專題05二次函數

|題型概覽

題型01二次函數的圖象與性質

題型02二次函數圖象與系數的關系

題型03二次函數與方程、不等式

題型04二次函數圖象的變換

題型05二次函數的應用

題型06二次函數的實際應用

題型01二次函數的圖象與性質

1.（2025?四川成都?一模）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列說法不正玻的是（）

A.對稱軸為直線x=lB.y的最小值為T

C.x=—2對應的函數值為y=5D.當0<x<2時，貝|T<y<-2

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，理解圖示，掌握二次函數圖象的性質是關鍵.

根據二次函數與坐標軸的交點，對稱軸直線的計算判定A選項；運用待定系數法得到解析式，將一般式化

為頂點式可判定B選項；根據自變量值求函數值可判定C選項；根據最值的計算可判定D選項；由此即可

求解.

【詳解】解：二次函數與x軸的兩個交點為-L3,

二對稱軸直線為x-1上+3=1,故A選項正確，不符合題意;

根據題意，二次函數經過（T0）,（3,0）,（0,-3）,

a-b+c=O

<9a+3b+c=0,

c=-3

a=1

解得，"=—2,

c=-3

「?二次函數解析式為y=x2-2x-3=（x-1）2-4,

???y的最小值為~4,故B選項正確，不符合題意；

當％=-2時，y=（-2-l）2-4=5,故C選項正確，不符合題意；

當％=0時，、=-3,當％=1時，y=-4,當x=2時，y=-3,

當0。<2時，則3,故D選項錯誤，符合題意；

故選：D.

2.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知拋物線的解析式為：y=-（x+2）2+l,則該拋物線的頂點坐標是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（2,-1）D.（1,2）

【答案】B

【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，根據二次函數y=的頂點為伍,〃）即可求解.

【詳解】解：拋物線丁=-（*+2）2+1的頂點左邊為（-2,1）.

故選：B

3.（2025?福建泉州?一模）已知二次函數丁=-爐+陵+。的圖象與x軸交于點A（a,0）和點B（a+3,0）,其中o

為常數，則該二次函數的最大值為（）

3927

A.1B.-C.-D.—

244

【答案】C

【分析】本題主要考查二次函數的性質；根據題意得到y=-（X-a）（x-a-3）展開整理成頂點式即可求

出.

【詳解】解：根據題意得，

y-—(x-a)(x-a-

=—x2+（2a+3）x-4—3a

當x=2學時，y有最大值3；

24

故選：C.

4.（2025?陜西咸陽?一模）若拋物線、=-2無2+4x+3%-1（m是常數）只經過第一、三、四象限，則m的

取值范圍是（）

11111

A.m>——B.m>—C.m<——D.——<m<—

33333

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質；將拋物線解析式化成頂點式，可得拋物線開口向上，對稱軸

為直線x=l,頂點坐標為（L2）,然后根據題意得出關于m的不等式組，求解即可.

【詳解】解：Vy=-2x2+4.x+3/7i-l=-2（x-l）2+3/71+1,

拋物線開口向下，對稱軸為直線尤=1,頂點坐標為。,3m+1）,

?.?拋物線y=-2d+4x+3〃Ll（m是常數）只經過第一、三、四象限，

.J3m—1<0

，43m+l>0，

解得：

33

故選：D.

5.（2025?陜西咸陽一模）關于X的二次函數？=,當x<l時，y隨x的增大而減小，則拋

物線的頂點坐標在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】本題考查二次函數>=辦2+次+°（。*（））的性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

二次函數>=依2+法+c（aW0）的性質：。>0,開口向上，在對稱軸左側圖像y隨x的增大而減小，在對稱

軸的右側圖像y隨x的增大而增大，a<0,開口向下，在對稱軸左側圖像y隨x的增大而增大，在對稱軸

的右側圖像y隨x的增大而減小，

根據二次函數的確定頂點坐標，即可判斷本題答案.

2

【詳解】解：：y=V-2的+機2_i=(x-機)-1,

，拋物線對稱軸為直線》="，，頂點坐標為(m,T),

?.?拋物線開口向上，

，時，y隨x的增大而增小，

又?當x<l時，y隨x的增大而增小，

m>1,

故選：D

6.(2025?江蘇徐州?一模)將二次函數y=/-2x+4化為y=(x-/zy+上的形式，結果為()

A.y=(x+l>+4B.y=(A：-1)2+4

C.y—(x+1)~+3D.y—(x—I)2+3

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次函數的三種形式，依據題意，由二次函數為

、=尤2-2%+4=尤2-2*+1+3=(無一1)2+3,進而可以判斷得解.

