三角函數專題訓練100題

閱卷人

一'單選題

得分

1.如圖，菱形ZBCD的對角線交于點。，4E1BC于點E,若cos乙4BC=3AB=10,貝!MC的長為

)

A.12B.10C.4V5D.2A/5

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB為O。的直徑，O。與DC相切于點E,與AD相交于點F,

已知48=12,ZC=60°,則圖中陰影部分面積是（）

B.36-12vl-37r

C.36—98一3兀D.36-6V3-6n

3.如圖，4B為。。的直徑，弦CO與直徑4B平行，弦BC與弦40,。。分別交于點E,F.若

)

「V5

T,丁

4.如圖，將矩形繞點C沿著順時針方向旋轉90。到矩形A'B'C'D'的位置，AB=2,AD=4,則

陰影部分的面積為（)

A.金兀-4A/3B.事兀一2V3^C.^7r—4V3D.§兀-2A/3^

5.如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉至矩形AB'C'D位置，此時AC的中點恰好與D點重合，AB'交

CD于點E,若AB=3,則4AEC的面積為（）

A.3B.1.5C.2V3D.V3

6.如圖為某大壩的橫斷面，斜坡AB的坡比i=l：2,背水坡CD的坡比i=l：1,若AB的長度為

6西米，則斜坡CD的長度為（）.

D.米

7.如圖，正六邊形ABCDEF外作正方形OEGH,連接AH、BE交于點0,求需的值（）

D.2一乃

JC-3

8.如圖，數學興趣小組用測角儀和皮尺測量一座信號塔CD的高度，信號塔CD對面有一座高15米的

瞭望塔測得瞭望塔底B與信號塔底。之間的距離為25米，若從瞭望塔頂部4測得信號塔頂C的仰

角為a,則信號塔CD的高為()

A.(15+3")米B.(15+25?s譏a)米

C.(15+需；戊)米D.(15+25-tana)米

9.在△ABC中，NC=90°,cosA=|,貝ijtanB=()

4

A.4Bc-D.

5-155

10.如圖，在2x2正方形網格中，以格點為頂點的△ABC的面積等于|,貝Ijsin/CAB=()

B.WD.3

10

閱卷人

二'填空題

得分

11.如圖，已知M為線段的中點，4E與BD交于點C,ADME=AA==45°,DM交AC于點

F,ME交BC于點G,連接FG,如果4B=4VX/F=3,那么FG的長為

12.如圖，在△ABC中，/ACB=90。，點D為AB邊的中點，連接CD,若BC=4,CD=3,則

cosZB的值為

ft

H

13.如圖，已知邊長為2的正方形OABC在直角坐標系中，OA與y軸的夾角為30。，則點C的坐標

為.

14.如圖，Rt△力BC中，乙4cB=90。，一同學利用直尺和圓規完成如下操作：

①以點C為圓心，以CB為半徑畫弧，交于點G；分別以點G,B為圓心，以大于的長為半

徑畫弧，兩弧交點K,作射線CK；

②以點B為圓心，以適當的長為半徑畫弧，交BC于點M,交ZB的延長線于點N；分別以點M,

N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作直線交AC的延長線于點D,交射線CK

于點E.

請你觀察圖形，根據操作結果解答下列問題；

(1)線段CD與CE的大小關系是；

(2)過點D作DF1AB交力B的延長線于點F,若力C=12,BC=5,貝UtanZDBF的值為.

15.計算：tanl°-tan2°-tan3°.......tan87°-tan88o,tan89°=

16.計算：tan45°+J（2-V5）2+出之=.

17.如圖，已知OC經過原點，與坐標軸分別交于A,B兩點，點B的坐標為（0,28），點D在。C

上，若乙4。。=30°,則點C的坐標為.

18.如圖，在矩形ABCD中，AB=2DA,以點A為圓心，AB為半徑的圓弧交DC于點E,交AD的

延長線于點F,設DA=2,圖中陰影部分的面積為.

19.在中，乙4BC=90°,BDLAC,垂足為點D,如果ZB=5,BD=2,那么

cosC=?

