2025年中考數學總復習《圖形的相似》專項測試卷（附答案）

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1.如圖，刃＞是正方形ABC。的對角線，點石、尸分別在邊AD、AB上，EF//BD,延

長CB到G,且3G=3C,連接GFCE.

(1)求證：GF=CE.

⑵延長G產交CE于點H,連接3”,求證：2BH2=GHGF.

2.如圖1,在RCABC中，ABAC=90°,ZACB=60。，AC=4,點A,4為邊AC,BC的

中點,連接4片，將抽。繞點C逆時針旋轉成0。＜0＜360。）.

M所在直線相交所成的較小夾角的度

數為

（2）將,ABC繞點。逆時針旋轉至圖2所示位置時，（1）中結論是否仍然成立？若

成立，請給出證明；若不成立，請說明理由;

（3）在ABC繞點。逆時針旋轉過程中，①請直接寫出5網的最大值;

②當A,九5三點共線時，請直接寫出線段期的長.

3.如圖9,在梯形A28中，AD//BC,連接94DC=90。，點召在BC上，連接。E,

使得/EDC=NECD,點尸在邊A3上，連接CT,分別交80、”于點G、H,且切=8,

連接。尸.

D

F)

(1)求證：四邊形ABED為菱形;

(2)如果/BOE=ZD",求證：4EHBE=BGBD.

4.已知：如圖，在VABC中，AB=AC,晶和CD是中線.

(1)求證：BE=CD.

s

(2)VADE、VABC的面積分別表示為s的、sABC,則說三___________.

°ABC

5.如圖，直角三角形MC中，以直角邊48為直徑作圓交AC于點。，過點。作

￡河2筋于點V,E為的中點，連接AE并延長交BC于點尸，BF=EF.

⑴求證：CF=BF；

⑵求tan"E尸.

6.【問題背景】如圖，等腰VA5c中，A2=AC，41=%,點。為AC的中點，過點。作

DE//AB,交BC于E,將CDE繞點C順時針旋轉a,連結BEAD,如圖①.

AAA

D

【基本感受】

(l)當左=1時，判斷A。與BE的數量關系，并說明理由；

【深入研究】

(2)當&=#時，如圖②，AD與班滿足怎樣的數量關系？請給出證明；

(3)在(2)的條件下，若A5=6,在旋轉過程中，當4D、E三點共線時，求‘何

的面積.

7.如圖，在MCD中，AC1AB,AB=6,BC=1O,點Q是邊上的動點，以點。為圓

心，。。為半徑的圓交邊AC于點E.設

(1)當點E是邊AC的中點時，求「的值；

(2)已知點Q是線段AE的中點(規定：當點E與點A重合時，點a也與點A重合)，

以點。2為圓心、。■為半徑作。2

①當。2與邊AD有公共點時，求『的取值范圍；

②如果。2經過邊的的中點，求此時。2與。的公共弦長.

8.(1)【提出問題】如圖1,在VASC中，。為3C邊上一點，E為邊上一點，且

NDEB=ZACB.求證：AABC^ADBE；

(2)【探究問題】如圖2,在VABC中，ZACB=90°,。是BC的中點，DE上AB于點、E,

連接CE,AD.若CE=AC,求彳的值；

(3)【拓展問題】如圖3,在VABC中，ZACB=120°,。是3C的中點，E是邊上

9.在VABC中，AB=AC=5,BC=6.將VA2C繞點A逆時針旋轉，得到VADE(點。，召

分別是點反C的對應點)，旋轉角為次0。<&</明C),線段AD與相交于點M,線

段社分別交BC,AC于點尸,N.

(1)如圖1,連接MN,在VA5C繞點A逆時針旋轉的過程中，AMN始終為等腰三角

形，請你證明這一結論；

(2)如圖2,當ADI5c時，求召c的長；

(3)如圖3,當AE〃區時，求CN的長.

10.如圖，在VABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點.對“中位線定理，逆向思考，

可得以下3則命題：

A

A

BC

①若。是48的中點，DE//BC,則E是AC的中點;

②若DE〃BC,DE=：BC,則D,E分別是AB,AC的中點；

③若。是A3的中點，DE=^BC,則E是AC的中點.

⑴其中真命題的是；(填序號)

⑵請選出一個真命題進行證明.

11.VABC是邊長為5的等邊三角形，點。在AC邊上，點E在3C邊的延長線上，且

DE=DB,延長ED交A3于點廠.

⑴將問題特殊化：如圖1，當。為AC的中點時，求■的長.

(2)將問題一般化：如圖2,當相＞=3時，求轉的長.

(3)將問題再拓展：如圖3,點G在2C邊上，且黑=：,若此時滿足爪—G,連接即

并延長交AB于點尸，當S℃E=，SW?時，求CG的長.