【詳解】解：由題意，,二次函數為y=x2-2x+4=x2-2x+l+3=(x-iy+3,

二二次函數y=x2-2x+4化為頂點式為y=(%-1)2+3.

故選：D.

7.(2025?遼寧?一模)在平面直角坐標系中，存在拋物線y=V-6x+4和拋物線y=-/-2x+4,則兩個拋

物線所形成圖形的對稱中心為()

A.(1,0)B.(-1,3)C.(3,-5)D.(-1,1)

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數的頂點坐標及對稱問題，解題的關鍵是求解析式的頂點坐標.把兩個拋物線

的頂點坐標求出來，求這2點連線的中點坐標.

【詳解】解：?拋物線y=d-6x+4=(x-3)2-5,

拋物線y=Y-6無+4頂點為(3,-5).

?拋物線y=*_2x+4=_（x+l）2+5,

???拋物線y=-2x+4頂點為（T,5）.

則兩個拋物線所形成圖形的對稱中心為土芋LIP（1,0）.

故選：A.

8.（2025?江蘇揚州?一模）通過畫出函數圖象探究函數性質是學習新函數的一種基本方法，請運用此法判斷

新函數＞=,-3尤+2|的圖象與一次函數y=-；x+l的圖象的交點個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題主要考查絕對值二次函數圖象與一次函數圖象的交點個數判斷，掌握函數圖象的畫法，數形

集合是解題的關鍵.先畫出兩個函數的圖象，然后數形結合就可以得出答案.

【詳解】解：-3x+2=（x-l）（尤一2）,

;.x=l或x=2時，y=0,當x=0時，＞=2,

...〉=/一3尤+2過（1,0）、（2,0）、（0,2）

y=x2-3cx+c2=（/x—-3、）2—-1,

其開口向上，對稱軸為X=；3,3頂點坐標為弓，-?1，

將y=/—3X+2的圖象在X軸下方的部分對稱到上方，得到y=|無2-3尤+2|的圖象，

1311

一次函數＞=一一x+1,當％=0時，y=l,當元=不時，y=-,當％=2時，y=o,故一次函數y=—不1+1

2242

31

過（0,1）和（；,：）和（2,0）,如圖所示：

44

從圖象可知，交點個數為3個，

故選：C.

9.（2025?四川資陽?一模）數學家華羅庚說："數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離

分家萬事休.”由此可知方程尤2+?-工+3=0的實數根的個數為()

x

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的解，數形結合是解題的關鍵.畫出、=三+以+3的圖象與尸工的圖象，觀

X

察交點情況，即可得出答案.

【詳解】解：由題意可知，尤2+4尤+3=L那么設、=/+4%+3和＞=工，

X%

對于y=f+4x+3=(%+2)2—1,那么頂點坐標為(-2,-1),

當y=0時，玉=-3,%=T，那么該拋物線過(-3,0),(-1,0),

當％=1時，y=l+4+3=8,那么該拋物線過(L8),

對于＞=工，x=l時，y=l,

X

%=-1時，＞二一1,

%=-3時y=-;，

那么該雙曲線過(1,1),(-L-1),(-3,-1),如圖所示:

從圖象可知，^=/+4工+3和＞=工的交點有3個，那么方程V+4x-L+3=0的實數根的個數有3個.

%X

故選：D.

10.(2025?江蘇淮安?一模)已知二次函數y二依2一2%+；(。為常數，且〃＞0,下列結論：①函數圖象一

定經過第一、二、四象限；②函數圖象一定不經過第三象限；③當x＜o時，＞隨x的增大而減小；④當%＞。

時，丁隨1的增大而增大.上述結論中正確結論的有()個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查二次函數的圖象與性質.先求得A=4-2“<0,可判斷①錯誤；②正確；由拋物線對稱

軸為x=』>0,可判斷③正確；④錯誤.

a

【詳解】解：?.?拋物線對稱軸為一3=-1=工>0，c=1>0,

2a2aa2

二次函數圖象必經過第一、二象限，

X**>A=Z?2-4ac=4-2a

?**4—2a<4,

當4-2〃<0時，拋物線與x軸無交點，二次函數圖象只經過第一、二象限，

當0<4-2a<4時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數圖象經過第一、二、四象限，

故①錯誤；②正確；

?.?拋物線對稱軸為％=—==一9=±>0,a>0,

2a2aa

拋物線開口向上，

.?.當時，y隨x的增大而減小，故③正確；

a

,當龍〉工時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，

a

綜上，正確的有②③，共2個，

故選：B.

11.(2025?河南許昌■一模)已知函數y=(x+l>,當時，y隨x的增大而.(填"增大域"減小")

【答案】增大

【分析】本題主要考查了二次函數的對稱軸及增減性，掌握當二次函數開口向上時，在對稱軸的右側>隨尤

的增大而增大，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小是解題的關鍵.