20.如圖所示，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比為1：2（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之

比），壩高BC=3zn,則坡面AB的長度是m.

閱卷人

三'計算題

得分

21.雷峰塔是杭州市西湖景區的地標性建筑，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座

彩色銅雕寶塔.某數學興趣小組用無人機測量雷峰塔4B的高度，測量方案為：如圖，先將無人機垂

直上升至距離地面200m的P點，測得雷峰塔頂端A的俯角為22。；再將無人機沿雷峰塔的方向水平

飛行120m到達點Q,測得雷峰塔底端B的俯角為45。，求雷峰塔4B的高度.（參考數據：s譏22。。

0.37,cos22°?0.93,tan22°?0.40）

pQ

23?計算(仃-2)°—3tan3(r++8)之.

24.先化簡，再求代數式(二不—與的值，其中a=2sin60。+tm45。.

u-r1a乙一1Cl-r1

25.先化簡，再求代數式a?、4a+4+咯一i的值,其中。=2sin45。.

a2+aa+1

26.計算：(-l)2024+2cos300+(2024-7r)0-2tan45°.

27.(1)計算:V9+(TT+1)°+2sin60°+|2-V3|；

(2)解方程：2(%—3)2=3—x.

28.(1)化簡：(a+2產—(a+3)(a—1)；

(2)計算：6sin60°+(TT-100)°-V27+|-2|.

29.計算：2tan45°-.^-2sin260°.

sin30°no

30.計算VH+lV5-212tan60°+(1)L

閱卷人

-----------------四、解答題

得分

31.如圖，已知是。。的直徑，點C在。。上，點E在4B上，作DE14B交4C的延長線于點

過點C作O。的切線CF交DE于點工

(1)求證：CF=DF.

(2)若點C為4。中點，CF=孕，sin^ADE=j,求。。的半徑.

45

32.圖1、圖2均是8義8的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB,CD,MN的端點

均在格點上，BC與AD相交于點E,回答下列問題：

D

圖1圖2

△ABE的周長

(1)在圖1中，tanzDXB=

ACDE的周長

(2)在圖2中請用一把無刻度的尺子，畫出線段MN三等分點P,Q.(保留作圖痕跡)

33.為了充分利用四邊形余料，小明設計了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案與數據如下表:

方案設計方案1方案2

Z)C1J

G

裁剪方案示意圖M

AEBANB

說明圖中的正方形4EFG和正方形MNPQ四個頂點都在原四邊形的邊上

測量數據AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,Z-A=乙D=90°；

任務1:探尋邊

填空：BC=______▲______dm,sinB=_______▲______；

角

任務2：比較面

計算或推理：正方形4EFG和正方形MNPQ邊長之比；

積

任務3：應用實若在△BEF余料上再截取一個最大正方形，正方形的邊長為▲

踐dm.

34.如圖，已知AB是。。的直徑.點P在的延長線上，點D是。。上一點.連接P0,過點B作

BE垂直于PD,交PC的延長線于點C、連接4。并延長，交BE于點E,且AB=BE

E

C

D

(1)求證：PC是O。的切線；

(2)若PA=2,tcmB=*求O。半徑的長.

35.如圖，AB為。。的直徑，D、E是。。上的兩點，過D作。。的切線交AB的延長線于點C,

連接AD,BE,BD.

(2)若tanABED=mAC=18.求。。的半徑.

36.如圖，燈塔B位于港口力的北偏東58。方向，且A、B之間的距離為30km,燈塔C位于燈塔B的正

東方向，且B、C之間的距離為10km,一艘輪船從港口4出發，沿正南方向航行到達。處，測得燈塔C

位于北偏東37。方向上，這時，。處距離港口4有多遠(結果取整數)？(參考數據：sin58o=0.85,

cos58°?0.53,tan58°?1.60,sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75)

37.惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七層的樓閣式石專塔，如圖所示，為了測量塔高A。，已知在

