高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市部分高中2024屆高三二模數學試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.下列集合關系不成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：因為，故A正確；B：由空集的定義可知，故B正確；C：由圖可知C正確；D：因為空集中不包含任何元素，故D錯誤；故選：D.2.若，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以的虛部為，故選：D.3.已知等差數列的首項為1，公差不為0，若，，成等比數列，則的第5項為（）A B. C.或1 D.或1【答案】B【解析】設等差數列的公差為，因為，，成等比數列，所以，又，所以，解得或（舍），所以.故選：B4.已知平面內的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因為，又，所以.所以：，所以.故選：A.5.已知函數的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，.所以，由因為在，兩個不同點處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因為且，所以，故A不成立；當時，.故B成立.故選：B6.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.函數的最小正周期B.函數的圖象關于點中心對稱C.函數的圖象關于直線對稱D.函數在區間上單調遞增【答案】D【解析】對于A，函數的最小正周期，A錯誤；對于B，由，得函數f(x)的圖象不關于點對稱，B錯誤；對于C，由，得函數f(x)的圖象不關于直線對稱，C錯誤；對于D，當時，，而正弦函數在上單調遞增，因此函數在區間上單調遞增，D正確.故選：D.7.已知實數滿足，則的最小值與最大值之和為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由題意知點在曲線上，曲線C關于原點以及坐標軸均對稱；由于時，曲線的方程為，即，故結合曲線對稱性，作出曲線C如圖：而表示曲線C上的點到直線的距離，可知取最小值和最大值時，位于曲線在第一、三象限內的圓弧上，當時，曲線的方程為，即，此時d的最小值為，當時，曲線的方程為，即，此時d的最大值為，故的最小值與最大值之和為，所以的最小值與最大值之和為，故選：C．8.設，，，為拋物線上不同的四點，點，關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線，設點到直線和直線的距離分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過作，設，則，所以，設拋物線在點處的切線的方程為，由，消得到，由，得到，所以由題有，即，所以，又，所以，得到為的角平分線，又，所以，又均為直角三角形，所以，得到，所以，故答案：B.二、選擇題9.下列命題為真命題的是（）A.若樣本數據的方差為2，則數據的方差為17B.一組數據8，9，10，11，12的第80百分位數是11.5C.用決定系數比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好D.以模型去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和2【答案】BCD【解析】對A：若樣本數據的方差為2，則數據的方差為，故A錯誤；對B：，則其第80百分位數是，故B正確；對C，根據決定系數的含義知越大，則相應模型的擬合效果越好，故C正確；對D，以模型去擬合一組數據時，為了求出經驗回歸方程，設，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D正確.故選：BCD.10.若關于x的不等式在上恒成立，則實數a的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】AB【解析】依題意，在上恒成立，當時，，令，則，，故當時，，當時，，故，故，則不等式成立；當時，令，因為，，故在內必有零點，設為，則，則，故，不合題意，舍去；綜上所述，.故選：AB.11.把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱(中橢圓長軸，短軸，為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，，P為線段上的動點，E為線段上的動點，MN為過點的下底面的一條動弦(不與AB重合)，則下列選項正確的是（）A.當平面時，為的中點B.三棱錐外接球的表面積為C.若點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，則的最大值為D.三棱錐體積的最大值為8【答案】ACD【解析】由題設，長軸長，短軸長，則，得分別是中點，而柱體中為矩形，連接，由，，∴四邊形為平行四邊形，，當平面時，平面，平面平面，則，有，中，是中點，則為的中點，A選項正確；，，，則中，，，外接圓半徑為，，則平面，三棱錐外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，B選項錯誤；點Q是下底面橢圓上的動點，是點Q在上底面的射影，且，與下底面所成的角分別為，令，則，又，則，，，，由橢圓性質知，則當或時，的最大值為，C選項正確；由，要使三棱錐體積最大，只需的面積和到平面距離之和都最大，，令，且，則，，當時，有最大值，在下底面內以為原點，構建如上圖的直角坐標系，且，則橢圓方程為，設，聯立橢圓得，，，，令，，由對勾函數性質可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為，D選項正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題12.已知，則______.【答案】3【解析】的通項為，所以展開式中的系數為，的通項為，所以展開式中的系數為，所以.故答案為：3.13.如圖，四邊形和是兩個相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個相同的矩形，現將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個無蓋長方體，則該長方體體積的最大值為________．【答案】【解析】由題意設，因為面積為，所以，根據題意有：，所以，則長方體的體積為，，令，有，所以時，，函數在上單調遞增，時，，函數在上單調遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.故答案為：14.在中，，，點D與點B分別在直線AC的兩側，且，，則BD的長度的最大值是__________．【答案】【解析】如圖，在中，由正弦定理：可得：，因，則，即.設，則，在中，設，由正弦定理，，則得：，由余弦定理可得：，即.在中，由余弦定理，,因，則，則當時，即時，，此時.故答案為：.四、解答題15.如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點，平面平面，為的中點，為的中點，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點，連接，因為四邊形為等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．過點作直線的垂線交于點，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為為直徑，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，設平面的法向量為，則所以令，則，，所以．設平面的法向量為，則，取．設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．16.已知數列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求證：．（1）解：由，當時，，則，當時，，兩式相減得，即，因此數列是以為首項，為公比的等比數列，所以．（2）證明：由（1）知．當時，；當時，，所以，所以，所以當時，．綜上，．17.“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2023年已經培養了6000多名具有創新潛質的優秀中學生，為選拔培養對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優秀學生參加數學、物理、化學學科夏令營活動.（1）若數學組的7名學員中恰有3人來自中學，從這7名學員中選取3人，表示選取的人中來自中學的人數，求的分布列和數學期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.解：（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設甲答對題數為，則，設乙答對題數為，則，設“甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設，所以，由二次函數可知當時取最大值，所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18.將上各點的縱坐標變為原來的倍（橫坐標不變），所得曲線為E．記，，過點p的直線與E交于不同的兩點A，B，直線QA，QB與E分別交于點C，D．（1）求E的方程：（2）設直線AB，CD的傾斜角分別為，．當今時，（i）求值：（ii）若有最大值，求的取值范圍．（1）解：設所求軌跡上的任意點為，與對應的點為，根據題意，可得，即，代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）解：（i）設直線的方程為，，聯立方程組，整理得，則，且，可得，所以，可得，所以，同理可得，又因為三點共線，可得，即，所以，所以.（ii）設直線的方程為，其中，由（i）知，直線的斜率為，則，當且僅當時，即時，等號成立，聯立方程組，整理得，則，解得，若有最大值，則，又因為，所以實數的取值范圍為，19.在函數極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數和滿足下列條件：①且（