根據其頂點式函數y=(x+l)2可知，拋物線開口向上，對稱軸為x=-l,在對稱軸右側y隨x的增大而增大,

可得到答案.

【詳解】解：由題意可知：函數y=(x+iy,開口向上，在對稱軸右側〉隨x的增大而增大，

又,對稱軸為x=T,

.,.當x>-i時，y隨的增大而增大,

故答案為：增大.

12.(2025?安徽合肥?一模)已知拋物線》=加-2/*-3("0).

(1)當。=1時，拋物線的頂點坐標為;

(2)點A(3a,yJ,3(〃,%)為拋物線上兩點，若3<〃<4,總有乂<%，則。的取值范圍是.

【答案】(1,-4)0<。41或aW-4

【分析】(1)配方成頂點式求解即可；

_?/72

(2)首先求出對稱軸為直線》=一上=°,然后分兩種情況討論：當。>0時，當。<0時，然后根據二次

2a

函數的性質求解即可.

【詳解】(1)當。=1時，y=x2-2x-3=(x-l)--4

J.拋物線的頂點坐標為。,-4)

故答案為：(1,-4);

(2)1,拋物線,=加-2八-3("。)

對稱軸為直線x=-.=a

2a

當。>0時，拋物線開口向上

尤>。時，y隨X的增大而增大

?.?點A(3a,%),3(%,%)為拋物線上兩點,若3<〃<4,總有必<必，

3a<3

0<d!<1;

當avO時，拋物線開口向下

??.x<a時，y隨x的增大而增大；時，y隨x的增大而減小；

■.?點A(3a,yJ,為拋物線上兩點,若3〈幾<4,總有%<為，

??〃-3d24—a

6ZW—4-

綜上所述，a的取值范圍是0<〃Wl或Y.

【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，將一般式配方成頂點式，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象

和性質.

13.（2025?河南南陽?一模）已知拋物線>=-/+云（b為常數）的頂點橫坐標是拋物線y=-d+4x的頂點橫

坐標的2倍.

（l）b的值為一.

（2）已知點A（x”yJ在拋物線y=-尤2+4x上，點鞏工+m,%+t）在拋物線y=-爐+云上.

①若不=2,t-6m,求m的值；

②若玉=m+2,且3WxjW6,求t的最小值.

【答案］⑴8

⑵①〃?=2或加=T；②當力?=4時，t有最小值，最小值為-8

【分析】本題主要考查拋物線的圖像和性質，熟練掌握拋物線的圖像和性質是解題的關鍵.

（1）先求出拋物線y=-d+4x的頂點橫坐標，再根據題意求出拋物線>=-尤2+云的頂點橫坐標，即可得到

答案；

（2）①根據題意求出％=-22+4x2=4,根據題意得到療+2帆一8=0,即可得到答案；

②由題意得％=-尤；+4%，%+，=一（%+加y+8（%+加），得至1"=-3/+8m+8，解得當機=4時，

t有最小值，最小值為—3x16+8x4+8=—8.

【詳解】（］）解：丁二一^+以的頂點橫坐標為了二一二二-^^--=2,

2a2x-l

拋物線（b為常數）的頂點橫坐標是拋物線y=-三+4x的頂點橫坐標的2倍，

拋物線y=-丁+云的頂點橫坐標為4,

.b=8；

故答案為：8.

（2）解：①二點A（七,yJ在拋物線y=--+以上，=2,

%=—22+4x2=4.

點8（%+伏乂+。在拋物線,=-爐+法上，t=6m,

4+6m=—（2+m）2+8（2+m）,

整理,Wm2+2m—8=0,

解得機=2或m=Y.

②由題意得％=-X；+4/，%+，=—(玉+川)2+8(玉+m).

t——(%]+機)+8(玉+機)一(一工；+4%).

2

t=-m+4玉-2mxx+8m.

否二機+2,

:.t=—m2+4芯—2mxi+8m=—m2+4(m+2)—2m(m+2)+8m=—3m2+8m+8.

3W%W6,

，3Wm+2W6,解得加?4.

易得對稱軸為直線m=S8=J4

-63

44

—3<0,且4—>—1.

33

「?當m=4時，t有最小值，最小值為一3xl6+8x4+8=—8.

14.(2025?河北邢臺?一模)在平面直角坐標系中，拋物線>=。(彳-3)(*-1)-2的頂點為加，過M作平行y

軸的直線交x軸于點A,已知點8(5,2).

