壓軸專題10費馬點模型

9技法全歸納

知識考點與解題策略

費馬點概念：三角形內部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.A

結論：

1）對于一個各角不超過120。的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點；

2）對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）

【解題思路】運用旋轉的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉60°構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②/APB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

W④點P是垂心，是aABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內心，是在三角形三個內角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小；

②/APB=/BPC=NAPC=120°

二BC

【進階】

加權費馬點模型概述：前面學的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數都是1,如果現在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數不是1,那么此類題目就叫做“加權費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數類

當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數類

其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.將最小系數提到括號外

2.中間大小的系數確定放縮比例;

3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在Rt^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,aABC內部有一點P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉60。得4CDE

小值盛BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=>/BC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點C順時針旋轉90°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,貝I）當B、P、E、

四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在RtZkBF

C

B66oV

3招????..../3中有勾股定理可得BD=VBF2+FA=回

-%.

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉120°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,貝屋

B3Q。、C

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所寸

在RtABFD中有勾股定理可得BD=，BF2FD2=

r+

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+?PC)

22

1)將PC邊繞點C旋轉60°,然后過點P作PFLCE」

點F,貝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位線來處理；3：

PA前的系數是1,不需要轉化，所以旋轉4PCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后才

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

pF=V3pc過點F作FG〃DE,則FG=-PB,則當A、P

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

過程：4ACP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后i

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

PF=^PC,過點F作FG〃DE,貝I]FG=iAP,則當B、P

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數不是特殊值，則可借助位似的相關知識進行贏

可典題固基礎

例題1(24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習)探究題

(1)知識儲備

①如圖1,已知點尸為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在△ABC所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點尸為△ABC的費

馬點，此時以+PB+PC的值為△A8C的費馬距離.

(2)知識遷移

我們有如下探尋△ABC(其中NA，ZB,NC均小于120。)的費馬點和費馬距離的方法：如圖2,在△ABC的

外部以8C為邊長作等邊△80及其外接圓，根據(1)的結論，易知線段—的長度即為△ABC的費馬距離.

(3)知識應用

①如圖3所示的△ABC(其中均小于120。)，AB=3,BC=4,ZABC=30°,現取一點尸，使點

P到A民。三點的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個村莊A3、C構成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.現選取一點尸打水井，

使P點到三個村莊A&C鋪設的輸水管總長度最小，畫出點尸所對應的位置，輸水管總長度的最小值為

.(直接寫結果)

S新題型特加

1.如圖，在VABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是VABC內一點，求B4+P3+PC的最小值為

2.如圖，在放AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點P是AB邊上一動點，作尸于點。，線段AO上

存在一點。，當Q4+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，貝UPD=

3.如圖，在VABC中，ZACB=90°,44c=30。，AB=2.若點尸是VABC內一點，則上l+PB+PC的

最小值為?

P

CA

4.（24-25江蘇泰州階段練習）問題背景：如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉60。得到AADE,DE與BC

交于點尸，可推出結論：PA+PC=PE

問題解決：如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4也.點。是AMNG內一點，則點。到AAWG

三個頂點的距離和的最小值是

5.如圖，四邊形ABCD是菱形，A2=6,且/ABC=60。，M是菱形內任一點，連接AM,BM,CM,則

AM+BM+CM的最小值為.

6.（2025九年級下?全國?專題練習）在邊長為4的正VABC中有一點P,連接24、PB、PC,求

（r-\2

-AP+BP+^PC的最小值.

22

7.在DABC。中，ZABC=45°,連接AC,已知A2=AC=應，點E在線段AC上，將線段DE繞點。順

時針旋轉90°為線段OF.

B

圖1圖2圖3

(1)如圖1,線段AC與線段8￡)的交點和點E重合，連接E尸，求線段E尸的長度；

⑵如圖2,點G為DC延長線上一點，使得GC=EC,連接FG交相>于點求證：亞AH=CD;

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內一點P,當8尸+CP+VIB尸最小時，求的面積.