12.如圖，在VA5c中，AB=AC,以AB邊為直徑作。交3c于點，過點。作OE1AC

于點E,ED,A3的延長線交于點歹.

(1)求證：EF是。的切線；

⑵若斯=4,且向尸〈，求。的半徑與線段AE的長.

13.如圖，四邊形"CD的對角線AC,BD交于點E,NBAD=NBCD=90°.

(D如圖1，若NCBD=ZEAD,求證：AECE=BEDE.

(2)如圖2,過點A作"LCD于點P,作AT/LBC,交CB的延長線于點若AC垂直

平分時，AC與BF交于點G.

①求證：AB=AD.

②若BC=1,tanZBAC=1,求AC+BD的值.

14.綜合與探究

【初步感知】如圖1,2瓦尸是VABC三邊的中點，則DEF叫作VA5C的內中點三角

形，VABC叫作DEF的外中點三角形.

D

BEC、

圖I

(l)直接寫出VA5C面積H與。郎面積$2的數量關系;

(2)在圖2的網格中畫出VABC的外中點/aW.

【類比探究】如圖3,E，￡G,H是四邊形ABCZ)各邊的中點，則四邊形叫作四

邊形ABCD的內中點四邊形，四邊形ABCD叫作四邊形EFGH的外中點四邊形.

(3)求證：四邊形石人汨是平行四邊形；

(4)若四邊形的面積為邑，四邊形由汨面積為5“求證：邑=2邑；

(5)在圖4的網格中畫出ABCD的一個外中點四邊形PQMN.(要求：P,Q,M,N都

在網格線的交點上)

15.如圖，在等邊VABC中，D、E分別為AC、BC上動點，滿足AD=CE.

⑴如圖1,連接DE,過8作瓦=AC于點f，交DE于點G,若tan/EQC=/，8=6,

求BG的長；

(2)如圖2,連接痰，尸為BC中點，連接AP,G為邊的上一點，連接DG交AP于點

F,尸恰為DG中點，將PG繞點G逆時針旋轉60。到HG,連接HE,HD.求證：HD=也HE；

⑶如圖3,點M是平面內直線BC上方一點，/RWC=30。，。為直線8M右方一動點，

滿足NMBQ=NMCB+3。。，BQ=BC,連接MQ,N為MQ上一點，連接AN、4。，當MQ

取得最大值時，請直接寫出當為直角三角形時事的值.

￡)C

參考答案

1.(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)先由正方形的性質結合平行線分線段成比例得到防=上，然后證明

FBG空￡DC(SAS)即可；

(2)由△EBG絲△即C,得到/1=N2,證明NG〃C=90。，由直角三角形斜邊上中線的

性質得至U初=BG=；GC,證明4G班”△GHC,貝1］罟=笠，那么怒=篇，再交叉

Z(jrrzCrCLriiZDrL

相乘即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形"8是正方形，

/.AB=AD=BC=CD,ZABC=ADC=ZBCD=90°,

EF//BD,

?BFDE

??加一而，

/.BF=DE,

*/ZABC=90°,

/.ZFBG=180°-ZABC=90°,

/.NFBG=NEDC,

*/BG=BC,BC=CD,

BG=CD,

:.FBG空EDC(SAS),

/.GF=CE-

(2)證明：如圖:

*.*AFBG”AEDC,

Z1=Z2,

*/ZfiCD=90°

??/+N3=90。,

N2+N3=90。，

/.NGHC=90。，

*/BG=BC,

：.BH=BG=-GC,

2

NFBG=9。。,

ZFBG=ZCHG=90°

N2=N2,

AGBF^AGHC,

.GBGF

??GH-GCJ

.BHGF

''GH~2BH，

2BH2=GH-GF.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，全等三角形的判

定與性質，直角三角形的性質等知識點，找出相似三角形是解題的關鍵.

2.(1)2,60°

(2)(1)中結論仍然成立，證明見解析

⑶①12有；②2厲+2省或2&?-2百

【分析】(1)先解直角三角形可得3C=8,再根據線段中點的定義可得必=2,即=4,

由此即可得翳=2,然后根據股，明所在直線相交所成的較小夾角為即可

得；

△

(2)結論仍然成立，證明：延長他，BBt,交于點，先證出AC4,s^jBcq,根

據相似三角形的性質可得需=與=2,ZCM=ZCBB,,再根據三角形的內角和定理

2T.V-

可得"=60。，由此即可得證；

(3)①先確定點A在以點c為圓心、*長為半徑的圓上，從而可得當點人在AC的

延長線上時，△△班的"邊上的高最大，則AABA的面積最大，利用三角形的面積

公式計算即可得；

②分兩種情況：當點用在配的延長線上時和當點耳在線段配上時，先利用勾股定

理求出網的長，再根據線段的和差求解即可得.