C處測得塔頂的仰角乙4C。=45°,朝塔腳前進CB=16米到B點，在B處測得塔頂的仰角乙4B。=

60°,已知乙40B=90。，請求出塔高A。約為多少米.(b=1.7,結果精確到個位)

A

圖1圖2

38.如圖，為了測量甲樓CD的高度，由于甲樓的底部D不能直接到達，于是，測量人員在乙樓的頂

部A測得甲樓的頂C的仰角是65。，底部D的俯角是45。，已知乙樓48的高度是12米，求甲樓CD的

高度.（參考數據：sin65°?0.91,cos65°?0.42,tan65°?2.14,結果精確到0.1米）

□

□

□

□

□

-

6□

T5°□

J45

X□

BD

39.如圖為某游樂場摩天輪簡化示意圖，摩天輪最低端與地面的距離忽略不計，即可看作摩天輪與

地面相切于點C,摩天輪最外端圓的直徑約為120米.夜晚，小明坐在透明座艙旋轉到點B,測得

到地面的距離為90米，即BD=90米.

(1)小明所在位置距摩天輪的中心O的水平距離；

(2)當小明再次轉到與到地面的距離為90米時，求小明走過的路程.

40.如圖1是一種手機支架，由托板、支撐板和底座構成，手機放置在托板上，圖2是其側面結構

示意圖，量得托板力B=120nun,支撐板CD=110mm,底座DE,托板AB固定在支撐板頂端C處,

且CB=40mm,托板4B可繞點C轉動，支撐板CO可繞點D轉動.

A

C

々DLL--------L---------E

圖1圖2

(1)若乙DCB=70°,乙CDE=60°,求點A到直線OE的距離.(精確到0.1mm)

(2)為了觀看舒適，在(1)的情況下，把繞點C逆時針旋轉20。后，再將CD繞點D順時針旋

轉，使點B落在直線OE上，求CD旋轉的角度大約是多少度？

參考數據:(sin40°?0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839,sin20°?0.342,cos20°?0.940,

tan20°x0.364,V3?1.732).

41.某鎮為創建特色小鎮，助力鄉村振興，決定在轄區的一條河上修建一座步行觀光橋.如圖，河

旁有一座小山，山高BC=80m,點C、A與河岸E、F在同一水平線上，從山頂B處測得河岸E和

對岸F的俯角分別為乙DBE=45。，乙DBF=31。.若在此處建橋，求河寬EF的長.(結果精確到

1m)[參考數據：sin31°?0.52,cos310工0.86,tan31°?0,60]

42.小張是“科技協會”的一名會員，他設計了一款距離測量儀器，這款儀器的最大測量距離為34米

(測量距離為兩點所連線段的長度).為了測試這款儀器的性能，小張來到一座小山坡.從山腳A處

開始，作為測量點，手持儀器沿斜坡AB向上走.已知ACLBC,AC=19.2米，BC=8米.

(1)求tan/A的值；

(2)小張到達B后繼續測試，先走一段水平路面BD,BDHAC,長為2.8米，再沿另一斜坡DE

向上走，直到G點，此時G,A兩點之間達到最大測量距離34米，且斜坡DE的仰角為45。.請求

出DG的長度.(結果保留一位小數，在整個測量過程中，小張所走的路線在同一平面內:

V2=1.41,V3=1.73）

43.如圖所示，漁船在4處看到燈塔C在北偏東60。方向上，漁船向正東方向航行了12MH到達B處,

在B處看到燈塔C在正北方向上.

（1）求這時漁船與燈塔C的距離.

（2）若漁船繼續向正東方向行駛4km到達。處，求sin/BCD的值.

44.如圖，某數學興趣小組在活動課上測量學校旗桿高度.已知小明的眼睛與地面的距離AB是

1.7m,看旗桿頂部M的仰角為45。；小紅的眼睛與地面的距離CD是1.5加，看旗桿頂部M的仰角為

30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B,N,。在同一條直線上）.請求出旗桿MN的高度.（參考

數據：1.4,V3?1.7,結果保留整數）

45.如圖，已知斜坡4B長為60米，坡角（即NB4C）為30。，BCVAC,現計劃在斜坡中點。處挖去

部分坡體（用陰影表示），修建一個平行于水平線C4的平臺DE和一條新的斜坡BE.

