2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)壓軸之線段問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及

答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.已知，拋物線蚱蘇+bx+c與％軸交于4,5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且對(duì)稱(chēng)軸為直線

x=-lOC=3OB=3.

⑴求拋物線的解析式;

(2)如圖1,在第二象限的拋物線上作點(diǎn)。，連接交直線AC于點(diǎn)E,若AAOE與VA3C相

似，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸口，空的直線/：j+f(2<%<3)交拋物線于跖N兩點(diǎn)(M在第

三象限，N在第一象限)，直線TQ：y=r［交線段M尸于點(diǎn)。(不與尸重合)，設(shè)

的面積為s,求s的取值范圍.

2.如圖，直線y=-3x+2交y軸于點(diǎn)A,交工軸于點(diǎn)C,拋物線股-卜+法+修過(guò)點(diǎn)A,

點(diǎn)C,且交入軸于另一點(diǎn)反

(1)直接寫(xiě)出：b=_,c=_.

(2)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)求四邊形ABC”面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐

標(biāo)；

⑶將線段0A繞工軸上的動(dòng)點(diǎn)P(“。)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。得到線段。處，若線段。以與拋物線只有

一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求用的取值范圍.

3.如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=Y+bx+c與4軸相交于4,5兩點(diǎn)，與

y軸相交于C(O,Y)點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(T。).

(1)求拋物線的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求VABC的面積；

⑶點(diǎn)尸是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸平行線交直線8C于點(diǎn)Q,求線段

P。的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.已知平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=分+bx+c與％軸交于4,5兩點(diǎn)，

與丁軸的正半軸交于。點(diǎn)，且4-2,0),3(4,0),40,4)；

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接P3，PC,過(guò)點(diǎn)尸作E軸于點(diǎn)。，

交8C于點(diǎn)K.記△PBC,的面積分別為S1和邑，求S「邑的最大值；

(3)如圖2,連接AC,點(diǎn)石為線段AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)石作比UAC交4軸于點(diǎn)八拋物線上

是否存在點(diǎn)。，使/。也=2/004?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

5.【綜合探究】

如圖，已知拋物線，=一一2X+3的頂點(diǎn)為。點(diǎn)，且與X軸交于5、A兩點(diǎn)(3在A的左側(cè)),

與y軸交于點(diǎn)c,點(diǎn)E為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與X軸交于點(diǎn)尸.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在x軸上方且CE〃加時(shí)，求sin/DEC的值；

(2)若拋物線對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)E,使得+取得最小值，連接AE并延長(zhǎng)交第二象

限拋物線為點(diǎn)M,請(qǐng)求出此時(shí)線段期的長(zhǎng)度.

6.如圖，直線y=-x+4與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B,拋物線y=-；/+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、

B,在線段0A上有一動(dòng)點(diǎn)8%0),點(diǎn)。不與點(diǎn)0,4重合，過(guò)點(diǎn)。作X軸的垂線分別交

直線A2于點(diǎn)。，交拋物線于點(diǎn)E

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)。是OE的中點(diǎn)時(shí)，求機(jī)的值；

(3)過(guò)點(diǎn)石作垂足為點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)石坐標(biāo)為多少時(shí)，線段所的長(zhǎng)最大，最大值為

多少？

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=++bx+3與X軸交于A(3,o)、8兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C,且關(guān)于直線x=i對(duì)稱(chēng).

⑴求線段48的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)o<x<3時(shí)，求)的取值范圍；

(3)如圖2,點(diǎn)G為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)網(wǎng)叫％),打〃,％)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線上，若

△GEF為等腰直角三角形，NEGF=90°,試證明：〃-加為定值.

8.如圖，拋物線丫=浸+及-3交X軸于A(_3,o),3(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.連接AC,

(D求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)尸為拋物線在第三象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PMLx軸于點(diǎn)交AC于點(diǎn)G,PE1AC

于點(diǎn)￡,求線段行的最大值；

⑶如圖2,若Q為拋物線上一點(diǎn)，直線。。與線段AC交于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)Q,

使得以A,O,N為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.如圖，拋物線'=-；/+%+4與％軸交于45兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)5的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)。，連接8C.

⑴求A,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出線段sc所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是線段BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作正河，尤軸于點(diǎn)交于點(diǎn)N求

線段PN長(zhǎng)的最大值.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=加+區(qū)-5(。力。)交工軸于A(l,o),c(-5,o)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)B.

(1)求此拋物線的表達(dá)式;

⑵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)使得△麗的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)〃

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶連接BC,點(diǎn)尸是線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)。，是否存在

以點(diǎn)0、。、尸為頂點(diǎn)，以。3為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出

點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，已知二次函數(shù)尸加+%+4的圖像與X軸交于A(T0),5兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,作直線BC.