【詳解】(1)解：,在RtZXABC中，ABAC=90°,ZACB=60°,AC=4,

BC=———=8,

cosZACB

丁點A,耳為邊AC,BC的中點，

AAi=CAl=^AC=2,BBl=CBi=^BC=4,

?歿l，=2

**A4j2,

?IZACB=60°,

BBlfAA所在直線相交所成的較小夾角的度數為ZACB=60。,

故答案為：2,60°.

(2)解：(1)中結論仍然成立，證明如下:

如圖，延長AA,BBl,交于點D,

由（1）已得：*=2,C4=4,AC=4,BC=8,

.ACCA,_1

**拓一函—Q，

在AACA和ABCBl中,

ACC\

<~BC~~CBX,

ZAC^=ZBCBl

；.AAG41s△5C4,

.BB.BC8

..----=-----=—=2NCAA=/CBB.

AAAC4'色'

/.ZO=180°-(Z.BAD+NCBB、+ZABC)

=180。-(ABAD+ZC44+ZABC)

=180°-(ZBAC+ZABC)

=ZACB

=60°,

即即，AA所在直線相交所成的較小夾角的度數為60。.

(3)解：①:在RtZiABC中，ZBAC=90°,ZACB=6O°,AC=4,

AB=AC-tanZACB=4宕,

由(1)可得：CA=2,

???如圖，點4在以點C為圓心、C4長為半徑的圓上，

???當點4在AC的延長線上時，△小洱的A3邊上的高最大，最大值為

AA.=AC+CAl=4+2=6,

/.S饞的最大值為卜4Gx6=126.

②由①知：CA=2,BC=8,AB=4曲,

在題干的圖1中，丁點A,為邊AC,BC的中點,

A瓦是VA5C的中位線,

A耳==2若，A.B.//AB,

：.ZB^C=ABAC=90°.

如圖，當點用在網的延長線上時,

/./網c=/4AC=90。，

網=dBC?_AC。=2>/15,

I.BB}=網+A4=2715+2>/3；

如圖，當點用在線段網上時,

JB\=^BC"-\C-=2>/15,

：.BB\=3-44=2店-2檔；

綜上，當A,耳，8三點共線時，線段陽的長為2歷+26或2岳-2g.

【點睛】本題考查了解直角三角形、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、勾

股定理、圓的性質等知識，較難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關鍵.

3.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質與判定，三角形中位線的性

質與判定，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵；

（1）根據題意得出4=N3,N2=NECD進而得出3E=CE,根據中位線的性質可得出

EH//BF,結合已知可得四邊形ABE。是平行四邊形，根據血=止，即可得證；

（2）證明FGDsBGC,得出黑=會進而證明FGBsDGC得出N5=NBDC,證明

￡）CJCTC

Z6=Z3,即可證明BFGs&BDC得出BF-BC=BG-BD,進而根據H/=2￡W,BC=2BE,

即可得證.

【詳解】（1）證明：如圖，

NBDC=90。,即Nl+N2=90。

Z3+Z￡CD=90°

,/NEDC=ZECD,即N2=ZECD

：.Z1=Z3

BE=DE

又?:N2=NECD

DE=CE

：.BE=CE,即E是BC的中點,

又,：FH=CH,

.二H是w的中點，

EH//BF

又「AD//BC

?0?四邊形AB￡D是平行四邊形,

?BE=DE

J四邊形股￡。為菱形；

(2)證明：?：/BDE=/DFC,即N4=N1

又4=N3

/.Z4=Z3

ZFGD=ZBGC

：.FGD^BGC

?FGDB

**BG-GC

又「ZFGB=ZDGC

/.FGBsDGC

：.Z5=ZBDC

*.*AB//DE

：.Z1=Z6

又4=N3

Z6=Z3

/.BFGsBDC

?BFBG

??BD~~BC

：.BFBC=BGBD

又EH是ABFC的中位線，

FH=2EH

又BC=2BE

BF?BC=4EH?BE=BG-BD即4EHBE=BGBD

4.(1)見解析

⑵：

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，相似三角

形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質、三角形中位線的性質、相

似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

(1)由等腰三角形的性質得出=由已知條件得出3D=CE,證明

ABCD^ACBE,得出對應邊相等，即可得出結論；

(2)根據三角形中位線判定與性質得出DE〃臺C,器=1,即可判定△ADESA4BC,

根據相似三角形面積比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】(1)證明：AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

BE、8是中線，

:.BD=-AB,CE=-AC,

22，

BD=CE,

在ABCD和ACBE中,

BD=CE

<ZABC=ZACB,

BC=CB

BCD咨CBE(SAS),

:.BE=CD-

(2)解：:BE和C。是中線,

???點￡、。是AC、A5的中點,

DE

:.DE//BC,

BC-2

:△ADEsAABC,

S.cVBC)I2J4

故答案為：:.

