高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市辛集市2023-2024學年高二下學期7月期末教學質量監測數學試卷注意事項：1、考試時間120分鐘，滿分150分，另附加卷面分5分.2、答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡相應的位置.3、全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列是正項等比數列，且，又，，成等差數列，則的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，設數列的公比為，因為，所以，解得（負值舍去）；又，，成等差數列，所以，即，則，解得，.故選：D.2.記為等差數列的前項和，已知，，則取最小值時，的取值為（）A.6 B.7 C.7或8 D.8或9【答案】C【解析】根據等差數列的性質可得，所以，所以，所以，，當時，，當時，，所以當的取值為7或8時，取最小值.故選：C3.在數列中，，，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】，時，，，，，數列是周期為3的數列，.故選：A．4.已知隨機變量服從，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】C【解析】由題意可得，所以.故選：C.5.某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（）A.36種 B.24種 C.18種 D.12種【答案】C【解析】當教師甲與2名學生去北京時，分配方案共有（種）；當教師甲與另一名教師及2名學生去北京時，分配方案共有（種），綜上，分配方案共有（種）.故選：C.6.將三顆骰子各擲一次，記事件“三個點數互不相同”，事件“至少出現一個點”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意可得，，所以.故選：C7.若曲線在處的切線與曲線也相切，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】對曲線，在切點處切線的斜率，所以切線方程為：，對于曲線，設切點，則在點處切線的斜率，依題意，即，又點切點在曲線和切線上，即，所以，故選：B.8.已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數的圖象可得：當時，函數單調遞增，則，當時，函數單調遞減，則．當時，函數單調遞增，則，由①或②解①得，，解②得，，綜上，不等式的解集為.故選：A．二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.對于隨機變量，下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，若，則，故D正確.故選：ABD10.數列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數列為等比數列 B.C.數列是遞減數列 D.前項和【答案】AB【解析】數列滿足：，，，，，，數列為首項為，公比為3的等比數列，故正確；，，故B正確；數列是遞增數列，故C錯誤；數列的前項和為：，的前項和，故D錯誤．故選：AB．11.函數（a，），下列說法正確的是（）A.當，不等式恒成立，則b的取值范圍是B.當，函數有兩個零點，則b的取值范圍是C.當，函數有三個不同的零點，則b的取值范圍是D.當，函數有三個零點且，則值為1．【答案】BCD【解析】對于AB，當，，令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，不等式恒成立，即恒成立，所以，所以，所以b的取值范圍是，故A錯誤；當時，，當時，且，如圖，作出函數的大致圖象，由圖可知，所以b的取值范圍是，故B正確；對于C，當，，令，由上可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，如圖，作出函數的大致圖象，由圖可知，當或時，與一一對應，當時，個對應個，令，則，令，則，當或時，，當或時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，如圖，作出函數的大致圖象，由圖可知，要使函數有三個不同的零點，則函數的圖象有兩個交點，其中一個在上，另一個在上，所以，所以，故C正確；對于D，由C選項知，函數由兩個零點，，而函數有三個零點且，所以，則，而，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是__________.【答案】【解析】∵，∴，∵函數在區間上單調遞增，∴在區間上恒成立，由于在區間上單調遞增，∴必須且只需解得，故答案為：13.的展開式中常數項為______．（用數字作答）【答案】【解析】的第項通式為，和可以組成常數，當，即時，常數項為，2和可以組成常數，當，即時，常數項為，所以的展開式中常數項為.故答案為：.14.已知，若恒成立，則實數的取值范圍___．【答案】【解析】因為，所以是上的奇函數，，，所以是上的增函數，等價于，所以，所以，令，則，因為且定義域為，所以是上的偶函數，所以只需求在上的最大值即可.當時，，，則當時，；當時，；所以在上單調遞增，在上單調遞減，可得：，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.汽車尾氣中含有一氧化碳（），碳氫化合物（）等污染物，是環境污染的主要因素之一，汽車在使用若干年之后排放的尾氣中的污染物會出現遞增的現象，所以國家根據機動車使用和安全技術、排放檢驗狀況，對達到報廢標準的機動車實施強制報廢．某環保組織從相關部門獲得某型號汽車的使用年限與排放的尾氣中濃度的數據，如下表所示：使用年限x246810濃度0.20.20.40.60.7若該型號汽車的使用年限不超過15年，可近似認為排放的尾氣中濃度與使用年限x線性相關．（1）試確定y關于x的線性回歸方程；（2）預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的多少倍？參考數據：參考公式：線性回歸方程中，，．解：（1）由表中的數據可得，，，，，所以線性回歸方程為；（2）令可得，當時，，，所以預測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的4.2倍．16.已知數列的前項和為，若，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1）當時，.當時，，用代替，可得：.兩式相減得：，又，所以是以3為首項3為公比的等比數列，所以.（2），所以：兩式相減得：，所以：.17.某校組織了科技展參觀活動，學生自愿參觀，事后學校進行了一次問卷調查，分別抽取男、女生各40人作為樣本．據統計：男生參觀科技展的概率為，參觀科技展的學生中女生占．（1）根據已知條件，填寫下列列聯表，試根據小概率值的獨立性檢驗，分析該校學生參觀科技展情況與性別是否有關．參觀科技展未參觀科技展合計男生女生合計（2）用分層隨機抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，再從這12人中隨機抽取6人，用隨機變量表示女生人數，求的分布列和數學期望．參考公式和數據：，其中．0．10．050．0250．010．0012．7063．8415．0246．63510．828解：（1）因為男生參觀科技展的概率為，所以參觀科技展的男生人數為．因為參觀科技展的學生中女生占，所以參觀科技展的人數為．則參觀科技展的女生人數為．結合男、女生各有40人，填寫列聯表如下：參觀科技展未參觀科技展合計男生32840女生162440合計483280零假設為：學生參觀科技展情況與性別無關．根據列聯表中的數據，計算得到．根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該校學生參觀科技展情況與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）用分層隨機抽樣的方式從參觀科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，所以的可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，．所以的分布列為01234所以．18.某學校工會組織趣味投籃比賽.每名選手只能在下列兩種比賽方式中選擇一種.方式一：選手投籃次，每次投中可得分.未投中不得分，累計得分；方式二：選手最多投次.如第1次投中可進行第次投籃，如第次投中可進行第次投籃.如某次未投中，則投籃中止.每投中次可得分，未投中不得分，累計得分；已知甲選擇方式一參加比賽，乙選擇方式二參加比賽.假設甲，乙每次投中的概率均為.且每次投籃相互獨立.（1）求甲得分不低于分的概率；（2）求乙得分的分布列及期望：（3）甲、乙誰勝出的可能性更大？說明理由.解：（1）設甲選擇方式一參加比賽的得分為，，，設甲得分不低于分為事件，則；（2）設乙選擇方式二參加比賽得分為，的可能取值為，，，，，所以的分布列為：所以；（3）甲勝出的可能性更大，理由如下：甲獲勝的情況有：①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分，所以甲獲勝的概率為：，乙獲勝的情況有：①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分，所以乙獲勝的概率為，因為，所以甲獲勝的可能性更大.19.已知函數，.（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；（2）若使得在上恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）設，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，取極大值，也是最大值，，因為有兩個不同的解即有兩個不同的零點，故即.當時，若，則有恒成立，此時至多一個零點，不合題意；故即，此時，而，故在有一個零點；下證：當時，即證：，設，則，故在上為增函數，故，即成立.當時，有，故此時在有一個零點；綜上，當時，曲線與直線有兩個交點.（