高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省高考綜合性改革2025屆普通高等學校招生全國統一考試第二次模擬考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知，，.則是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，即，則，所以，又，.故選：D.2.已知復數z滿足，則復數z在復平面內對應的點Z所在區域的面積為（）A.π B.2π C.3π D.4π【答案】C【解析】令且，則，所以，即對應區域是圓心為，半徑分別為1，2兩個同心圓的面積差，所以區域的面積為.故選：C3.已知，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】根據已知，所以.故選：.4.已知橢圓與雙曲線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】橢圓對應的，所以對于雙曲線，有，所以雙曲線的離心率為.故選：A5.已知方程在區間上有兩個不相等的實數根，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，故，而方程在區間上有兩個不相等的實數根，且令，則在區間上有兩個不相等的實數根，故，，兩個根為，則與在區間上有兩個不同的交點，記兩個交點橫坐標為，由正弦函數性質得關于對稱，則，解得，而，得到，即，故C正確.故選：C6.已知，，則（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】B【解析】因為，所以，故，因為，所以，令，定義域為，而，而，故，而，故，得到，由對數函數性質得在上單調遞增，由一次函數性質得在上單調遞增，故在上單調遞增，得到，代入中得到，即，故，故B正確.故選：B7.已知函數有零點，那么實數的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由，得，即，則，令函數，則有，而函數都是R上的增函數，于是函數是R上的增函數，因此，即，令，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，則函數在時取得最大值，所以實數的最大值為.故選：D8.在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖所示，某同學利用兩個完全一樣的半圓柱，得到了一個三棱錐，該三棱錐為鱉臑，，為半圓柱的圓心，半徑為2，，，動點在內運動（含邊界），且滿足，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為三棱錐為鱉臑，平面，在中，，過做垂足為，則，即，所以，因為，，在中，，所以，則，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，所以中，，過作，，即，可得，則過作，因為是中點，所以，所以動點在內（含邊界）的軌跡為以為圓心以為半徑的半圓，則點的軌跡長度為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解一片經濟林的生長情況，隨機抽取了其中60株樹木，測量底部周長（單位：cm），所得數據均在區間內，其頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.圖中的值為0.025B.樣本中底部周長不小于110cm的樹木有12株C.估計該片經濟林中樹木的底部周長的分位數為115D.估計該片經濟林中樹木的底部周長的平均數為104（每組數據用該組所在區間的中點值作代表）【答案】AC【解析】對于A中，由頻率分布直方圖的性質，可得，解得，所以A正確；對于B中，由頻率分布直方圖，可得不小于110cm頻數為，所以不小于110cm的樹木有株，所以B錯誤；對于C中，由頻率分布直方圖得，前三個矩形的面積為，前四個矩形的面積為，所以分位數位于區間，則，所以C正確；對于D中，由頻率分布直方圖的平均數的計算公式，可得：，所以D錯誤；故選：AC.10.已知拋物線的焦點為，準線過點，是拋物線上的動點，則（）A.B.當時，的最小值為C.點到直線的距離的最小值為2D.當時，直線ON的斜率的最大值為【答案】ABD【解析】根據拋物線的定義，的準線為，由題意準線過，可求出，拋物線的方程為，選項A正確；對于選項B，C，D，可設拋物線上的點的動點為，對于B選項，當時，；當時，當且僅當時，等號成立.選項B正確；對于C選項，直線與拋物線的位置關系如下圖所示：到直線的距離，當時，.選項C錯誤；對于D選項，可根據向量共線作出示意圖：根據定義求出拋物線的焦點，由得，當時，；當時，，當且僅當時，等號成立.選項D正確.故選：ABD11.在平面直角坐標系中有一點，到定點與軸距離之積為一常數，點構成的集合為曲線，已知在或分別為連續不斷的曲線，則下列說法正確的是：（）.A曲線關于直線對稱B.若，則時到軸距離的最大值為C.若，如圖，則D.