5.⑴見解析

(2)tan/DEF=20

［分析］(1)根據題意可得次1〃%,可證.AEMs,詆,ADEs,ACF，得到黑=隼,

BFAF

籌=隼，由E為加的中點，即田得到CF=3/即可求解；

CFAF

(2)連接加，設BF=CF=EF=x,AB=2R,可證明AABDsAgcD,貝lj

hSABDA。1”,n,AEADr-t.r

22而不F，由?，得到而=五，ZDEF=ZAFB,則

SBCD\BC)4xx

AE=4在RtA族中，由勾股定理得4爐+/=4+力，解得X,那么由

tanZDEF=tanNAFB="即可求解.

BF

【詳解】(1)證明：???根據題意，VA2C是直角三角形，ZABC=90%以直角邊鉆為

直徑作圓，DMJ.AB,

DM//BC,

AEM^AFB,ADEjACF,

.EMAEDE_AE

**BF~AF，CF一AF'

.EMDE

??BF~CF，

?1E為DM的中點，即小=加,

CF=BF；

(2)解：連接

設BF=CF=EF=x,AB=2R

丁A5為直徑，

ZADB=90。=NBDC,

?.?ZABC=90°9

：.ZABD+NC&)=NCBD+NC=90。,

I.ZABD=ZC,

，AABD^^BCD,

—AZ),BD4n2

sABD=2JD=AD

22CD

"sBCD[BC)~4x~xSBCDLCDBDX~

2

DM//BC,

ZDEF=ZAFB,

在Rt_AB/中，由勾股定理得：AB2^BF2=AF\

4/?2+X2

p4

4/?2+x2=—+X2+2R2,

2小￡,

X

解得：X由哈

.tanNDEF=tanNAFB="=二=2應

..BF旦；

亞

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，直角

三角形的性質，難度較大，正確合理轉化是解題的關鍵.

6.（1）BE=TW.理由見解析；（2）8E=0AD;理由見解析；（3）ABE的面積為:（27-9右）

或;（27+9石）.

【分析】（1）證明VABC,ADCE均為等邊三角形，證明%ACD（SAS）,即可得

BE=AD；

（2）證明VA5C,ADCE均是等腰直角三角形，證明△BCESA4CD,即可得=

（3）分兩種情況討論，利用等腰直角三角形的性質結合解直角三角形，求解即

可.

【詳解】解：（1）BE=AD.理由如下：

*.?k=1,

1

—BC=,即AB=BC,

AB=AC,

???V"C為等邊三角形，

/.ZA=ZB=ZC=6Q0；

丁點。為AC的中點，過點。作。石〃股，交于E,

AZDEC=ZB=60°,ZEDC=ZA=60°,

???ADCE為等邊三角形，

ZECD=6Q°；

NABC,△￡>(%均為等邊三角形,

/.BC=AC,CE=DC,ZBCA=ZECD=60°,

：./BCE=ZACD,

；.BCgACD(SAS),

BE=AD；

(2)BE=42AD;理由如下:

作AF13C于點尸，

?.?AB=AC,

/.BF=-BC,

2

??7_V2

?K—,

2

?ABV2

??—―a

BC2

設=則5c=2X,BF=^BC=x,

.?.3*變=?=變

AB4ix2

，4=45。，

，NC=N5=45。，ABAC=90°,

???VABC是等腰直角三角形，

同理，石是等腰直角三角形,

.AC_y/2CDyfl

??-----=-----,-----=-----,

BC2CE2

???-A-C--C-D=-叵-,

BCCE2

?.?ZBCE=45。一ZACE=ZACD,

/.△BCEs^ACD,

???A-D--A-C=_-4-2,

BEBC2

??BE=yflAD;

(3)??"ABC和△DCE都是等腰直角三角形，AB=6,

/.BC=yf2AB=6y/2,

AC=AB=6.CD=DE=—AC=3.CE=—BC=3A/2.

22

如圖，當4區。三點共線時，作5G,AD交DA的延長于點G,

由旋轉的性質知？。90?,

在RtZVlCD中，AC=6fCD=3,

?.CD31

..smADAC==—=一,

AC62

，ZZMC=30°,

AD=6CD=3A/3,

AE=AD-DE=343-3,

ABAC=90°,

..ZBAG=180°-30°-90°=60°,

BG=ABsin6Q°=3y/3,

AABE=1XAEX56=1(373-3)x373=1(27-973)；

如圖，當A、。、E三點共線時，作BGLAD于點G,

A

同理，BG=3后AD=6CD=36,

??AE=AD+DE=3^3+3,

/.S3=|XAEXBG=1(3^+3)X3A/3=1(27+9A/3)；

綜上，灰的面積為:(27-9⑹或;(27+9⑹.