(D求直線8C的函數(shù)表達(dá)式；

(2)尸是第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PQL3C于點(diǎn)Q,當(dāng)線段尸。取得最大值時(shí)，

求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=加+區(qū)-450)與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與＞軸

交于點(diǎn)c,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(T,0),且OC=OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M是直線8C下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與3、c重合)，當(dāng)ABCM面積最大時(shí)，求

點(diǎn)M的點(diǎn)坐標(biāo)及.BCM面積的最大值.

(3)點(diǎn)p為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為機(jī)，過(guò)點(diǎn)P作加〃X軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

-m+5.已知點(diǎn)尸與點(diǎn)Q不重合，且線段尸。的長(zhǎng)度隨優(yōu)的增大而減小.

①求優(yōu)的取值范圍；

②當(dāng)PQW10時(shí)，直接寫(xiě)出線段尸。與二次函數(shù)片加+小4［白加＜3的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)

應(yīng)的加的取值范圍.

13.拋物線產(chǎn)--+2X+3與％軸交于點(diǎn)A,。(點(diǎn)4在點(diǎn)。的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)及一

次函數(shù)、=辰+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,B.

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)。的直線交線段A2于點(diǎn)若山烈=4,直接寫(xiě)出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

（3）如圖2,點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作DE〃y軸交A3于點(diǎn)區(qū)

DF±AB垂足為下.當(dāng)止=2時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

14.如圖,直線y=-x+〃與X軸交于點(diǎn)A（3,o）,與y軸交于點(diǎn)5,拋物線y=--+法+C經(jīng)過(guò)

A,5兩點(diǎn)，點(diǎn)E（〃?，。）是線段0A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。和點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)石作EZUx

軸，交直線于點(diǎn)。，交拋物線于點(diǎn)尸，連接形.

（D求拋物線解析式；

（2）當(dāng)線段加的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶若線段加和加為等腰三角形尸叫的腰，求此時(shí)點(diǎn)石的坐標(biāo).

15.如圖，拋物線L：y=1f+bx+C與x軸交于點(diǎn)A（T0）,B（2,0）,交V軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。在拋

物線L上，且CO〃x軸.

(D求拋物線L的函數(shù)解析式;

(2)求線段。的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)E在拋物線L上，且其橫坐標(biāo)為5,拋物線L在點(diǎn)D，E之間的部分(包括點(diǎn)2E)記

作圖象W，若圖象W向上平移根(加＞。)個(gè)單位長(zhǎng)度后，與直線3C有唯一的公共點(diǎn)，求整

數(shù)加的值；

(4)直線/：y=-x-4與拋物線L交于兩點(diǎn)，把拋物線L和直線/所圍成的封閉圖形的邊界

上橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“美點(diǎn)”.若在直線尸質(zhì)的兩側(cè)的“美點(diǎn)”個(gè)數(shù)之比為12

直接寫(xiě)出人的取值范圍.

參考答案

1.⑴,=-公一2%+3；

(2)匕盧或-若；

⑶型＜sv以

I)12832

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)分兩種情況：①當(dāng)AAOESAABC時(shí)〃OE=WC,②當(dāng)時(shí)ZAOE=ZACB,分別

求解即可；

(3)根據(jù)產(chǎn)"+，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸口，)則。+"二得到=*|,代入得照履+*+|,聯(lián)

立股質(zhì)+9+|與廠-x］，解得&-碓可，再根據(jù)三角形面積公式得到

=S=1|x12+2J即可求解.

D乙1KII)

【詳解】(1)解：VOC=3OB=3

：.OB=1

Z.B（1,O）,C（O,3）

又???對(duì)稱(chēng)軸為直線X=「F=T

2a

a+b+c=O

<c=3

a=-1

解得："=-2

c=3

拋物線的解析式為y=T_2X+3；

（2）解：如圖1,①當(dāng)AAOESAMC時(shí)ZAOE=ZABC貝ljOD〃3c

設(shè)直線3C解析式為'=〃戊+"

將3(1,0),C(0,3)代入得:

(m+n=0

[n=3

解得；3

/.直線8C角軍析式為y=-3x+3

OD//BC

「?直線解析式為：)=-3%

聯(lián)立拋物線與直線得：f2_2%+3=-3%

整理得：尤2_%_3=0

解得：%=上乎％=呼（舍去）

②當(dāng)AAOES^24c3時(shí)ZAOE=ZACB作BH_LAC如圖2

,/5（1,0）對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-l

Z.A（-3,0）

AB=4OC=OA=3

?*.AC=ylo^+OC2=,32+32=30AH=BH=272

CH=tanAAOE=tanZACB==2

CH

EKLOA貝Ijtan/AOE=箓=2

設(shè)^OK=mAK=EK=2m

/.OK+AD=3m=AC=3

J點(diǎn)磯T2）

，直線OE解析式為：尸-2尤

聯(lián)立拋物線與直線OE得：一d一2x+3=-2x

解得芯=-3%=下1（舍去）

綜上所述點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為萼或-若

（3）解：直線TQ：尸-尤-；交線段M尸于點(diǎn)Q（不與MP重合）

當(dāng)尤=0時(shí)y="1

?直線/:丁=依+/經(jīng)過(guò)點(diǎn)p

?'?直線/：y=^+-k+-

聯(lián)立直線/：好質(zhì)+5%+5與直線7。：y=~x~4

y=kx+—k+—

22

5

y=——

4

解得：%二一即

517

.CT=OC+OT=3+—=——

44

172^+1117

——x

32k+132

■?-2<k<3S隨Z的增大而減小

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)解直角三角形一

次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)解析式等知識(shí)掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.（1）12

⑵當(dāng)4=2時(shí)四邊形MCN面積最大其最大值為8此時(shí)“（2,2）

(3)—3—^17*<m<—4—3+VP7<m<2

【分析】（1）令x=。由y=2得A點(diǎn)坐標(biāo)令>=。由y=-gx+2得C點(diǎn)坐標(biāo)將A

C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式進(jìn)而由二次函數(shù)解析式

（2）連接設(shè)求出8（-2,0）得到與邊形ABCM-S^ABO+^^AOM+S40cM再根

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值便可得M點(diǎn)的坐標(biāo)

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得。點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)令。點(diǎn)和A點(diǎn)在拋物線上時(shí)求出機(jī)的最

大和最小值便可.

【詳解】（1）解：令尤=。得y=-gx+2=2

A（o,2）

令y=。得y=-?+2=。解得x=4

...C（4,0）

把AC兩點(diǎn)代入y=-：/+6尤+c得

（1

'c=2cb,=—

,1解得2

——xl6+48+c=0c=2

I4I

「?拋物線的解析式為y=-%2+；x+2

（2）解：連接ON如圖

設(shè)Mp，-+

令y=0得y=_；尤2+（尤+2=0

解得：x=-2或x=4

，5（-2,0）

SxABO+SAAOM+S2CM

則S四邊形A5CN

1cc1c1（121Q

=—x2x2H—x2xH—x44x—xH—x+2

222I42J

12c,

——x+2x+6

2

??.當(dāng)》=-±=2時(shí)四邊形ABCM面積最大其最大值為8

此時(shí)M的坐標(biāo)為（2,2）

(3)解：?.?將線段0A繞工軸上的動(dòng)點(diǎn)尸(九。)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。A如圖

p(y=PO=rnO'A=OA=2

...Ar(m+2,m)

當(dāng)A(m+2,m)在拋物線上時(shí)有-;(m+2『+；(m+2)+2=wi

解得m=-3±y/17

當(dāng)點(diǎn)。'(加,租)在拋物線上時(shí)有加+；m+2=m

解得加=-4或m=2

J當(dāng)-3-鹿-4或-3+如(屋2時(shí)線段。燈與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)二次函數(shù)的綜合題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)待定系數(shù)法求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求函數(shù)的最大值三角形的面積公

式第(3)關(guān)鍵是確定。4點(diǎn)的坐標(biāo)與位置.

3.⑴拋物線的表達(dá)式為y=Y-3尤-48(4,0)

(2)10

(3)線段P。的最大值是4此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-6)

【分析】本題考查了拋物線與工軸的交點(diǎn)待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式二次函數(shù)的

性質(zhì).

(1)用待定系數(shù)法求解即可

(2)由AB。的坐標(biāo)得AB=5,OC=4再根據(jù)三角形面積公式求解即可

(3)利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式為加=>4設(shè)P(蒼龍2一3A4),0<x<4則

2(X,X-4)即可得出尸Q=.(X-2)2+4根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解:把(OT)(TO)代入y=>+6x+c得:

Jl-〃+c=0

[o+O+c=-4

解得，二

???拋物線的表達(dá)式為y=Y-3X-4

令d-3x-4=0則x=-l或4

3(4,0)

(2)解：VA(-I,o)3(4,0)C(0,T)

/.AB=5,OC=4

S△枷=<AROC=gx5x4=10

(3)解：設(shè)直線BC的解析式為%c=丘-4

：3(4,0)

...0=4%-4

解得k=1

直線BC的解析式為為c=x-4

設(shè)P(x,尤z-3x-4),0<x<4

YP。〃y軸

，Q(x,x-4)

PQ=X—4—^X2—3X—4^=—x2+4x=—(^x-2y+4

，當(dāng)x=2時(shí)PQg=4此時(shí)尸(2,-6)

，線段P。的最大值是4此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-6).