(1)求點M的橫坐標；

(2)若拋物線y=a(x-3)(x-1)-2經過點(-1,-10),當時,拋物線y=a(x-3)(x-l)—2的最大

值為-10,求t的值；

⑶若點A、5位于拋物線對稱軸右側圖象的兩側.確定。的取值范圍.

【答案]⑴2

(2)6或-2

⑶a>；或a<-2

【分析】本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到用待定系數法求拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特

征，有一定的綜合性，運用數形結合、分類討論的思想是解決第(2)(3)小題的關鍵.

(1)將y=a(x—3)(x—1)-2化成頂點式即可求解；

(2)將點(T-IO)代入y=a(x-3)(x—1)—2求出。，進而可得其對稱軸為x=2,

當/一1>2時，即r>3時，-(7-1一2)2—1=-10,當f+l<2時，即r<l,-(r+l-2)2-l=-10,分別求解即

可；

(3)分兩種情況：①當a>0時，拋物線經過點3(5,2)時，可得a=g；②當。<0時，拋物線過點(5,2)時

結合性質可得又-a-2>0,即可求解.

【詳解】(1)解：「y=a(尤一3)(無一1)—2=a(x?—4尤+4)—a—2=a(x—2)~—。一2

:.M的坐標為(2,-a—2),

二點M的橫坐標為2；

(2)解：當》=一1時，-10=。(一1一3)(—1—1)-2,

解之得，a——\,

,=_(*_3)(尤_1)_2=_(尤_2)2_1

所以其對稱軸為x=2,

由題意知最大值為-10,

當/一1>2時，即/>3時,

-(/-1-2)2-1=-10.

解得「6,”0(舍去)，

當r+l<2時，即r<l,—(r+1—2)—1=—101

解得4=4,^=-2,f=4不合題意舍去.

綜合以上可得f的值為6或-2.

(3)解：①當。>0時，拋物線經過點8(5,2)時，

91

(5-2)a-a-2=2,解得〃=萬.

又點A、3分別位于拋物線對稱軸右半部分的兩側，

當a<0時，拋物線過點(5,2)時可得a<],又—a—2>0,B|Ja<—2,

綜上所述：a的取值范圍為a>；或。<-2.

15.(2025?山東臨沂?一模)已知二次函數>=內2+匕尤+3,為為常數，且awO)圖象經過點4(2,3).

(1)求二次函數圖象的對稱軸；

(2)若a>0,當0WXW3時，y的最大值為4,求。的值；

⑶已知M(孫必)，N(〃,當)是該二次函數圖象上的兩點.若對于-44機W-2,〃=總有%>%，求。的

取值范圍.

【答案】(1)直線x=l

(2)?=j

3,5

(3)a<--sKO<a<—

【分析】本題主要考查二次函數圖形的性質，掌握二次函數圖形的開口，最值的計算，對稱軸直線的計算

等知識，數形結合分析，分類討論是解題的關鍵.

(1)把點(2,3)代入，運用對稱軸直線的計算公式尤=-=求解即可；

2a

(2)二次函數圖象的對稱軸是％=1,貝朋=-2〃,y=ax2-2ax+3,根據二次函數圖象的性質得到當x=3時,

V的值最大，代入計算即可求解；

(3)分類討論：當。>0時，-2<H<4,當avO時，或〃〉6,數形結合分析即可求解.

【詳解】(1)解：二次函數y=〃/+法+3,則對稱軸直線為兀=-二，

2a

由題意知，二次函數的圖象過⑵3),

4a+2b+3=3,則h——2Q,

b_2a_

??==1,

2〃2a

二二次函數圖象的對稱軸是x=l；

(2)解：二次函數圖象的對稱軸是x=l,

..b——2a，

y=ax2-2ar+3,

當a>0時，二次函數的圖象草圖如圖1,

由圖象可以看出：在0WxV3范圍內，點Q的位置最高,

二當x=3時，丁的值最大，

止匕時，y=9a-6a+3=4.

解得“=%

(3)解：當。>0時，函數圖象草圖如圖2,

點M在C,。之間的拋物線上，此時當點M在點C的位置時〉的值最小,

點C關于直線x=l的對稱點為點E,由于7>%,

點N在直線CE下方的拋物線上,

/.-2<n<4,

又'n=2a-1,

-2<2a—1<4,

解得——<Qvg，

22

又,a>0,

0<Q<—,

2

當a<0時，函數圖象的草圖如圖3,

圖3

點M在C。之間的拋物線上，此時點M在點。處y的值最小,

點。關于直線X=1的對稱點為點/，由于%>%，

，點N在直線D尸下方的拋物線上,

.177<-4或”>6,

又*n-2a-1,

2a—1<-4或2a—1>6,

解得一3:或7（不合題意舍去），

22

綜上所述，〃的取值范1圍,是"一:3或5

22

二次函數圖象與系數的關系

1.（2025?廣西河池?一模）剪紙是我國的民間傳統藝術，能為節日增加許多喜慶的氛圍.剪紙中有一種“拋

物線剪紙”藝術，即作品的外輪廓在拋物線上，體現了一種曲線美.如圖，這是利用"拋物線剪紙"藝術剪出

的蝴蝶，建立適當的平面直角坐標系，使外輪廓上的4B,C,。四點落在拋物線上，則下列結

論正確的是（）

A.ac<0B.ac=OC.ac>0D.ac<0

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵.

