2025年九年級數學中考二輪專題復習圓中切線的證明練習

1.如圖，是。。的直徑，直線。與AB的延長線交于點E,點C是命的中

點.

(1)求證：直線與。。相切于點C;

(2)若/C4D=30°,O。的半徑為3,一只螞蟻從B點出發，沿著BE-EC-合爬回

至點、B,求螞蟻爬過的路程(n-3.14,加比1.73,結果保留一位小數).

2.如圖，△ABC為等邊三角形，。為BC的中點，作。。與AC相切于點。.

(1)求證：與。。相切；

(2)延長AC到E,使得CE=AC,連接3E交。。與點足M,若AB=4,求的長.

3.如圖，。是O。上一點，點C在直徑區4的延長線上，且C。是O。的切線，OEHQ

交CD的延長線于點E,連結班.

(1)求證：EB是。0的切線.

(2)若AC=2,AQ=2返，求。。的半徑.

3

4.如圖，△ABC中，AB=AC,以AC為直徑的O。交BC于點D,點￡為C延長線上一點,

且/COE=L/BAC.

2

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若A2=3B。，CE=2,求OO的半徑.

5.如圖，。。與△ABC的AC邊相切于點C,與AB、BC邊分別交于點。、E,DE//OA,

CE是。。的直徑.

(1)求證：A8是O。的切線；

(2)若BD=4,EC=6,求AC的長.

6.如圖，四邊形ABC。內接于O。，AB=AD,連接BO,過A點作交CD的延長

線于E.

(1)求證：AE為O。的切線；

(2)若A2〃C。，AB=8,CD=6,求。。半徑的長.

7.如圖，AB為O。的直徑，點。在。。外，NA4D的平分線與O。交于點C,連接BC、

CD,且/。=90°.

Cl)求證：C￡＞是。。的切線；

(2)若/。。4=60°，BC=3,求BC的長.

8.如圖，菱形ABC。，A2=4,以A3為直徑作OO,交AC于點E,過點E作跖，AD于

點、F.

(1)求證：所是O。的切線；

(2)連接。/，若/BAD=60°,求。尸的長.

9.如圖，在△ABC中，AB=BC,以BC為直徑作O。交AC于點E,過點E作的垂線

交AB于點R交CB的延長線于點G.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)若BG=OB,AC=6,求8P的長.

10.如圖，42是。。的直徑，點C是弧BE中點，AELC。于點。，延長。C,AB交于點R

己知AZ)=4,FC=4^FB.

(1)求證：CD是O。的切線.

(2)求線段FC的長.

11.如圖，△ABC內接于O。，AB^AC,8。的延長線交AC于點。，S.ZDOC=ZDCO,

E是弧AC上的一點，過點C作CFLAE交AE的延長線于點尸，連接。4

(1)求證：AOXBC；

(2)若3/CAP=2NABC,求證：CB是O。的切線；

(3)若。。的半徑為1,求8的長.

12.如圖，點A、B、C、。是。。上的四個點，AC是。。的直徑，ZDAC^2ZBAC,過點

2的直線與AC的延長線、。。的延長線分別相交于點E、F,且EB=CF.

(1)求證：BE是。0的切線；

(2)若。。的半徑為5,CE=3,求C。的長.

13.如圖，在△ABC中，E■是AC邊上的一點，5.AE^AB,/BAC=2/CBE,以AB為直

徑作O。交AC于點。，交BE于點、工

(1)求證：EF=BF；

(2)求證：8C是O。的切線.

(3)若A2=4,BC=3,求。E的長,

14.如圖，直線/與。。相離，于點A,與。。相交于點P,0A=5.C是直線/上一

點，連結CP并延長交O。于另一點8,且AB=AC.

(1)求證：A3是O。的切線；

(2)若。。的半徑為3,求線段2尸的長.

15.如圖1,AB為半圓的直徑，點。為圓心，AF為半圓的切線，過半圓上的點C作CO〃

AB交AP于點。，連接BC.

(1)連接。。，若BC〃OD,求證：C。是半圓的切線；

(2)如圖2,當線段CD與半圓交于點E時，連接AE,AC,判斷NAEZ)和/AC。的數

量關系，并證明你的結論.