4.(l)y=-^2+x+4

(2)|

⑶存在主力或

【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可

（2）求出BC的解析式設(shè)P,,一/2+〃7+4］則：儀皿-,〃+4）,以辦0）將S「邑轉(zhuǎn)化為二次

函數(shù)求最值即可

（3）易得出垂直平分AC設(shè)5=4勾股定理求出廠點(diǎn)坐標(biāo)三線合一結(jié)合同角的余

角相等推出NAFE=NOG4=NCFE分別作點(diǎn)E關(guān)于》軸和直線b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)6也直線

咫尸心與拋物線的交點(diǎn)即為所求進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：拋物線y=分+6x+c與％軸交于45兩點(diǎn)與y軸的正半軸交于。點(diǎn)

且A（-2,0）,B（4,0）,C（0,4）

4。一2/7+c=0

/.<16a+4b+c=0

c=4

1

ci——

2

解得：<0=1

c=4

???拋物線解析式為：蚱-；/+尤+4

（2）解：?.?8（4,0）C（0,4）

「?設(shè)直線5c的解析式為：y=/a+4（k^o）把川4,0）代入得：4左+4=0

，k=-l

y=-x+4

設(shè)尸+m+4j（0<m<4）貝［|：K（m,-m+4）,D（m,0）

11

PK=——m7+m+4+m-4=——m9+2mDK=—m+4DB=4—m

22

2

/.S1=^PKOB=-m+4m,S2=^DKDB=^+4）（4-〃z）=；（4-m）?

i

29

?\Sl—S2=-m+4m——（4—m）

,2

...當(dāng)機(jī)=1時(shí)岳-邑的最大值為I

（3）解:存在:

?.?A（-2,0）C（0,4）點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)

￡（-1,2）

VFE1ACAE=CE=^（-1+2）2+22=75

AF=CF

ZAFE=/CFE

設(shè)=。貝I］：CF=AF=a+2

在R5COb中由勾股定理得:/+42=5+2)2

??a=3

/(3,0)CF=5

FE±ACZAOC=90°

ZAFE=ZOCA=90°-ZCAF

ZAFE=ZOCA=ZCFE

①取點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)片連接FE；交拋物線與點(diǎn)0則：NQFE=2NEFA=2NOCA

4(*2)

設(shè)鳴的解析式為：y=kxx+b

k-

l1=

則:解得：2

\Iu-473

b二—

2

?13

.?F.5

13

y=-x——

聯(lián)立22

12/

y=——x+x+4

2

②取E關(guān)于CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E2連接EE?交CF于點(diǎn)、G連接廠當(dāng)交拋物線于點(diǎn)Q2

則：ZQ2FE=2ZCFE=2ZOCAEG1CF

CE=>/5,CF=5

?*.EF=7CF2-CE2=2y/5

,/S?EF=；CF.EG=；CE.EF

J5EG=2A/5XV5

...EG=2

FG=^EF2-EG2=4

416312

過(guò)點(diǎn)G作GHU軸則:GH=FG-sin/CFO=4x—=——FH=FG?cosNCFO=4義一=——

5555

3

/.OH=OF-FH=-

216

G5J

"ll22

E

2,y,y

設(shè)直線E/的解析式為:y=k2x+&

11

3k2+4=0k

2~2

則:11,722解得:

33

T

.1133

.?尸丁+彳

1133屈+1313-769

y=-----x+一x=-----------x=-----------

聯(lián)立22解得:2（舍去）或＜2

124-HA/69-77-77+11769

y=——x+x+4

2尸—4-J=-4—

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式中垂線的判

定和性質(zhì)等積法求線段的長(zhǎng)坐標(biāo)與軸對(duì)稱(chēng)勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)

綜合性強(qiáng)難度大計(jì)算量大屬于中考?jí)狠S題正確的求出函數(shù)解析式利用數(shù)形

結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

5.(l)sinZDEC=^-

(2).=苧

【分析】(1)分別令x=O,y=O分別解方程求得A民C的坐標(biāo)進(jìn)而得出頂點(diǎn)。(TT)

設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)廠根據(jù)平行線的性質(zhì)得出加宏=/。即進(jìn)而根據(jù)正弦的定義

即可求解

(2)如圖所示過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)”交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)￡連接AE并延長(zhǎng)交第二象限

拋物線為點(diǎn)加在中sinZ7fDE=^|得出AE+gDE=AE+HE則當(dāng)點(diǎn)AE

DE5

H三點(diǎn)共線且AH垂直M時(shí)AE+HE最小待定系數(shù)法求AE的解析式聯(lián)立'一萬(wàn)^^

丁=一%2-2%+3

進(jìn)而即可求解.