根據拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，即可判斷a,c的符號，然后求出這即可求解.

【詳解】解：建立適當的平面直角坐標系，使外輪廓上的A,B,C,。四點落在拋物線>=辦2+。上,

■.?根據拋物線開口向上，與y軸交于負半軸,

a>Q,c<0,則改v0.

故選：A.

2.（2025?四川達州?一模）如圖，是二次函數>=依2+法+0（。片0）的部分圖象，該圖象經過點其

對稱軸為：直線x=-3,則下列結論：①6a—Z?=0；②辦2+6X+C<_6；③若渴+如=竭+如且占片々，

則為+赴=-6；④關于x的一元二次方程依2+6x+c=_4的根為一1；⑤若點（-1,㈤，（2,冷在拋物線上,

則〃其中正確的個數有（)

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據二次函數的圖象和性質逐項判斷，由拋物線的頂點坐標為(-3,-6),可得函數有最小值，可判

斷①②；由"；+公|="；+"2且%則七%=一3,可判斷③；由對稱性可得一元二次方程

辦2+法+o=-4的根為-1或-5,可判斷④錯誤；由拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-3,x>-3時，y

隨x的增大而增大，可得加<〃，可判斷⑤.即可得到答案.

【詳解】解：①?.?對稱軸為直線x=-3,

：.-旦=-3,

2a

6a-b=0,

故①正確；

②根據函數圖象可得拋物線開口向上，

■.?由圖可知拋物線的頂點坐標為(-3,-6),

；.x=-3時，函數有最小值，

ax2+Zzx+c2—6,

故②錯誤；

③若+如=+"2且玉W%2,則"；>二—3,

X]+%=—6,

故③正確；

④由條件可得關于X的一元二次方程ax2+bx+c=-4的根為-1或-5,

故④錯誤；

⑤?.?拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-3,

當x>-3時，y隨x的增大而增大，

V-3<-l<2,

:.m〈n,

故⑤正確.

綜上所述，正確選項有3個.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖象和性質，包括二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐

標特征，拋物線與x軸的交點，一元二次方程的根與系數的關系.熟練掌握原式知識點是關鍵.

3.（2025?陜西渭南?一模）老師在畫二次函數丁="2+區+6（a、b為常數，且〃力0）的圖象時列表如下:

X0123

ym860

四位同學根據表格得到結論如下：

甲：該函數圖象的對稱軸為直線尤=1;

乙：當x>0時，>隨x的增大而減小；

丙：m=6；

T：圖象開口向下.

針對四人的說法，其中不正確的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數的圖像與性質，待定系數法求解析式，熟練掌握以上知識點是關鍵.利用二

次函數圖象的特征，根據題意逐一判斷即可.

【詳解】解：將。,8）、（3,0）代入丫=辦2+扇+6得:

a+b+6=8

9a+3。+6=0

???二次函數的解析式為y=-2爐+4%+6=-2（*-1）2+8,

，該函數圖象的對稱軸為直線x=l,故甲正確；

又?=-2<0,函數圖象的對稱軸為直線x=l,

二二次函數的開口向下，當x<l時，y隨x的增大而增大，故乙不正確，丁正確；

當x=0時，J=-2X02+4X0+6=6,即加=6,故丙正確；

故選：B.

4.（2025?山東青島?一模）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸為直線彳=一1,則過點

Af（a,a-Hc）和點N92_4ac,6-2a）的直線一定不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，根據開口方向和二次函數與y軸交于y軸的正半軸得

至Ua<0,c>0,根據對稱軸計算公式得到b=2a,BPb-2a-0,貝UN倒?一4ac,6-2a）在x軸正半軸上；由

二次函數頂點在第二象限，得到當天=-1時，y=a-b+c>0,再由二次函數與x軸有兩個不同的交點，得

至必=〃一4叱>0,則點M（a,a—"c）在第二象限，點N伊一4〃力-2a）在x軸坐標軸，據此可得答案.