□□

□□

□□

□□

（1）若修建的斜坡BE的坡角為45。，求平臺DE的長；（結果保留根號）

（2）一座建筑物距離A處30米遠（即4G為30米），小明在。處測得建筑物頂部H的仰角（即

乙HDM）為30。，點4G,H在同一個平面內，點C,4G在同一條直線上，且HG1CG,求建筑物

的高度.（結果保留根號）

閱卷人

-----------------五、閱讀理解

得分

46.閱讀材料：關于三角函數有如下的公式：sin（a+P）=sinacosp+cosasinp,tan（a+p）=

:峨：喘.利用這些公式可以將兩角和的三角函數值轉化成兩個三角函數值的和（差），如tan75。

1—LClfluLClflp

=tan（30。+45。）=要4竟管3惠=1+三=3+^=2+有

1—tan450+tan30°]_]義與3

問題解決：根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式解答下列問題

（1）求sin75°；

（2）如圖，邊長為2的正△ABC沿直線滾動設當△ABC滾動240。時，C點的位置在C.當

△ABC滾動480。時，A點的位置在A.

①求tanNC4L的值；

②試確定^CAC+LCAA'的度數.

47.某校綜合實踐小組為測量學校國旗旗桿的高度，甲、乙兩名同學設計了不同的測量方案.請閱

讀材料，完成下列問題.

如圖2,甲同學目高AB（眼睛到地面距離）1.60米，站在距離旗桿CD底部>0）米處，用簡

易測角儀測量觀察旗桿頂點C的仰角a（0°<a<90。），通過計算求出旗桿CD的高度.

（1）請用含有m,a的代數式表示旗桿CD的高度=米.

為了減少誤差，該同學進行了五次測量并計算，統計的數據如下表.

序號離旗桿底部距離（單位：米）仰角旗桿的高度（單位：米）

1050°13.52

②1539°13.75

③2041°18.99

④2526°13.79

⑤3022°13.72

（2）觀察上表數據并判定第組數據測量有誤.（從“①，②，③，④，⑤”中選填）

（3）乙同學計劃用自制的立角三角板力FG（兩銳角大小不確定）和卷尺測量.如圖3,乙同學目

高ZB（1.60米），他調整位置，設法使斜邊ZG保持水平，邊AF與旗桿頂點C在同一直線上.請你幫

助乙同學確定哪些線段需要用卷尺測量，將測量得到的長度用字母a,b,c...表示，求旗桿CD的高

度（用含有a,b,c...的代數式表示）.

48.【閱讀理解】

在△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,過點B、C分別作1的垂線，垂足分別為點D.

DE=；

（2）規律探究:

（I）如圖②，若直線1從圖①狀態開始繞點A旋轉a（0<a<45°；,則線段BD、CE和DE

的數量關系為.

（II）如圖③，若直線1從圖①狀態開始繞點A順時針旋轉01（45。<&<90。），與線段BC相交

于點H,請探究線段和DE的數量關系并說明理由；

（3）嘗試應用：在圖③中，延長線段交線段AC于點F,若CE=3,求AF的長.

49.閱讀下列材料：

在AABC中，乙4,乙B,乙C所對的邊分別為a,b,c,求證：-Ar=

證明：如圖1,過點C作CD1AB于點D,則

在Rt△BCD中，CD=asinB,

在RtLACD中，CD=bsinA,

a_b

■■asinB=bsmA,

sin4-sinB

圖3

根據上面的材料解決下列問題：

b

(1)如圖2,在AABC中,乙4,乙B,/.C所對的邊分別為a,b,c求證:

sinB一

c

sinC*

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會,張家界市積極優化旅游環境.如圖3,規劃中的一

片三角形區域需美化，已知乙4=67。，Z.B=53°,AC=80米，求這片區域的面積.(結果保

留根號.參考數據：sin53°?0.8,sin67°?0.9)

a

閱讀下列材料：在AABC中，乙乙B,所對的邊分別為a,b,c,求證:

50.4,ZCsin/

b

sinB'

證明：如圖①，過點C作CDLAB于點D,則:

在Rt△BCD中，CD=asinfi,

在Rt△ACD中，CD=bsinA,

???asinB=bsinA.