【詳解】⑴解:?y=-f—2%+3

令丁=-%2-21+3=0解得項(xiàng)=1%2=-3

即4（1,0）3（-3,0）

把％=0代入丁=*-2%+3中得產(chǎn)-3即C（0,-3）

*.*y=—x2—2x+3=—（x+1）2+4

.二對(duì)稱(chēng)軸是直線廠-1頂點(diǎn)。（T4）

BF=2DF=4BD=2百

CE//BD

：.ZBDE=Z.CED

RF2

??sin/DEC=sinZBDF=——=—=

BD2V55

(2)解：如圖所示過(guò)點(diǎn)A作AH,05于點(diǎn)”交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)石連接人石并延長(zhǎng)交第二

象限拋物線為點(diǎn)〃

?二HE=sinZHDExDE=—DE

5

/.AE+—DE=AE+HE

5

.?.要AE+*OE取得最小值即要AE+HE最小

J當(dāng)點(diǎn)AEH三點(diǎn)共線且々/垂直此時(shí)由HE最小此時(shí)AE+/OE最小

*.*ZHDE^AFAE

2FFFF

/.tanZBDE=tanZFAE=-=——=——

4AF2

EF=1即E（-l，l）

*.*A（1,O）

設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b

-k+b—1

則k+b=O

k=--

解得：2

b=-

2

1x+—1

???AE的解析式為:y=——22

11

,、.y——xH—

聯(lián)立.22

y=-x2-2x+3

5

x=——X=1

解得7z或（舍去）

y=0

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)勾股定理解直角三角形綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.⑴、=-9+彳+4

（2）m=2

⑶當(dāng)點(diǎn)石的坐標(biāo)為（2,4）時(shí)線段跖的長(zhǎng)最大最大值為a

【分析】（1）先由V=T+4求出4（4,0）8（0,4）然后代入y=-$2+6x+c求出反c的值即可

（2）先求出。的-根+4）￡卜，-機(jī)+4］根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)可得利+2］則有

-lm2+|m+2=-m+4然后求出加的值即可

（3）先證明△ECFSAAC。則M=M再求出=+根+4-（-根+4）=-=加?+2根

AD^4-mCD=4-m再由勾股定理得出AC=JA。?+C》=-mf+（4-疥=以4-m）再代

入葛孝得到9-孝療+園然后通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值及E點(diǎn)坐

標(biāo).

【詳解】（1）解：由y=T+4得當(dāng)x=0時(shí)y=4當(dāng)y=o時(shí)x=4

4(4,0)3(0,4)

:拋物線＞=-+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B

1

0=——x49+4b+cf口b=l

2解得:c=4

c=4

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-12+x+4

（2）解：D（m,0）

2

當(dāng)％=根時(shí)yc=-m+4yE=-^m+m+4

.二C(m,-m+4)E\m,——m2+m+4

I2

?點(diǎn)C是OE的中點(diǎn)時(shí)

.12,1

..Crm,—mH-—m+2

I42J

???——m2+—m+2=—m+4—6m+8=0

解得：叫=2w,=4

丁點(diǎn)。不與點(diǎn)。A重合

「?m=2

(3)角軍：VEF±ABCD1OA

/.ZEFC=ZCDA=9Q°

丁ZECF=ZACD

AECFS^ACD

?EFEC

??~AD~~XC

由(2)知C(小一機(jī)+4)+m+4

EC=+^+4-(-m+4)=_^m2+^m

,/>1（4,0）D（?A0）

/.AD=4—mCD=4-m

AD=CD

在RSADC中AC=y/AD2+CD2=^（4-zn）2+（4-m）2=&（4-，w）

-^m2+2mjx（4-m）

一叵府+

??,EF-ECXAD6m

AC夜（4-機(jī)）4

EF=-^-m2+41m=-^-（m-2）2+A/2

，當(dāng)機(jī)=2時(shí)所有最大值應(yīng)

止匕時(shí)一）〃/+相+4=—gx2?+2+4=4

^（2,4）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)勾股定理相似三角形的判定與性

質(zhì)解一元二次方程解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造三角形解決問(wèn)題學(xué)

會(huì)利用參數(shù)表示線段的長(zhǎng)解決問(wèn)題屬于中考?jí)狠S題.

7.⑴AB=4

(2)當(dāng)0<x<3時(shí)0<”4

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象得性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性等腰直角三角

形性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)5的坐標(biāo)即可求出A5的長(zhǎng)

(2)由45的坐標(biāo)求出拋物線解析式求出頂點(diǎn)可得y的取值范圍

(3)分別過(guò)E歹作直線》=1的垂線垂直為河N根據(jù)△GEF為等腰直角三角形可

￡\EMG=△GNF至[J_EM=G/V="?—]GM-NF-n—1MN=m+n—2

MN^y2-yx^(m-n){rn+n-2)即得.