【詳解】解：?.?函數開口向下，二次函數與y軸交于y軸的正半軸，

a<0,c>0,

?對稱軸是直線x=-l,

b=2a,

b-2a=0f

：.N伊一4碇力-2々）在x軸上；

?二次函數頂點在第二象限，

.,.當％=—1時，y=a-b+c>Q,

「?點M（a,a—b+c）在第二象限，

,二次函數與x軸有兩個不相同的交點,

?*-A=〃_4ac>0,

.?.點N（b2-4ac,b-2a）在x軸正半軸上，

經過點Af（a,a-人+c）和點N僅2-4ac力-2a）的直線一定經過第一、二、四象限，不經過第三象限,

故選：c.

5.（2025?廣東中山?一模）函數廣辰2+桁+［（0>0/2—4ac>0）的圖象是由函數

y=ar2+6x+c（a>o,62-4ac>O）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則

下列結論正確的是（）

①2a+b=0；②c=3；③abc>4；④將圖象向上平移2個單位后與直線y=5有3個交點.

A.①②B.①③④C.②③④D.①③

【答案】D

A

【分析】根據函數圖象與X軸交點的橫坐標求出對稱軸為-==1,進而可得2a+6=0,故①正確；由函

2a

數圖象與y軸的交點坐標為（0,3）,>=G2+法+《。>0,62-4m>0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿

x軸向上翻折而成可知c=-3,故②錯誤；根據對稱軸求出力<0,進而可得a6c>0,故③正確；求出翻折

前的二次函數的頂點坐標，然后根據平移的性質可得④正確.

【詳解】解：由函數圖象可得：、=次2+法+。與x軸交點的橫坐標為一1和3,

...對稱軸為尤=二^=1,即一二=1，

22a

.?.整理得：2a+b=0,故①正確；

3?=辰2+法+4（”>0萬一4m>0）與）/軸的交點坐標為（0,3）,

，=G2+泳+。（。>0）可知，開口向上，圖中函數圖象是由原函數下方部分沿X軸向上翻折而成，

???c=-3,故②錯誤；

y-ax2+bx+c^a>0,b2-4ac>0）中a>0,=1,

：.b<0,

又,:c=—3<0,

abc>0,故③正確;

?.?圖像與y軸交于點(0,3),

.?.將圖象向上平移2個單位后圖像與y軸交于點(0,5),且對稱軸為直線x=i,

.?.將圖象向上平移2個單位后與直線y=5有4個交點，故④錯誤；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，與x軸交點問題及二次函數圖像的平移，掌握二次函數的對

稱軸公式，頂點坐標的求法是解題的關鍵.

6.(2025?山東聊城?一模)如圖，二次函數丁=加+云+。(。70)的對稱軸是直線x=l,且與x軸的一個交

點坐標為(3,0).下列說法：

@ab<0；②3a+c=0；③關于x的一元二次方程依2+笈+。=0(470)的兩個根為一1,3；④若(-2,%),

(2,%)在該拋物線上，則乂<%;⑤對任意實數m，不等式劭/+6相2a+6恒成立.其中正確結論的個數

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，利用數形結合的思想解決問題是關鍵.根據二次函數的對稱

軸和開口方向，可判斷①④，根據二次函數與x軸的交點可判斷②③；根據二次函數的最值可判斷⑤.

【詳解】解：；二次函數y=G?+b_x+c(aH0)開口向上，對稱軸是直線x=l,

cb,

。>0,-----=1,

2a

:.b=-2?<0,

ab<0,①正確；

；二次函數y=ax2+bx+c(a^0)的對稱軸是直線x=l,與無軸的一個交點為(3,0),

，二次函數與x軸的一個交點為(-1,0),

:.a-b+c=0,

/.a-(^-2a)+c=3a+c=0,②正確；

二次函數y=o?+bx+c("0)與x軸的交點為(-1,0)和(3,0),

二關于x的一元二次方程62+及+。=0(。工0)的兩個根為一1,3,③正確；

?.■二次函數丫=62+法+^^^^^開口向上，

,距離對稱軸越近，函數值越小，

二次函數y=G2+bx+c(aw0)的對稱軸是直線x—1,2—1<1—(—2),

；-%<%，④錯誤；

：二次函數曠=依2+笈+。(。彳0)的對稱軸是直線》=1,

???當x=l是，二次函數有最小值為a+6+c,

二對任意實數m,者B有。相2+/wz+c2a+〃+c,即卬儲+Zwz2a+6

二對任意實數m,不等式由療%za+6恒成立，⑤正確，

故選：C.

7.(2025?廣東韶關?一模)在同一平面直角坐標系無Oy中，二次函數>="2_。的圖象和一次函數y=B-a

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數以及一次函數的圖象，可先根據一次函數的圖象判斷。的符號，再判斷二次函

數圖象與實際是否相符，判斷正誤即可.解題的關鍵是熟記一次函數丁=依一。在不同情況下所在的象限，

以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等.

