高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2023-2024學年高二下學期6月期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】因為，所以，則.故選：A2.已知隨機變量服從正態分布，設，則服從正態分布（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為隨機變量服從正態分布，所以均值,方差，又因為，所以隨機變量均值為，方差為，所以隨機變量服從正態分布.故選：C.3.已知是等比數列，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】設等比數列的公比為，則，又，解得.故選：C.4.小明準備下周六去市或市（二者選其一）看演唱會，去A市的概率為，去市的概率為，若天氣預報下周六A市下雨的概率為，市下雨的概率為，則小明下周六看演唱會遇到雨天的概率為（）A.0.45 B.0.24 C.0.23 D.0.21【答案】C【解析】依題意小明下周六看演唱會遇到雨天的概率.故選：C5.如圖所示，在三棱錐中，，，，點M，N滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又，即，所以，因此.故選：A.6.已知數列an滿足，則an前100項和為（）A.2475 B.2500 C.2525 D.5050【答案】A【解析】由，可得，，所以，令，所以數列bn是首項為，公差為的等差數列，所以，由于，所以an的前100項和為2475故選：A7.已知，分別是雙曲線的左、右焦點，直線與交于A，兩點，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】依題意可得A，關于原點對稱，不妨設點A在第一象限，連接、，又，則四邊形為矩形，所以，則，所以，即，即，又，解得，所以.故選：D8.平面幾何中有定理:已知四邊形的對角線與相交于點,且，過點分別作邊，，，的垂線，垂足分別為，，，，則，，，在同一個圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線，，的方程分別為，，，點，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，由得，由得，因為，對角線與相交于點，所以，因為，所以所在直線方程為，與聯立方程組解得，因為，所以所在直線方程為，與聯立方程組解得，因為，所以線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，聯立，解得，所以，又，所以圓的方程為.故選：.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等比數列的首項為1，公比為，前項和為，若，則的值可能為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】ABD【解析】等比數列an的首項為1，公比為，由，解得或或，當時，由，得，因此；當時，由，得，因此；當時，由，得，因此，ABD可能，C不可能.故選：ABD10.下列有關回歸分析的結論中，正確的有（）A.對于回歸方程，變量每增加1個單位，則平均減少個單位B.兩個變量，的相關系數越小，，之間的線性相關程度越弱C.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明模型的擬合效果越好D.用最小二乘法求得一組成對數據的回歸方程，若增加一個新的樣本點，則得到的新回歸方程可能不變【答案】ACD【解析】對于A：對于回歸方程，變量每增加1個單位，則平均減少個單位，故A正確；對于B：越接近于，則，之間的線性相關程度越強，越接近于，則，之間的線性相關程度越弱，故B錯誤；對于C：在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明波動越小，即模型的擬合精度越高，故C正確；對于D：若增加的樣本點恰好為原回歸直線的樣本中心點時，則增加該樣本點后，回歸方程不會發生改變，故D正確.故選：ACD11.若關于的不等式有實數解，則實數的值可以為（）A.0 B. C. D.1【答案】AB【解析】關于的不等式有實數解，等價于關于的不等式有實數解，令，，則問題轉化為有實數解，因為，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，所以當時，要使不等式有實數解，則，即，結合選項可知只有A、B符合題意.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記等差數列的前項和為，若，則______.【答案】【解析】因為，又，所以，所以.故答案為：13.某果農計劃在A，B，C，D這4個地塊上種植2種不同的果樹，每個地塊只種植一種果樹，有蘋果、梨、桃子、杏4種果樹可供選擇，則不同的種植方案數為______.（用數字作答）【答案】84【解析】先選兩種果樹有種方案，然后每塊地有2種選擇，所以不同的種植方案有種植方案.故答案為：84.14.已知數列an滿足，且，，若，則數列bn的前n項和最小時，______.【答案】5或7【解析】由，可得，即，所以數列為等差數列，設公差為，所以，則，由，解得，所以，則，當時，，當時，，故當時，，，，，當時，，所以數列bn的前n項和最小時，或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求的圖象在處的切線方程；（2）若圖象上任意兩點連線的斜率都大于a，求a的取值范圍.解：（1），則，又，所以切線方程為，即.（2）設圖象上任意兩點的坐標為x1,fx1，x則，整理得，令，則單調遞增，恒成立，即，所以的取值范圍為.16.如圖，在三棱柱中，，，兩兩垂直，，，，D為的中點，以點A為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）依題意可得A0,0,0，B1,0,0，，，，，，則，，所以，所以；（2）因為，，，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知拋物線的焦點為，為原點，第一象限內的點在上，，且的面積為.（1）求的方程；（2）若，是上與不重合兩動點，且，求證：直線過定點.解：（1）由題可得，由，可得的橫坐標為，因為點在第一象限內，則，所以，解得：，所以拋物線方程為（2）由(1)可得：，，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為：，，，所以，聯立方程，可得：，所以，即，，，因為，所以，則，化簡得：，則，所以，解得：，或，當時，即，且，所以，所以直線過定點為，當時，即，且，所以，所以直線過定點為，即點，不滿足題意，舍去；綜上：直線過定點為18.已知函數.（1）求的單調區間；（2）若,函數有兩個極值點，，求的取值范圍.解：（1）函數的定義域為0,+∞，又，當時，f'x>0恒成立，所以在0,+當時，則當時，f'x>0，當時，f'所以在上單調遞增，在上單調遞減，綜上可得，當時，的單調遞增區間為0,+∞，沒有單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）若時，，定義域為0,+∞，又，因為，為的兩個極值點，所以有兩個不等的正實數根，，所以，解得，所以，令，則，令，則，因為，所以，所以在1,+∞上單調遞減，所以，且當時，，所以的取值范圍為.19.若數列滿足，且存在正整數，，使得，，則稱數列是數列，若，都是數列，記.（1）各寫出等比數列，的一個通項公式，使得數列是數列；（不要求寫出過程）（2）已知數列滿足，，，若數列是數列，且前項的和為100，求，及相應的的值；（3）若，，都是數列，求證：，，中至少有1個是偶數.解：（1）令，，則，滿足是數列；（2）因為數列是數列，所以，若，則，不符合題意；若，，即，，又，所以的前項依次為，，，，，，所以是周期為的數列，則的前項和為，所以的前項和為，又，所以或；若，，即，，又，所以的前項依次為，，，，，，所以是周期為的數列，則的前項和為，所以的前項和為，所以；若，，