【詳解】(1)，.,拋物線與x軸交于A(3,0)3兩點(diǎn)且對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l

:.AB=4

(2)?..拋物線丫=爾+法+3與x軸交于A(3,o)3(-1,0)兩點(diǎn)

y=<2(X-3)(X+1)=ax2—2ax—3a=ax2+Zzx+3.

?e?-3〃=3.

Cl=-1.

y——f+2x+3=—(x—1)+4.

「?當(dāng)％=1時(shí)y=4.

二?當(dāng)％=3時(shí)y=o

.??當(dāng)0<x<3時(shí)0<y<4.

(3)分別過(guò)后尸作直線％=1的垂線垂直為MN.

貝！JZEMG=NF/VG=90。.

N2+N3=900.

又?zGE尸為等腰直角三角形

:.GE=GF/EGF=90。.

.\Z1+Z2=9O°.

.?./1=/3.

:AEMGmAGNF.

:.EM=GNGM=NF.

???￡(利y)尸(〃,％)

,.EM=GN=m-lGM=NF=n-l.

:.MN=GN+GM=m—1+n—l=m+n-2>0.

22

%二-m+2m+3y2=—n+2〃+3

MN=,2—y=+2〃+3—(2+2m+3)=(m—n)(m+zz—2).

.\(m—7t)(m+n—2)=m+n—2.

:.m—n=l.

8.(l)y=X2+2X-3

Q)典

8

⑶存在點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為％=上笠或&=±6

【分析】(1)把｛TO)和8(1,0)的坐標(biāo)代入拋物線解析求出。和。即可求解

(2)求出直線AC的解析式為y=r-3設(shè)網(wǎng)”/+2〃_3)則G(〃,f-3)進(jìn)而求得PG的表

達(dá)式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案

(3)分兩種情況①若AAONSAABC②若AAONSAACB由相似三角形的性質(zhì)可求出ON

的長(zhǎng)求出N點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立直線ON和拋物線的解析式可求出答案.

【詳解】(1)解：?.?拋物線y=-+-3交X軸于A(_3,o)8(1,0)兩點(diǎn)

.儼-36-3=0

**[a+b-3=0

解AF/得r\C仁l=\

「?該拋物線的解析式為y=V+2》-3

(2)解：?.?拋物線的解析式為，=爐+2元-3

.,.元=0時(shí)J=-3

?.C(0-3)

...AO=OC.

ZAOC=90°

：.ZCAO=45°.

VPM.LOAPELAC

/./PGM=ZPGE=Z.GPE=45°

設(shè)直線AC的解析式為戶(hù)質(zhì)+機(jī)

?f3k+m=0

??jm=-3

.[k=-\

*■\m=-3

直線AC的解析式為y=r-3

設(shè)P（n,n2+2〃—3）

則G（n,-n—3）

Qn

貝”G=f—3_W+2〃_3）=_*_3〃=_（n+|）2+r

-l<0

.?.〃=《時(shí)PG有最大值:

???依的最大值為學(xué).

O

（3）解：A（-3,0）8（1，。）。（。，一3）

AB=4AC=A/32+32=3S/20A=3

若以4QN為頂點(diǎn)的三角形與VA3C相似可分兩種情況:

①若AAONSAABC

.ANOA

?，AC-AB

.AN3

，，30一W

JAN2

4

過(guò)點(diǎn)N作NKLAB于點(diǎn)K

圖2

9

\AK=-

4

93

\OK=3--=-

44

??{

直線ON的解析式為尸3x

.，［y=彳2+2x-3

.-1±713

??X—

2

②若AAONS^ACB

.ANOA

**AB-AC

.AN3

*'4"3A/2

AN=2A/2

\N（-l「2）

同理ON的解析式為y=2尤

y=2x

y=x2+2x-3

??x=±5/3

綜上所述點(diǎn)。的坐標(biāo)為點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為&=上笠或&=±6.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)壓軸題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)待定系數(shù)法圖形

面積計(jì)算相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)相似

三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

9.（l）A（-2,0）,B（6,0）,C（0,4）線段8C所在直線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-|》+4

（2）3

【分析】（1）分別令、=。,、=。解方程即可得到4B。三點(diǎn)的坐標(biāo)再利用待定系

數(shù)法即可求出線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式

（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

卜，-;療+點(diǎn)N的坐標(biāo)為（肛-■!"+”由

22

P^=PM-W=-1m+|m+4-^-|m+4^=-1（m-3）+3利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）解:在丫=-#+$+4中

令尤=0則y=4

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。，4）

令y=o貝lj_12+gx+4=o

即%2-4A-12=0

解得：*=-2或尤=6

??,點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)