8.VABC中，48=60°.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若AC>3C,CO平分/ACS交A3于點且4。=6區).證明：ZA=30°；

(2)如圖2,若AC<3C,取AC中點E,將CE繞點C逆時針旋轉60。至CF,連接班'并延長至G,使3尸=尸6,

猜想線段A3、BC、CG之間存在的數量關系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,若AC=3C,尸為平面內一點，將AAB尸沿直線AB翻折至AABQ,當3AQ+2BQ+JiiCQ取得

最小值時，直接寫出焉的值.

9.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點尸是正方形內部一點，求PA+2PB+若PC的最小值.

10.【問題背景】17世紀有著“業余數學家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費馬，提出一個問題：求作三角形

內的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”.

如圖，點尸是VABC內的一點，將繞點A逆時針旋轉60。到AAP'C',則可以構造出等邊△的',得

AP=PP,CP=CP,所以24+PB+PC的值轉化為PP+PB+PC的值，當8,P,P',C四點共線時，

線段BC的長為所求的最小值，即點尸為VABC的“費馬點”.

如圖1,點尸是等邊VABC內的一點，連接R4,PB,PC,將APAC繞點A逆時針旋轉60。得到AAP'C'.

①若以=3,則點P與點P之間的距離是

②當%=3,PB=5,尸C=4時，求/APV的大小;

(2)如圖2,點P是VA2C內的一點，且NA4c=90。，AB=6,AC=2。求+的最小值.

11.(八年級上?江蘇蘇州?期中)背景資料：在已知VABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點

的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人

們稱為“費馬點如圖1，當VABC三個內角均小于120。時，費馬點尸在VABC內部，當

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時,則PA+PB+PC取得最小值.

圖1圖2

(1)如圖2,等邊VABC內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數，為

了解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時AACP/△的這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段以、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出44PB=；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與VABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下

問題.

⑵如圖3,VABC三個內角均小于120。，在VA2C外側作等邊三角形△ABE,連接CE,求證：CB'過VABC

的費馬點.

(3)如圖4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點尸為VABC的費馬點，連接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形A58中，點E為內部任意一點，連接AE、BE、CE,且邊長AB=2；^AE+BE+CE

的最小值.

12.【問題提出】

(1)如圖1,四邊形ABC。是正方形，是等邊三角形，/為對角線3。(不含8點)上任意一點，將

繞點B逆時針旋轉60。得到3N,連接EN、AM,CM.若連接跖V,則ABMN的形狀是.

(2)如圖2,在R/AABC中，ZBAC=90°,AB+AC=10,求3C的最小值.

【問題解決】

(3)如圖3,某高新技術開發區有一個平行四邊形的公園ABC。，AB+8c=6千米，ZABC=60°,公園內

有一個兒童游樂場E,分別從48、C向游樂場E修三條求三條路的長度和(即AE+BE+CE)

最小時，平行四邊形公園A38的面積.

13.如圖，在平面直角坐標系xoy中，點B的坐標為(0,2),點。在x軸的正半軸上，=30°,OE

為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y=o?+3x+c與x軸相交于A、下兩點(A在歹的左側).

6

(2)等邊△QMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；

(3)點、P為AABO內的一個動點，設加=PA+P3+PO,請直接寫出，"的最小值，以及加取得最小值時，

線段AP的長.

14.【閱讀材料：】如圖①，AABC中，各個內角均小于120。，在AABC內找一點。，使

ZAOB=ZAOC=Z.COB=120°,止匕時；Q4+O3+OC最小；這個點。稱為AABC的費馬點，OA+OB+OC

的值稱為“1BC的費馬距離；(費馬，17世紀法國數學家)

【費馬點的求作及原理：】如圖②，在AABC的外側作等邊AABD、等邊AACE,連接CD、3E交于點O,

這個交點。就是AABC的費馬點；

作圖原理：小明給了一些思路，請根據小明的思路，完成證明：

小明的部分證明思路：第一步，先證明右仞。絲448￡,...進而得出/。。8=120。，第二

步，連接。4,并在線段。。上取一點。，使NOAQ=60。；…進而得出/4。8=120。

第一步：;

第二步：.

