2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形變化之旋轉(zhuǎn)》專項(xiàng)測試卷（帶答案）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

1.如圖，在VA5C中，AB=AC,ZBAC=a,。是的中點(diǎn)，E是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)（不與

點(diǎn)B,。重合），連接AE.尸是AE的中點(diǎn)，線段FE繞點(diǎn)下逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段

連接AH,EH.

⑴求ZAHE的大小；

（2）連接判斷。〃與AC的位置關(guān)系，并證明.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系Mv中，點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)分別為A。,5）,B（l,-2）,C（4,o）,

0(0,1)

R

⑴以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將VASC旋轉(zhuǎn)180。后得到A'B'C,請?jiān)趫D中畫出A'B'C'.

（2）求的面積.

⑶在，軸上求一點(diǎn)尸，使得尸A+M最小，在圖中作出點(diǎn)乙點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

3.如圖，在VABC中，4=40。，ZC=20°,AB=3,將VABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE

重合，且點(diǎn)。恰好為AC的中點(diǎn).

匕

(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn);旋轉(zhuǎn)角=°;

(2)求出線段短的長.

4.如圖①是某型號家用轎車后備箱開啟側(cè)面示意圖，將其簡化成如圖②所示模型，其

中”//BE,sin/BAF=g,箱蓋開啟過程中，點(diǎn)5,E繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度，

分別至點(diǎn)9，E的位置，且點(diǎn)E在線段EB的延長線上，BEVSE.

圖①圖②

(1)求旋轉(zhuǎn)角N5W的度數(shù)；

⑵若AB=30cm,求的長度.

5.如圖，在RCMC中，AC=BC=4,ZACB=90°,正方形3。瓦的邊長為2,將正方形3DEF

繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)一周，連接短、BE、CD.

⑴猜想：子的值是一，直線。與直線AE相交所成的銳角度數(shù)是_；

(2)探究：直線祉與釬垂直時(shí)，求線段CD的長；

(3)拓展：取AE的中點(diǎn)”，連接而，直接寫出線段FN長的取值范圍.

6.一副三角板如圖1擺放，NC=NDFE=90°,4=30。，ZE=45。，點(diǎn)尸在BC上，點(diǎn)A在加

上，且AF平分，C4B,現(xiàn)將三角板。繞點(diǎn)月以每秒3。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點(diǎn)。落在射

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為P,若尸有兩個(gè)內(nèi)角相等，求才的值；

(3)當(dāng)邊OE與邊AS、BC分別交于點(diǎn)加、N時(shí)，如圖2,連接AE,設(shè)ZZME=x。，ZAED=y0,

NDFB=z°,請求出x+y+z的值.

(1)如圖1,N是AB延長線上一點(diǎn)，CN與AM垂直，求證：BM=BN；

(2)如圖2,過點(diǎn)B作放，P為垂足，連接CP并延長交A8于點(diǎn)Q,求證：CPBQ=BMPQ.

⑶如圖3,將(1)中的ABCN以點(diǎn)3為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得BC'N',C,N對應(yīng)點(diǎn)分別是CW,

3

E為CM上任意一點(diǎn)，。為8河的中點(diǎn)，連接DE,若BC=6,tan/BCN=1,DE最大值為m,

最小值為"，求竺的值.

n

8.如圖，在VABC中，/ABC=45。，CDLAB于點(diǎn)。，E為8上一點(diǎn)，連接班并延長交線段

AC于點(diǎn)尸，BE=AC.

⑴如圖1,若BC=4,AC=3,求AD的長；

(2)如圖2,過點(diǎn)5作交C4延長線于點(diǎn)“，連接￡>〃，若NBHD+NCBE=45。.求證：

BE=j2DH-AH.

9.如圖，在VABC和OE中，ZACB=NDCE=90。,AC=BC,CD=CE,且點(diǎn)A在CO上，連接AE、BD.

(1)求證：AE=BD；

(2)已知AB=CD,將VABC繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)以4B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形時(shí)，寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

10.四邊形OABC,OD所是完全相同的兩個(gè)矩形，按照如圖1所示，放置在平面直角坐

標(biāo)系X/中，8(4,2),將矩形OD所繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

y八

CB

OAx

備用圖

⑴如圖2,當(dāng)OD與5C相交于點(diǎn)G,若NOG4+NOG5=180。時(shí)，求N5AG的度數(shù);

⑵當(dāng)點(diǎn)。恰好落在。2上時(shí)，石廠與y軸交于點(diǎn)K,求警的值;

rlx

(3)當(dāng)8所在的直線恰好經(jīng)過AF的中點(diǎn)V,連接A￡>,AF,DF,請直接寫出的面

積.