.?_b

??sinA-sin

根據上面的材料解決下列問題:

b

(1)如圖②，在4ABC中，乙4,乙B,乙C所對的邊分別為a,b,c,求證:

sin8

c

sinC;

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境.如圖③，規劃中的

一片三角形區域需美化，已知乙4=67。，=53。，4C=80米，求這片區域的面積（結果保

留根號，參考數據：sin53°?0.8,sin67°?0.9）.

51.“彼此讓一讓，路寬心更寬”，斑馬線前禮讓行人是城市文明的一種具體體現，也是司機理應履

行的一項法定義務，我市在錦惠路人民醫院等路段設立了“禮讓行人”交通標識.某數學小組在老師

的指導下對某路口的交通情況進行了如下探究.

問題情景：如圖，某無紅綠燈的路口有一行人從點力處出發，通過斑馬線AD時，正好有一輛位于車

道中間的小汽車從點B（小汽車前沿中點）沿該車道中間直線勻速朝斑馬線駛去.已知行人的速度是

lm/s,小汽車的速度為30km",每個車道寬3m,雙向車道中間有寬0.5小的隔離帶.若小汽車與行人

通過同一路口的時間差在5s內（不包含5s）,則存在交通安全隱患，此時要求小汽車“禮讓行人”.

問題思考與解決：

0.5m

3m+3m3m

非

機

動

車

道

DMODDlDDOnODDM

（1）若4BAC=76°,

①計算此時小汽車到斑馬線的距離BC；

②若在B點時小汽車司機發現行人后，立即減速慢行，結果在行人到達點C時，小汽車前沿離行人

還有1m,此時司機停車“禮讓行人”，求小汽車在這一段的平均速度.

（2）若小汽車剛好不需要“禮讓行人”，求NBAC的度數.

（參考數據：tan72°?3,tan76°?4,tan86°?14）

52.閱讀與思考

閱讀下列材料，并解決后面的問題.

在銳角AABC中，乙4,乙B,NC的對邊分別是a,b,c,過C作CE1/B于E（如圖1）,貝UsinB=

等,sin/=華,^CE=asmB,CE=bsinA,^asinB=bsinA,即磊=島.同理有薪=

ac_b所pja_b_c

sin4'sinC-sinB''sinA—sinB—sinC即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比

相等.

運用上述結論和有關定理，在銳角三角形中，已知三個元素（至少有一條邊），就可以求出其余三

個未知元素.根據上述材料，完成下列各題：

（1）如圖1,在△ABC中，44=60。，ZC=45°,BC=30,貝！MB=；

（2）如圖2,一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向

航行一段時間后，到達位于燈塔北偏東45。方向上的B處，此時B處與燈塔的距離為海里；

（結果保留根號）

（3）在（2）的條件下，試求75。的正弦值.（結果保留根號）

53.閱讀下面的材料，并回答所提出的問題：如圖所示，在銳角三角形ABC中，求證：$二$

smBsine

這個三角形不是一個直角三角形，不能直接使用銳角三角函數的知識去處理，所以必須構造直角

三角形，過點A作401BC,垂足為D,則在RtAABD和RMACD中由正弦定義可完成證明.

解：如圖，過點A作ZD1BC,,垂足為D,

在Rt△ABD中，sinB=則4。=csinB

Rt△4CD中,sinC=臆,則40=hsinC

所以csinB=bsinC,曰nb_c

sinB-sinC

（1）在上述分析證明過程中，主要用到了下列三種數學思想方法的哪一種（)

A.數形結合的思想；B.轉化的思想；C.分類的思想

(2)用上述思想方法解答下面問題.

在△ABC中，ZC=60°,AC=6,BC=8,，求AB和△ABC的面積.

