2025年中考數學二輪復習：二次函數的相似三角形問題提分刷題練習題

(1)求拋物線的函數表達式；

⑵該拋物線與軸交于點A,(點A在點8的左側)，與＞軸交于點c,

(i)如圖1,求證：VABC是直角三角形；

(ii)如圖2,該拋物線的對稱軸與x軸交于點。，點尸是拋物線對稱軸上的一動點，若以點。，

D,P為頂點的三角形與VABC相似，求點P的坐標.

2.如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=x+4與拋物線〉=-；/+灰+。(0,c是常數)交于

A、3兩點，點A在x軸上，點3在y軸上.設拋物線與x軸的另一個交點為點C.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線上方拋物線上是否存在點使得的面積等于3,若存在，寫出點M

的坐標，若不存在，請說明理由.

(3)P是拋物線上一動點(不與點A、3重合)，如圖2,若點尸在直線48上方，連接O尸交A3于

點、D,記AAOP,△ADO的面積分別為1,S],求1t的最大值.

3.如圖1,平面直角坐標系中，拋物線y=-d+2x+3交X軸于A,B兩點(5點在A點的右邊)，

交，軸于點C.點M是線段上一個動點，過點”作x軸的垂線，交拋物線于點E.

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(1)求A,8兩點的坐標；

(2)求線段跖的最大值；

⑶如圖2,是否存在以點c,E,尸為頂點的三角形與VABC相似？若存在，求M點的坐標；

若不存在，請說明理由.

13

4.如圖，拋物線＞=-5尤2+^+2與》軸交于4、3兩點(點A在點3的左邊)，與y軸交于點

C,連接3C.

(1)求點A、B、。的坐標；

(2)設x軸上的一個動點P的橫坐標為f,過點P作直線尸軸，交拋物線于點N,交直線8C

于點M.

①當點尸在線段上時，設MN的長度為s,求s與/的函數關系式；

②當點尸在線段OB上時，是否存在點P,使得以0、P、N三點為頂點的三角形與相似？

若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點。為坐標原點.拋物線＞=-/一2辦+3a分別交x軸于

A、3兩點，交y軸于點C,OA=OC.

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⑴求該拋物線的解析式；

⑵如圖2,點尸為第二象限拋物線上一點，過點尸作PDLAC于點。，設點P的橫坐標為f,

線段PD的長度為d,求d與/的函數關系式(不要求寫出自變量/的取值范圍)；

⑶在(2)的條件下，當直線PD經過點3時，如圖3,點E在線段3。上，點R在線段AE上，

Q

且NDRE=45。，產的面積為求的長.

6.如圖，已知A(-2,0)、B(3,0),拋物線y=ax2+bx+4經過A、B兩點，交y軸于點C.點

尸是第一象限內拋物線上的一動點，點尸的橫坐標為乙過點尸作軸，垂足為點”，

PM交3c于點Q.過點P作尸NL3C,垂足為點N.

⑵請用含m的代數式表示線段PN的長」

(3)連接PC,在第一象限的拋物線上是否存在點P,使得乙BCO+2NPCN=90。？若存在，請

求出機的值；若不存在，請說明理由；

(4)連接AQ,若AACQ為等腰三角形，請直接寫出機的值」

13

7.如圖1,已知拋物線>=-不/+/犬+2交》軸于A,3兩點，交y軸于點C,點P是直線AC上

一動點.

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⑴求直線AC的解析式；

(2)若點P關于原點。的對稱點Q剛好落在拋物線上，求點P的坐標；

(3)如圖2,連接BC,過點尸作PE/ABC交x軸于點E,連接CE,將△(?回沿CE對折，點P的

對應點P恰好落在x軸上時，求點E的坐標.

8.如圖，已知直線y=-§x+2與x軸交于點A,與y軸交于點3,拋物線y=-經

過A、3兩點.

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)直線與該拋物線交于點C,與線段A3交于點。(點。與點A、5不重合)，與x軸交

于點E,聯結AC、BC.

①當第=熬時，求。的值；

CD0E

②當CD平分NAC3時，求ABC的面積.

410

9.如圖，拋物線＞=-§/+了》+2與x軸相交于點A,與y軸交于點3,C為線段。4上的一個

動點，過點C作x軸的垂線，交直線A3于點。，交該拋物線于點E.