11.【問題探究】

(1)如圖1,在正方形ABC。中，連接AC、BD,點(diǎn)E在對角線B￡>上，點(diǎn)尸在8C邊上,

且滿足ZEAF=45°,求證：ADE^ACF；

(2)如圖2,在VA5c中，BA=BC,NABC=a作CDLAB于點(diǎn)。，將線段8。繞著點(diǎn)5逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)。后得到線段仍，連接4E.若比=1,32,求A￡的長；

【問醒解決】

(3)如圖3,某貨運(yùn)場為一個(gè)矩形場地ABCD,其中3C=300米，AB=400米，對角線AC為

該場地內(nèi)的一條小路，頂點(diǎn)A,5為兩個(gè)入口，頂點(diǎn)。為出口.管理人員計(jì)劃對該場地

進(jìn)行改造，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，準(zhǔn)備在線段8C上找一點(diǎn)石(分撥場)，將4E繞點(diǎn)4須時(shí)針

旋轉(zhuǎn)得到釬，旋轉(zhuǎn)角等于N2AC,尸為貨物中轉(zhuǎn)站，沿枕修建專用車道，為了控制成本，

管理人員要求專用車道DF的長度盡可能的短，若不考慮其他因素，求專用車道的最

短長度.

A

12.已知如圖,在等邊VABC中，點(diǎn)。，E分別是邊AB,BC上兩點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，且

BD=CE,8與AE相交于點(diǎn)尸.

⑴如圖1,求ZAFC的度數(shù);

(2汝口圖2,將線段w繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120后得到AG,連接BG交AE于點(diǎn)K,猜想AK、KE、

“'三者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CK,當(dāng)CK最小時(shí)，請直接寫出臉的值.

An

13.綜合與實(shí)踐:

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)對“對等

垂美四邊形”進(jìn)行研究.定義：對角線相等且垂直的四邊形叫作對等垂美四邊形.

(1)定義理解

圖1中，A、B、。三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)诟顸c(diǎn)上確定點(diǎn)C,使四邊形四。為對等垂美四

邊形.

(2)深入探究

如圖2,在對等垂美四邊形ABCD中，對角線AC與加交于點(diǎn)。，且。1=。。，03=OC,將MOB

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0"旋轉(zhuǎn)角＜45。)，B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為笈、C,如圖3,請判斷四

邊形是否為對等垂美四邊形，并說明理由.(僅就圖3的情況證明即可)

(3)拓展運(yùn)用

在(2)的條件下，若03=3,3=5,當(dāng)△。國為直角三角形時(shí)，直接寫出四邊形的

面積.

14.已知VABC為等邊三角形，D,E分別為線段AC,AB上一點(diǎn)，AE=CD,CE與BD交于

點(diǎn)F.

圖1圖2

(1)如圖1,求證AAEC四△CD3；

(2)如圖1,若ZA3D=3ZACE,BF=1+C,求跖的長；

(3)如圖2,“為射線5。上一點(diǎn)，連接打，將線段必繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得GF,連

接2G,若NG3D=60。，求證：BG=BF+2CF.

15.如圖，在VA5C中，NS4c=90。，AC=4^2,"=45。，點(diǎn)尸沿折線AB-5c向終點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)(點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、。重合)，把線段AP繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段PQ,連接AQ.

(l)sinZPA(2=；

(2)當(dāng)點(diǎn)。落在邊BC上時(shí)，求線段AP的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在不添加輔助線的情況下，當(dāng)圖中線段圍成的三角形中，

存在兩個(gè)相似三角形的相似比為1：3時(shí)，求”的長；

(4)當(dāng)=白以.時(shí)，直接寫出△AP。與VABC重疊部分的面積.

1O

參考答案

1.(1)90°

(2)。"，AC,證明見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，

圓周角定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)利用等腰三角形的定義即可解答；

(2)連接A￡),連接F，可得點(diǎn)在以點(diǎn)尸為圓心，以胡為半徑的圓上，再連接

/汨并延長交AC于點(diǎn)G,證明ZDAC+ZADG=90。即可解答.

【詳解】(1)解：尸是AE的中點(diǎn)，線段正繞點(diǎn)下逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到線段F"

:.FA=FE=FH,ZEFH=a

1QQO_a

:,ZAHF+ZFAH=2ZAHF=ZEFH=a,ZFHE=-----

2

a

:./AHF=一

2

ZAHE=ZAHF+NFHE=—+儂。—0=90°?

22'

(2)解：DHLAC,理由如下：

如圖，連接AD,連接功

AB=AC,。是BC的中點(diǎn)

.\AD±BC

尸是AE的中點(diǎn)

.\FD=FA=FE=FH

.?.點(diǎn)AH,瓦。在以點(diǎn)尸為圓心，以用為半徑的圓上，如圖，連接。〃并延長交于點(diǎn)G

?;FE=FH,ZEFH=a

180。一口

ZFEH

2

180。一。

ZADH=/AEH=

2

ZBAC=a,AB=AC9。是BC的中點(diǎn)

jex

NDAC=—/BAC=一

22

ZDAC+ZADG=-+-80°~a=90°

22

:.ZAGD=90°

:.DG±AC,DHLAC.