參考答案

1.【解答】(1)證明：連接0C,

：OA=OC,

J.ZOAC^ZOCA,

,：ZOAC^ZDAC,

J.ZOCA^ZDAC,

J.OC//AD,

"JADLCD,

：.CD±OC,

.?.CD為O。的切線，

，直線co與o。相切于點c；

（2）解：-：ZCAD=3Q°,

：.ZCAE^ZCAD^30°,

由圓周角定理得，NCOE=60°,

；.O￡=2OC=6,EC=M"=3M，

前的長為：60KX3=TT,

180

.?.螞蟻爬過的路程=3+3+Tt-lL3.

2.【解答】（1）證明：連接。。，作0GLA8于如圖1所示:

則NOGB=90°,

:△ABC為等邊三角形，

ZOCD^ZOBG^ZABC=60°,

：。為2C的中點，

：.OB=OC,

；O。與AC相切于點。，

：.AC±OD,

：.ZODC^9Q°=NOGB,

'N0BG=N0CD

在AOBG和△OCZ）中，，Z0GB=Z0DC，

OB=OC

:.AOBG當LOCD（44S）,

AOG^OD,.，.人臺與O。相切；

（2）解：連接。4、OM,作OH_LFM于H,如圖2所示:

則/OHB=90°,FH=MH,

VCE^AC,AC=BC,

:.CE=BC,

：.ZCBE=ZCEB=ZACS=30°,

2

/ABE=ZABC+ZCBE=90°,

VZOGB=90°,

四邊形OHBG是矩形，

：.OH=BG,

?.?△ABC是等邊三角形，。為BC的中點，

：.OB=^BC=^-AB=2,

22

；/BOG=90°-60°=30°,

：.OH=BG=^OB=1,OG=V3?G=V3，

在RtZXOAffi■中，OM=OG=M，OH=1,

MH=VOM2-OH2=?'

：.FM=2MH=2?

3.【解答】(1)證明：連接0,如圖所示：

是O。的切線，

J.0DLCD,

：.N0DE=90°,

'：0E//AD,

:.NB0E=N0AD,NAD0=/D0E,

\'OA^OD,

：.ZADO^ZOAD,

:.NB0E=ND0E,

rOB=OD

在△OBE和△ODE中，，ZBOE=ZDOE，E

OE=OE

:.AOBE義40DE(SAS),

；.N0BE=N0DE=90°,

：.EBLOB,

：OB是O。的半徑，

.,?班是。。的切線.

(2)解：連接如圖2所示：

設O。的半徑為r,

是O。的直徑，

ZADB=90°,

2―

在RtZXADB中，cosZBA￡>=—=—^―=2/3

AB2r3r

在RtZXOOE中，cos/?_=工，

OE0E

；NBAD=ND0E,

?V3_r

.與OE)

：.0E=M2,

'：0E//AD,

：.ACAD^/\C0E,

2V3

.CA_AD即2一3

-，-,

,■COOE2+F^r2

整理得：3r-r-2=0,

解得：r=l,或「=-三(舍去)，

3

.??。0的半徑為1.

4.【解答】解：(1)如圖，連接0。，AD,

〈AC是直徑，

ZAZ)C=90°,

：.AD±BC,

'：AB=AC,

：.ZCAD=ZBAD=^ZBACf

2

9：ZCDE=—ZBAC.

2

：.ZCDE=ZCAD,

,.,O4=0。，

：.ZCAD=ZADO,

VZADO+ZODC=90°,

：.ZODC+ZCDE=90°

：.ZODE=90°

又???。。是。0的半徑

???DE是。。的切線；

(2)解：VAB=AC,ADLBC,

：.BD=CD,

'：AB=3BD,

：.AC=3DCf

設Z)C=x,則AC=3x,

*'eAD=VAC2-DC2=2心,

?：NCDE=NCAD,ZDEC=AAED,

??.△CDEs^DAE,

?CE_DC_DE即2=x=DE

DEADAEDE2A/2x3x+2

:?DE=4?尸學

：.AC=3x=14,

???OO的半徑為7.