【費馬距離的計算：】連接Q4.

(1)證明：OA+OB+OC=CD-,

(2)當鉆=4,8。=5,48。=60。時，求&4BC的費馬距離.

15.1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,求

平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該

點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角

形的某個頂點）

當VABC的三個內角均小于120°時，

如圖1,將繞，點C順時針旋轉60。得到AA'PC,連接尸P,

由尸C=PC,ZPCP'=60°,可知APCP為①三角形,故=又=故

PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

由②可知,當P,P',A在同一條直線上時，R4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為43,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，5.^"ZAPC=ZBPC=ZAPB=@；

已知當VA2C有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/B4C2120。，

則該三角形的“費馬點”為⑷點.

（2汝口圖4,在VABC中，三個內角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知點尸為VA3C的“費

馬點”，求上4+尸3+尸（7的值；

（3）如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,8C=2百km,ZACB=60°.現欲

建一中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為a

元/km,。元/km,元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.（結果

用含a的式子表示）

16.（八年級上?江蘇南京?階段練習）背景資料：在已知VABC所在平面上求一點尸，使它到三角形的三個

頂點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的

點被人們稱為“費馬點如圖1,當VABC三個內角均小于120。時，費馬點P在VABC內部，當

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時，貝！I+尸3+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊VABC內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數，為

了解決本題,我們可以將“PB繞頂點A旋轉到△ACT處，此時△ACP'四△APB這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段出、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出/4P3=.知識生成：怎樣找三個內角

均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三角形并連接等邊三角形的頂

點與VABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點，請同學們探索以下問題.

⑵如圖3,VABC三個內角均小于120。，在VABC外側作等邊三角形AAB?,連接CE,求證：CB,xtNABC

的費馬點.

(3)如圖4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=l,/ABC=30。，點P為VA2C的費馬點，連接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

17.(22-23八年級下?江蘇揚州?階段練習)背景資料：在已知VABC所在平面上求一點P,使它到三角形

的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的,

所求的點被人們稱為“費馬點如圖1,當VABC三個內角均小于120。時，費馬點尸在VABC內部，當

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時，貝!J上4+尸3+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊VA3C內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數.為

了解決本題，我們可以將△APB繞頂點A逆時針旋轉60。到△ACP處，這樣就可以將三條線段R4、PB、PC

轉化到一個三角形中，從而求出ZAPB=_。.

(2)請利用第(1)題解答的思想方法，解答下面的問題：

①如圖3,VABC中，AB=AC,E、尸為BC邊上的點，且44F=45。，判斷BE、EF、之間的數量關

系并注明；

②如圖4,在VA3C中，ZABC=30°,AB=2,BC=3,在VABC內部有一點P,連接上4、PB、PC,求

B4+PB+PC的最小值.

18.若一個三角形的最大內角小于120。，則在其內部有一點所對三角形三邊的張角均為120。，此時該點叫

做這個三角形的費馬點.如圖1,當△ABC三個內角均小于120。時，費馬點尸在AABC內部，此時

ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,上4+尸3+PC的值最小.

⑴如圖2,等邊三角形ABC內有一點P,若點P到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,求NAP3的度數.為

了解決本題，小林利用“轉化”思想，將△A8P繞頂點A旋轉到△ACP處，連接尸P,此時AAW/AAB尸，

這樣就可以通過旋轉變換，將三條線段抬，PB,PC轉化到一個三角形中，從而求出Z4PB=.

(2)如圖3,在圖1的基礎上延長3P,在射線8尸上取點E,連接AE,AD.^AD=AP,ZDAE=ZPAC,

求證：BE^PA+PB+PC.