2.⑴見解析

(2)y

(3)圖見解析，小，野

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一軸對稱和旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形

的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)連接AD并延長到A使得AD=AD,同理作出夙C,再順次連接A、？、C即可；

(2)根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E,連接血交y軸于P,則點(diǎn)尸即為所求；可證明。尸垂

直平分AE,得到尸E=叢，再證明=/尸歷1,得到尸A=PB,則PE=PB,據(jù)此根據(jù)兩點(diǎn)中

點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，AEC即為所求；

（2）解：由題意得，5A,B,c,=1x7x3=y

（3）解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E,連接血交y軸于P,則點(diǎn)尸即為所

求；

。尸垂直平分AE

PE=PA

ZPEA=ZPAE

/BAE=90°

/.ZPEA+APBA=ZPAE+ZPAB=90°

，ZPAB=ZPBA

PA=PB

/.PE=PB

???點(diǎn)尸為班的中點(diǎn)

VA(l,5)

，E（-l,5）

<-1+1-2+5)即小5

1二，2J

3.(1)A；130

⑵6

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識點(diǎn).熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵.

（1）由“VA2C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE重合”可得旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，求出一區(qū)40即可得

旋轉(zhuǎn)角；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出仞=鉆=3,AE=AC,根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AC,即可求

解.

【詳解】（1）解：在VASC中，4=40。，ZC=20°

/.ABAC=180°-ZB-ZACB=180。一20°-30°=130°

即ZBAD=130。

VABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE重合

二?旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為130。；

故答案為：A；130；

（2）解：:VASC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與VADE重合

?*.AD=AB=39AE=AC

點(diǎn)。恰好成為AC的中點(diǎn)

/.AC=2AZ)=6

/.AE=AC=6.

4.(l)ZE4B'=90。；

(2)3后的長度為42cm.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

(1)由旋轉(zhuǎn)得，ZB,=ZABE,再利用四邊形內(nèi)角和定理求解即可；

(2)過點(diǎn)A作于點(diǎn)尸，過點(diǎn)9作37nAp于點(diǎn)H.在Rt尸中，利用三角函數(shù)的

定義求得找=24,BP=18,證明AB摩絲求得PA=HR=24,進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)得，ZB'=ZABE

,/ZABE+ZABE'=180°

ZB'+ZABE'=180°.

BEVBE

???在四邊形ABEE中，ZaAB,=360o-180°-90o=90°；

(2)解：如圖，過點(diǎn)A作助于點(diǎn)P,過點(diǎn)夕作57nAp于點(diǎn)從

AF//BE

，ZABP=ZBAF.

在RtABP中，ZAPB=90°

4APAP

/.sinZABP=sinZBAF=-=—=—

5AB30,

AP=24.

BP=7302-242=18.

由(1)知，NBAB'=90。，BP^AP+ZPAB=90°

ZABP+ZPAB=90°

，ZBrAP=ZABP

由旋轉(zhuǎn)，得AB=AB，

ABPgAAHB'

PA=Hff=24

BELBE

/.NBEP=NB'HP=ZAPE=90°

???四邊形？石7也是矩形.

PE=HB'=24

/.BE=BP+尸E=18+24=42.

所以，BE的長度為42cm.

5.⑴孝，45。

⑵VTJ-3或舊+0

(3)V2<MF<3A/2

【分析】(1)證明△C3A4BE,相似比為日，ABE可以看做△CBO繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。

后放大庭得到，故直線。與直線AE相交所成的銳角度數(shù)是45。；

(2)證明VABESVCBA,得至|]C￡>=#AE,分點(diǎn)E在線段■上和點(diǎn)E在線段順延長線上兩

類討論，分別求出AE長，即可求出

(3)延長所到G使得FG=?,連接AG,BG,則，.防G為等腰直角三角形，求出3G,

證明M尸=；AG,根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出AG取值范圍，問題得解.

【詳解】(1)解：由題意得，VABC,△EB。都是等腰直角三角形

...色=%=在ZABC=ZEBD=45°

ABEB2

/.ZCBD=ZABE

Z\CBD^/\ABE

.?.華，一ABE可以看作△CM繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后放大&得到，故直線。與直線

AE2

AE相交所成的銳角度數(shù)是45。；

(2)解：???VA5c是腰長為4的等腰直角三角形，四邊形雙汨F的邊長為2的正方形

AB=yf2BC=4y/2,BE=^2BD=272,ZABC=ZEBD=45°

.ABBEr-

??——=——=J2,ZABE=ZCBD

BCBD

VABEWCBD.

?CDCB

/.CD=—AE.

2

*/DELEF

???當(dāng)。石，AF時(shí)，A、E、尸三點(diǎn)在一直線上時(shí)

在Rt_AB尸中，:ZAFB=90°

/.AF=>JAB2-BF2=^(4A/2)2-22=277

如圖2,當(dāng)點(diǎn)石在線段AF上時(shí)

CD=岳-啦;

如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在線段■延長線上時(shí)

綜上所述，當(dāng)■時(shí)，線段。的長為9一0或0;

(3)解：延長所到G使得歹G=Eb,連接AG,BG

則BFG為等腰直角三角形，

I.BG=y/2BF=2y/2

?.?"為AE中點(diǎn)，下為EG中點(diǎn)

/.MF為AEAG的中位線

MF=~AG

在ABG中，VAB-BG<AG<AB+BG

20<AG<6夜

V2<MF<3A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì),

等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(1)5,35

(2)10或25或40

(3)105

【分析】(1)由平行和垂直求出旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時(shí)間；

(2)畫出圖形，分類討論，①ZR4F=ZPE4；②ZPAF=ZAPF?,③=求出旋轉(zhuǎn)角,

再求出/值;

(3)找出與-54E,NAED,NDFB有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，再把無關(guān)的角消去，得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖(1),當(dāng)時(shí)，ZEDF=ZBPF=45°

圖⑴

AF平分/5AC,Zfi4c=60。

.-.ZBAF=30°

又NBPF為■的一個(gè)外角

NPFA=ZBPF-ZBAF=45°-30°=15°

15°.