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⑴求直線A3的表達式，直接寫出頂點M的坐標；

⑵當以3,E,。為頂點的三角形與QM相似時，求點C的坐標；

（3）當ZB￡D=2/Q4B時，求VBDE與CDA的面積之比.

10.如圖.在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2+2尤+°（0片0）與大軸交于點4、B,與y軸交于

點C,點A的坐標為（TO）,對稱軸為直線x=l.點M為線段上的一個動點，過點M作直

線/平行于y軸交直線于點F,交拋物線丁=辦2+2彳+以中0）于點E.

⑵當以C、E、R為頂點的三角形與VA3C相似時，求線段取的長度：

（3）如果將△￡■（牙沿直線CE翻折，點R恰好落在y軸上點N處，求點N的坐標.

11.如圖1,拋物線y=++5ax+c經過A（3,0）,C（0,T）,點3在x軸上，且AC=3C,過點3

作軸交拋物線于點。，點E,R分別是線段CO,3c上的動點，且CE=BP,連接EF

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(1)求拋物線的表達式及點D的坐標；

(2)當AC防是直角三角形時，求點R的坐標；

(3)如圖2,連接AE,AF,直接寫出AE+AF的最小值為：.

12.如圖，已知拋物線J交x軸于A、5兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸

翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象w”，圖象w交y軸于點c.

(1)寫出圖象W位于線段A3上方部分對應的函數關系式；

⑵若直線y=-x+8與圖象w有三個交點，請結合圖象，直接寫出匕的值；

(3)P為X軸正半軸上一動點，過點P作PM//y軸交直線BC于點交圖象W于點N,是否存

在這樣的點尸，使與△O3C相似？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，

請說明理由.

13.如圖，拋物線y=r2-2x+3與％軸交于A,3兩點(A在3的右側)，與y軸交于點C,頂點

為D.拋物線對稱軸與x軸交于點RE是對稱軸上的一個動點.

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(1)若CE〃BD,求sinNOEC的值；

(2)若NBCE=NBDF,求點E的坐標；

⑶當AE+goK取得最小值時，連接并延長AE交拋物線于點請直接寫出AM的長度.

14.如圖，拋物線與X軸交于A,5兩點，與y軸交于C點，且。4=1,03=4,點C坐標為(0,2).

(1)求拋物線解析式；

⑵設拋物線的對稱軸/與2C邊交于點。，若P是對稱軸/上的點，且滿足以？，C,。為頂點的

三角形與△AOC相似，求點尸的坐標；

(3)在對稱軸/和拋物線上是否分別存在點N,使得以A,0,M,N為頂點的四邊形是平

行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標系龍Qy中，直線y=gx-2與X軸交于點3,與y軸交于點C.拋物

線丫=62+法+<:的對稱軸是直線苫=5且經過3、C兩點，與x軸的另一交點為點A.

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(1)①直接寫出點A的坐標；②求拋物線解析式.

(2)如圖2,若點P為直線BC下方的拋物線上的一點，連接P&PC.求APBC的面積的最大值，

并求出此時點P的坐標.

(3)拋物線上是否存在點過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角

形與VABC相似？若存在，求出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

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參考答案

193.

1?⑴尸一］%+寸+2

(2)(i)見解析；(ii)或加或(r，或(I,T

【分析】(1)運用待定系數法解方程組即可；

(2)①利用勾股定理的逆定理證明即可；

②分兩種情況：當AODPS^BCA以及AODPS^BCA,列出比例式，求出P￡),再求點P坐標.

【詳解】(1)解：???拋物線>=-92+云+,經過點(-3,-7)和(3,2),

1

——x(-3y9-3b+c=-7

,<~~

1,

——X32+3/?+C=2

I2

\3

b——

解得2

c-2

13

二拋物線的函數表達式為y=+2；

(2)解：(i)y=-jx2+jx+2,

當x=0時，y=2,

，點C坐標為(0,2),

13

當y=0時，_于+產2=0,

解得x=T或x=4,

點A在點5的左側，

???點A坐標為(-1,0),點B坐標為(4,0),

.-.AB=|-1-4|=5,AC=712+22=75>BC=A/22+42=2^5,

AC2+BC2=(V5)2+(2^)2=25,AB2=52=25,

AC2+BC2=AB2,

ABC是直角三角形；

2

123c125

(ii)y=——x+—x+2=——x-|+一，

2228

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，拋物線的對稱軸是直線X=］

二點O坐標為1|，。］,設點p坐標為1|，利］,

分兩種情況：①當時，窄=槳，

ACnC

3

即5=H,

下26

解得加=±3,

此時點尸的坐標為［，-3)或g,3)；

3

②當△ODPsABCZ時，段=咨，即2_帆，

BCAC訪一者

解得機=±土，

此時點尸的坐標為(g，-|■1或g，|J;

綜上，點尸坐標為(|，-3)或(|,3)或或(I，：).