⑶如圖4,在直角三角形ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,鉆=1,點尸為直角三角形ABC的費馬點，

連接AP,BP,CP,請直接寫出R4+PB+PC的值.

壓軸專題10費馬點模型

技法全歸納

知識考點與解題策略

費馬點概念：三角形內部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.A

結論：

1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點；

DC

2）對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運用旋轉的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉60°構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②/\ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

④點P是垂心，是AABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內心,是在三角形三個內角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

y

為費馬點時和最小；

?ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°

BC

【進階】

加權費馬點模型概述：前面學的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數都是1,如果現在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數不是1,那么此類題目就叫做“加權費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數類

當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數類

其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.將最小系數提到括號外；

2.中間大小的系數確定放縮比例；

3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtaABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,△ABC內部有一點P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉60°得4CDE

底

小值BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點C順時針旋轉90°得4CDE

y

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,則當B、P、E、

四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BF

B66O￥C

3弋多?????...八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

/-F-

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉120°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,則匚

B3。沔幻

B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所可

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+?PC)

22

1)將PC邊繞點C旋轉60°,然后過點P作PFLCE」

點F,貝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位線來處理；3：

PA前的系數是1,不需要轉化，所以旋轉4PCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后才

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

pF=V3pc過點F作FG〃DE,則FG=-PB,則當A、P

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

過程：4ACP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后i

點P作PFLCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，跳

PF=^PC,過點F作FG〃DE,貝I]FG=iAP,則當B、P

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數不是特殊值，則可借助位似的相關知識進行贏

可典題固基礎

例題1(24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習)探究題

(1)知識儲備

①如圖1,已知點尸為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在△ABC所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點尸為△ABC的費

馬點，此時以+PB+PC的值為△A8C的費馬距離.

（2）知識遷移

我們有如下探尋△ABC（其中NA，ZB,NC均小于120。）的費馬點和費馬距離的方法：如圖2,在△ABC的

外部以8C為邊長作等邊△80及其外接圓，根據（1）的結論，易知線段—的長度即為△ABC的費馬距離.

（3）知識應用

①如圖3所示的△ABC（其中均小于120。），AB=3,BC=4,ZABC=30°,現取一點尸，使點

P到A民。三點的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個村莊A3、C構成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.現選取一點尸打水井，

使P點到三個村莊A&C鋪設的輸水管總長度最小，畫出點尸所對應的位置，輸水管總長度的最小值為

.（直接寫結果）

【答案】（1）證明見解析；

（2）AD

（3）5,2739.

【分析】（1）在以上截取PD=PC,可證明△ACZ）多△BCP,則從而得出B4=PB+PC；

（2）利用（1）中結論得出B4+PB+PC=R1+（尸B+PC）=B4+P。，再根據“兩點之間線段最短”可得答案；

（3）①在（2）的基礎上先畫出圖形，再利用勾股定理求解；

②仿照①的方法可畫出P的位置，利用勾股定理可求出輸水管總長度的最小值，

【詳解】（1）解：①證明：在抬上截取PD=PC,連接CD,

\"AB=AC=BC,

所以AB=AC=BC，

ZAPB=ZAPC=60°,

...△PC。為等邊三角形，

/.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD,

：.NPCD-Z.DCM=AACB-NDCM,即ZACD=/BCP,

在△AC。和ABCP中,

AC=BC

ZACD=NBCP

CP=CD

：.△AC。絲ABCP(SAS),

：.AD=PB,

'：PA=AD+DP,DP=PC,

：.Ri=PB+PC；

(2)如圖2,根據(1)的結論得：PA+PB+PC=PA+^PB+PC)=PA+PD,

.?.當A、尸、。共線時，以+PB+PC的值最小，

二線段A。的長度即為△ABC的費馬距離，

故答案為：AD-

D

圖2

(3)①如圖，以8C為邊長在AABC的外部作等邊△8C。，連接AZ),則線段AO的長即為最短距離,

?.?△BCO為等邊三角形，BC=4,

ZCBD=60°,BD=BC=4,

'：ZABC=30°,

：.ZABD=90°,

在RtXABD中,

VAB=3,BD=4,

AD=ylAB2+BD2=A/32+42=5；

②以BC為邊,在BC下方作等邊△BCK,設等邊△BCK外接圓為。O,連接AK交。。于P,則由①知此時

E4+P2+PC最短，且最短距離等于AK的長度，過K作K7UAC交AC延長線于T,如圖:

?.?△3CK是等邊三角形,

/.ZBCK=60°,CK=BC=46，

'：ZCAB=90°,

...ZTCK=30°,

在C7X中，

TK=、CK=、4乖>=2瓜CT=?K=舟2拒=6,

22

/.AT=AC+CT=6+6=12,

在RfAAKT中，

AK=>JAT2+TK2=J122+(2⑹2=2A/39,

故答案為：2回.

【點睛】本題考查圓的綜合應用，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費馬點和費馬距離,

還考查了等邊三角形的性質、三角形全等、勾股定理等知識，難度很大，理解新定義是本題的關鍵.

s新題型特3

1.如圖，在VABC中，NC4B=90。，AB=AC=1,P是VA2C內一點，求上4+尸3+PC的最小值為

2

【分析】將小APC繞點C順時針旋轉60°得小DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC轉化為

FD+BP+PF,此時當8、P、F、。四點共線時，B4+P3+PC的值最小，最小值為8。的長；根據勾股

定理求解即可.

【詳解】解：將△APC繞點C順時針旋轉60。得△。尸C,連接PF、AD,DB,過點。作。ELBA,交B4的

延長線于點E-

：.AP=DF,ZPCF=ZACD^60°,PC=FC,AC=CD,

：./\PCF,△AC。是等邊三角形，

:.PC=PF,AD=AC=l,/D4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

...當2、P、F、。四點共線時，R4+PB+PC的值最小，最小值為的長;

VZCAB=90°,ZCAD=60°,

：.ZEAD=30°,

DE=—AD=—,

22

AE=VAD2-￡D2=—,

2

/.B￡=l+—,

2

BD=y/BE2+DE2="+3,

2

PA+PB+PC的值最小值為8.

故答案為：

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉60。得小DFC,將三條線段的長

轉化到一條直線上.

2.如圖，在放AABC中，ZBAC=90°,AB^AC,點P是A8邊上一動點，作尸。_LBC于點。，線段4。上

存在一點。，當QA+Q8+QC的值取得最小值，且4。=2時，貝!]P￡)=.

A

【答案】3+也

【分析】如圖1,將ABQC繞點B順時針旋轉60。得到△8M0,連接。N,當點A,點。，點N,點M共線時,

Q4+QB+QC值最小，此時，如圖2,連接MC,證明AM垂直平分BC,證明AO=B。，此時尸與O重合，

設則。Q=x-2,構建方程求出x可得結論.

【詳解】解：如圖1,將仆BQC繞點B順時針旋轉60。得到△BNM,連接QN,

：.BQ=BN,QC=NM,ZQBN=60°,

...△BQN是等邊三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

當點A,點。，點N,點M共線時，Q4+QB+QC值最小,

此時，如圖2,連接MC

A(P)

圖2

:將△8QC繞點B順時針旋轉60。得到△BNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=60°^ZCBM,

...△BQV是等邊三角形，ACBM是等邊三角形，

:./BQN=/BNQ=60。,BM=CM,

；BM=CM,AB=AC,

AM垂直平分BC,

'：AD±BC,ZBQD=60°,

BD=6QD,

\"AB=AC,ZBAC=90°,ADYBC,

：.AD=BD,此時尸與。重合，設貝ljDQ=x-2,

.'.x=tan60°x(%-2)=A/3(X-2),

??x=3+y/3，

:.PD=3+B

故答案為：3+6-

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是

正確運用等邊三角形的性質解決問題，學會構建方程解決問題.

3.如圖，在VABC