如圖(2),當(dāng)時(shí)，ZDPB=180°-90°-45°=45°

P^D

:.ZAPF=ZDPB=45°

ZBAF=30°

ZAFP=1800-ZAPF-ZBAF=180°-45°-30°=105°

故答案為：5,35.

(2)解：①如圖(3),當(dāng)ZR4F=ZP用時(shí)

:.ZPFA=30°

②如圖(4),當(dāng)/尸E4=/4P尸時(shí)

180°

③如圖(5),當(dāng)44F=〃F時(shí)

綜上所述：當(dāng)/為10或25或40時(shí)，AF尸有兩個(gè)內(nèi)角相等.

(3)解：是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角

ZBMN=ZBAE+ZAED=x°+y°,ZMNB=ZDFB+ZD=z°+45°

又NBMN+ZMNB+NB=180。,ZB=30°

x°+y°+z°+45°+30°=l80°

.?.x°+y°+z°=105°

/.%+y+z=105.

【點(diǎn)睛】本題以求三角形旋轉(zhuǎn)時(shí)間為背景，考查了學(xué)生對圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行的性

質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的

關(guān)鍵，第（3）問找到三個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

（2）見解析

⑶擠

【分析】（1）證明從而得出結(jié)論；

（2）作CD，火交3尸的延長線于。，證明CPIaQPB及%/注,.，二者結(jié)合可證明結(jié)

論；

（3）點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，BC為半徑的圓，設(shè)CN上的高是所，垂足為，則產(chǎn)的

軌跡是以B為圓心，M為半徑的圓，CN運(yùn)動(dòng)的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，結(jié)合圖

形找出點(diǎn)虛的最大值，然后根據(jù)垂線段最短可求出W的最小值，從而確定加和〃的比

值，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖1,設(shè)3的延長線交CN于。

CN1AM9ZABC=90°

圖1

:.ZABC=ZADC=90°

ZAMB=ZCMD

:.ZBAM=ZBCN

在.ABM和△CBN中

'ZBAM=/BCN

<AB=BC

/ABC=/CBN=90。

ABM^CBN(ASA)

BM=BN-

(2)證明：如圖2

作8,3c交板的延長線于。

/./BCD+ZABC=90°+90°=180°

，CD//AB

:.一CPDsQPB

CPCD

'~PQ=~BQ

BP±AM

:.ZBPM=90°

:.ZDBC+ZAMB=90°

ABAC=90°

/.ZBAM+ZAMB=90°

:.ZDBC=ZBAM

在△BCD和MM中

ZDBC=ZBAM

-BC=AB

ZBCD=NABC=90°

BCD^ABM{ASA)

:.CD=BQ

CPBM

"~PQ~~BQ

CPBQ=BMPQ.

(3)解：如圖3

點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌跡是以8為圓心,BC為半徑的圓

圖3

設(shè)CN上的高是8尸，垂足為尸，則下的軌跡是以2為圓心,3月為半徑的圓

，CN運(yùn)動(dòng)的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)

當(dāng)E在的延長線上時(shí)，DE最大

3

ZBCN=9Q°,tanZBCN=-9AB=BC=6

39

，BM=BN=BCtan/BCN=6x—=—

42

。為即/的中點(diǎn)

19

...BD=-BM=-

24

933

:.m=BD+BE=BD+BC=-+6=—

44

9

BN=—,BC=6

2

/.CN=】BN?+BC?=—

2

根據(jù)三角形面積可得

9

BNxBC9X618

CN155

~2

18927

/.n=DE'=BE'—BD=BF—BD=-------=—

5420

33

m_4_55

n279,

20

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題，相似

三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形

和相似三角形.

8.(1)1

（2）見解析

【分析】（1）先判斷出為等腰直角三角形，進(jìn)而證明ABZ歷名△CZM,即可求解;

（2）由（1）可知求證8/=應(yīng)￡>〃-4/的實(shí)質(zhì)是求證后DH=C”，而等腰直角三角形中會(huì)

存在此種邊的關(guān)系，考慮構(gòu)造以四為直角邊的等腰直角三角形，進(jìn)而可求證.

【詳解】（1）解：于點(diǎn)。

/.NBDC=9CP

,/ZABC=45°

，△38是等腰直角三角形

/.BD=DC=—BC=2y/2

2

在RtABDE中，由勾股定理得「石=JBE?-&D?=l

VBD=CD,BE=AC

又ZBDC=ZCDA=90°

/.RtBDE^Rt.CZM(HL)

AD=ED=1?

