第三章量子力學中的力學量§3-1算符及其運算規則§3-7展開假定§3-2厄米算符的本征問題§3-8不確定關系§3-3坐標算符和動量算符§3-9電子在庫侖場中的運動§3-4角動量算符§3-10氫原子問題§3-5共同完備本征函數系力學量完全集§3-11力學量平均值隨時間的變化守恒定律§3-6力學量的平均值

§3-1算符及其運算規則知識點教學目標算符假設共軛算符厄米算符算符對易關系能描述算符假設（量子力學的第三個基本假設）。領會厄米算符的意義。牢記量子力學基本對易關系。能計算簡單的對易關系。本節內容1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系算符概念若某一運算將函數u變為函數v，記為。符號稱為算符。算符表示對波函數的一種運算或者操作。線性算符算符假設（量子力學的第三個基本假設）例如量子力學中的可觀測量（力學量或物理量，如坐標、動量和能量等）與相應的算符相對應，而且對應的算符都是線性算符。力學量的取值由相應算符滿足的本征方程的解來決定。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系單位算符對任意波函數，總有，則稱為單位算符。性質：任意波函數皆為單位算符的本征態，且本征值為1。算符之和對任意波函數，總有，則稱算符為算符和算符之和，記為。性質交換律結合律1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系算符之積對任意波函數，總有，則稱算符為算符和算符之積，記為。性質：一般情況下逆算符設，，則稱算符和算符互為逆算符。性質：滿足只有當算符的本征值都不為零時才存在逆算符。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系算符的共軛對任意的波函數

、和算符，令若算符與之間滿足，即則算符與互為共軛。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系厄米算符若算符等于其共軛，即或稱算符為厄米算符或自共軛算符。意義量子力學中可觀測量對應的算符都是厄米算符。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系例1.求常數算符的共軛。即結論：常數算符的共軛等于其復共軛。例2.求微分算符的共軛。對束縛態，=01算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系所以結論：動量算符是厄米算符。由此得1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系例3.證明：。推廣例4.求算符的共軛。結論：角動量算符是厄米算符。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系算符的函數任意的函數在0點可以作展開類似地，算符的函數也可以作展開例如若算符的本征方程為，則例如，若，則ABCD提交10-1以下公式中正確的是單選題1分稱為算符和的對易關系或對易子。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系對易關系引入符號若，稱算符、對易或可交換。若，稱算符、不對易或不可交換。例如反對易關系即1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系量子力學基本對易關系對于任意的狀態，有稱為海森堡對易關系，它是量子力學最基本的對易關系。同理1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系例5.計算對易關系。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系對易關系代數的運算規則例6.計算。利用例5結果，也可以求得1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系坐標、動量算符之間的對易關系動量、角動量算符之間的對易關系例7.計算。例8.計算。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系引入：反對稱三階張量，其定義為統一表述例9.計算。1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系例11.計算。坐標、角動量算符之間的對易關系例10.計算。統一表述統一表述1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系例12.計算。角動量算符各分量之間的對易關系由此可得1算符假設2算符的運算規則3算符的對易關系例