(3)用上述結論解答下面的問題(不必添加輔助線)

在銳角三角形4BC中，AC=10,AB=5V6,Zf=60°,求＜8的度數.

54.閱讀以下資料：

在△ABC中，若記內角A,B,C所對的三條邊分別為a,b,c,貝kosZ=日芷二必，或寫成

2bc

22

a^=b+c-2bccos4這稱為余弦定理.余弦定理可以在已知三角形三條邊的情況下，求出任意一個

角的余弦值；也可以在已知兩條邊和任意一個角的情況下，求出第三條邊.

請嘗試解決以下問題：

(1)若(a+b+c)(a—b+c)=3ac,求角B的值；

(2)若A=60°,且a=gc,求2的值.

c

55.閱讀與思考：

請仔細閱讀并完成相應的任務.

利用我們所學習的三角函數的相關知識可以解決許多關于三角形邊長、角度、面積等問題.如圖

31-12,在銳角三角形ABC中，乙4,乙B,ZC的對邊分別是a,b,c,過點B作BH1AC

于點H,貝Ucos4=^=?,即44=c?cos4,于是CH=b-c?cos/.4RtAABH

BAc

2222222222

中，BH=AB-AH,在中，BH=BC-CHf/.c-ccos71=a-(b-

c-cosA)2,整理得a2=b2+c2—2bc-cos4

任務:

圖31-12

(1)b2=，c2=

(2)已知△ABC中,乙4,z_B,Z-C所對邊分別是a,b,c,a=V5/b=2,cosC=

求c.

56.閱讀材料:

關于三角函數還有如下的公式：sin(a±B)=sinacoSjS±cosasin^；

/,小tana+tan6/八、tancr—tanfi

tan(a+S)=1飛記tan^；tan(a—/?)=.2.心呼

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值.

,al+1CO*"匚。QnoAtan450-tan30°1一學(3—右)(3—問12-673?萬

例：tanl5。=tan(45°-30°)=*>5。.30。==(3+a(3-a==2一K

根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式解答下面問題

(1)計算：sinl5°；

(2)烏蒙鐵塔是六盤水市標志性建筑物之一(圖1),小華想用所學知識來測量該鐵塔的高度，如

圖2,小華站在離塔底A距離7米的C處，測得塔頂的仰角為75。，小華的眼睛離地面的距離DC為

1.62米，請幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度.(精確到0.1米，參考數據百=1.732,V2=1,414)

57.閱讀理解學習:

在學習《解直角二角形》這一章時，小迪同學勤學好問，在課外學習活動中，探究發現，三角形的

面積、邊、角之間存在一定的數量關系，下面是她的學習筆記.請仔細閱讀下列材料并完成相應的任

務.

【閱讀材料】：在^ABC中，乙4,NB/C的對邊分別記為a,b,c,AABC的面積記為S^BC，過點人作A。1

BC,垂足為。，則

AD

??,sinB=AD=AB?sinB

111

???SAARC=KBC?AD=TTBC-AB?sinB=-^a?c-sinB

△ABL222

同理可得：S〉ABC=sinAS.Bc='b?sinC

即：S4/BC=勃?c?sinH=^a-c-sinB=?b-sinC...①

由以上推理得結論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半.

又，：abcW0,將等式聶.c-sinA=ia'c-sinB=ia-b-sinC兩邊同除以鼻be得?,?史”"="普

2222ab

sinC小

由以上推理得結論②：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等.

【理解應用】請你學習上述閱讀材料解答以下問題：

如圖，甲船以24次海里/時的速度向正北方向航行，當甲船位于4處時，乙船位于甲船的南偏西75。

方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15。方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘到達。處時，乙船航行

到甲船的南偏西60。方向的C處，此時兩船相距8b海里.

(1)求AADC的面積；

(2)求乙船航行的路程是多少海里(結果保留根號).

