吸的熱=mqe[J]。當流體吸熱時qe為正，流體放熱時qe為負。①熱：2）系統與外界交換的能量

單位質量通過劃定體積的過程中接受的功為：We(J/kg)

質量為m的流體所接受的功=mWe(J)②功：

流體接受外功時，We為正，向外界做功時,We為負。流體本身所具有能量和熱、功就是流動系統的總能量。2025/6/63）總能量衡算

衡算范圍：截面1-1’和截面2-2’間的管道和設備。衡算基準：1kg流體。設1-1’截面的流體流速為u1，壓強為P1，截面積為A1，比容為v1；

截面2-2’的流體流速為u2，壓強為P2，截面積為A2，比容為v2。取o-o’為基準水平面，截面1-1’和截面2-2’中心與基準水平面的距離為Z1，Z2。圖2025/6/6對于定態流動系統：∑輸入能量=∑輸出能量Σ輸入能量

Σ輸出能量

——穩定流動過程的總能量衡算式

u122=U1+gZ1++p1v1+qe+Weu222=U2+gZ2++p2v2

u22

U+g

Z++(pv)=qe+We2025/6/6——穩定流動過程的總能量衡算式——流動系統的熱力學第一定律

2、流動系統的機械能衡算式——柏努利方程

1）流動系統的機械能衡算式∵H=U+pv

u22

H+g

Z+=qe+We2025/6/6流體與環境所交換的熱

qe阻力損失

2025/6/6代入上式得：

——流體穩定流動過程中的機械能衡算式

2）柏努利方程（Bernalli’sequation）

當流體不可壓縮時，

∵2025/6/6代入：對于理想流體，當沒有外功加入時We=0,Σhf=0

柏努利方程

得2025/6/63、柏努利方程式的討論

1）柏努利方程式表明理想流體在管內做穩定流動，沒有外功加入時，任意截面上單位質量流體的總機械能即動能、位能、靜壓能之和為一常數，用E表示。

即：1kg理想流體在各截面上的總機械能相等，但各種形式的機械能卻不一定相等，可以相互轉換。

2）對于實際流體，在管路內流動時，應滿足：

上游截面處的總機械能大于下游截面處的總機械能。

2025/6/63）式中各項的物理意義處于兩個截面上的流體本身所具有的能量差流體流動過程中所獲得或消耗的能量

We和Σhf：

We：輸送設備對單位質量流體所做的功，

Ne：單位時間輸送設備對流體所做的功，即功率4）當體系無外功，且處于靜止狀態時

流體的靜力平衡是流體流動狀態的一個特例Ne=We?WS=We?VS?

2025/6/6

5）柏努利方程的不同形式

a)若以單位重量的流體為衡算基準[m]

位壓頭，動壓頭，靜壓頭、壓頭損失

He：輸送設備對流體所提供的有效壓頭

2025/6/6b)若以單位體積流體為衡算基準靜壓強項P可以用絕對壓強值代入，也可以用表壓強值代入

[pa]6）對于可壓縮流體的流動，當所取系統兩截面之間的絕對壓強變化小于原來壓強的20%，仍可使用柏努利方程。式中流體密度應以兩截面之間流體的平均密度ρm代替。2025/6/6五、柏努利方程式的應用

1、應用柏努利方程的注意事項

1）作圖并確定衡算范圍根據題意畫出流動系統的示意圖，并指明流體的流動方向，定出上下截面，以明確流動系統的衡算范圍。2）截面的截取兩截面都應與流動方向垂直，并且兩截面的流體必須是連續的，所求得未知量應在兩截面或兩截面之間，截面的有關物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外，都必須是已知的或者可以通過其它關系式計算出來。2025/6/63）基準水平面的選取基準水平面的位置可以任意選取，但必須與地面平行，為了計算方便，通常取兩個截面中的任意一個截面。如衡算范圍為水平管道，則基準水平面通過管道中心線，ΔZ=0。4）單位必須一致在應用柏努利方程之前，應把有關的物理量換算成一致的單位，然后進行計算。兩截面的壓強除要求單位一致外，還要求表示方法一致。2025/6/62、柏努利方程的應用1）確定流體的流量

例：20℃的空氣在直徑為80mm的水平管流過，現于管路中接一文丘里管，如本題附圖所示，文丘里管的上游接一水銀U管壓差計，在直徑為20mm的喉徑處接一細管，其下部插入水槽中。空氣流入文丘里管的能量損失可忽略不計，當U管壓差計讀數R=25mm，h=0.5m時，試求此時空氣的流量為多少m3/h?當地大氣壓強為101.33×103Pa。2025/6/6分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程氣體判斷能否應用？11’22’Rh2025/6/6解：取測壓處及喉頸分別為截面1-1’和截面2-2’截面1-1’處壓強：

截面2-2’處壓強為：流經截面1-1’與2-2’的壓強變化為：

P1=

HggR=136009.810.025=3335Pa(表壓）P2=gh=10009.810.5=4905Pa(表壓）=0.079=7.9%<20%2025/6/6