?，?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）

設(shè)線段8C所在直線的函數(shù)表達(dá)式為尸質(zhì)+6

將點(diǎn)3（6,。）,C（。,4）代入戶(hù)辰+6得：;

[4=。

解得：3

0=4

，線段BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-|x+4

（2）解：???點(diǎn)尸在拋物線k-；尤2+m+4上

二設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜，-;療+為+“

vWx軸交8c于點(diǎn)N

二點(diǎn)N的坐標(biāo)為相，-￡加+4

???點(diǎn)P在線段BC上方的拋物線上

——m+4

~—＜0且0＜機(jī)＜6

當(dāng)機(jī)=3時(shí)PN有最大值線段PN長(zhǎng)的最大值為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的最值一次函數(shù)的性質(zhì)解題的關(guān)

鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.

10.（D拋物線為：y=%2+4x-5

（2）Af（-2,-3）

⑶點(diǎn)P的坐標(biāo)為：［三立，F(xiàn)］）或［二手，三"I

【分析】（1）由題意設(shè)拋物線為y=a（xT）（x+5）=加+4依-5。再進(jìn)一步解答即可

（2）根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)最短路徑可得△如的

^^Z=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC^J^/^根據(jù)點(diǎn)BC的坐標(biāo)可求出直線8C的解

析式是由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2代入直線BC的解析式即可求解

（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得PQ=O8=5設(shè)點(diǎn)尸（x,r-5）則。（羽/+4—）

由此列方程求解即可.

【詳解】（1）解：：拋物線廣加+法-550）交工軸于A（l,0）C（-5,0）兩點(diǎn)

「?y=〃(x-l)(x+5)=冰2+4依一5a

解得：。=1

「?拋物線為：y=x2+4x-5

（2）解：由（1）可知拋物線的表達(dá)式為：y=%2+4.Y-5

???對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-2

，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C

，交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)/即為所求點(diǎn)的位置即AABM的周長(zhǎng)

=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC^J^/]\

V5(0,-5)C(-5,0)

設(shè)直線8C的解析式為：y=kx+b(k^Q)

.[b=-5

**\-5k+b=Q

解得I/

直線8C的解析式為：尸-彳-5

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線＞-2

.,.當(dāng)x=-2時(shí)y=-x-5=-3

則點(diǎn)”(-2,-3)

(3)解：5(0,-5)C(-5,0)

設(shè)直線8c為丫=〃a-5

—5m—5=0解得：m=l

二.直線BC的解析式為尸-》-5

如圖所示設(shè)點(diǎn)尸(％T-5)根據(jù)過(guò)點(diǎn)尸作了軸的平行線交拋物線于點(diǎn)。四邊形。BQP

為平行四邊形則。（羽必+以一5）

/.PQ=OB=5

PQ=^—x—5^—^x2+4x—5^=—x2—5x=5

??+5x+5=0

解得：%=*且

...當(dāng)x=時(shí)

.--5+^5匚-5!gnJ-5+6-5-A/5

..-x-5=--------------5=----------EJ"---------,---------

2222

當(dāng)尤=三好時(shí)

.u-5-V5u-5+75

??—x-5=-------------5=-----------

22

'-5-石-5+5

即尸

22

-5+君-5-6"-5-75-5+5

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為:)，）

22)[22

【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式軸對(duì)稱(chēng)最短路徑的計(jì)算方法

平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.⑴y=f+4

(2)尸［吟］

【分析】(1)利用待定系數(shù)法先求解拋物線為產(chǎn)-:尤?+|x+4再求解8(8,0)C(0,4)再

求解一次函數(shù)的解析式即可

(2)如圖過(guò)尸作尸〃〃y軸交2c于H連接PCPB設(shè)-卜2+|工+4］則

小-”4)%=-|八%再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)股西+|尤+4的圖像與％軸交于A(T0)

9Q+|X(—3)+4=0

?1

..Q=~—

6

?125

??y=——x+—x+44

66

令y=0貝(J--X2+-X+4=0

66

解得：％=-3%2=8

3(8，。)

令尤=0時(shí)y=4

Z.C(0,4)

設(shè)直線BC為y=笈+4

/.8左+4=0

解得：k=一;

直線8C為y=+x+4

(2)解：如圖過(guò)尸作P"〃y軸交于H連接PCPB

PH=--x2+-x+4+—x-4=--x2+—x

66263

?c_1Q/12J2.16

??S^PCB=2x8xl-6X+3XJ~3X+~3X

16

當(dāng)尤=-一/15=4時(shí)“cm面積最大而為定值

2xhJ

，此時(shí)p。最大

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)

與面積問(wèn)題線段問(wèn)題熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵.