【詳解】解：A、由一次函數丁=依-。的圖象可判斷矛盾，故不符合題意；

B、由一次函數的圖象可得：a<0,此時二次函數的圖象應該開口向下，和丁軸的正半

軸相交，且與一次函數交于同一點（0,-。），故選項不符合題意；

C、由一次函數>=依-。的圖象可得：a<0,此時二次函數丁="2-〃的圖象應該開口向下，和>軸的正半

軸相交，且與一次函數交于同一點（0,-。），故選項不符合題意；

D、由一次函數>=依-。的圖象可得：a>0,此時二次函數y="2-a的圖象應該開口向上，和>軸的負半

軸相交，且與一次函數交于同一點（0,-。），故選項符合題意.

故選：D.

8.（2025?河南周口?一模）在同一坐標系中，一次函數y=sT與二次函數>的圖像可能是（）

【答案】B

【分析】本題考查了一次函數與二次函數的圖像，熟練掌握一次函數與二次函數的圖像特點是解題關鍵.分

兩種情況：①當a>0時，一次函數>=6-1的圖像經過第一、三、四象限；二次函數y=/+a的圖像的

開口向上，頂點在y軸正半軸上；②當。<0時，一次函數的圖像經過第二、三、四象限；二次函

數y=/+a的圖像的開口向上，頂點在y軸負半軸上，由此即可得.

【詳解】解：當a>0時，一次函數、=依-1的圖像經過第一、三、四象限；二次函數y=x2+a的圖像的開

口向上，頂點在y軸正半軸上，

當a<0時，一次函數》=四-1的圖像經過第二、三、四象限；二次函數y=/+a的圖像的開口向上，頂點

在〉軸負半軸上,

觀察四個選項可知，只有選項B符合，

故選：B.

9.（2025?安徽合肥?一模）二次函數＞=依2與一次函數＞=。-1的圖象交點不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】本題考查二次函數圖象和一次函數圖象的性質，根據題意分兩種情況討論：。＞0和。＜0,然后分

別判斷出一次函數和二次函數的圖象所在的象限，進而求解即可.

【詳解】當時，二次函數＞圖象在第一象限和第二象限，一次函數y=a-l的圖象在第一，三，

四象限，

，二次函數y=加?與一次函數y=的圖象交點不可能在第二，四象限；

當a＜0時，二次函數y=圖象在第三象限和第四象限，一次函數、=。-1的圖象在第二，三，四象限，

.,.二次函數＞=以2與一次函數，=。-1的圖象交點不可能在第一，二象限；

綜上所述，二次函數y=",與一次函數y=a-l的圖象交點不可能在第二象限.

故選：B.

10.（2025?安徽宣城?一模）已知一次函數、=分+》的圖象如圖所示，則二次函數廣4+法的圖象可能是

（）

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數和一次函數圖象的綜合判斷，解題的關鍵是根據圖象獲得各部分系數的符號.

根據已知一次函數圖象得到a,b的符號，據此判斷二次函數圖象即可.

【詳解】解：根據，=依+6的圖象可知：a>0,b<0,

.,.二次函數y=a?+云圖象開口向上，對稱軸為直線x=-->0,

2a

,.?c=0,

.,.二次函數y=ax~+bx圖象過原點，

綜上可知，符合要求的圖象為D,

故選：D

k

11.（2025?安徽宣城?一模）一次函數>=-履+左的圖象如圖所示，則函數>=一與尸-底+人在同一平面直

X

角坐標系中的圖象可能是（）

【分析】本題考查一次函數、反比例函數、二次函數圖象性質，解題的關鍵是根據一次函數圖象確定k的

取值范圍，再據此分析反比例函數與二次函數圖象特征.

先由一次函數圖象得出左的取值范圍，再分別根據反比例函數和二次函數性質，判斷其圖象所在象限和開口

方向等特征，從而確定符合條件的選項.

【詳解】解：對于一次函數y=-依+左，其圖象經過一，二,四象限.根據一次函數y=（加為斜率,

〃為截距）性質，斜率-左<0,即左>0；截距化>0,

當人＞0時，根據反比例函數＞='（m為常數且加*0）性質，反比例函數y=A的圖象在一，三象限,

%X

2

y=-kx+kf二次函數圖象開口向下；又因為截距左＞0,所以二次函數圖象與V軸正半軸相交.

綜上，反比例函數圖象在一，三象限，二次函數圖象開口向下且與y軸正半軸相交，對比選項，A正確,

故選：A.