【點睛】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與

性質、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、解直角三角形、

二次根式的混合運算等，熟練掌握相關性質與判定定理是解題關鍵.

7.(1)^|

(2)①065；②5幣

【分析】(1)過巨作。產，AC于點”，由垂徑定理可得C〃=E"=；AC=2,再利用三

角函數求解即可；

(2)①當點E與4重合時可知r=5,過Q作于點V,求出。2/=丁/,

可知在點a運動過程中，。2與邊AD始終有公共點，進而即可得出廠的范圍；

②利用。產=。。2建立方程求解，得到［5,即此時。2與4重合，進而即可得解.

【詳解】(1)如圖，過a作O#，AC于點則E”=s,

?/AC±AB,AB=6,BC=10,

AC=8,

???￡為AC中點,

/.CE=-AC=4,

2

/.CH=-CE=2,

2

/.COSZACB=—=—gn_=A

OXCBC'即r10

解得rg

(2)①當點￡與點A重合時,

-AC,

2

?//O[CH=ZBCA,/CHO】=ZCAB=90°,

0?HsBCA,

?QC_CH_1

**BC-AC-2，

/.。。=5,即此時r=5,

過。2作于點”,

?O2M_AB_3

-

??O2A-BC5

3

02M=—O2A,

，在點。I運動過程中，Q與邊AD始終有公共點,

0<r<5；

②如圖，記AD中點為尸，過尸作FNLAC,過。作。用，AC于點”,

/ZANF=ZACD=90°,ZNAF=ZCAD,

NAFsCAD,

?FNAN_AF_1

*CD-AC-AD-2

；FN=-CD=3,AN=-AC=4,

22，

ATCH

cosZACB=——

BC淳,

?8cH

910~r

43

\CH=-r,O,H=-r

515

2

在Rt,Q/N中，O2F=9+

??sinZACB=^=—|HQH=_6_

*0]CBC'卬r10

a

解得。口=丁；

?/QH=；AC=4,

在RtAOQH中，0,01=16+

解得，=5(負值舍去)，

，此時E和A重合，即。2與A重合，如圖所示，尸。為公共弦,

：.PL生,

2

：.PQ=5C,即J與。的公共弦長為5G.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、解直角三角形、垂徑定理、相似三角形的判

定與性質、等邊三角形的判定與性質、圓的性質等內容，熟練掌握相關知識是解

題的關鍵.

8.(1)見解析；⑵冬(3)察

【分析】本題主要考查了相似三角形判定與性質、四點公圓、圓周角定理、解直

角三角形等知識點，靈活運用相似三角形的判定與性質成為解題的關鍵.

(1)直接根據兩組對應角相等的三角形相似即可證明結論；

(2)根據已知條件以及等腰三角形的性質說明A、E、D、。四點共圓，再根據

同弧所對的圓周角相等可得AACD-ABCA,進而得到AC'BCC，再結合已知條件

可得CE=AC=0再根據勾股定理可得的=屁，然后代入*化簡即可解答;

(3)如圖：過A作延長線于點過。作CN〃DE交于點M易得

BOEsBCN可得器=*,再結合。是8c的中點可得BE=EN,設BE=EN=2x,則

nCn/V

ANAC

AE=3x,AB=5x,AN=x-再證明川上出口?可得右=弁，進而得到AC=&,再

ACAD

解直角三角形可得AM=孚4BM=^X,最后根據正切的定義即可解答.

【詳解】解：（1）證明：?；ZDEB=ZACB,ZB=ZB,

AABCs/\DBE；

(2)VCE=AC9

/CEA=/CAE,

'/DEJ.AB,

/.ZAED=ZACD=90°,

???4、E、D、。四點共圓，且圓心即為A。的中點,

'：ZAEC=ZADC（同弧所對的圓周角相等）

，ZADC=ZBAC,

VZACD=ZBCA=9Q09

：./\ACD^ABCA,

.ACCDRn9

，?擊AC2^BCCD,

￡>CACw

???。是BC中點,

/.BC=2CD,

把BC=2CD代入AC2=BCCD,得至lj:AC2=2CDCD=2CD2,

??AC=yflCD.

在RtAACD中，根據勾股定理4斤=AC?+CD2,

將AC=42CD代入可得：AD=J(0C可+CD。J2c獷+5=?JD,

CE=AC=42CD,

.ADytiCD_V6

'CE~版CD-2'

(3)如圖：過A作AMUC延長線于點“，過。作CN〃DE交AB于點N,

/.BDEs,BCN,NBNC=/BED=60°,

.BDBE

?'~BC~~BN，

???。是BC的中點,

.BDBE1

??BC=2BD,--=--=一,

BCBN2

：.BN=2BE,^}BE=EN,

..BE_2

?AE-3?