12.(l)y=x2-3^-4

(2)(2-6)8

⑶①加4②-白冽＜；時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)?加時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)白〃，《時(shí)有一個(gè)

交占八、、

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等腰直角

三角形的性質(zhì)熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)求出3點(diǎn)坐標(biāo)再將43代入進(jìn)行求解即可

(2)過(guò)點(diǎn)/作皿_13。于點(diǎn)H作旌〃y軸交直線8C于點(diǎn)M交X軸于點(diǎn)/證明△//￡以

為等腰直角三角形得到創(chuàng)1="花求出直線的解析式令"(療-％-4)則

Eg-4)求出府的長(zhǎng)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值得到結(jié)果

(3)①將尸、。坐標(biāo)表示出來(lái)得到尸Q=|2祖-5］根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行討論即可

②由題意求出得到x=g與戶(hù)；對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等從而得到答案.

【詳解】(1)解：:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(TO)

「.a-6-4=0①

令尤=0貝(Jy=—4

/.C(0,-4)

:.OC=4

QOC=OB

:.0B=4

5(4,0)

.?」6a+4Z?-4=0②

由①②可得a=1,〃=-3

二.y=x2-3x-4

(2)解：過(guò)點(diǎn)M作必/_LBC于點(diǎn)H作ME//y軸交直線BC于點(diǎn)M交了軸于點(diǎn)尸

：OB=OC

:.ZOCB=ZOBC=45°

BC=4-42

■.■MF//y-^

:.ZHEM=A5°

?;MHIBC

為等腰直角三角形

:.HE=HM,EM=6HE

設(shè)直線8C解析式為：y=kx+b

將8(4,0)C(0,-4)代入

仁r解得〔二

/.y=x-4

設(shè)^點(diǎn)—3t—4),E(t,t—4)

EM——t?+4/

:.HM=--t2+2y[2t

2

…2夜

當(dāng)一2x(一交)時(shí)加有最大值此時(shí)“(2,-6)且“四厘=2夜

(3)解：①由題意可知產(chǎn)(根,蘇-3%-4)2(/71+5,m2-3/71+5)

:.PQ=\2m-5\

當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)右側(cè)時(shí)尸。=2吁5

此時(shí)線段P。的長(zhǎng)度隨加的增大而增大不符合題意

當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)左側(cè)時(shí)PQ=9租+5

此時(shí)線段尸。的長(zhǎng)度隨加的增大而減小

m+5>m

5

:.m<—

2

②???PQ410

2m+5<10

5,

/.——<m

2

由①得-"加<:

當(dāng)尸、。重合時(shí)m=-m+5

解得加=1

y=x2-3x-4的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=|

.?"=：與xg對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等

???1*<；時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)有一個(gè)交點(diǎn).

13.⑴左=一1b=3

（2）M（I,2）

（3）尸點(diǎn)坐標(biāo)（0,3）或下點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）

【分析】（1）先求出C（T0）,A（3,0）8（0,3）將A8代入產(chǎn)辰解方程組即可

（2）設(shè)M（x,-x+3）其中0<x<3求解AC=3-（-1）=3+1=4結(jié)合LCM=4再建立方程求

解即可

（3）過(guò)點(diǎn)尸作FGLx軸于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)”由（1）得一次函數(shù)解析式為：

y=-x+3設(shè)E（x,-x+3）則￡）（元,-x?+2x+3）則DEn-x?+2x+3-（-x+3）=-無(wú)?+3x得至!J

-f+3x=2可得E（l,2）或E（2,l）得到ADE/為等腰直角三角形在RtADM中由勾股定

理得EF=0而NFE"=ZB4C=45。則在RSFE”中由勾股定理得四=1故當(dāng)網(wǎng)1，2）時(shí)

此時(shí)號(hào)=/=1-1=0—0,3）當(dāng)E（2,l）時(shí)此時(shí)號(hào)=%=2-1=1尸（1,2）

【詳解】（1）解：當(dāng)產(chǎn)。-X?+2%+3=0

解得：x=T或x=3

/.C（-l,0）,A（3,0）

當(dāng)無(wú)=0,y=3

5（0,3）

將4,8代入y=fcr+Z?

得:『

解得：江

（2）解：由（1）得直線A3為y=-x+3

???過(guò)點(diǎn)。的直線交線段初于點(diǎn)〃

.,.設(shè)M（x,-x+3）其中0<X<3

?/C（-l,0）,A（3,0）

/.AC=3-(-l)=3+l=4

???"vACM=—4r

解得：xT

/."(1,2)

(3)解：過(guò)點(diǎn)尸作FGU軸于點(diǎn)G過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)”

由(1)得一次函數(shù)解析式為：產(chǎn)-尤+3

二?點(diǎn)石在直線AB上

；?設(shè)￡1(%,-4+3)

貝(|/+2%+3)

二?DE-—爐+2