(2)證明：將/TO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到HD,連接卸/咬AC于點(diǎn)尸，連接印乙

如圖2

圖2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，DH=DH',NHDfT=90。

二.皿）”是等腰直角三角形

HH'=四DH

由（1）知，/BDC=90°,BD=CD

ZHDC=Z.HDH'+ZH'DC,Z.BDH'=ZBDC+AH'DC

ZHDC=ZBDH'

：.HD8H'DB（SAS）

BH'=HC,ZDBH'=ZDCA

又「NDBE=/DCA

???點(diǎn)尸即點(diǎn)尸

*.*/BHD+NCBE=45。

又ZCBE+Z.DBE=45°

/.ZBHD=ZDBE

BH_LBC

ZHBD=45°

ZH,HB=ZH,HD+ZBHD=ZHBD+ZDBE=ZHBHr

，HH'=H'B

/.CH=AH+AC=AH+BE

/.BE=yf2DH-AH.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適的輔助線，

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9.⑴見解析

（2）45。或225。或315。

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)SAS,可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等；

（2）分類討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答，可得答案.

【詳解】（1）證明：在“CE和中

CE=CD

<ZACE=ZDCB=90°

AC=CB

/.AACE^ABCr>(SAS)

AE=BD?

（2）解：分情況討論，設(shè)VABC旋轉(zhuǎn)后，A,8的對應(yīng)點(diǎn)為4,8,

當(dāng)⑺為邊時(shí)有兩種情況

當(dāng)。C在AR上方時(shí)，以H、B'、a。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)如圖

ZArCB'=90°,CA'^CB'

.?.NC4宣=45°

四邊形Q4EC為平行四邊形

:.DC//AB'

:.ZDCA^/CA'B'=45°,即旋轉(zhuǎn)45°；

當(dāng)DC在AB，下方時(shí)，以H、B\C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)如圖

CD//AB'

,ZAC4'=180°—ZA'=135°

，旋轉(zhuǎn)的角度為360。-135。=225°；

當(dāng)8為對角線時(shí)，以A、B,、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)如圖

E

DDC=A'B',CA=CB'

..四邊形AT出C為正方形

:.ZACA=45°

，旋轉(zhuǎn)的角度為360。-45。=315。.

綜上，旋轉(zhuǎn)角度為45。或225。或315。，以4股C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

10.(1)60°

⑵3

(3)8+26或8-26

【分析】(1)根據(jù)題意，得NOG4+NOG3=180。，ZOGC+ZOGB=180°,于是得至l]NOGA=NOGC,

過點(diǎn)。作O〃，AG于點(diǎn)G,得到O"=OC=2,于是sin/OAH=察二,得到NQ4H=30。，即得

Cz/iZ

至I」NBAG=90°-ZOAH=60°；

(2)ilEHIZFOK=90°-ZBOK=ZAOB,得至[jtan//。K=tanZAO2=M=:，故拶=，角軍得

FK=1,EK=EF—FK=4—1=3,#—=-

取EK3'

(3)當(dāng)直線。。經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，設(shè)跖與入軸的交點(diǎn)為N,則OMNF,過點(diǎn)尸作世,出于

點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DPJ■期于點(diǎn)尸，貝!jPQ=OFsinNFCW=2sin6(r=A^,DP=ODsinZDON=4sin30°=2,計(jì)

算一次面積；當(dāng)點(diǎn)M在線段DO上時(shí)，延長E尸與入軸的交點(diǎn)為T,則。河TF,過點(diǎn)尸作

FWAT于點(diǎn)卬，過點(diǎn)A作項(xiàng)，6?于點(diǎn)心再證明ARM^FOM(AAS),得4?=FO=2,于是

SADF=SMDF+S皿計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：...四邊形OMC,8跖是完全相同的兩個(gè)矩形，3(4,2)

/.OA=BC=OD=EF=4,OC=AB=OF=ED=2

ZOAB=90°

根據(jù)題意，得ZOGA+ZOGB=180°，ZOGC+ZOGB=180°

/.ZOGA=ZOGC

過點(diǎn)。作的，AG于點(diǎn)G

*/OCLBC

：.OH=OC=2

?../CA口OH1

?sinAOAH==—

OA2

/.ZOAH=30°

/.ZBAG=90°-ZOAH=60°.