若與軸正半軸交于，則與軸負半軸的交點橫坐標在區間內【答案】BCD【解析】設點，則，對于A選項，點關于直線的點為，因為，即點不在曲線上，所以，曲線不關于直線對稱，A錯；對于B選項，當時，曲線的方程為，當時，則，則，所以，，可得，可得，對于不等式，即，顯然該不等式恒成立，對于不等式，即，解得，因為，則，此時，若，則時到軸距離的最大值為，B對；對于C選項，點關于直線的對稱點為，因為，即點在曲線上，故曲線關于直線對稱，如下圖所示，當時，直線與曲線有兩個交點，當時，在曲線的方程中，令，可得，可得，所以，曲線與在上的圖象有兩個公共點，如下圖所示：顯然，曲線與射線在上的圖象有一個公共點，則曲線與線段相切，由，可得，則，可得，且當時，方程為，解得，合乎題意，綜上所述，，C對；對于D選項，若曲線與軸正半軸交于，則，則有，當時，令可得，整理可得，即，令，其中，則對任意的恒成立，所以，函數在上單調遞增，因為，，則，所以，曲線與軸負半軸的交點橫坐標在區間內，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若等比數列滿足：，，則數列的公比______.【答案】【解析】因為等比數列滿足：，，則，解得.故答案為：.13.已知函數的圖象關于點對稱，則______．【答案】【解析】因為函數的圖象關于點對稱，所以函數的圖象關于點對稱，所以函數為奇函數，故，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.14.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點（其中在第一象限），的內切圓半徑為，的內切圓半徑為，若，則直線的斜率為_____.【答案】【解析】設的內切圓的圓心為，的內切圓的圓心為，記邊上的切點分別為，由切線的性質可得：，由雙曲線定義可得：，即，則，又.則，又，則，即.同理可得，的內切圓也與軸相切于點.連接，則與軸垂直，設圓與相切于點，連接，過點作，記垂足為，則.設直線傾斜角為，則.在四邊形中，注意到，又四邊形內角和為，則，在中，，，則，則直線斜率，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內角，，的對邊分別為，，，，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求的周長．解：（1）在中，，由正弦定理得.（2）由及正弦定理，得，即，則，即，而，則，又，即，解得，，，由的面積為，得，則，又，解得，又，則，解得，所以的周長為.16.在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有m個白球，m個黑球，2個黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為．（1）從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；（2）從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設取出的黑球數量為X，求X的分布列與期望．解：（1）由從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為，得，解得，盒子中帶有黑色的球有6個，其中黑白相間的球有2個，所以在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率.（2）依題意，的可能值為，則，所以的分布列為：012數學期望.17.如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F分別為AD，AB的中點.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：，，所以又，，又，，，.（2）證明：在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，.，，，設為平面一個法向量，令，得，.設平面的一個法向量，則，取.，又平面與平面不重合，平面平面.（3）解：當時，為平面的一個法向量，，則，設，，，設直線與平面所成角為，，當且僅當時，等號成立，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知雙曲線的漸近線方程為，右頂點為，點在上.（1）求的方程；（2）過點的直線與C相交于F，G兩點，點E與點F關于軸對稱，問直線EG是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；（3）將圓心在軸上，且與C的兩支各恰有一個公共點的圓稱為“子圓”，若兩個“子圓”外切于點，圓心距為，求.解：（1）設雙曲線的方程為，將點代入得，即，雙曲線的方程為（2）當直線DG的斜率不為零時，設直線DG的方程為，，，.由消去整理得，依題意得：，且，即且，，.易知，直線EG的斜率存在，設直線EG的方程為.令，得.直線EG過定點.當直線DG的斜率為0時，直線EG的方程為，過點，綜上，直線EG過定點.（3）考慮以為圓心的“子圓”，由的方程與的方程消去，得關于的二次方程.依題意，該方程的判別式，.對于外切于點的兩個“子圓”，，顯然點在軸上，設，，的半徑分別為，，不妨設，的圓心分別為，.則，.兩式相減得：，而，.，整理得：.，點.，故.19.已知函數，．（1）若在處取得極值，討論的單調性；（2）設曲線在點處的切線為，證明：除點外，曲線段總在的下方；（3）設，證明：．（1）解：，，，由在處取得極值，得，解得.當時，，設，則在上單調遞減，且.則當時，，即，故在單調遞增；當時，，即，故在單調遞減；故在處取到極大值，滿足題意.在單調遞增；在單調遞減.（2）證明：，，，曲線