高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東地區2024-2025學年高一上學期期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.或1C.1 D.5【答案】C【解析】當，解得或1，當時，，與元素互異性矛盾，舍去；當時，，滿足要求，當時，解得，顯然與元素互異性矛盾，舍去，綜上，.故選：C.2.若，則的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，當時，對數函數為減函數，所以，可得，當時，對數函數為增函數，所以，可得，綜上所述，的取值范圍為．故選：D．3.已知定義在上的函數的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表：那么函數一定存在零點的區間是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于f（1）＞0，f（2）＜0，根據函數零點的存在定理可知故函數f（x）在區間（1，2）內一定有零點，其他區間不好判斷．故選：B．4.函數與的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數為上的減函數，排除AB選項，函數的定義域為，內層函數為減函數，外層函數為增函數，故函數為上的減函數，排除D選項.故選：C.5.若則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又，，所以.故選：A.6.函數的定義域為R，則實數m的取值范圍是（）A.[0，8] B.[0，8） C.[8，+） D.【答案】A【解析】函數的定義域為，即對任意，，當時，必存在使得，當時，，成立，當m>0時，，即，綜上，則的取值范圍為.故選：.7.已知函數f（x）＝，滿足對任意的x1≠x2都有＜0成立，則a的取值范圍是（）A. B.（0，1） C. D.（0，3）【答案】A【解析】∵f（x）對任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）＝為R上減函數，∴，解得0＜a≤.故選：A.8.函數的圖象如圖所示，直線經過函數圖象的最高點和最低點，則（）A. B.0C. D.【答案】D【解析】由的解析式可知，，中，令得，令得，故，，即，．故的周期．即，解得，故，則，得，．因為，所以．則．，，，，，，，，……，因為，．所以．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若則一定有B.命題“”的否定為“”C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，則一定有，故A錯誤；對于B，命題“”的否定為“”，故B正確；對于C，若，則，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.10.已知正實數a，b滿足，且，則的值可以為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】CD【解析】由得到，則，即，整理得，解得或，當時，，，則；當時，，，則．故選：CD．11.已知函數（，），，函數的圖像過點，且關于直線對稱，若對任意的，存在，使得，則實數m的可能取值是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】∵的圖像關于直線對稱，∴，即，由于，故，又∵函數的圖像過點，∴，解得．于是；又“對任意，存在，使得”等價于“”，當時，，即，即．于是，即，又，∴，即.的取值范圍是．故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算______.【答案】5【解析】.13.若，則_____________．【答案】【解析】原式.14.函數的最小值是，則當時，a的值為________，當時，a的值為______【答案】【解析】當時，，當時：，當且僅當即時等號；此時.當時，，當且僅當即時等號；此時.綜上：，若，則，由題，所以.若，則，由題，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設全集，集合，集合，其中.（1）當時，求；（2）若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．解：（1）由得：，解得：，則，；當時，，解得，則；.（2）由（1）知：；由，解得：，即，因為是的必要不充分條件，是的真子集，且等號不會同時取到，解得，即實數的取值范圍為.16.已知函數圖像的兩個相鄰的對稱中心的距離為.（1）求的單調遞增區間；（2）求方程在區間上的所有實數根之和.解：（1），由條件知的最小正周期為，所以，解得，所以，由，得.所以的單調遞增區間是.（2）的實數根，即的圖象與直線的交點橫坐標.當時，，由，得，由，得，作出在上的圖象與直線，大致如圖：由圖可知，的圖象與直線在上有4個交點，其中兩個關于直線對稱，另外兩個關于直線對稱，所以4個交點的橫坐標之和為，即所求的實數根之和為.17.2023年某企業計劃引進新能源汽車生產設備，通過市場分析，全年需投入固定成本5000萬元，每生產（百輛），需另投入成本（萬元），且，已知每輛車售價15萬元，全年內生產的所有車輛都能售完.（1）求2023年的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（2）2023年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤.解：（1）當時，，當時，，綜上，.（2）由（1）知，，當時，，因為，所以，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，此時，又，所以，2023年產量為百輛時，企業所獲利潤最大，最大利潤為萬元.18.已知是定義在上的奇函數．（1）求的值，指出的單調性（單調性無需證明）；（2）若函數的圖象可以由函數的圖象通過平移得到，求函數的值域；（3）若存在區間，使得函數在上的值域為，求的取值范圍．解：（1）因為是定義在上的奇函數，所以，即，所以，即，所以，整理得，得，所以，所以在上單調遞增.（2）由（1）得，，因為函數的圖象可以由函數的圖象通過平移得到，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以函數的值域為.（3）由（1）得，令，則在上遞增，因為函數在上的值域為，所以，所以，因為，所以關于的方程有兩個不相等的正實根，所以，解得，即t的取值范圍為．19.對于函數，若，則稱實數為函數的不動點．設函數，．（1）若，求函數的不動點；（2）若函數在區間上存在兩個不動點，求實數a的取值范圍；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．解：（1）當時，方程可化為，解得或；所以，函數的不動點為0和1．（2）方程，即，可化為．令，則當時，關于單調遞增，且．由題意，關于的方程在上有兩個不等實根．由于