/.ZFOK=90°-ZBOK=ZAOB

tanZFOK=—=tanNAOB=—=-

OFOA2

?FK-1

角隼得FK=1,EK=EF-FK=4-1=3

(3)解：如圖，當(dāng)直線DO經(jīng)過點(diǎn)”時(shí)

???四邊形0ABC,O〃E尸是完全相同的兩個(gè)矩形，8(4,2)

OA=BC=OD=EF=4,OC=AB=OF=ED=2

ZFOD=ZOFN=9009OMPEF

設(shè)房與1軸的交點(diǎn)為N

貝（jOMNF

?AMAO

■■MF~^N

TAF的中點(diǎn)”

/.AM=FM

AO=ON=4

.OF1

*.?sinZFNO==—=sin30°

ON2

ZFNO=30°

：.ZFON=60°

?/OMNF

過點(diǎn)尸作尸。，期于點(diǎn)。過點(diǎn)。作分，4V于點(diǎn)尸

FQ=OFsinNFON=2sin60°=石,DP=ODsinZDON=4sin30°=2

***SADF=SAOD+^,AOF+S.WF=「x4x如+gx4x2+gx4x2

=8+26;

如圖，當(dāng)點(diǎn)〃在線段DO上時(shí)

:四邊形。^C,所是完全相同的兩個(gè)矩形，8(4,2)

/.OA=BC=OD=EF=4,OC=AB=OF=ED=2

ZFOD=ZOFE=90°,OMPEF

延長跖與x軸的交點(diǎn)為T

則OMTF

?AMAO

??~MF~~OT

???AF的中點(diǎn)M

AM=FM

「?49=07=4,OM=-TF

2

npi

*/sinZFTO=——=-=sin30°,ZOFT=90°

OT2'

NF7V=30。

ZFOW=60°

,/OMNF

/.ZDOA=ZFTO=30°

過點(diǎn)尸作厘，AT于點(diǎn)w,過點(diǎn)A作招,⑺于點(diǎn)R

FW=OFsinZFOT=2sin600=y/3,FT=2FW=2^

/.OM=^FT=y/3,DM=0D-0M=4-6

ZFOM=ZARM

*/[ZFMO=/AMR

FM=AM

，A7?M0qR9M（AAS）

/.AR=FO=2

Si=SMw+SW=；x（4-⑹（2+2）=8-2若；

綜上所述，尸的面積為8+26或8-26?

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全

等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，

熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（1）見解析；（2）2萬；（3）220米

【分析】（1）證明NG4尸=/八4￡,又由ZACF=ZADE即可得到結(jié)論；

（2）證明.CBDWABE（SAS）,貝（|皮）=6￡=1,CD=AE.進(jìn)一步求出3C=AB=">+比>=3,在

RtAeCD中，由勾股定理得8=2四，即可求出答案；

（3）證明DAF^TXE（SAS）,得到。尸=7E,即富的最小值即為。尸的最小值.當(dāng)曜，3c時(shí)，

萬的值最小.進(jìn)一步求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形"8是正方形

ZCAD=ZACB=ZADB=45°

,/ZEAF=ZCAD=45°

/.ZCAF+ZCAE=ZDAE-^ZCAE

ZCAF=Z.DAE.

*.*ZACF=ZADE

ADE^ACF.

（2）解：???線段助繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到線段仍

/.BD=BE

/.ZABE=ZCBD=a.

在△CHO與-AB石中，BC=BA,ZCBD=ZABE9BD=BE

/.CBD空ABE(SAS).

/.BD=BE=1,CD=AE.

?/CD±AB

：.NCDB=90。

VBD=1,AD=2

/.BC=AB=AD+BD=3.

在RtABCD中，由勾股定理得

CD=y/BC2-BD2=732-l2=272

即AE=2-j2.

(3)解：在矩形ABCD中，AB=400,BC=AD=300

.**AC=VAB2+BC2=500.

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，將線段的繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于得到AT,

連接ET,DF,貝ljAD=AT,ZDAT=ZBAC=ZEAF

ZDAF^ZEAT,

F

,/AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF

AF^AE

在AZMF和中，AD=AT,ZDAF=ZEAT,AF=AE

：.DAF^TAE(SAS)

，DF=TE,即TE的最小值即為“'的最小值.

當(dāng)7ELBC時(shí)，7E的值最小.

過點(diǎn)T作ZE」3c于￡.延長ET,交AD于點(diǎn)“，則￡H=AB=400.

ZHAT=ABAC,ZAHT=ZABC

：.AHATs^BAC,

?HTATnnHT300

BCAC1300500

/.HT=180

/.7F=￡H-HT=400-180=220,即此時(shí)"'的最小值為220.

綜上，專用車道”■的最短長度為220米.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三

角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角

形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（1）120°

（T）AK+DF^KE

（3）-6

【分析】（1）先證明BCD^..CAE（SAS）,得到4CD=NC4E,結(jié)合N￡FC=NFC4+NG4E,求得

ZEFC=ZFCA+ZBCD=ZBCA=60°,再根據(jù)/AFC=180。-NEFC=120。，解答即可.

（2）延長班到點(diǎn)H,使得3A=AH,延長EK到點(diǎn)凡使得m=0，連接S,GR,先證

明一曲GWG4F（SAS）,判定ARP//G,再證明.3順WGK?（SAS）,ARG^.ADF（AAS）,代換后解

答即可.