【點睛】本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定與

性質，勾股定理的逆定理.解答本題注意分類討論的思想以及數形結合的思想的應用.

2.⑴y=_g%2_%+4

⑵存在，

⑶3

【分析】(1)由直線>=彳+4與兩坐標的交點可得A(-4,0),3(0,4),然后利用待定系數法求解

即可；

(2)在圖1中，過點M作跖V〃C?交直線AB于點N,設-1產—+力，則N(0+4),Y<t<0,

利用坐標與圖形可得卜4Jj,由一…=3求得/值，進而可求解；

SPDPE

(3)過點P作尸石〃OB交直線A3于點E,則.PDESAODB,所以《=痂=不，設點

d2LfUUD

p［m,-^m2-m+4\-4<m<0),利用坐標與圖形可得1t=-：(利+2)-+；,利用二次函數的性質

求解即可.

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【詳解】(1)解：直線y=x+4與坐標軸交于A、3兩點,

當x=0時，y=4,當y=o時，x=T,

.?.A(T,O),3(0,4),

將A、3代入拋物線y=-；/+6x+c,得

0=--x(-4)2-4b+c“”口俗=-4

2[J,解得一

[c=41。=4

???拋物線的解析式為：尸-x+4.

(2)解：存在.

在圖1中，過點〃作MN〃OB交直線A3于點N,

________fil________

依題意，設加"，-；產—+4),則N&/+4),-4<t<0,

11

/.MN=——t2?-t+4-t-4=——?t2-2t,

22

*e*SMAB=gx]—9—2，1X4=-，2-4t,

由—』_4/=3得產+4+3=0,

解得％=-1,，2=-3,

當/=—1時，—/+4=g,貝

當年-3時，-97+44則M13口

綜上，存在點M使得△腸1S的面積等于3,此時加,埒],加13口

(3)解：在圖2中，過點P作尸E〃QB交直線A3于點E,則/

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篙券，貝哈嚼喘

設點尸［機機2_機+4)(_4＜加＜0),

/.E(m,m+4),

11

/.PE=——m2—m+4-m—4=——m2-2m,

22

H_PE2121lzc\21

二——m——m=——m+2+—

^~~OB4828V72

V--<0,-4<m<0,

8

當利=-2時，9有最大值，最大值為J.

【點睛】本題是二次函數與一次函數的交點問題，考查了用待定系數法求二次函數的解析式,

二次函數的性質，坐標與圖形，相似三角形的判定與性質，解一元二次方程等知識，解題的關

鍵是添加合適的輔助線構造PDE^,ODB.

3.(l)A(-l,0),8(3,0)

o

(2)跖最大值為了

(3)存在，與0)或與0)

【分析】(1)令"。，得至U-V+2x+3=0,即可求解；

(2)設則加2+2機+3),先求出直線2C的解析式為y=-x+3,可得"〃z,-"2+3),

可得到用機表示所的長，再根據二次函數的性質，即可求解；

(3)根據題意可得ZABC=/3CO=/MFB=NCFE=45。，從而得到當以點C,E,尸為頂點的三

角形與VABC相似時，8與尸為對應頂點.然后分兩種情況討論，即可求解.

【詳解】(1)解：,拋物線>=-—+2工+3與x軸相交于A,B兩點

??—f+2%+3=0.

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解得：再=一1,電=3,

AA（-1,O）,3（3,0）；

（2）解：設”（〃7,0）,則E（見-蘇+29+3）,

???拋物線y=-X2+2x+3與y軸相交于點c,

C（o,3）.

設直線3C解析式為，=履+6,

,直線BC經過點8,C,

直線BC的解析式為y=T+3,

又■:E^m,—m2+2m+3^,

EF=（-m2+2m+3）—（-m+3）=—m2+3m=—^m—^^+（；

3Q

???當相=5時，所取得最大值“

（3）解：存在以點C,E,尸為頂點的三角形與VABC相似，理由如下:

設M（〃z,0）,

由（2）得：EF=—m2+3m9

如圖，過點R作/軸于點G,則FG=m,

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由⑴可得：OB=OC=3,AB=4,BC=3五,

：.ZABC=ZBCO=ZMFB=ZCFE=45°9

???Z\C尸G是等腰直角三角形，

??CF=V2m.