在截面1-1’和2-2’之間列柏努利方程式。以過管道中心線的平面作基準水平面。由于兩截面無外功加入，We=0。能量損失可忽略不計Σhf=0。柏努利方程式可寫為：式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表壓），P2=-4905Pa（表壓）2025/6/6化簡得：

由連續性方程有：

2025/6/6聯立(a)、(b)兩式u1=7.34m/s=132.8m3/h2025/6/6

2）確定容器間的相對位置例：如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內表壓強為9.81×103Pa，進料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內流動時的能量損失為30J/kg(不包括出口的能量損失)，試求高位槽內液面應比塔內的進料口高出多少？11’2’22025/6/6分析：

解：取高位槽液面為截面1-1’，連接管出口內側為截面2-2’,并以過截面2-2’中心線的截面為基準水平面，在兩截面間列柏努利方程式：高位槽、管道出口兩截面u、p已知求△Z柏努利方程2025/6/6式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表壓)；P2=9.81×103Pa(表壓）由連續性方程

∵A1>>A2,We=0，∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。將上列數值代入柏努利方程式，并整理得：=4.37m2025/6/6

3）確定輸送設備的有效功率例：如圖所示，用泵將河水打入洗滌塔中，噴淋下來后流入下水道，已知管道內徑均為0.1m，流量為84.82m3/h，水在塔前管路中流動的總摩擦損失(從管子口至噴頭進入塔的阻力忽略不計)為10J/kg，噴頭處的壓強較塔內壓強高0.02MPa，水從塔中流到下水道的阻力損失可忽略不計，泵的效率為65%，求泵所需的功率。2025/6/61m1m11’2’25m33’1m0.2m44’2025/6/6分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔內壓強整體流動非連續截面的選取？

解：取塔內水面為截面3-3’，下水道截面為截面4-4’，取地平面為基準水平面，在3-3’和4-4’間列柏努利方程：2025/6/6將已知數據代入柏努利方程式得：

計算塔前管路，取河水表面為1-1’截面，噴頭內側為2-2’截面，在1-1’和2-2’截面間列柏努利方程。

2025/6/6式中：2025/6/6將已知數據代入柏努利方程式泵的功率：=2153W=3.3kW2025/6/64)管道內流體的內壓強及壓強計的指示例1：如圖，一管路由兩部分組成，一部分管內徑為40mm，另一部分管內徑為80mm，流體為水。在管路中的流量為13.57m3/h，兩部分管上均有一測壓點，測壓管之間連一個倒U型管壓差計，其間充以一定量的空氣。若兩測壓點所在截面間的摩擦損失為260mm水柱。求倒U型管壓差計中水柱的高度R為多少為mm?R11’22’40mm80mm2025/6/6分析：求R1、2兩點間的壓強差柏努利方程式解：取兩測壓點處分別為截面1-1’和截面2-2’，過管道中心線的平面為基準水平面。在截面1-1’和截面2-2’間列單位重量流體的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0u已知2025/6/6代入柏努利方程式：

=0.17m(水柱）2025/6/6因倒U型管中為空氣，若不計空氣質量，P3=P4=P=0.17m水柱=170mm水柱34空氣P1P2Rh2025/6/6

例2：水在本題附圖所示的虹吸管內作定態流動，管路直徑沒有變化，水流經管路的能量損失可以忽略不計，計算管內截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’處的壓強，大氣壓強為760mmHg，圖中所標注的尺寸均以mm計。分析：求P求u柏努利方程某截面的總機械能求各截面P理想流體22’300011’4’433’55’66’50010002025/6/6

解：在水槽水面1－1’及管出口內側截面6－6’間列柏努利方程式，并以6－6’截面為基準水平面式中：

P1=P6=0（表壓）u1≈0代入柏努利方程式得2025/6/6u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基準水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa，u1

0對于各截面壓強的計算，仍以2-2’為基準水平面，Z2=0，Z3=3m，Z4=3.5m，Z5=3m2025/6/6（1）截面2-2’壓強（2）截面3-3’壓強=120990Pa=91560Pa2025/6/6（3）截面4-4’壓強（4）截面5-5’壓強

從計算結果可見：P2>P3>P4，而P4<P5<P6，這是由于流體在管內流動時，位能和靜壓能相互轉換的結果。

=86660Pa=91560Pa2025/6/65）流向的判斷在φ45×3mm的管路上裝一文丘里管，文丘里管上游接一壓強表，其讀數為137.5kPa，管內水的流速u1=1.3m/s，文丘里管的喉徑為10mm，文丘里管喉部接一內徑為15mm的玻璃管，玻璃管下端插入水池中，池內水面到管中心線的垂直距離為3m，若將水視為理想流體，試判斷池中水能否被吸入管中？若能吸入，再求每小時吸入的水量為多少m3/h？2025/6/6分析：判斷流向比較總勢能求P？柏努利方程

解：在管路上選1-1’和2-2’截面，并取3-3’截面為基準水平面設支管中水為靜止狀態。在1-1’截面和2-2’截面間列柏努利方程：u1u211’22’z=3mPa33’2025/6/6式中：2025/6/6∴2-2’截面