12.（2025?安徽?一模）二次函數了=履2+2區與反比例函數y=（在同一平面直角坐標系內的圖象可能是（）

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數與反比例函數圖象的性質，掌握二次函數與反比例函數的圖象和性質是解題

的關鍵.

根據二次函數中二次項系數、一次項系數的分析得到二次函數圖象，從而判斷反比例函數圖象即可求解.

【詳解】解：二次函數y=近2+2近，對稱軸直線為x==一1,

2k

當%＞0時，二次函數圖象開口向上，則反比例函數＞=月的圖象經過第一、三象限；

X

當上＜0時，二次函數圖象開口向下，則反比例函數y=&的圖象經過第二、四象限；

X

只有B選項符合題意，

故選：B.

13.（2025?山東濰坊?一模）已知二次函數,二依之+法+式〃。0）圖象的一部分如圖所示，該函數圖象經過點

（-1,0）,對稱軸為直線X=2.下列結論正確的是（）

B.c=3a

c.多項式依2+公+0可因式分解為a(x+D(x-5)

D.(a+c)2>b2

【答案】AC

【分析】根據拋物線y=a/+6x+c的開口向下，對稱軸，拋物線與坐標軸的交點，函數的增減性，利用數

形結合思想，計算判斷即可.

本題考查了拋物線的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

【詳解】解：1?拋物線，=依2+云+°(。70)經過點(-1,0),對稱軸為直線x=2,且開口向下，

b

一.對稱軸為直線％=---=2>0,。<0,

2a

b=-4a>0

*/a—b+c=O,

.??a+4a+c=0,即c=—5a>0,

abc<0,

故A選項正確，B選項錯誤；

,拋物線、=加+云+。("0)開口向下，與X軸的一個交點坐標為(T,o),另一個交點為(%2,0),且對稱軸

為直線x=2,

?~l+x_

??2一4,

2

解得％2=5,

了.另一個交點為(5,0),

多項式ox?+法+<:可因式分解為a(x+l)(x-5),

故C選項正確;

根據題意，得=(。-5〃)2=16",

1

b=(-4Q)2=16a2,

(a+c)2=b2,

故D選項錯誤.

故選：AC.

14.(2025?山東煙臺?一模)已知一元二次方程/+陵+。=0有兩實根玉二-2,X2=4,且必C<0,則下列

結論中正確的有.(填序號)

①2a+Z?=0；②拋物線y+"+。的頂點坐標為

③avO；④當機<0時，m(6zm+Z?)<4t2+2Z?.

【答案】①③④

【分析】本題主要考查了二次函數圖像與系數的關系、二次函數的圖像與性質等知識，解題時要熟練掌握

并能靈活運用二次函數的性質是關鍵.

首先將王二-2,工2二4代入一元二次方程必；2+云+0=0,可求得2。+/?=0,即可判斷①；確定/?=-2。，即可

確定該拋物線的對稱軸，再求得。=-：，b=5,可確定頂點坐標為[,'],即可判斷②；結合c=-8a,

b=-2a,abc<0,可知QVO,即可判斷③；由題意易知該拋物線開口向下，當x<l時，V隨元的增大而

增大，且當犬=0時和當％=2時，函數值V相等，易得a%之+人根+。v4a+2〃+c,進而可得當機<0時，

m(+/?)<4a+2/7,即可判斷④.

【詳解】解：由題意，一兀二次方程加+/?x+c=0有兩實根石=-2,工2=4,

[4a-2b+c=0①小

??.得仁八臺，由②一①，可得12“+6。=0.

[16?+4/?+(?=0(2)

???2。+8=0,故①正確；

由2。+/?=0可得人=一2〃,

b

,拋物線y=+陵+。的對稱軸是直線光=一丁=1,

2a

???拋物線的頂點為(La+b+c),

又「b=-2a,4〃一2/?+。=0,

8a+c=0,

ci=--，b=—,

84

9c

Q+Z?+C=,

8

.??頂點坐標為km;故②不正確；

*.*8〃+c=0,

9?c—■-8a,

又"：b=-2a,abc<0,

tz<0,故③正確；

h

tz<0,且拋物線y=〃/+Zzx+c的對稱軸是直線工=一二一二1,

2a

???該拋物線開口向下，當無<1時，>隨1的增大而增大，

XV|0-1|=|2-1|=1,

.?.當x=0時和當x=2時，函數值y相等，

廠.當機<0時，可有am2+8根+。vc=4a+2Z?+c,

即當機<0時，m(tzm+Z?)<4tz+2Z?,故④正確.

綜上，正確的有①③④.

故答案為：①③④.

15.(2025,河南洛陽?一模)拋物線y=a