???當以點C,E,b為頂點的三角形與VABC相似時，3與尸為對應頂點.

①當eABCsvCFE時，

s[2m-府+3m

解得：=5或m=0（舍去）,

解得：根=［或根=0（舍去）

...喉。］.

綜上所述，加1|，“或加/，0）.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，相似三角形的性質，熟練掌握二次函數的圖

象和性質，相似三角形的性質，利用分類討論思想解答是解題的關鍵.

4.（l）A（-LO）,B（4,0）,C（0,2）；

⑵①s=-;②點P的坐標為

【分析】（1）分別令犬=0、＞=0,求出對應的y值和x的值，即可求出A、B、C的坐標；

（2）①根據點P的橫坐標為/,可得-?+7^-；產+|/+2）,然后分點尸在y軸的左

側和點P在y軸的右側兩種情況，分別表示出MN即可；

②分OP、N、sCOB時和ORN2s80c時兩種情況，分別根據相似三角形的性質列出比例式，

整理后得出關于t的一元二次方程，解方程求出t的值即可.

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【詳解】（1）解：當x=0時，y=2,

13

當y=o時，即一萬./+]X+2=0,

解得：々=T,々=4,

/.A(-LO),8(4,0),C(0,2)；

（2）解：①設直線3C的解析式為尸反+6（心0）,

,/、/、八、14左+Z?=0

把34,0,C0,2代入，得

k=--

斛AR得Zr-t：\2,

b=2

直線8C的解析式為y=x+2,

???點尸的橫坐標為t,

+,N^t,--t2+-|r+2^,

當點P在y軸的左側，即-1白<0時，

由題意得：s=-17+2-1_g〃+|'f+2j=_；f+2+172-|f-2=；/_2f；

當點P在y軸的右側（包含原點），即0<r<4時,

/

由題意得：s=—；/+|"'+2-［一：'+2)=-：/+'|'+2+；'-2=-1■產+2r.

|r2-2f(-l<f<0)

綜上,S=<

-1z2+2r(O<r<4)

②如圖，當04Ms4c。8時,

13c

可得鬻.二環--12H-/+2

，即上22

BO

24

??一產+3,+4=4,,

整理得：〃+”4=0,

解得：上叵，/±（不合題意，舍去）,

22

當.OP2N2s,BOC時,

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可得需=箸，即，一92+9+2

_

DCC7...

U42

??—2/2+61+8—2t9

整理得：?-2r-4=0,

解得：G=I+石，n=i-非（不合題意，舍去）,

綜上，點P的坐標為［，二,o］和（i+技。）.

【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了二次函數的圖像和性質、二次函數的應用、相

似三角形的判定和性質，解一元二次方程等知識，解題的關鍵是數形結合思想與分類討論思想

的應用.

5.(1))=一九2—2x+3

(2)1=一與一述r

22

z^27To

【分析】（1）先根據二次函數與V軸的交點，求出C（0,3”），可得出A（-3a,0）,再代入解二次函

數解析式即可;

（2）過P作尸KU軸于K,交AC于點J,分別用含/的代數式表示出KJ,PJ,在應AD/V中,

有勾股定理即可求出求d與t的函數關系式;

（3）延長DR交A3于N,過R、。分別作FH±AB,DQ1AB,垂足為“、Q,證明ANFflsANDQ,

AAFNS^DAN,根據相似三角形的性質及勾股定理即可求的長.

【詳解】（1）解：拋物線＞=-/-2依+3a交y軸于C,

當x=0時，y=3a,

：.C（0,3a）,

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/.0C=3a,

*：OA=OC,

OA=3a,

A(-3a,0),

???點A在拋物線y=-x2-2ax+3a±.,

??一(—3a)~—2ax(—3a)+3a=0,

解得：01=1，“2=。，

Va>0,

??a——1,

???拋物線解析式y=f2_2x+3.