5.【解答】(1)證明：連接0。、CD,

〈CE是OO的直徑，

：.ZEDC=90°,

9

：DE//0Af

：?OAA_CD,

???。4垂直平分CO,

/.OD=OC,

：.OD=OE,

：?/OED=/ODE,

,:DE〃ON,

：.ZODE=ZAOD,ZDEO=ZAOC,

：.ZAOD=ZAOC,

:AC是切線，

ZACB=90°,

在△40。和△AOC中

rOD=OC

<ZA0D=ZA0C

0A=0A

/.AAOD^AAOC(SAS),

ZADO=ZACB=90°,

是半徑，

是O。的切線；

(2)解：連接OD,CD,

是O。切線，

：.ZODB=90°,

：.ZBDE+ZODE=90°,

；CE是。。的直徑，

：.ZCDE=9Q°,

：.ZODC+ZODE^9Q°,

；./BDE=NODC,

\'OC^OD,

：.ZOCD=ZODC,

：./BDE=/OCD,

:/B=NB,

:.△BDEs^BCD,

.BDBE

??----=-----

BCBD

:.BD2=BE*BC,

設VBZ)=4,EC=6,

.*.42=%(x+6),

解得x=2或％=-8(舍去)，

:?BE=2,

；?BC=BE+EC=8,

9：AD.AC是。。的切線，

：.AD=AC,

設AO=AC=y,

在RtZ\A8C中，AB2=AC2+BC2,

(4+y)2=y2+82,

解得y=6,

.,.AC=6,

故AC的長為6.

6.【解答】(1)證明：如圖，連接。4,

'：AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

'：AB=AD,OB=OD

：.ZBAO=ZDAO

：.ZOAD+ZADB=90°

9

：AE//BDf

：.ZDAE=ZADB9

：.ZOAD+ZEAD=90°,

即AE±OA,

???點A在。。上，

???AE是。。的切線.

(2)解：如圖，延長AO交8。于點尸，連接05,

'JAE//BD,AB//CD,

???四邊形ABDE為平行四邊形，

：.AB=AD=DE=8,

：.ZBAO=ZABO

?.,AE為。0的切線，AZDAE+ZDAF=90°,

VZAZ)F+ZZ)AF=90°,

：.ZDAE=ZADFf

'：ZABD=NADF,

???ZDAE=ZABD=ZACD,

ZE=ZE,

：.AADE^ACAE,

?AEDE

??—=—

CEAE

：.AEr=DE-CE,

：.AER8X14,

:.AE=4E

；.BD=4行，

；.BF=2近，

AF=7AB2-BF2=6,

由(1)知OA±BD,

：.在RtABOF中，OB2=OF2+BF1,

設OB=x,則0F=6-尤，

X2=(2V7)2+(6-X)2,

解得：x=ll.

3

即OO的半徑為生.

3

7.【解答】解：(1)證明：連接。C,

:AC是NBA。的平分線，

：.ZCAD^ZBAC,

又；。4=0C,

J.ZOAC^ZOCA,

：.ZOCA=ZCAD,

：.OC//AD,

：.ZOCD=ZD=90°,

???CD是。。的切線；

（2）解：VZACD=60°,

：.ZOCA=30°,

〈AB為。。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZOCB=60°,

OC=OB,

???△OCB是等邊三角形，

：,OB=OC=BC=3,NCOB=60°,

???立的長：6°兀*=1T.

180

8.【解答】（1）證明：連接OE

???四邊形A5CD是菱形，

：.ZCAD=ZCAB,

u

：OA=OEf

：.ZOEA=ZCAB9

：.ZCAD=ZOEA,

：.OE//AD,

VEF±AZ）,

/.ZAFE=90°,

：.ZCAD+ZAEF=90°,

：.ZOEA+ZAEF=90°,即NOEb=90°,

又是OO半徑，

???斯是OO的切線；

（2）解：連接BE,

〈AB是。。的直徑，

???ZAEB=90°

9：ZBAD=60°,

：.ZCAD=ZCAB=30°,

在RtAABE中，AE=AB*cos30°=2V3,

在Rt^A跖中，EF=AE*sin30°=V3,

在RtZXOEF中，OE—；肘=2,

???OF=7OE2+EF2=V22+（V3）2=V7-

9.【解答】證明（1）如圖：連接OE,BE

'：AB=BC,

：.ZC=ZA

???5C是直徑

.?.ZCEB=90°,S.AB=BC

：.CE^AE,且CO=OB

OE//AB

'：GE±AB

J.EGLOE,且OE是半徑

是O。的切線

(2)解：,:BG=OB,OE±EG,

：.BE=^OG=OB=OC,

2

.?.△OBE是等邊三角形，

：.ZCBE=60°,

VAC=6,

:.CE=3,BE=——=?,

tan60

：.OE=M，

?：OB=BG,OE//AB,

：.BF=—OE=^.

