福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟聯(lián)考2024~2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則（

）A．9 B．8 C．7 D．62．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）.A． B． C． D．3．已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

5．某出版社的名工人中，有人只會(huì)排版，人只會(huì)印刷，還有人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從人中選人排版，人印刷，有（

）種不同的選法.A． B． C． D．6．函數(shù)與函數(shù)公切線的斜率為（

）A．或 B． C．或 D．或7．甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的、、、四項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加項(xiàng)工作，乙必須參加項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種8．分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡(jiǎn)單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形成的美麗的圖案．自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等．如圖所示，為正方形經(jīng)過(guò)多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊所成的角為．若從外往里最大的正方形邊長(zhǎng)為9，則第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．二、多選題9．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，則（

）A．的離心率為B．的周長(zhǎng)為5C．的最大值為3D．的最小值為810．若，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．B．C．D．11．若存在常數(shù)k和b，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)（），（），，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A．在內(nèi)單調(diào)遞減B．和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為C．和之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是D．和之間存在唯一的“隔離直線”，方程為三、填空題12．展開(kāi)式中的系數(shù)為．13．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．已知分別為雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則直線l的斜率為．四、解答題15．在等差數(shù)列中，已知公差，，前項(xiàng)和為.且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和16．已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.17．如圖，四棱錐中，平面，，，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，①求平面與平面所成角的余弦值；②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．已知數(shù)列滿足：，正項(xiàng)數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）記為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：19．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求證：．

參考答案1．【答案】B【分析】直接利用排列數(shù)和組合數(shù)的公式計(jì)算.【詳解】由得，解得.故此題答案為B.2．【答案】D【詳解】在等比數(shù)列中，由前n項(xiàng)和，則，當(dāng)時(shí)，由，所以，即.故選D3．【答案】B【分析】先得到的定義域，由題意得到在上有解，參變分離后得到在上有解，利用配方求出，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋深}意得在上有解，即在上有解，其中，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.4．【答案】A【詳解】由函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)為上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除B、D項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，因此當(dāng)時(shí)，，可排除C項(xiàng)，所以的大致圖象為選項(xiàng)A.故選:A.5．【答案】A【詳解】設(shè)只會(huì)印刷的人中被選中人數(shù)為，則的可能取值有、、，①當(dāng)時(shí)，從只會(huì)印刷的人中選人，有種情況，再安排既會(huì)排版又會(huì)印刷的人印刷，有種情況，最后從只會(huì)排版的人中選人，有種情況，則共有種情況；②當(dāng)時(shí)，先從只會(huì)印刷的人中選人，有種情況，再?gòu)募葧?huì)排版又會(huì)印刷的人中選人印刷，有種情況，最后從剩余會(huì)排版的人中選人，有種情況，則共有種情況；③當(dāng)時(shí)，先從只會(huì)印刷的人中選人，有種情況，再?gòu)臅?huì)排版的人中選人，有種情況，則共有種情況；綜上所述，共有種情況；故選A.6．【答案】C【詳解】不妨設(shè)公切線與函數(shù)的切點(diǎn)為，與函數(shù)的切點(diǎn)為，易知，，因此公切線斜率為，因此，可得，即，又易知，整理可得，即，即，解得或，因此可得斜率為或，故選C.7．【答案】B【詳解】安排B項(xiàng)工作的人數(shù)分為兩類，第一類，B項(xiàng)工作僅安排1人，因?yàn)榧撞粎⒓覤項(xiàng)工作，乙必須參加D項(xiàng)工作，從甲、乙以外的3人中選一人參加B項(xiàng)工作有種方法，再安排A，C，D項(xiàng)工作，若D項(xiàng)工作安排兩人，則有種方法，若D項(xiàng)工作安排一人，則有種方法，所以B項(xiàng)工作僅安排1人共種方法，第二類，B項(xiàng)工作安排2人，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有種方法.故選B.8．【答案】C【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則由已知可得∴，∴{}是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴.故選C．9．【答案】ACD【詳解】A.由題意得，，故離心率為，A正確.B.由橢圓的定義得，，∴的周長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤.C.當(dāng)點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)處時(shí)，的最大值為，C正確.D.因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為8，D正確.故選ACD.10．【答案】ABC【分析】利用換元法令，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項(xiàng)式，然后利用賦值法進(jìn)行求解即可.【詳解】令，則，令，可得，即，故A正確；令，可得，故B正確；由題可知，故C正確；由，對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，令，可得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，，設(shè)，的隔離直線為，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，所以，所以，又對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋郧遥郧遥獾茫恚詁的最小值為，k的取值范圍是，故正確，錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，若存在和的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，則（），得對(duì)恒成立，則，解得，此時(shí)隔離直線方程為：，下面證明，令（），則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取到極小值，也是最小值，即，在上恒成立，即，函數(shù)和存在唯一的隔離直線，正確.故選BD.12．【答案】【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.13．【答案】【詳解】令，可得，構(gòu)建，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，因?yàn)椋睿獾茫涣睿獾没颍豢芍趦?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，極大值，且當(dāng)趨近于，趨近于；當(dāng)趨近于，趨近于0，可得圖象，如圖所示：由函數(shù)圖象可得.14．【答案】【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，的內(nèi)切圓的圓心為，記邊上的切點(diǎn)分別為，由切線的性質(zhì)可得：.由雙曲線定義可得：，即，則，又.則，又，則，即.同理可得，的內(nèi)切圓也與軸相切于點(diǎn).連接，則與x軸垂直，設(shè)與l相切于點(diǎn)N，連接，過(guò)點(diǎn)作，記垂足為R，則.設(shè)直線傾斜角為，則.在四邊形中，注意到，又四邊形內(nèi)角和為，則，在中，，.則.則直線斜率，即.

15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意知，，，，因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，即，整理得，解得或，因?yàn)椋裕裕唬?）由（1）知，，則①②①②得，，，，所以.16．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，得，所以.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程中，，若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，則，關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②存在，【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，，且，，，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，①，，，，，，易知平面的一個(gè)法向量為，在平面中，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，的，，即平面與平面所成角的余弦值為；②設(shè)，，又，，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，解得，即存在點(diǎn)使得點(diǎn)到平面的距離為，此時(shí).18．【答案】（1）；；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，兩式相減有：，，經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足上式，故.因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，累加可得：，且，.經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足上式，又因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，故.（2）令，則，兩式相減可以得到：，.令，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：；.（3）因?yàn)椋裕筮叄海疫叄海米C.19．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為．（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（