重難點02幾何體的表面積、體積、軸截面、多面體與球體內切外接問題（重難點突破解題技巧與方法）技巧技巧方法1.求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積2.求體積的常用方法直接法對于規則的幾何體，利用相關公式直接計算割補法首先把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換3.幾何體的外接球：一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.幾何體的內切球：求解多面體的內切球問題，一般是將多面體分割為以內切球球心為頂點，多面體的各側面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內切球的半徑.4.截面問題：在高考立體幾何考點中涉及到空間幾何體的截面的地方較多，如:判斷截面的形狀、計算出空間幾何體的截面周長或面積、或者求與之相關的體積問題、以及最值問題都在考察之列，但是要順利地解決前面所提到的諸多問題，關鍵是根據題意作出截面，并判斷其形狀.能力拓展能力拓展題型一：柱、錐、臺體的表面積、體積、軸截面一、填空題1．（2021·上海·格致中學高二期中）已知一個圓錐的側面展開圖恰好是一個半圓，任取圓錐的兩條母線a，b，則a，b所成角的最大值為______．2．（2022·上海浦東新·高二期末）已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則此三棱錐的體積為___________3．（2022·上海·復旦附中高二期中）如圖所示，過三棱臺上底面的一邊，作一個平行于棱的截面，與下底面的交線為DE．若D、E分別是AB、BC的中點，則______．二、解答題4．（2021·上海·西外高二期中）設四邊形ABCD為矩形，點P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，若|PA|＝|AB|＝1，|BC|＝2.(1)求四棱錐P－ABCD的體積；(2)在BC邊上是否存在一點G，使得點D到平面PAG的距離為，若存在，求出|BG|的值，若不存在，請說明理由；(3)若點E是PD的中點，在△PAB內確定一點H，使|CH|＋|EH|的值最小，并求此時|HB|的值.5．（2021·上海·華東師范大學第三附屬中學高二期中）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，母線.(1)求此圓錐的體積和側面展開圖扇形的面積；(2)如圖，半平面與半平面所成二面角大小為，設線段中點為，求異面直線與所成角的余弦值.6．（2021·上海市延安中學高二期中）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，.(1)證明：平面；(2)設，圓錐的側面積為，求三棱錐的體積.題型二：多面體與球體內切外接問題一、單選題1．（2021·上海·曹楊二中高二階段練習）半徑為5的球內有一個高為8的正四棱錐，則該球與該內接正四棱錐體積之比為（

）A． B． C． D．2．（2021·上海市復興高級中學高二期中）在三棱錐中，，，二面角是鈍角.若三棱錐的體積為.則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．3．（2021·上海市松江二中高二期中）已知一圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，在該圓錐內放置一個棱長為的正四面體，并且正四面體在該幾何體內可以任意轉動，則的最大值為（

）A．3 B．C． D．二、填空題4．（2021·上海市控江中學高二期中）直三棱柱的所有頂點都在球O的球面上，，，，，則球O的體積是__________．5．（2021·上海·華師大二附中高二期中）已知三棱錐的側棱兩兩互相垂直，且該三棱錐的外接球的體積為，則該三棱錐的側面積的最大值為________.6．（2021·上海·高二專題練習）如圖，邊長為2的正方形中，點、分別是邊、的中點，、、分別沿、、折起，使、、三點重合于點，若四面體的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為________.7．（2021·上海市西南位育中學高二期中）已知三棱錐中，兩兩垂直，且長度相等，若都在半徑為1的同一球面上，則球心到平面的距離為__________.8．（2022·上海奉賢區致遠高級中學高二期末）設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.三、解答題9．（2021·上海·華師大二附中高二期中）已知正方體.(1)若正方體的棱長為1，求點到平面的距離；(2)在一個棱長為10的密封正方體盒子中，放一個半徑為1的小球，任意搖動盒子，求小球在盒子中不能達到的空間的體積；(3)在空間里，是否存在一個正方體，它的定點到某個平面的距離恰好為0、1、2、3、4、5、6、7，若存在，求出正方體的棱長，若不存在，說明理由.10．（2019·上海·華師大二附中高二期中）平面圖形很多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形可以推廣到平行六面體，直角三角形也可以推廣到直角四面體，如果四面體中棱兩兩垂直，那么稱四面體為直角四面體.請類比直角三角形中的性質給出2個直角四面體中的性質，并給出證明.（請在結論中選擇1個，結論4，5中選擇1個，寫出它們在直角四面體中的類似結論，并給出證明，多選不得分，其中表示斜邊上的高，分別表示內切圓與外接圓的半徑）直角三角形直角四面體條件結論1結論2結論3結論4結論5鞏固鞏固練習一、單選題1．（2022·上海市楊浦高級中學高二期末）大數學家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數學發現的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀念阿基米德發現球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·復旦附中高二期中）為提高學生數學學習的積極性，復旦附中聯合浦東分校、青浦分校、復旦中學組織了復旦附中月度數學學科知識競賽．本次比賽的年度總冠軍獎杯由一個銅球O和一個底座組成，如圖（1）所示，已知球的體積為，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中點的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示．則在圖（1）所示的幾何體中，下列結論中正確的是（

）A．CD與BE是異面直線B．異面直線AB與CD所成角的大小為45°C．由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面面積為D．球面上的點到底座底面DEF的最大距離為二、填空題3．（2022·上海交大附中高二階段練習）己知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則三棱錐的表面積是_________．4．（2018·上海市金山中學高二期中）已知長方體的三條棱長分別為，，，并且該長方體的八個頂點都在一個球的球面上，則此球的表面積為____________．5．（2022·上海市建平中學高二階段練習）正四面體邊長為4，則其體積為_________6．（2021·上海市市西中學高二期中）如圖，在正三角形ABC中，E、F依次是AB、AC的中點，AD⊥BC，EH⊥BC，FＧ⊥BC，D、H、G為垂足，若將正三角形ABC繞AD旋轉一周所得的圓錐的體積為V，則其中由陰影部分所產生的旋轉體的體積與V的比值是______________.7．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）一矩形的一邊在軸上，另兩個頂點在函數的圖像上，如圖，則此矩形繞軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是___________.8．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）如圖，已知半徑為2的球的直徑垂直于平面，垂足為，△是平面內邊長為2的正三角形，線段，分別與球面交于點，，則三棱錐的體積為___________.9．（2021·上海·格致中學高二期中）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為______．10．（2021·上海·閔行中學高二期中）如圖，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，是邊長為6的正三角形，二面角的大小為120°，則球的體積為______．三、解答題11．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，，，.(1)設點是AB的中點，證明：平面；(2)求此幾何體的體積.12．（2021·上海·復旦附中高二期中）如圖，在長方體中，已知．(1)若點P是棱上的動點，求三