:.設BE=EN=2x,貝|AE=3x,AB=5x,AN=x,

丁ZBNC=/BED=60。，

/.ZANC=120°,

?.?ZAC6=120°,

/.ZACB=ZANC,

又ZA=ZA,

:「ANCsACB,

?*-=?即AC?=ATV.A5=5%2,解得：AC=45x,

ACAn

?/ZACM=180°-ZACB=60°,

.,.在RtZvVWC中，AM=AC-sinZACM=^-x,

在RtAAMB中，BM=y]AB2-AM2=半x,

gx

.**.AM^r回

??在RtAAAffi中,tanZABC=而y=忌=.

---X

2

9.⑴見解析

(2)亞

⑶|

【分析】(1)根據題意證明一"四經AEN,得至=即可求解；

(2)根據題意得至Ij/C4M=NE4V,可證ACLDE,EN=；DE,NE=^DE=^BC=3,則

AN=4,則OV=AC-M=5-4=1,在RtaCNE中由勾股定理即可求解；

(3)根據題意可證四邊形AB正是平行四邊形，得到即=AE=5,CF=1,再證

△ANEsMNF,得至|]第=*，即:=淺匕由此即可求解.

【詳解】(1)證明：???AB=AC,將VABC繞點A逆時針旋轉，得到VADE(點3石分

別是點優。的對應點)，

/.ZB=NC,AB=AD=AC=AE,

：.ZB=ZC=ZD=ZE,

NBAC=/DAE,

:.ZBAM=ZEAN,

在ABM和△A￡7V中,

ZBAM=ZEAN

<AB=AE,

/B=/E

ABMqA￡N（ASA）,

:.AM=AN,

■-■麗是等腰三角形.

(2)解：AB=AC,AD±BC,

：.ZBAM=ZCAM,

由(1)知/瓦UW=N及W,

ZCAM=/EAN,

^AD=AE,

ACIDE,EN=-DE,

2

在ANE^,AE=5,NE=；DE=；BC=3,

:.AN=4,貝！jC7V=AC_㈤V=5-4=l,

22

EC=\INE+NC=A/32+12=Vio；

(3)解：AE//BC,

.\ZB+ZBAE=1SO°,

又ZB=/E,

/.ZE+ZBAE=180°,

..EF//AB,

?二四邊形AB正是平行四邊形，

..BF=AE=5,

,\CF=1,

又AECF,

:AANEsACNF,

AEAN口口55-CN

CFCN11CN

【點睛】本題主要考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性

質，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，掌握旋轉的性質，等

腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質是關鍵.

10.(1)①②

(2)證明見詳解

【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質和判定，以及三角形中位線定理的

逆應用，解題的關鍵是熟練掌握三角形中位線的性質.

(1)利用三角形中位線的性質和判定，以及三角形中位線定理的逆應用逐項進

行判斷即可；

(2)①利用兩條直線被一組旁平行線所截對應線段成比例即可證明；

②利用相似三角形的性質即可證明.

【詳解】(1)解：①若。是的中點，DE//BC,則E是AC的中點，是真命題，

故該選項符合題意；

②若DE//BC,DE=；BC,則D,E分別是AB,AC的中點，是真命題，故該選項符合題

思；

③若。是A8的中點，DE=^BC,則E不一定是AC的中點，

如圖，。是的中點，分別以民C為圓心，大于的長為半徑畫弧，交AC于點E,

則。E=；BC,但E顯然不是AC的中點，所以該選項是假命題，故該選項不符合題

思；

真命題為：①②，

故答案為：①②；

(2)證明：①?.?點。是AS的中點，

.AD

??DB—1?

DE//BC,

.ADAE1

??D-B--=--E--C-=1,

:.AE=CE,

即E是AC的中點；

②DE二BC,

DE_1

*BC-2

DE//BC,

ZADE=NB,ZAED=ZC,

,\AADE^AABC,

ADAEDE

"AB-AC_BC-2?

:.AD=BD,AE=CE,

即點DE分別是AB,AC的中點.

H.(D^=|；

⑵*9；

⑶CG=g.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與

性質，全等三角形的判定與性質等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

（1）由等邊三角形的性質可得鉆=AC=BC,ZA=ZABC^ZACB=60°,則有

ZDBC=^ZABC=30°,AD=^AC=~,然后根據30。角所對直角邊是斜邊的一半即可求

解；

（2）過點。作加〃羽，交BC于點H,證明OHC是等邊三角形，通過性質證明

r）u莉口o<

DBH^DEC（ASA）,又DH〃AB,則△￡：!）"△￡；%故有鉉=6，即右.，最后由

FBEBFB8

線段和差即可求解；

（3）過點。作交8C于點與（2）同理可得必先是等邊三角形，

DGM會DEC,再證明EDMjEFB，則黑=黑，即*=P，然后通過S皿=?四

FBEBFBj+a3

求出”的值即可.