(2)過P作軸于K,交AC于點J,

?.?點P橫坐標為t,

.'.OK=-t,

'：A(-3,0),

OA=3,AK=AO—0K=3—(—?)=3+f,

"：OA=OC,

：.ZOAC=45°,ZKJA=ZKAJ=45°,

.".KJ=AK=3+t,

?點P在拋物線丫=-尤2-2尤+3上，當無=/時，y=-t2-2t+3,

...PK=—/―2f+3,PJ=PK—KJ=—產一2r+3—(3+7)=—廣一3/,

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,?PD=d,ZDJP=ZAJK=45°,

ZDPJ=ZDJP,DJ=DP,

：.DP=DJ=d,在無中，ZPDA=90°,

DP2+DJ2=PJ2,

d2+d2=(-t2-3t)2,

公一與一出，

22

，公與

22

(3)延長DE交A3于N,過R。分別作切LAB,DQ1AB,垂足為“、Q,

.?.8(1,0),A(-3,0),

：.AB=4,

..q_8

?^^ABF~《，

1Q

:?一ABFH=—,

25

4

:?FH=飛,

A(-3,0),C(0,3),PD1AC,

：.ZDAB=45°,DQ=^AB=29

VFH^AB,DQLAB,

Z\NFHS/\NDQ,

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4

??.空=竺=5=2，

DQ~ND~2~3

設NF=2m,則ND=5m,DF=3m,

VZZ>FE=45°,ZDAB=45°,

AZDAF+ZAPF=45°,ZDAF+ZNAF=45°,

：.ZADF=ZNAF,

*.?ZANF=ZDNA,

：.AAFNs/\DAN,

.AN_FN

??麗―菽’

/.AN2=FN-DN=2m^5m=10m2,

AN=VlOm(負值舍去)

在及AONQ中，QN=2-y/10m9DN=5m,DQ=2,

勾股定理得DN2=QN2+DQ2,

/.（5m）2=^2-V10mj+4,

解得：叫=2^^，m2=--^-（負根?舍去）,

【點睛】本題考查二次函數與幾何圖形綜合，涉及到勾股定理、相似三角形的判定和性質，屬

于中考壓軸題，解題的關鍵在于熟練掌握二次函數的性質和相似三角形的性質和判定定理.

22

6.⑴丁二——x9+-X+4

v733

(2)PN=—^m2+1相

7

⑶存在，-

(4)竽或葭

【分析】(1)由二次函數交點式表達式，即可求解；

2?

(2)先由二次函數解析式求得，C(0,4),P(m,--m2+-m+4),證從而求

[2—23

得〃Q=--一，PQ=PM-MQ=--nr+2m,再證△PNQS/^BMQ,求得PN=gPQ,代入即

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可求解.

(3)過點C作CD，。。,交直線于D,易證四邊形OMDC是矩形，從而得PD=MD-PM=4-(-

222296

-m2+—m+4)=Q療相，再證NPC￡)=NPCN,從而得至!JPN=P￡),由(2)知：PN二——m2+—m,

333355

貝1有機?機二加

Jg2_12_|_求解即可;

(4)分AC=AQ、AC=CQ,CQ=A。三種情況，分別求解即可；

【詳解】(1)解：設二次函數表達式為：y-a(%+2)(x-3)-a(x2-x-6)=ax2-ax-6a,

又?:拋物線y=ax2+bx+4-

2

.??-6〃=4,解得：a=--,

則拋物線的表達式為y=-fx2+|x+4；

22

(2)解：當工=用，貝！J/機+4,

22

P(m,?z2+jm+4),

當x=0時，y=4,

?"(0,4),

：.0C=4,

???5(3,0),

OB=3,

.".BC=yJoB2+OC2=5;

軸，

.".PM//OC,

：.ABMQsABOC,

.MQBMBQMQ_3-mBMOB_3

,,工二而二五'4=3>~BQ~~BC~1>，

.2,212-4m2,八

..PQ=PM-MQ=-jm-+ym+4-=——m~+2m,

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■:PNLBC,

：.ZPNQ=ZBMQ=90°,

'：ZPQN=ZBQM,

:.叢PNQs叢BMQ,

.PN_PQPNBMOB3

??麗—蔽，S~PQ~~BQ~~BC~1>

33(2226

PN=—PQ=jl-jm2+2m——m~+—m?