58.【閱讀材料】關于三角函數有如下的公式：①cos(a+3)=cosacosS—sinasinf；②sin(a+

8)=sinacosS+cosasin/?；③tan(a+6)=京(1一tana-taniSg0).利用這些公式可以

將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，如tanl05°=tan(45°+60°)=

tan45+tan60_1+V3_(1+V^)(1+V^)_4+21/3_反、

l-tan45-tan60l-lxV3(1—V3)(l+V3)—2)

【學以致用】根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：

(1)求cos75。的值；

(2)如圖，一架直升機在一建筑物CD上方的點A處測得建筑物頂端點D的俯角a為60。，底端點

C的俯角。為75。，此時直升機與建筑物的水平距離BC為42m,求建筑物的高;

（3）疫情封控期間，直升機給該建筑物的居民投放物資，試求飛機從點A處往正東方向飛多

遠，居民在點D處看飛機的仰角恰好是30。.

59.材料閱讀:

光從空氣針射入水中時，傳播方向

發生了偏折，這種現象叫做光的折

\法線空氣

射.我們把入射角a的正弦值和折射

角0的正弦值之比稱為折射率（n）,

X水

即n=舞，已知光線從空氣進入水

中時的折射率為/

問題解答：

如圖，矩形ABCD為盛滿水的水槽、一束光線從點P射向水面上的點。，折射后照到水槽底部的

點Q,測得ZNOQ=37。，NQ=12cm.若P,O,C三點在同一條直線上，請依據相關材料求CQ的

長.（結果精確到0.1cm；參考數據：sin37°?f,cos37°?1tan37°

b54

60.閱讀理解學習：

在學習《解直角三角形》這一章時，小迪同學勤學好問，在課外學習活動中，探究發現，三角形

的面積、邊、角之間存在一定的數量關系，下面是她的學習筆記.請仔細閱讀下列材料并完成相應

的任務.

【閱讀材料】：在△ABC中，乙4,乙B,ZC的對邊分別記為a,b,c,△ABC的面積記為S^BC，過

點4作401BC,垂足為。，則

AD

??,sinB=AD=AB-sinB.

AD

111

?

??△A以=K2BC?AD=2KBC-AB-sinB=2不。?c,sinB-

同理可得：S^ABC=。?sEA,S>ABC=,b?sinC.

即：S△力BC=qb?c?sinA=?c?sinB=?b?sinC…①.

由以上推理得結論①：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半.

又??,abcW0,將等式鼻?c-sinA=ia-c-sinB=ia-h-sinC兩邊同除以5abe得，，包竺=

2222a

sinB_sinC偽

b~c

由以上推理得結論②：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等.

【理解應用】請你學習上述閱讀材料解答以下問題：

如圖，甲船以24海里/時的速度向正北方向航行，當甲船位于4處時，乙船位于甲船的南偏西75。

方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15。方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘到達。處時，乙船航

行到甲船的南偏西60。方向的C處，此時兩船相距8海里.

（2）求乙船航行的路程是多少海里（結果保留根號）.

閱卷人

得分

61.如圖，以AD為直徑的半圓。經過RtAABC斜邊AB的兩個端點，半圓。與直角邊力C交于點E,且

B,E兩點是半圓弧的三等分點.

C

A

D0ADOA

ffll1也

（1）在圖1中，請僅用無刻度的直尺,按要求完成下列作圖（作圖過程用虛線，作圖結果用實線

）.

①畫一條和BC平行的弦；②畫BE的中點M.

（2）如圖2,已知。。的半徑為4,求圖中兩個陰影部分面積的和.

62.如圖，正六邊形4BCDEF,請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1的正六邊形ABCDEF內部作一點M,連接4M,使得aBAM=60°.

（2）在圖2的正六邊形ABCDE/內部作一點N,連接4N,使得tan/BAN=*.

63.圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段4B的端點和

點P均在格點上.請按要求完成作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）在圖①中畫一條以P為端點的射線PC,使其平分線段4B,點C在線段ZB上；

（2）在圖②中畫一條以P為端點的射線PD,使其分線段4B為1：3兩部分，點D在線段2B

上；

（3）在圖③中畫一條以P為端點的射線PE,使tan/PEB=1,點E在線段4B上.