（3）以AH為邊在的左側(cè)作等邊三角形謝，作的的外接圓。，利用四點(diǎn)共圓可

以證明點(diǎn)G也在。上，連接0AM,。民OG,取08的中點(diǎn)/,連接次

設(shè)AB=3a,則ACMBCuAHnAVuHYMSa,過點(diǎn)O作OQ'AH于點(diǎn)。

確定火=事，從而確定點(diǎn)K在以點(diǎn)/為圓心，以冬為半徑的圓上，連接北，交乂于

點(diǎn)K,根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)K重合時(shí)，CK取得最小值，延長3交5。于點(diǎn)匕取3V的

中點(diǎn)w,BW=WV=^BV,ZBAV=ZOAH=ZOHA=30°,由ZABV=60。，則4歷=90。，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：:VA5c為等邊三角形

/.BC=CA,ZBCA=/B=60°

BC=CA

?.?[/B=NECA=60。

BD=CE

JJ3CD組C4E（SAS）

/.ZBCD=ZCAE

ZEFC=ZFCA+ZCAE

/.ZEFC=ZFCA-^-ZBCD=ZBCA=60°

/.ZAFC=1800-/EFC=120。.

（2）解：AK+DF=KE.理由如下：

延長班到點(diǎn)“，使得曲=4/,延長￡K到點(diǎn)H,使得EK=KR,連接G〃，GR

等邊VABC

AB=BC=CA,ZABC=ZBCA=ZCAB=60°

/.NC4H=120。,AB=BC=CA=HA

ZFAG=120°,AF=AG

/.ZFAC=1200-ZCAG=ZGAH

AH=AC

V\zHAG=ZCAF

AG=AF

."4G0_C4F（SAS）

ZACF=AH,ZAFC=120°=ZAGH

ZBAE=ZR\H,NBAE+NEAC=60。

ZRAH+ZHAG=60°

ZRAG=60°

ZRAG+ZAGH=180°

ARPHG

.BABK,

?.石=旃j

BK=KG

BK二KG

Vlz.BKE=ZGKR

KE=KR

：?BKEm一GKR(S網(wǎng)

：?BE=GR,ZARG=ZAEB

?/BCD^C4E(SAS)

ZBDC=ACEA

ZAEB=ZADF

/.ZARG=ZADF

ZARG=ZADF

VIZRAG=ZDFA=60°

AG=AF

；?，ARG會(huì)ADF(AAS)

/.AR=DF

,:KR=AK+AR,KR=KE

/.KE=AK+DF.

（3）解：根據(jù)（2）的證明，得一/MG”C4F（SAS）

AC=AH,ZAFC=120°=ZAGH

以4/為邊在4/的左側(cè)作等邊三角形AHX,作的外接圓。

ZAXH=60°

ZAXH+ZAGH=180°

JAG,H,X四點(diǎn)共圓

???點(diǎn)G在。上

連接OA,OH,O8,OG,取03的中點(diǎn)/,連接第，由（2）證明得3K=KG

IK=-OG=-OA

22

設(shè)AB=3a

貝UAC=BC=AH=AX=HX=3a

ZAXH=60°

/.ZAOH=1200

過點(diǎn)。作。Q，AH于點(diǎn)。

*/OA=OH

13

/.ZAOQ=60°,AQ=QH=-AH=-a,ZOAH=ZOHA=30°

3

-u

AO=OH=OG=\=/a

2

??IK.-----a

2

???點(diǎn)K在以點(diǎn)/為圓心，以fa為半徑的圓上

連接/C,交/于點(diǎn)K,根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)K重合時(shí)，CK取得最小值

延長0A交于點(diǎn)V,取3V的中點(diǎn)M，，BW=WV=-BV9ZBAV=ZOAH=ZOHA=30°

由ZABV=60°

貝=90°

3

/.AV=ABsm60°=^a,BV=CV=1BC=-——Cl

222

連接“，則=ov

5A

OV=OA+AV=—a

2

：.IW=-OV=^-a,BW=WV=^-a,CW9

7=BC-BW=-a

2444

IWOV,AAVB=90°

ZBMI=ZAVB=90°

CI=>JlW2+WC2=叵4

2

CK=CK'=CI-IK=底一6a

2

底-布

故CKCK'2&a-退.

ABAB3a6

zz、、

底---------我”

1\，/，4

i\fe.；/v

\\/\^G

BWVEC

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性

質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定

理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見詳解

(2)證明見解析

(3)32或29

【分析】本題主要考查復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，

正確理解“對等垂美四邊形”的定義是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“對等垂美四邊形”的定義作圖即可；

(2)連接AC,B，D交于點(diǎn)N,設(shè)。。與歹。交于點(diǎn)E,證明AOC冬DO?(SAS)得AC=9,

ZC'AO=ZB'DO,再證明AC」B'D即可得出結(jié)論；

(3)當(dāng)ZAO?是直角時(shí)，當(dāng)乙出。為直角時(shí)，分別求解即可；

【詳解】(1)解：如圖，四邊形小。即為所作的對等垂美四邊形；

(2)解：四邊形第CD是對等垂美四邊形，理由如下:

連接AC,37)交于點(diǎn)N,設(shè)。1與交于點(diǎn)E

由題意知，OA=OD,OB'=OC,ZAOD=ZB'OC'=90°

/.ZAOD+ZDOC=ZBfOC+ZDOC,即ZDOB'=ZAOC

在AAOC和ADOBf中

"OA=OD

<ZAOC=/DOB

OC=OB'