55

（3）解：過點c作craoc,交直線“尸于。，如圖,

'：CD±OC,OCLOM,PMLOM,

???四邊形OMDC是矩形，

OCD=ZPDC=90°,MD=OC=4,

2722

.".PD=MD-PM=4-(--m2+—m+4)=-

'33733

/.ZBCO+/PCN+/PCD=90。

當NBCO+2NPCN=90。時，

則NPCD=NPCN,

：.PD=PN,

.2226

..—m2'--m=—m2H—m,

3355

化簡得：4m2-lm-0,

7

解得：〃?]=一,"4=0,

4

第13頁共48頁

???點P是第一象限內拋物線上的一動點，點尸的橫坐標為m,

?.-m=7-,

4

7

.?.當時，在第一象限的拋物線上存在點P,使得/3。。+2/^^=90。；

(4)解：存在，理由：

點A、B、C的坐標分別為(-2,0)、(3,0)、(0,4),

則AC="+42=2有，AB=3-(-2)=5,>]OB2+OC2=5>

則AC=AQ=26,

:M(m,0),

?\AM=m+2,

,,12-4m

由(z2x)知：MQ=------,

3

由勾股定理，^AQ2=AM2+MQ1,

乂2南=(m+2『+(一［，

1?

解得："2=m或"2=0(舍去)，

.12

②當AC=CQ時，如圖2,

第14頁共48頁

由勾股定理，得約32=92+MQ2,

即(5_2括『=(3_m)2+,2；4加］,

解得：加="或m=6-述(不符合題意，舍去)，

55

"=哈

③當CQ=AQ時，點。在AC的垂直平分線上，

'：BC=AB=5,

???點3在AC的垂直平分線上，

???點。與點3重合，不符合題意，

，CQ=AQ此種情況不存在；

綜上，2^4。。為等腰三角形時，機=竽或葭.

【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與了二次函數幾何圖形結合的綜合能力的培

養.要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長

度，從而求出線段之間的關系.本題屬二次函數與幾何圖形綜合題目，難度較大，熟練掌握二

次函數圖象性質，相似三角形判定與性質，勾股定理是解題的關鍵.

7.(l)y=f+2

⑶(6T,0)或卜君T,0)

【分析】(1)根據拋物線的解析式令尸。即可求得A2的坐標，令x=0即可求得C點的坐標,

進而待定系數法求得直線AC的解析式；

第15頁共48頁

（2）由（1）設點尸（皿根+21，貝IJQ1見;機一2]在y=-g/+|x+2上，代入解方程即可求得

優的值，進而求得點尸的值；

（3）先求得直線BC的解析式，進而表示出PE解析式，得點E的坐標為1go],進而根據平

行得.APESaAce,根據相似三角形的性質可得根據勾股定理及逆定理證明△ACB是

直角三角形，進而可得P對稱后的點P與。重合，進而可得尸C=2,求得點P的縱坐標，進而

根據=?求得,的值，即可求得點E的坐標?

AByc

13

【詳解】（1）解：已知拋物線＞=一5犬+5》+2交x軸于A,3兩點，交y軸于點C,

令x=0,得y=2

即C（0,2）

13

令y=0,U\i--x2+-x+2=0

解得占=-1,々=4

設直線AC的解析式為y=kx+b,將點A（4,0）,C（0,2）代入得，

j4k+b=0

[b=2

.k=—

解得2

b=2

???直線AC的解析式為y=-〈x+2

（2）點P是直線AC上一動點，直線AC的解析式為y=+2

設點P,，-gm+2）,

點尸關于原點。的對稱點。剛好落在拋物線上，

貝1]0（一肛;機一21在丫=一3爐+|犬+2上

BO—m—2=——m2——m+2

222

解得町=2A/3-2,叫二—2^3—2

第16頁共48頁

.\-1-m+2=3-A/3^3+V3

P（2指—2,3-后或卜2百-2,3+6）

（3）依題意，設點+

設直線BC的解析式為y=ax+b,將點B（-l,0）,C（0,2）代入得,

[—a+Z?=0

\b=2

直線BC的解析式為y=2尤+2

PE//BC

設直線PE的解析式為y=2x+r

令y=0,x=_g,則點E的坐標為T,oj

AE=4+—,AB—5,

2

PE//BC

APEs一ACB

AE=j>

-AByc

A（4,0）,B（-l,0）,C（2,0）

AO=4,3O=1,CO=2

AB=5,BC=^BOr+COr=45,AC=^ACf+CO1=2也

AB2=BC2+AC2

回。是直角三角形

APEsACB

:.ZAPE=ZACB=90°

將ACPE沿CE對折，點P的對應點P恰好落在龍軸上時,

ZCP'E=ZCPE=90°,

ZCOE=90°

第17頁共48頁

???P與。點重合，

則尸C=PC=OC=2

產,-1+2],C（0,2）

；"+]-3〃+2-2）=2

解得〃小警,"「一半

.?3=二〃+2—'述+2=2-2

02255

0n4+-2--V5_p.4+-2+-V5

即2=5或2_5

5一25-2

解得t=2-2布或/=2+2出

(石-1,0)或卜方-1,0)