22

10.【解答】(1)證明：連接oc.

:C是贏的中點，

；.AC平分NDA8,

：.ZDAC=ZOAC,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

J.ZDAC^ZOCA,

J.DA//OC,

'：AD±DC,

：.ZADC=90°,

：.ZOCD=9Q°,

即OCA.DC,

,：OC為半徑，

為O。的切線；

(2),:FC=4^FB,

.,.設8尸=尤，貝1|3=小，

是O。的切線，

：.CF2=BF'AF,

設OA=OC=OB=r,

.'.2x1=x(尤+2r),

??x=2r,

:.BF=2r,

OC//AD,

:.AOCFsAADF,

.OCOF

'*AD=AF，

?.?-r_-3-r-，

44r

r=3,

:.BF=6,

：.FC=4^FB=6近.

11.【解答】(1)證明：

在△AOB和△AOC,

'A0=A0

"BO=CO

AB=AC

AAOB^AAOC(SSS),

J.ZBAO^ZCAO,

：.AO±BC；

(2)證明：-：AO^BO^CO,ZBAO^ZCAO,

：.ZABO=ZBAO=ZCAO=ZACO,ZOBC=ZOCB,

,：ZDOC=ZDCO,ZDOC=2ZOBC,

：./ABO=2/OBC,

：.ZABO=~ZABC,

3

,：3ZCAF=2ZABC,

：.ZCAF=^-ZABC,

3

J.ZCAF^ZABO,

J.ZCAF^ZOCA,

C.AF//OC,

?/CFLAF,

：.CF±OC；

(3)解：VZAOD=2ZBAO,ZADO=2ZACO,

：.ZAOD=ZADO,

，A￡)=AO=OC=1,

/DOC=ZDCO=ZCAO,

：.XCODsXCAO,

.OC=CD

"ACC0，

:.OC2=CD-AC,

設CD=x,則AC=x+l,

.*.x(x+1)=1,

解得尤l=1+'&X2=A5

22

，cr)=.-l+述.

2

12.【解答】解：(1)連接05.貝ljN30C=2NBAC

'：ZDAC=2ZBAC,

：.ZB0C=ZDACf

'：EF=CF,

：.ZFEC=ZFCE,

VZFCE=ZACD,

：.ZFEC=ZACD,

〈AC是OO的直徑，

ZAZ)C=90°,

：.ZDAC+ZACD=90°,

：.ZBOC+ZACD=90°,

：.ZOBE=180°-QBOE+/FEC)=90°,

：.BE±OBf

???BE是。。的切線；

(2)在Rt△OBE中，

2222;

BE=7OE-OB=78-5=V39E

由(1)知，NBOE=/DAC,ZOBE=Z/7ADC,

：.△ADCs△OBE,(/V

AAC_CD；A\^'7B

OE-BE

8~V39

DC^p/39-

13.【解答】(1)證明：

.,.△ABE是等腰三角形，

'：AB為。O的直徑，

：.AF±BE,

：.EF=BF；

(2)證明：'：AE=AB,

.,.△ABE是等腰三角形，

J.ZABE^^-(180°-/BAC=)=90°-^ZBAC,

：.ZCBE=^ZBAC,

2

；.NABC=/ABE+/CBE=(90°-^-ZBAC)+^ZBAC=90°,

即ABLBC,

是。。的切線;

(3)解:連接B￡),

,：AB是O。的直徑,

AZADB=90°,

VZABC=90°,

???ZADB=ZABC,

???NA=NA,

???AABD^AACB,

,ADAB

??—=—，

ABAC

,在R