【詳解】（1）解：:丫小C是邊長為5的等邊三角形，

/.AB=AC=BC,ZA=ZABC=ZACB=60°,

?.?。是AC的中點，

/.ZDBC=-ZABC=30°,AD=-AC=-,

222

DE=DB,

ZE=ZDBC=3O°,

/.ZAFD=ZE+ZABC=90°,

/.ZAZ*=90。-ZA=30。，

/.AF=-AD=~.

24'

（2）解：如圖1,過點。作加〃四，交BC于點H,

A

F,

圖1

\ZDHC=ZABC=60°,

.*ZAC?=60。，

??O"C是等邊三角形，

\DH=CH=CD=AC-AD=29

\BH=BC—CH=5—2=3,

.*DE=DB,

\ZDEC=ZDBH,

.*ZDHC=ZDCH,

\ZBDH=ZEDC,

*.DBH^DEC(ASA),

\BH=EC=3,

\EH=EC+CH=5,EB=BC+EC=8,

：DH//AB,

\/\EDHS^EFB,

.DHEH0n2_5

?屈一百，?FB-8?

』B=m，

169

\AF=AB-FB=5——=--

559

(3)解：如圖2,過點。作交3C于點M,

A

D

圖2

與(2)同理可得是等邊三角形，DGM”DEC,

：.GM=CE,

由券=T，設5=3*BG=2a,

.CD=DM=CM=5—3a,

?BM=3a,

?GM=CE=a,

.EM=5-2a,EB=5+a,

?DM//AB,

?EDMs^EFB,

DMEM口口5—3。5-2a

FBEB1FB5+a

FB_（5-3a）（5+a）_25-10a-3a?

5—2〃5—2〃

._25—10。—3/3/

?AF=5------------------=--------

5—2。5—2a

q

"、DCE=7SADF,

413a2

—X-------------------巫

325-2a'V

整理，得64+25a-25=0,

解得生=巳…（不符合題意，舍去）

6

CG=BC-BG=5-2a=—.

3

12.(1)見解析

(2)，。的半徑為6,AE=￡

【分析】(1)連接“，利用等腰三角形的性質，同圓的半徑相等，平行線的判

定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)利用直角三角形的邊角關系定理列出比例式即可求得圓的半徑，利用相似

三角形的判定和性質列出比例式即可求得入￡的長.

【詳解】(1)證明：連接“，如圖，

/.ZABC=ZC.

OB=OD,

,\ZOBD=ZODB.

:.ZODB=ZC.

：.OD//AC,

DE±AC,

:.OD.LDE.

OD是。的半徑，

??.EF是)。的切線;

(2)解：在R3OD尸中,

sin尸=,OB=OD,

OF5

.OD3

OD+4~59

:.OD=6.

即。的半徑為6.

OB=OA=OD=6,

:.AF=FB+OB+OA=^+6+6=16,

FO=BF+OB=10.

OD1EF,AEA.EF,

/.OD//AE,

/\FOD^/\FAE,

.OD_F0

AE-FA

?6JO

,,AE-16?

“史

5

【點睛】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，同

圓的半徑相等，平行線的判定與性質，直角三角形的邊角關系定理，相似三角形

的判定和性質，連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

13.(1)證明見解析；

(2)①證明見解析；②AC+BD=2亞+M

【分析】(1)由兩角對應相等推得BEC^AED,由相似三角形的性質即可得證；

(2)①由垂直平分線性質得BC=Cb,BG=FG,通過“邊邊邊”證明aCGB均CGb,由

全等三角形的性質推得4CG=/FCG,結合角平分線性質證明四邊形是正方

形，推得44H=ZZMP,由“角邊角”證明烏AD尸即可證A5=AD；②延長CD到M,

使血=如，連接AM,由等腰直角三角形的判定與性質推得ZABE=/ECD,結合三

角形內角和定理可得4DC=/&LC,結合解直角三角形、勾股定理可得B。；通過“邊

角邊”證明ADM^ABC,由全等三角形的性質得/M4D=NG4B,AM=AC,結合等腰

直角三角形的判定與性質、解直角三角形計算可得AC.

【詳解】(1)證明：NCBD=NEAD,NBEC=ZAED,

BECs-AED,

BECE

:.AECE=BEDE.

(2)①證明：AC垂直平分研，

:.BC=CF,BG=FG,

在CG3和CG/中，

BC=CF

<BG=FG,

CG=CG

CGB沿CGF(SSS),

,\ZBCG=ZFCG,

AP1CD,AHIBC,

,\AH=AP,ZH=ZAPC=90°,

又ZBCD=90°,

.??四邊形APC"是正方形，

ZHAP=9Q0,

ZBAH-^ZBAP=90°,

ZBAD=90°,

:.ZDAP+ZBAP=90°,

:.ZBAH=ZDAP,

在ABH和ZW)尸中,

"/H=ZAPD=90°

<AH=AP,

/BAH=ZDAP

ABgADP(ASA),

:.AB=AD.