【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸交點問題，軸對稱問題，相似三角形的性質與判定，勾

股定理及其逆定理，一次函數的平移問題，設參數求解是解題的關鍵.

24

8?(l)y=--^+］尤+2

(2)①2；②：

【分析】(1)先求出點4點3坐標，利用待定系數法可求解析式；

(2)①證明△ADEs△Bog由相似三角形的性質得出/D4E=ND3C,證出AE〃3C,得

第18頁共48頁

出C點的縱坐標為2,則可求出答案；

②設C6-當2+%+2),過點B作BHLCE于點H,得出tanZBCH=tanZACE,則名AE

33CrzCE

解方程求出/的值，則可求出答案.

【詳解】(1)解：由產-；x+2可得：

當x=0時，y=2；當y=0時，x=3,

：.A(3,0),B(0,2),

2

把A、B的坐標代入y=--x2+bx+c得：

-2

——x9+3Z7+c=0

<3,

c=2

n

解得：3,

c=2

74

???拋物線的解析式為：y=-；N+(x+2；

(2)①如圖1,

圖1

,JDE//OB,

.AE_AD

"~OE~~BD，

..AEDE

,~OE~~CD，

.AD_DE

,,HD~~CD,

又?:ZADE=ZBDC,

：.AADE^ABDC,

：.ZDAE=ZDBC,

第19頁共48頁

J.AE//BC,

???C點的縱坐標為2,

24

.，?2=--x2+—x+2,

?\x=0或x=2,

：.C(2,2),

：.t=2；

74

②如圖2,設C(1,--12+—f+2),

圖2

過點5作BHLCE于點H,

*.?ZBCH=ZACE,

:?tcm/BCH=tcm/ACE,

.BHAE

^~CH~~CE，

t3-t

???224=224,

-----1H—t1H—￡+2

3333

?\t=—,

??.Y，)

SAACB=SAACE-^-S梯形BOCE-S^ABO

1551-5、11,5

=—X—xF—x(2+—)x---x2x3=—

22222224

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，平行線的判定和性質，相似三

角形的判定和性質，二次函數的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

9.(l)y=-gx+2,M(：,§

第20頁共48頁

⑵4，。)或弓，0)

oZ

(3)股

104

【分析】(1)求出A、8點的坐標，用待定系數法求直線A3的解析式即可；

⑵由題意可知ABED是直角三角形，設C(f,0),分兩種情況討論①當4￡D=90。，時，BEIIAC,

此時E(t,2),由此可求f=②當ZEBD=90。時，過點E作石。，了軸交于點Q,可證明AABO-ABEQ,

則4=為，可求E(r,2+|/),再由E點在拋物線上，則可求公?，進而求C點坐標；

(3)作取的垂直平分線交尤軸于點Q,連接BQ,過點8作3GLEC于點G,則有4。。=4團，

1ocio

在R/AB。。中，802=4+(3-80)2,求出8Q=二，QO=~,貝ljtanN8QO=tanZBEG=—,設C(r,0),貝lj

665

12t2

￡>?,-彳+2),石(人-『+%+2),則有5一4210,求出￡=||,即可求￥^=京7=與曰.

333+—t16UDA3TW4

【詳解】(1)解：令y=0,則-y+g+2=0,

17c

=或x=3,

A(3,0),

令％=0,則y=2,

???5(0,2),

設直線AB的解析式為y=kx+b,

Jb=2

一13左+0=0，

小二

3,

6=2

二.y=—1+2.

