第第頁襄陽五中2025屆高三下學期5月適應性考試（五）數學試題命題人：蘇代輝任健審題人：王丹劉俐選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合A={x|1?x?3}，A.(2,3] B.[1,4) C.(?∞,4) D.[1,+∞)【答案】A

解：由題意可知A∩B={x|2<x?3}．2．已知非零向量a，b，且(a+b)?a=0，則A.1 B.?1 C.?a D.【答案】C

解：因為(a+b)?a=a2+a?b=03.已知cosπ4+x=13，則sin5π4A.?13 B.13C.223 【答案】A解：sin5π4-x=sin3π2-π44.若隨機變量ξ的分布列如下表，表中數列{an}為等差數列，則ξ34567PaaaaaA.12 B.13 C.14【答案】D

解：∵數列{an}為等差數列，由等差數列性質得a1+a2+5.已知實數x，y滿足x>3，且xy+2x?3y=12，則xA.1+26 B.8C.62 D.1+23【答案】A解:因為x>3,且xy+2x-3y=12,所以y=12-2x從而x+y=x-2+6x-3=(x-3)+6x-3+1≥26+1,當且僅當x=6+3,y=6-2時等號成立,所以故選A.6．拋物線y=x2A.(?1,32) B.(?1,54)【答案】B

解：對于拋物線y=x2+2x+2，通過配方可得(x+1)2=y?1，

可以看作是將x2=y向左平移1個單位，向上平移1個單位得到，

對于x2=y，2p=1，則p=12，焦點坐標為(0,14)，

(0,14)7.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且f′(x)+A.(1,+∞) B.(?∞,13)

C.(【答案】C

解：因為f(x)是定義在R上的偶函數，

所以f(?x)=f(x)，?f′(?x)=f′(x)，

因為f′(x)+2x也是偶函數，

所以f′(x)+2x=f′(?x)+2?x，

故2f′(x)=2?x?2x，即f′(x)=12(2?x?2x)，

當x≥0時，f′(x)=128．已知在四棱錐中，平面，，，為等邊三角形，則平面與三棱錐的外接球球面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】B解:因為，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，則為三棱錐的外接球的直徑，平面，平面，所以，，由勾股定理得．取為的中點，過作，為垂足，，平面，平面，所以，又，平面，故平面，因為為等邊三角形，且，則，所以到平面的距離，故平面與三棱錐的外接球球面的交線為圓，且圓的半徑滿足，解得，故其周長為故選：B選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。9．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，則下列說法正確的是（

）A．展開式的各項系數之和為4096B．展開式中含項的系數為45C．展開式中存在常數項D．展開式中第6項的系數最大【答案】BCD解:由二項式的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，得，解得，令，得，即展開式的各項系數之和為1024，故A錯誤；由通項，令，解得，所以展開式中含項的系數為，故B正確；若展開式中存在常數項，令，解得，故C正確；由可知展開式共有11項，中間項二項式系數最大，即第6項的系數最大，故D正確.10．一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍.從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，則(

)A.P(A)=13 B.A,B為互斥事件 C.P(B|A)=12【答案】AC

解：P(A)=13，A,B可同時發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球”，A,B不互斥，B錯．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為12，CP(B)=23×12+1D錯，選AC．11.已知復數z，則下列說法正確的是(

)A.若|z|=2，則z=±2 B.若z+2i∈R，則z的虛部為?2

C.若z2>0，則z∈R D.若【答案】BCD

解：對于選項A，設z=a+bi(a,b∈R)，由于|z|=2，所以a2+b2=4，故選項A不正確;

對于選項B，設z=a+bi(a,b∈R)，由于z+2i∈R，可得b+2=0，b=?2，故選項B正確;

對于選項C，設z=a+bi(a,b∈R)，由于z2>0故選項C正確;

對于選項D，設z=a+bi(a,b∈R)，由于|z|=1，所以a2+b2=1，

因為a，b∈R，所以?1≤a≤1，

又|z?2|=|a?2+bi|=a?22+b2=填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．1與2025的等比中項為.【答案】.解:設1與2025的等比中項為為，所以，所以.故答案為：.13．已知函數f(x)=(x+2)(2x2+【答案】6

解：因為f(?2)=0，所以f(4)=0，

所以f(x)=2(x+2)(x?1)(x?4)=(x+2)(2x2?10x+8)，

所以a=?10，b=8，則a+2b=6．

14．如圖，斜率為12的直線與橢圓C：x24+y2b2=1(0<b<2)交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于點M，N，若|AN|=|NM|=|MB|【答案】23

解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因為|AN|=|NM|，所以M(?x1,0)，N(0,y12)，

又|NM|=|MB|，所以B(?2x1,?y12)，

所以x2=?2x1y2=?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題13分）如圖，某市擬在長為8千米的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數（單位：千米）的圖象，且圖象的最高點為（單位：千米）；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定.求A，的值和線段MP的長；求?MNP面積最大值.解:（1）依圖象可知，2分，所以，，4分，當時，，點的坐標為，千米6分(沒有單位扣1分)在中，，，8分當且僅當取等號，10分，的面積最大值為平方千米；13分（沒有單位扣1分）16．（本小題15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，點E是棱PD上的一點，平面AEC．(1)求證：點E是棱PD的中點；(2)若平面ABCD，，PC與平面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正切值．解:（1）連接BD，BD與AC交于，點F，連接EF，四邊形ABCD為矩形，為BD的中點，平面AEC，平面PBD經過PB且與平面AEC交于EF，，…………4分又點F是BD的中點，點E是棱PD的中點.………………5分（2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，則就是PC與平面ABCD所成的角，故，解得．…………7分四邊形ABCD為矩形，，又，PA與AD是平面PAD內的兩相交直線，平面PAD，如圖，平面PAD內作，垂足為G，連接GC，則，是二面角的平面角．…………………10分在直角三角形PAD中，，點E是PD的中點，，且平面PAD，平面PAD，，故，二面角的平面角的正切值為．……………15分方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，則就是PC與平面ABCD所成的角，又四邊形ABCD為矩形，，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設是平面AEC的一個法向量，二面角的大小為，由，可得，…………7分則，故解得，所以，…………9分又是平面AED的一個法向量，且為銳角，…………………10分故，…………12分則，即，所以二面角的平面角的正切值為．………15分（本小題15分）已知雙曲線的漸近線方程為，且其焦距為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于不同的兩點，且在由點與構成的三角形中，，求實數的取值范圍.解:（1）漸近線方程為.又，雙曲線的方程為.………………4分（2）直線與雙曲線交于不同的兩點，由，得，，且，，且.………………6分設，則，，線段的中點坐標為，線段的垂直平分線的方程為，即，…………10分又在由點與構成的三角形中，，點不在直線上，而是在線段的垂直平分線上，…………12分，又，且，解得，或，實數的取值范圍是.……………………15分（本小題17分）如圖，某人設計了一個類似于高爾頓板的游戲：將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的中間入口處，小球將自由下落，小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戲中小球落入袋記1分，落入袋記2分，游戲可以重復進行.游戲過程中累計得分的概率為.求，，.求出的通項公式.解:（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率，小球落入袋中的概率.故，，6分（2）游戲過程中累計得分可以分為兩種情況：得到分后的一次游戲小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戲中小球落入袋中（）分，故10分故為常數數列且，故即12分，故是以為首項，以為公比的等比數列，15分故，所以的通項公式為17分19．（本小題17分）已知函數，且曲線在點處的切線方程為.(1)求實數的值.(2)當時，證明：當時，.(3)當時，若存在，使得成立，證明：.解:（1）.曲線在點處的切線方程