...AOC^.DOB\SAS)

AC=DB',NC'AO=ZB'DO

又ZDEO=ZAEN

ZAOD=ZAND=90°

:.AC±BfD

/.在四邊形AB'C'D中，AC'l.B'D,AC'=B'D

，四邊形AB'。。是對等垂美四邊形;

(3)解：①當(dāng)NAO*是直角時(shí)，如圖

08=3,OB=OC

rr

SARE=~OAOB+-OCOB+-ODOA+-OCOD

AB32222

=—x3x5+—x3x3+—x5x5+—x3x5

2222

1592515

=一+一+一+一

2222

=32；

當(dāng)乙皿。為直角時(shí),如圖，過點(diǎn)。作0c的垂線，垂足為“

QOD=OA,ZOHD=ZAB'O

ZAOB'+ZHOA=90°,ZDOH+ZAOH=90°

ZDOH=ZAOB'

DOH^AOB'(AAS)

:.DH=AB'

OB=3,OA=5

貝!JAB'=sJOA^-OB'2=752-32=4;

S,=-OA-OD+-B'A.OB'+-OC'.OB'+-OC'.DH

ABKCrDn2222

=—x5x5+—x4x3+—x3x3+—x4x3

2222

=一25+一12+一9+一12

2222

=29；

綜上所述，四邊形M'C。的面積32或29

14.⑴見解析

(2)2

(3)見解析

【分析】(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS即可證明結(jié)論；

(2)過點(diǎn)E作EG_L3。，如圖所示，由(1)可知ZACE=NCB。，ZACE=ZCBD=a,貝！j

ZABD=3ZACE=3a,由4&=60。，解得&=15。，由等腰直角三角形及含30。的直角三角形性質(zhì)，

設(shè)FG=x,則EF=2x,BG=EG=?,列方程求解即可得到答案；

(3)延長CE交BG于J,在GB上取G/=FC,如圖所示，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、三角形全

等的判定與性質(zhì)，通過構(gòu)造的"C紂FG/(SAS)、加金用C(AAS)將線段轉(zhuǎn)化到一條線上

即可得證；

【詳解】(1)證明：在等邊三角形VABC中，AC=BC,ZA=ZACB=ZABC=6O°

在△AEC和△CD3中

AE=CD

<ZA=ZACB=60°

AC=BC

:.一AEC空CDB(SAS)；

(2)解：過點(diǎn)E作EGLBD,如圖所示：

A

由（1）可知改成四△COB

:.ZACE=ZCBD

設(shè)ZACE=/CBD=a,貝ljZABD=3ZACE=3a

.?.4a=60。，解得夕=15。

???在RtABGE中，ZEGB=90°,NEBG=45。,貝lj/3EG=45°

NBEF=ZA+ZACE=75°

:.ZGEF^30°

在RtAEFG中，設(shè)尸G=x,則EF=2x,由勾股定理可得EG=在產(chǎn)_用=瓜

BG=EG=&

BF=1+A/3=s/3x+x,解得x=l,貝（jEF=2x=2；

（3）證明：延長CE交3G于J,在GB上取G/=FC,如圖所示：

由⑴AAEC^ACDB

:.ZACE=ZCBD

,NFCB是NFCH的一個(gè)外角

:./FCB=ZH+/HFC

ZFCB+ZACE=60°=ZH+ZHFC+ZACE,ZH+ZG+ZGBH=ZHFG=120°,即

ZH+NG+NGBD+NCBD=120°

又Z.GBD=60°,貝UNH+NG+ZACE=60°

:.ZHFC=ZG

將線段HF繞點(diǎn)、F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得GF

:.FH=FG,ZHFC+/GFE=60。

在二HFC和二尸G/中

FH=FG

<ZHFC=ZG

G1=FC

:.HFC空FGI(SAS)

/.ZGFI=ZH

由ZHFC+NGFE=60。矢口,ZHFC-^-ZGFI+ZJFI=60°,貝(jZHFC+ZH+AJFI=60°

ZH+ZHFC+ZACE=60°

:.ZJFI=ZACE,即ZJFI=ZCBD

.NE?是AFy/的一個(gè)外角

../FJB=NJFI+NJIF=ZJFI+NG+NGFI=60。

/BFJ是咫。的一個(gè)外角

ZBFJ=ZFCB+ZCBD=60°

.?.△陽是等邊三角形，則防=引=即

ZJIF=NG+NG/7,ZFCB=ZH+HFC

:.ZJIF=ZFCB

在"7和沖。中

ZJIF=ZFCB

<ZJFI=ZFBC

BF=FJ

JFI^FBC(AAS)

:.JI=FC

:.BG=BJ+JI+IF=BF+2CF；

【點(diǎn)睛】本題考查了，等邊三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理解三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，構(gòu)造全等

三角形.

15.⑴冬

(2)AP=20或AP=4；

(3)CP=4或CP=8；

(4)7或主臀或肛，.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得〃AQ=45。，然后再

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)即可解答；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得%=再至方=8,然后分當(dāng)尸在線

段上和BC上兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與線段的和差即可解答；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在邊3C上的不同位置，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和