3

(2)解：ZADC=ZBDE,XACD=90°,

.-.AB￡D是直角三角形，

設C(f,0),

第21頁共48頁

①如圖1,

：1=0（舍）或t=

C（|,。）；

②如圖2,

過點E作軸交于點

Z.BAO+ZABO=90°,ZABO+NQBE=90°,

第22頁共48頁

/QBE=NBAO,

/./^ABO^ABEQ,

AOB0

._pn3_2

**~BQ~1EQ9即被一［，

3

?.BQ=,,

、3

E（t,2+—?）,

c34210c

」.2H—t=—tH----才+2,

233

?,1=0（舍）或r=”，

o

.?C（1,。）；

o

綜上所述：。點的坐標為（?，。）或（1",。）；

oZ

（3）解：如圖3,作班的垂直平分線交x軸于點連接BQ,過點8作3GLEC于點G,

*■

0^

\

1圖3'

，BQ=AQ,

ZBQA=ZQAB9

ZBED=2ZOAB9

:.ZBQO=ZBED,

在中，BQ2=BO2+OQ2,

二.％2=4+（3—BQ）2,

第23頁共48頁

eo=j

6

/.tanZ.BQO=—,

tanZBEG=—,

5

設C(￡,0),貝(J/)億一余+2),石億—g*才+2),

49410

BG=t,DE=—*+4/,AC—3—t,DC=—，+2,EG=—r-i—t

3333

12_r

二?二二4/]0

33

..35

..t——,

16

S2DE=_ED.BG,

S皿=*CD，

z42A\

S&BDE（-丁+4?2t21225

SRCDA（3-f）（-|r+2）3T104

【點睛】本題是二次函數的綜合題，求一次函數的解析式，解題的關鍵熟練掌握二次函數的圖

象及性質，三角形相似的性質與判定，分類討論，數形結合也是解題的關鍵.

10.（1）y=—九2+2x4-3

9

⑵EF=Z

⑶N的坐標是（0,3&+1）

【分析】（1）根據拋物線過點A（-L0）,對稱軸為直線x=l列方程計算即可；

（2）求出3、。坐標及直線3c解析式，由08=0C可得ZMM=NFBM=NCFE=45。，再設E、

R的坐標，根據相似計算即可；

（3）由翻折結合環〃y軸可得CP=E產，設E、R坐標計算即可.

0=〃—2+c

【詳解】（1）由題意得：2,

------=1

、2a

解得：

[c=3

第24頁共48頁

，所求的拋物線的解析式是：丫=--+2*+3

（2）由題意得：B（3,O）,C（O,3）,

直線的解析式為：y=-x+3

，OB=OC,

：.ZMBF=ZFBM=ZCFE=45°

設尸（m,-瓶+3）,則E（m,-m2+2m+3）

EF=—m2+2m+3—（—m+3）=—m2+3m,CF=m?+（3+m—3）2=y/2m

當以C、E、尸為頂點的三角形與VABC相似時，

不什EFCFEti一機2+3mV2m

①右IT而,則^^=乖,

m=|^m=0（舍去）

?二尸

..Er=-m2+,3&m=——20

9

分北CF_EFM|V2m_-m2+3m

°右耘一方'人」3亞'

???m=5或機=o（舍去）

9

/.EF=-m92+3根=—

4

?.*CEN是由印沿直線CE翻折而得

CN=CF,ZNCE=ZECF,

NC//EF,

：.ZNCE=ZCEF,

：.ZECF=ZCEF,

第25頁共48頁

/.CF=EF

設及+3）,貝E（〃,一/+2〃+3）

EF=-n2+2〃+3-（-〃+3）=-n2+3n,CF=^（0-n）2+（3+n-3）2=-Jin

?*一九2+3n=A/2H，

解得：〃=3-&或〃=。（舍去）

/.CF=?=3?-2

/.ON=OC+CN=OC+CF=3^+\

???N的坐標是（0,30+1）

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及解析式、三角形相似的判定與性質、對稱變換等

知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關的線段長度，根據已知列方程求解.

11.（1）y=為+，-4,點0（-3,-5）；

0O

⑶洞

【分析】（1）把點A（3,0）,C（0,T）代入可求出拋物線解析式，再由AC=BC,0CLAB,可得

點。的橫坐標為-3,即可求解；

（2）根據勾股定理求出3C=5,設點E（0,m）,則3/三CE=4-m,可得CF=BCBF=m+l,然

后分兩種情況討論：當/。￡歹=/3。。=90。時,￡尸〃》軸，4ECFs^ocB,當NCFE=/BOC=90。

時，△FCEsAocB,即可求解；

（3）連接AD,DF,nJiiE