64.圖①、圖②、圖③均是3X3的正方形網格，每個小正方B、P、Q均在格點上.請按要求完成作

圖，保留作圖痕跡.

（1）在線段AB上找一點C,使其平分線段AB；

（2）在線段AB上找一點D,使其分線段AB為1：3兩部分;

（3）在線段AB上找一點E,使tan/PEB=l.

65.如圖是由36個邊長為1的小正方形組成的9X4的網格，△ABC的頂點即是網格的頂點.

(1)求tanzABC；

(2)在圖中找一個格點D,利用AABD和AZBC說明“有兩條邊和一個角相等的兩個三角形全等

是假命題.

閱卷人

得分

66.如圖，矩形。4BC的頂點A、C分別在％、y軸的正半軸上，點。為對角線08的中點，點

E(4,n)在邊A3上，反比例函數y=[(k。0)在第一象限內的圖象經過點。、E,且tan/BCU4.

(1)①直接寫出邊A3的長為-4^.

②求反比例函數的解析式.

(2)若反比例函數的圖象與矩形的邊3C交于點R將矩形折疊，使點O與點尸重合，折痕分別

與x、y軸正半軸交于點H、G,求線段OG的長.

67.R3A5C中，/ACB=90。，點。在AC上，以OC為半徑的圓交A3于點。，交AC于點E,且

BD=BC.

(2)連接08交。。于點產，若AD=百，AE=1,求弧C歹的長.

68.圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實景圖，圖2是其側面示意圖，其中槍柄BC

與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘關節

M與槍身端點4之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長度），槍身BA=8.5cm.

G

圖2

圖1

（1）求乙4BC的度數；

（2）測溫時規定槍身端點/與額頭距離范圍為3~5cm.在圖2中，若測得ZBMN=68,6。，小紅與

測溫員之間距離為50cm問此時槍身端點2與小紅額頭的距離是否在規定范圍內？并說明理由.（結果

保留小數點后一位）

（參考數據：sin66.4°?0.92,cos66.4°=0.40,sin23.6°?0.40,V2?1.414）

69.如圖，。。是△ABC的外接圓，4。是。。的直徑，F是4。延長線上一點，連接CD,CF,且

乙DCF=乙CAD.

%

Q

I)

\//

\\//

FC

(1)求證：CF是。。的切線；

⑵若cosB=|,求器的值.

70.如圖，。。上有4B,C三點，AC是直徑，點。是初的中點，連接CD交AB于點E,點尸在AB延

長線上，且FC=FE.

（2）求證：CF是。。的切線；

（3）若sinFjBE=6,求。E的值.

71.麥積山位于甘肅省天水市麥積區，是小隴山中的一座孤峰，因山形酷似麥垛而得名.麥積山石

窟始建于384-417年，存有221座洞窟、10632身泥塑石雕、1300余平方米壁畫，以其精美的泥塑

藝術聞名世界，被譽為東方雕塑藝術陳列館.某學習小組把測量本城市麥積山（圖②）最高點離地

面的高度作為一次課題活動，同學們制定了測量方案，并完成了實地測量，測得結果如下表：

課題測量麥積山最高點離地面的高度

B

示意

圖

cEA

圖1

圖2

如圖2,麥積山的最高點B到地面的高度為B4在測點C用儀器測得點B的仰角為a,

說明前進一段距離到達測點E,再用該儀器測得點B的仰角為口，且點A,B,C,D,E,F

均在同一豎直平面內，點A,C,E在同一條直線上.

CE

的

a的度數6的度數儀器CD（EF）的高度

測量長

數據度

24

38°42°1.5米

米

請你根據上表中的測量數據，幫助該小組求出麥積山最高點離地面的高度（結果保留一位小

數）.（參考數據：sin38°?0.62,cos38°?0.77,tan38°?0.78,sin42°?0.67,cos42°?0.74,

tan42°?0.90)

72.已知：如圖，AO是。O的半徑，AC為。O的弦，點F為的中點，OF交AC于點E,AC=10,

EF=3-

（1）求AO的長；

（2）過點C作CDJ