②（解法不唯一）如圖，延長到加，使=連接AM,

Z.BCG=ZFCG,/BCE+/FCE=/BCD=90°,

/.ZECD=45°,

AB=AD,ZBAD=90°,

:.ZABE=45°,

:.ZABE=ZECD,

.ZAEB=/CED,

XZBDC=180°-ZECD-ZCED,

ABAC=1^0°-ZABE-ZAEB,

:.ZBDC=ZBAC,

tanZBDC=tanABAC=-

3

Z-,1

在RtABCD中,BC=1,tanZBDC=-

,\CD=———=3,

tanZBDC

：.BD=YIBC2+CD2=VI2+32=Vio，

ZBAD+ZBCD=180°,四邊形ABC。內角和為360。,

.-.ZABC+ZA￡>C=180°,

ZADC+ZADM=1SO0,

:.ZADM=ZABC9

在AADM和NABC中，

AD=AB

<ZADM=ZABC,

DM=BC

ADM^ABC(SAS),

:.ZMAD=ZCAB,AM=AC,

ZDAC+ABAC=9Q°,

.\ZDAC+ZMAD=90°,即ZMAC=90°,

/.ZAGW=45°,

CD=3,MD=BC=l,

:.MC=49

/.AC=MC-COSZACM=4XCOS45°=4X—=2A/2,

2

/.AC+BD=2母+M.

【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質、垂直平分線的性質、全

等三角形的判定與性質、正方形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、

解直角三角形、勾股定理，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質.

14.（1）d=4S2

（2）見解析

（3）見解析

（4）見解析

(5)見解析

【分析】(1)證明△。跖即可由相似三角形的性質求解；

(2)取格點P、M、N,連接PM,MN,PN,使5、。、4分別是PMMMPN的中點即

可；

(3)連接肛根據三角形中位線的性質得出切〃肛EH=^BD,FG//BD,

FG=gBD.則硝〃尸G,EH=FG.即可由平行四邊形的判定定理得出結論；

(4)方法一：連接AC,證明△相1/8△9，得同理ZBFE=；S△BC4，$ACGF=S^cDB，

S4DHG=Z^ADAC9貝！J邑=S3--S^CGF-S^OHG=S3-]S&ABD-工^ABCA~~^ADAC

11111

=SS+S+S=

3~~{ABDCDB)~~(SBCADAc)^3~~^3~~^39即邑=2邑.

方法二：連接瓦)分別交MG”于點MN；過A作AP，皮)于點P,交E"于點。.證

明△AEHSA4B。，四邊形成WH為平行四邊形.則S四邊形M”=EHXPQ.所以

=萬B。xAP=萬x2石7/x2QP=2石HxQP=2S四邊形EMNH.SMBO=2S四邊形班你.貝!J

S3=SAAB。+^ACBD=2s四邊形EMNH+2s四邊形MFGN=2s4.

(5)取格點P、0、M、N,連接PQ,QM,MN,PN,使5、。、。、A分別是PQ，QMMN,PN

的中點即可.

【詳解】解：(1)..?9瓦廠是VMC三邊的中點，

.DE_EF_DF_1

?*AC-AB-BC-2，

I.AD￡F^AC4B,

.??邑=(三]2=曾」，

4UcJ04

is?；

(2)如圖所示，麗即為所求；

同理：FG//BD,FG=^BD.

：.EH//FG,EH=FG.

二四邊形EFGH是平行四邊形.

(4)方法一：連接:AC,

A

f)EH//BD,

FX>^G

C

:.AAEHSAABD.

又E為中點，

.AE-1

<AB-2*

qi

-.-S

?寶的=4，即S.=4ABD.

<=J_qq_XQ

同理S4BFE=~S^BCA，:'△CGF—彳Q^CDB，U^DHG—4°ADAC，

q-q

..S4=S3-S^AEH_S^BFE~◎△CGF°ADHG

=s-1c_le

卜川―卜.廠工°ACDB彳°ADAC

=，3-Z(SAfi。+SCDB)-；(sBCA+SDAC)

=S3153Ts3="，即邑=2S4.

方法二：連接8。分別交跖,G”于點M,N；過A作皮）于點P,交EH于點Q.

EH//BD,

:△AEHS/\ABD.

又E為中點,

AEEH_AQ1

7JB~^D~^P~2

:.BD=2EH,AP=2AQ=2QP,

又EF//GH,EH//BD,

二四邊形EMNH為平行四邊形.

'''S四邊形EMNH=EHxPQ.

*,,$4ABD~；BDxAP=；x2EHx2QP=2EHxQP=2S四邊形EMN